高等数学教学课件

目录 上页 下页 返回 结束 例例.求解解:x=1 时,分母=0,分子0,但因目录 上页 下页 返回 结束 例例.求解解:目录 上页 下页 返回 结束 例例 求极限（求极限（1）（2）（3）（4）目录 上页 下页 返回 结束 例例.求解解:分子分母同除以则“抓大头抓大头”原式目录 上页 下页 返回 结束 一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数)目录 上页 下页 返回 结束 例例 求极限（求极限（1）（2）（3）目录 上页 下页 返回 结束 准则准则(夹逼定理夹逼定理)若在若在 x0 的某一邻域内有的某一邻域内有成立，且成立，且 ，则则 f(x)的极限存在，并且的极限存在，并且目录 上页 下页 返回 结束 例例 求极限求极限目录 上页 下页 返回 结束 圆扇形AOB的面积两个重要极限两个重要极限 证证:当即亦即时，显然有AOB 的面积AOD的面积故有注注注 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求解解:例例3.求解解:令则因此原式目录 上页 下页 返回 结束 例例.求解解:例例.求目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习填空题填空题 (14)第七节 目录 上页 下页 返回 结束 2.单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限(准则2)(P52)(证明略)目录 上页 下页 返回 结束 例例.设证明数列极限存在.(P53P54)证证:利用二项式公式,有目录 上页 下页 返回 结束 大大 大大 正正又比较可知目录 上页 下页 返回 结束 2.证证:当时,设则目录 上页 下页 返回 结束 当则从而有故说明说明:此极限也可写为时,令目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求解解:令则说明说明：若利用则 原式目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 都是无穷小,引例引例.但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的.无穷小的比较目录 上页 下页 返回 结束 定义定义.若则称 是比 高阶高阶的无穷小,若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是比 低阶低阶的无穷小;则称 是 的同阶同阶无穷小;则称 是 的等价等价无穷小,记作目录 上页 下页 返回 结束 v阶的比较举例所以当x1时 1x和1x3是同阶的无穷小.例2 例1 因为 所以当x0时x2x3是高阶无穷小 即x2x3o(2xx2)例3 因为 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理.设且存在,则例如例如,目录 上页 下页 返回 结束 几个常用的等价无穷小：几个常用的等价无穷小：注注：在求极限的过程中，只有在变量的在求极限的过程中，只有在变量的积或商中才可用等价无穷小替代，在变积或商中才可用等价无穷小替代，在变量的和及差中不能用。量的和及差中不能用。目录 上页 下页 返回 结束 例例 求极限（求极限（1）（2）（3）目录 上页 下页 返回 结束 可见,函数在点函数连续性的定义函数连续性的定义定义定义:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;目录 上页 下页 返回 结束 continue若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数连续函数.例如例如,在上连续.(有理整函数)又如又如,有理分式函数在其定义域内连续.在闭区间上的连续函数的集合记作只要都有目录 上页 下页 返回 结束 对自变量的增量有函数的增量左连续右连续当时,有函数在点连续有下列等价命题:目录 上页 下页 返回 结束 例例.证明函数在内连续.证证:即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.目录 上页 下页 返回 结束 在在函数的间断点函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一,函数 f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点间断点.在无定义;目录 上页 下页 返回 结束 间断点分类间断点分类:第一类间断点第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点可去间断点.为跳跃间断点跳跃间断点.为无穷间断点无穷间断点.为振荡间断点振荡间断点.目录 上页 下页 返回 结束 为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如例如:目录 上页 下页 返回 结束 显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.讨论函数x=2 是第二类无穷间断点.间断点的类型.2.设时提示提示:为连续函数.答案答案:x=1 是第一类可去间断点,谢谢！