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第十章第十章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重 积 分 2020/12/121三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节第一节一、问题的提出一、问题的提出 二、二重积分的概念二、二重积分的概念 四、小结四、小结 思考题思考题 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质 2020/12/122精品资料你怎么称呼老师？如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你是否会认为老师的教学方法需要改进？你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？教师的教鞭“不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我笨，没有学问无颜见爹娘”“太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早”柱体体积柱体体积=底面积底面积 高高特点：平顶特点：平顶.柱体体积柱体体积=？特点：曲顶特点：曲顶.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出一、问题的提出2020/12/125播放播放 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、分割、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示2020/12/126解法解法:类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想:1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体给定曲顶柱体:底：底：xoy 面上的闭区域面上的闭区域 D顶顶:连续曲面连续曲面侧面：侧面：以以 D 的边界为准线的边界为准线,母线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面求其体积求其体积.“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求求 极限极限”机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/12131)“大化小大化小”用用任意任意曲线网分曲线网分D为为 n 个区域个区域以它们为底把曲顶柱体分为以它们为底把曲顶柱体分为 n 个个2)“常代变常代变”在每个在每个3)“3)“近似和近似和”则则中中任取任取一点一点小曲顶柱体小曲顶柱体机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/12144)“4)“取极限取极限”令令机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/12152.平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片有一个平面薄片,在在 xoy 平面上占有区域平面上占有区域 D,计算该薄片的质量计算该薄片的质量 M.度为度为设设D 的面积为的面积为 ,则则若若非常数非常数,仍可用仍可用其面密其面密“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求求 极限极限”解决解决.1)“大化小大化小”用用任意任意曲线网分曲线网分D 为为 n 个小区域个小区域相应把薄片也分为小区域相应把薄片也分为小区域.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/12162)“常代变常代变”中中任取任取一点一点3)“近似和近似和”4)“取极限取极限”则第则第 k 小块的质量小块的质量机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/1217两个问题的两个问题的共性共性：(1)解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同所求量的结构式相同“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,取极限取极限”曲顶柱体体积曲顶柱体体积:平面薄片的质量平面薄片的质量:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/1218二、二重积分的概念二、二重积分的概念定义定义:将区域将区域 D 任意任意分成分成 n 个小区域个小区域任取任取一点一点若存在一个常数若存在一个常数 I,使使可积可积,在在D上的上的二重积分二重积分.积分和积分和积分域积分域被积函数被积函数积分表达式积分表达式面积元素面积元素记作记作是定义在有界区域是定义在有界区域 D上的有界函数上的有界函数,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/1219 在直角坐标系下用平在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划行于坐标轴的直线网来划分区域分区域D D，故二重积分可写为故二重积分可写为D D则面积元素为则面积元素为机动 目录 上页 下页 返回 结束 2020/12/1220引例引例1中曲顶柱体体积中曲顶柱体体积:引例引例2中平面薄板的质量中平面薄板的质量:如果如果 在在D上可积上可积,也常也常二重积分记作二重积分记作这时这时分区域分区域D,因此面积元素因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划可用平行坐标轴的直线来划 记作记作机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/1221二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数若函数定理定理2.(证明略证明略)定理定理1.在在D上可积上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续限个点或有限个光滑曲线外都连续,积积.在有界闭区域在有界闭区域 D上连续上连续,则则若有界函数若有界函数在有界闭区域在有界闭区域 D 上除去有上除去有 例如例如,在在D:上二重积分存在上二重积分存在;在在D 上上 二重积分不存在二重积分不存在.