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第六节第六节 微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线小结小结 思考题思考题 作业作业1设空间曲线的方程设空间曲线的方程三个函数均可导三个函数均可导.一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面考察割线趋近于考察割线趋近于极限位置极限位置切线的过程切线的过程割线割线 的方程为的方程为:点向式点向式(对称式对称式)参数式参数式2考察割线趋近于考察割线趋近于极限位置极限位置切线的过程切线的过程上式分母同除以上式分母同除以割线割线 的方程为的方程为空间直线的方程空间直线的方程3曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程切向量：切向量：切线的切线的方向向量方向向量称为曲线的切向量称为曲线的切向量.法平面：法平面：过过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.重要结论重要结论4解解切线方程切线方程法平面方程法平面方程51.1.空间曲线方程为空间曲线方程为法平面方程为法平面方程为特殊地：特殊地：672.2.空间曲线方程为空间曲线方程为两边分别对两边分别对x求全导数求全导数及及T切线方程为？切线方程为？法平面方程为法平面方程为?隐函数存在定理隐函数存在定理8切线方程为切线方程为法平面方程为法平面方程为第二种情况中的三个雅可比行列式第二种情况中的三个雅可比行列式910所求所求切线方程切线方程为为法平面方程法平面方程为为11解解例例312利用公式利用公式13设曲面方程为设曲面方程为在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点M的曲线的曲线二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线隐式隐式14令令则则切平面方程为切平面方程为曲线在曲线在M处处的切向量的切向量15作业：作业：P P100100 3 3，6 6，8 8，1010下次课请预习：第八节下次课请预习：第八节16设曲面方程为设曲面方程为在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点M的曲线的曲线二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线隐式隐式17令令则则切平面方程为切平面方程为曲线在曲线在M处处的切向量的切向量18法线方程为法线方程为曲面在曲面在M处的法向量即处的法向量即垂直于曲面上垂直于曲面上切平面切平面的向量称为曲面的的向量称为曲面的法向量法向量.19特殊地特殊地：空间曲面方程形为空间曲面方程形为曲面在曲面在M处的处的切平面方程切平面方程为为曲面在曲面在M处的处的法线方程法线方程为为令令显式显式 曲面的法曲面的法向量向量 法线的方法线的方向向量向向量20切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量因为曲面在因为曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为21其中其中22解解切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为23解解 令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程24空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线（当空间曲线方程为一般式时，求切向（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用量注意采用推导法推导法）（求法向量的方向余弦时注意（求法向量的方向余弦时注意符号符号）三、小结三、小结271.【几何应用几何应用】一般式一般式 推导推导空间曲线空间曲线有有切线切线和和法平面法平面切向量切向量空间曲线空间曲线空间曲面空间曲面有有切平面切平面和和法线法线法向量法向量空间曲面空间曲面28思考题思考题29思考题解答思考题解答设切点设切点依题意知法向量为依题意知法向量为切点满足曲面和平面方程切点满足曲面和平面方程30【练习】【练习】【分析】【分析】隐函数，含抽象函数、复合函数隐函数，含抽象函数、复合函数.【解【解】公式法公式法x,y,z.地地位位等等同同31【解【解】推导法推导法（直接法）（直接法）【例】【例】【分析】【分析】隐函数，含抽象函数、复合函数隐函数，含抽象函数、复合函数.z是是x,y的的函数函数两边同时对两边同时对y求导求导32作业：作业：P P100100 T3 T6 T3 T6 T8 T10 T8 T10下次课请预习：第八节下次课请预习：第八节33
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