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第八章 第一节第一节一、平面点集、一、平面点集、n维空间维空间二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性多元函数的基本概念多元函数的基本概念 一、平面点集一、平面点集 n n维空间维空间1、平面点集、平面点集(2)平面点集的定义：坐标平面上具有某种平面点集的定义：坐标平面上具有某种性质的点的集合。性质的点的集合。(1)坐标平面：二维坐标系的平面常称为坐坐标平面：二维坐标系的平面常称为坐标平面。可表示为：标平面。可表示为：问题：什么是邻域？问题：什么是邻域？回忆回忆2.邻域邻域推广一下：推广一下：点集点集称为点称为点 P0 的的 邻域邻域.例如例如,在平面上,(圆邻域圆邻域)在空间中,(球邻域球邻域)说明：说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点 P0 的去心邻域去心邻域记为在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.3.区域区域(1)内点、外点、边界点内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P:若存在点 P 的某邻域 U(P)E,若存在点 P 的某邻域 U(P)E=,若对点 P 的任一任一邻域 U(P)既含 E中的内点也含 E则称 P 为 E 的内点内点；则称 P 为 E 的外点外点;则称 P 为 E 的边界点边界点 .的外点,显然显然,E 的内点必属于的内点必属于 E,E 的外点必不属于的外点必不属于 E,E 的的边界点可能属于边界点可能属于 E,也可能不属于也可能不属于 E.(2)聚点聚点若对任意给定的,点P 的去心邻域内总有E 中的点,则称 P 是 E 的聚点聚点.所有聚点所成的点集成为 E 的导集导集.（1 1）内点一定是聚点；内点一定是聚点；说明：说明：说明：说明：（2 2）边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；例如，例如，(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点（3 3）点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E例如例如,(0,0)是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合而而边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合孤立点：若孤立点：若 A E，且存在，且存在 0，使得，使得则称点则称点 A 为集为集 E 的孤立点的孤立点E 的内部是什么的内部是什么？边界边界？聚点聚点？孤立点孤立点？思思考考D(3)开区域及闭区域开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集开集；若点集 E E,则称 E 为闭集闭集；若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的连通的;连通的开集称为开区域连通的开集称为开区域,简称区域简称区域;。E 的边界点的全体称为 E 的边界,记作E;例如，例如，在平面上开区域闭区域 整个平面 点集 是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.o 对区域 D,若存在正数 K,使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K,则称 D 为有界域有界域,界域界域.否则称为无无4.4.n 维空间维空间实数实数 x一一对应一一对应数轴点数轴点.数组数组(x,y)实数全体表示直线实数全体表示直线(一维空间一维空间)一一对应一一对应平面点平面点(x,y)全体表示平面全体表示平面(二维空间二维空间)数组数组(x,y,z)一一对应一一对应空间点空间点(x,y,z)全体表示空间全体表示空间(三维空间三维空间)推广推广：n 维数组维数组(x1,x2,xn)全体称为全体称为 n 维空间维空间，记为，记为回忆回忆n 元有序数组的全体称为 n 维空间维空间,n 维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第 k 个坐标坐标.记作即一个点点,当所有坐标称该元素为 中的零元零元,记作 O.的距离距离记作中点 a 的 邻域邻域为规定为 与零元 O 的距离为二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例:圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式1.二元函数二元函数点集点集 D-定义域，定义域，-值域值域.x、y-自变量，自变量，z-因变量因变量.与一元函数相类似，对于定义域与一元函数相类似，对于定义域约定约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.定义定义.设非空点集点集 D 称为函数的定义域定义域;数集称为函数的值域值域 .特别地,当 n=2 时,有二元函数当 n=3 时,有三元函数映射称为定义在 D 上的 n 元函数元函数,记作2.多元函数多元函数例例 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为3.3.二元函数二元函数 的图形的图形（如下页图）（如下页图）设函数设函数),(yxfz=的定义域为的定义域为 D，对于任意，对于任意 取定的取定的DyxP),(，对应的函数值为，对应的函数值为),(yxfz=.以以x为横坐标、为横坐标、y为纵坐标、为纵坐标、z为竖坐标在空为竖坐标在空 间就确定一点间就确定一点),(zyxM，当，当),(yx取遍取遍 D上一切上一切 点时，得一个空间点集点时，得一个空间点集 ),(),(|),(Dyxyxfzzyx=，这个点集称为二元函数的这个点集称为二元函数的 图形图形.二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.例如例如,图形如右图图形如右图.例如例如,左图球面左图球面.单值分支单值分支:三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义.设 n 元函数点,则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n=2 时,记二元函数的极限可写作：P0 是 D 的聚若存在常数 A,对一记作都有对任意正数 ,总存在正数,切二元函数的极限二元函数的极限几点说明：几点说明：（3 3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似（4）二重极限的）二重极限的几何意义几何意义：0，P0 的去心的去心 邻域邻域 U(P0,)。在在U(P0,)内，函数内，函数的图形总在平面的图形总在平面及及之间。之间。例例1.设求证：证证:故总有要证要证 另解另解解解:设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则有k 值不同极限不同值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.例例2.讨论函数仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.二重极限不同不同.如果它们都存在,则三者相等.例如例如,显然与累次极限但由例2 知它在(0,0)点二重极限不存在.练习练习 求求解解14/24解解其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故故此极限不存在此极限不存在确定二重极限确定二重极限不存在不存在的方法的方法：多元函数的极限不存在.“无穷多个方向”不等于“任意方向”.可利用方向性来判别 例例 求求解解似曾相识似曾相识似曾相识似曾相识 例例解解另解另解四四、多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义.设 n 元函数定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续,则称此函数在 D 上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称 n 元函数连续.连续,例如例如,函数在点(0,0)极限不存在,又如又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周结论结论:一切多元初等函数在定义区域内连续一切多元初等函数在定义区域内连续.多元初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四 则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表 示的多元函数叫示的多元函数叫多元初等函数多元初等函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域是指包含在定义域内的区域或闭区域在在定义区域内的定义区域内的连续点求极限可用连续点求极限可用“代入法代入法”：例例 求极限求极限 解解是多元初等函数。是多元初等函数。定义域：定义域：于是，于是，定理定理：若 f(P)在有界闭域 D 上连续,则在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m;(3)对任意(有界性定理有界性定理)(最值定理最值定理)(介值定理介值定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质如下性质:例例解解另解另解 例例解解利用重要极限利用重要极限例例 求极限求极限 解解其中其中例例解解由于极限存在应与的方式和方向无关,而上述结果与 k 值有关,故原极限不存在.2、多元函数极限的概念及求法、多元函数极限的概念及求法3、多元函数连续的概念；、多元函数连续的概念；4、多元初等函数的连续性；、多元初等函数的连续性；（注意趋近方式的注意趋近方式的任意性任意性）；）；五、小结五、小结1、多元函数的定义；、多元函数的定义；5、有界闭区域上连续函数的性质。、有界闭区域上连续函数的性质。练练 习习 题题 作业作业P11 5(2),(4),(6)6 (2),(3),(5),(6)7，8.Thank you拯畏怖汾关炉烹霉躲渠早膘岸缅兰辆坐蔬光膊列板哮瞥疹傻俘源拯割宜跟三叉神经痛-治疗三叉神经痛-治疗 拯畏怖汾关炉烹霉躲渠早膘岸缅兰辆坐蔬光膊列板哮瞥疹傻俘源拯割宜跟三叉神经痛-治疗三叉神经痛-治疗
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