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/1222对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/1223性质性质当当 为常数时为常数时，性质性质（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质2020/12/1224性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质 若若 为为D的面积，的面积，性质性质 若在若在D上上特殊地特殊地则有则有2020/12/1225性质性质性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）2020/12/1226解解2020/12/1227解解2020/12/1228解解2020/12/1229解解2020/12/1230例例5.比较下列积分的大小比较下列积分的大小:其中其中解解:积分域积分域 D 的边界为圆周的边界为圆周它与它与 x 轴交于点轴交于点(1,0),而域而域 D 位位从而从而于直线的上方于直线的上方,故在故在 D 上上 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/1231例例6.估计下列积分之值估计下列积分之值解解:D 的面积为的面积为由于由于积分性质积分性质5即即:1.96 I 2D机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/1232注注：设函数：设函数D 位于位于 x 轴上方的部分为轴上方的部分为D1,当区域关于当区域关于 y 轴对称轴对称,函数关于变量函数关于变量 x 有奇偶性时有奇偶性时,仍仍在在 D 上上在闭区域上连续在闭区域上连续,域域D 关于关于x 轴对称轴对称,则则则则有类似结果有类似结果.在第一象限部分在第一象限部分,则有则有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/1233二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（和式的极限）（和式的极限）四、小结四、小结2020/12/1234思考题思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处找出它们的相同之处与不同之处.2020/12/1235 定积分与二重积分都表示某个和式的极限定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数上的二元函数思考题解答思考题解答2020/12/1236被积函数被积函数相同相同,且且非负非负,思考与练习思考与练习解解:由它们的积分域范围可知由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系比较下列积分值的大小关系:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/12372.设设D 是第二象限的一个有界闭域是第二象限的一个有界闭域,且且 0 y 1,则则的大小顺序为的大小顺序为()提示提示:因因 0 y 1,故故故在故在D上有上有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/12383.证明证明:其中其中D 为为解解:又又 D 的面积为的面积为 1,故结论成立故结论成立.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/1239练练 习习 题题2020/12/12402020/12/12412020/12/1242练习题答案练习题答案2020/12/1243第二节第二节二重积分的计算法二重积分的计算法(1)二、小结二、小结 思考题思考题一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分2020/12/1244如果积分区域为：如果积分区域为：其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分X型型2020/12/1245应用计算应用计算“平行截面平行截面面积为已知的立体面积为已知的立体求体积求体积”的方法的方法,得得2020/12/1246如果积分区域为：如果积分区域为：Y型型2020/12/1247 X型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，若区域如图，在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式则必须分割则必须分割.2020/12/1248例例1.计算计算其中其中D 是直线是直线 y1,x2,及及yx 所围的闭区域所围的闭区域.解法解法1.将将D看作看作X型区域型区域,则则解法解法2.将将D看作看作Y型区域型区域,则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/1249例例2.计算计算其中其中D 是抛物线是抛物线所围成的闭区域所围成的闭区域.解解:为计算简便为计算简便,先对先对 x 后对后对 y 积分积分,及直线及直线则则 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/1250例例3.计算计算其中其中D 是直线是直线 所围成的闭区域所围成的闭区域.解解:由被积函数可知由被积函数可知,因此取因此取D 为为X 型域型域:先对先对 x 积分不行积分不行,说明说明:有些二次积分为了积分方便有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序还需交换积分顺序.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/1251解解积分区域如图积分区域如图2020/12/1252例例5.交换下列积分顺序交换下列积分顺序解解:积分域由两部分组成积分域由两部分组成:视为视为Y型区域型区域,则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/1253例例6.计算计算其中其中D 由由所围成所围成.解解:令令(如图所示如图所示)显然显然,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/1254例例7.求两个底圆半径为求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积的直角圆柱面所围的体积.解解:设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为利用对称性利用对称性,考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/1255解解 曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图.2020/12/12562020/12/1257二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）二、小结二、小结Y型型X型型2020/12/1258练练 习习 题题2020/12/12592020/12/12602020/12/12612020/12/1262练习题答案练习题答案2020/12/12632020/12/1264第二节第二节二重积分的计算法二重积分的计算法(2)二、小结二、小结 思考题思考题一、利用极坐标计算二重积分一、利用极坐标计算二重积分2020/12/1265一、利用极坐标系计算二重积分一、利用极坐标系计算二重积分2020/12/1266二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图2020/12/1267区域特征如图区域特征如图2020/12/1268二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图2020/12/1269极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图2020/12/1270若若 f 1 则可求得则可求得D 的面积的面积思考思考:下列各图中域下列各图中域 D 分别与分别与 x,y 轴相切于原点轴相切于原点,试试答答:问问 的变化范围是什么的变化范围是什么?(1)(2)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/1271例例1.计算计算其中其中解解:在极坐标系下在极坐标系下原式原式的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数,故本题无法用直角故本题无法用直角由于由于故故坐标计算坐标计算.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/1272注注:利用例利用例1可得到一个在概率论与数理统计及工程上可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式非常有用的反常积分公式事实上事实上,当当D 为为 R2 时时,利用例利用例1的结果的结果,得得故故式成立式成立.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/1273解解2020/12/1274解解2020/12/1275解解2020/12/1276例例5.求球体求球体被圆柱面被圆柱面所截得的所截得的(含在柱面内的含在柱面内的)立体的体积立体的体积.解解:设设由对称性可知由对称性可知机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/1277二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性）二、小结二、小结2020/12/1278练练 习习 题题2020/12/12792020/12/12802020/12/1281练习题答案练习题答案2020/12/12822020/12/1283第三、四节第三、四节一、三重积分的概念三重积分的概念 二、直角坐标系下三重积分的计算二、直角坐标系下三重积分的计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分(1)三、小结三、小结 思考题思考题2020/12/1284一、三重积分的概念一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想类似二重积分解决问题的思想,采用采用 引例引例:设在空间有限闭区域设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的内分布着某种不均匀的物质物质,求分布在求分布在 内的物质的内的物质的可得可得“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求极限求极限”解决方法解决方法:质量质量 M.密度函数为密度函数为机动 目录 上页 下页 返回 结束 2020/12/1285定义定义.设设存在存在,称为称为体积元素体积元素,若对若对 作作任意分割任意分割:任意取点任意取点则称此极限为函数则称此极限为函数在在 上的上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似三重积分的性质与二重积分相似.性质性质:例如例如 下列下列“乘乘中值定理中值定理.在有界闭域在有界闭域 上连续上连续,则存在则存在使得使得V 为为 的的体积体积,积和式积和式”极限极限记作记作机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/1286二、直角坐标系下三重积分的计算二、直角坐标系下三重积分的计算方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)方法方法2.截面法截面法(“先二后一先二后一”)方法方法3.三次积分法三次积分法 先假设连续函数先假设连续函数 并将它看作某物体并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算通过计算该物体的质量引出下列各计算最后最后,推广到一般可积函数的积分计算推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数的密度函数,方法方法:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/1287方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)该物体的质量为该物体的质量为细长柱体微元的质量为细长柱体微元的质量为微元线密度微元线密度记作记作机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/1288方法方法2.截面法截面法(“先二后一先二后一”)为底为底,d z 为高的柱形薄片质量为为高的柱形薄片质量为该物体的质量为该物体的质量为面密度面密度记作记作机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/1289投影法投影法方法方法3.三次积分法三次积分法设区域设区域利用投影法结果利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得把二重积分化成二次积分即得:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/1290小结小结:三重积分的计算方法三重积分的计算方法方法方法1.“先一后二先一后二”方法方法2.“先二后一先二后一”方法方法3.“三次积分三次积分”具体计算时应根据具体计算时应根据三种方法三种方法(包含包含12种形式种形式)各有特点各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择被积函数及积分域的特点灵活选择.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/1291解解2020/12/12922020/12/12932020/12/12942020/12/1295其中其中 为三个坐标为三个坐标例例3.计算三重积分计算三重积分所围成的闭区域所围成的闭区域.解解:面及平面面及平面机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/1296例例4.计算三重积分计算三重积分解解:用用“先二后一先二后一”机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/1297补充：利用对称性化简三重积分计算补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性奇偶性2020/12/1298解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的的奇函数奇函数,2020/12/1299三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素在直角坐标系下的体积元素（计算时将三重积分化为三次积分）（计算时将三重积分化为三次积分）三、小结三、小结2020/12/12100思考题思考题1选择题选择题:2020/12/121012020/12/12102思考题思考题22020/12/12103练练 习习 题题2020/12/121042020/12/121052020/12/12106练习题答案练习题答案2020/12/121072020/12/12108第三、四节第三、四节一、利用柱面坐标计算三重积分、利用柱面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分(2)三、小结三、小结 思考题思考题2020/12/12109二、利用柱面坐标计算三重积分二、利用柱面坐标计算三重积分规定：规定：2020/12/12110 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面2020/12/12111如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系中的体积元素为中的体积元素为2020/12/12112例例1.计算三重积分计算三重积分所围成所围成.与平面与平面其中其中 由抛物面由抛物面机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/12113解答解答:计算三重积分计算三重积分解解:在柱面坐标系下在柱面坐标系下所围成所围成.与平面与平面其中其中 由抛物面由抛物面原式原式=机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/12114解解知交线为知交线为2020/12/121152020/12/12116其中其中 为由为由练习题练习题:计算三重积分计算三重积分所围所围及平面及平面柱面柱面成半圆柱体成半圆柱体.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/12117其中其中 为由为由解答解答:计算三重积分计算三重积分所围所围解解:在柱面坐标系下在柱面坐标系下及平面及平面柱面柱面成半圆柱体成半圆柱体.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/12118三、利用球面坐标计算三重积分三、利用球面坐标计算三重积分2020/12/12119规定：规定：如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面2020/12/12120球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为如图，如图，2020/12/12121球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为如图，如图，2020/12/121222020/12/121232020/12/121242020/12/12125解解2020/12/121262020/12/12127例例5.设设 由锥面由锥面和球面和球面所围成所围成,计算计算提示提示:利用对称性利用对称性用球坐标用球坐标 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/12128（1）柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素（2）球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素（3）对称性简化运算对称性简化运算三重积分换元法三重积分换元法柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标四、小结四、小结2020/12/12129内容小结内容小结积分区域积分区域多由坐标面多由坐标面被积函数被积函数形式简洁形式简洁,或或坐标系坐标系 体积元素体积元素 适用情况适用情况直角坐标系直角坐标系柱面坐标系柱面坐标系球面坐标系球面坐标系*说明说明:三重积分也有类似二重积分的三重积分也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式:对应雅可比行列式为对应雅可比行列式为变量可分离变量可分离.围成围成;机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/12130练练 习习 题题2020/12/121312020/12/121322020/12/121332020/12/12134练习题答案练习题答案2020/12/121352020/12/121362020/12/12137第五节第五节一、立体体积一、立体体积 二、曲面的面积二、曲面的面积 三、物体的质心三、物体的质心 四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量 五、物体的引力五、物体的引力 机动 目录 上页 下页 返回 结束 重积分的应用 2020/12/121381.能用重积分解决的实际问题的能用重积分解决的实际问题的特点特点所求量是所求量是 对区域具有可加性对区域具有可加性 从定积分定义出发从定积分定义出发 建立积分式建立积分式 用微元分析法用微元分析法(元素法元素法)分布在有界闭域上的整体量分布在有界闭域上的整体量 3.解题解题要点要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便定出积分限、计算要简便 2.用重积分解决问题的用重积分解决问题的方法方法 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/12139一、立体体积一、立体体积 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面的顶为连续曲面则其体积为则其体积为 占有占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为的立体的体积为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/12140解解 曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图.2020/12/121412020/12/12142例例2.求半径为求半径为a 的球面与半顶角为的球面与半顶角为 的的内接锥面所围成的立体的体积内接锥面所围成的立体的体积.解解:在球坐标系下空间立体所占区域为在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为则立体体积为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/12143二、曲面的面积二、曲面的面积设光滑曲面设光滑曲面则面积则面积 A 可看成曲面上各点可看成曲面上各点处小切平面的面积处小切平面的面积 d A 无限积累而成无限积累而成.设它在设它在 D 上的投影为上的投影为 d ,(称为面积元素称为面积元素)则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/12144故有曲面面积公式故有曲面面积公式若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为则有则有即即机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/12145若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式若光滑曲面方程为隐式则则则有则有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/12146例例3.计算双曲抛物面计算双曲抛物面被柱面被柱面所截所截解解:曲面在曲面在 xoy 面上投影为面上投影为则则出的面积出的面积 A.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/12147解解2020/12/121482020/12/12149三、物体的质心三、物体的质心设空间有设空间有n个质点个质点,其质量分别其质量分别由力学知由力学知,该质点系的质心坐标该质点系的质心坐标设物体占有空间域设物体占有空间域 ,有连续密度函数有连续密度函数则则 公式公式,分别位于分别位于为为为为即即:采用采用“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,取极限取极限”可导出其质心可导出其质心 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/12150将将 分成分成 n 小块小块,将第将第 k 块看作质量集中于点块看作质量集中于点例如例如,令各小区域的最大直径令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点的质点,即得即得此质点此质点在第在第 k 块上任取一点块上任取一点机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/12151同理可得同理可得则得则得形心坐标形心坐标：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/12152若物体为占有若物体为占有xoy 面上区域面上区域 D 的平面薄片的平面薄片,(A 为为 D 的面积的面积)得得D 的的形心坐标形心坐标:则它的质心坐标为则它的质心坐标为其面密度其面密度 对对 x 轴的轴的 静矩静矩 对对 y 轴的轴的 静矩静矩机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/12153例例5.求位于平面求位于平面和和的质心的质心.解解:利用对称性可知利用对称性可知而而之间均匀薄片之间均匀薄片机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/12154四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量设物体占有空间区域设物体占有空间区域 ,有连续分布的密度函数有连续分布的密度函数该物体位于该物体位于(x,y,z)处的处的微元微元 因此物体因此物体 对对 z 轴轴 的转动惯量的转动惯量:对对 z 轴的转动惯量为轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故故 连续体的转动惯量可用积分计算连续体的转动惯量可用积分计算.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/12155类似可得类似可得:对对 x 轴的转动惯量轴的转动惯量对对 y 轴的转动惯量轴的转动惯量对原点的转动惯量对原点的转动惯量机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/12156如果物体是平面薄片如果物体是平面薄片,面面密度为密度为则转动惯量的表达式是二重积分则转动惯量的表达式是二重积分.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/12157例例6.求半径为求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径的均匀半圆薄片对其直径解解:建立坐标系如图建立坐标系如图,半圆薄片的质量半圆薄片的质量的转动惯量的转动惯量.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/12158解解:取球心为原点取球心为原点,z 轴为轴为 L轴轴,则则球体的质量球体的质量例例7.7.求均匀球体对于过球心的一条轴求均匀球体对于过球心的一条轴 L的转动惯量的转动惯量.设球设球 所占域为所占域为(用球坐标用球坐标)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/12159 G 为引力常数为引力常数五、物体的引力五、物体的引力设物体占有空间区域设物体占有空间区域 ,物体对位于原点的单位质量质点的引力物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法利用元素法,在在 上上积分即得各引力分量积分即得各引力分量:其密度函数其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为引力元素在三坐标轴上的投影分别为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/12160对对 xoy 面上的平面薄片面上的平面薄片D,它对原点处的单位质量质点它对原点处的单位质量质点的引力分量为的引力分量为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/12161例例8.设面密度为设面密度为,半径为半径为R的圆形薄片的圆形薄片求它对位于点求它对位于点解解:由对称性知引力由对称性知引力处的单位质量质点的引力处的单位质量质点的引力.。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2020/12/12162几何应用：曲面的面积几何应用：曲面的面积、曲体的体积曲体的体积物理应用：重心、转动惯量、物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）（注意审题，熟悉相关物理知识）六、小结六、小结2020/12/12163练练 习习 题题2020/12/121642020/12/12165练习题答案练习题答案2020/12/12166
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