重积分的应用课件

8.4 重积分应用重积分应用8.4.2 重积分在物理上的应用重积分在物理上的应用8.4.1 重积分在几何上的应用重积分在几何上的应用8.4.1 重积分在几何上的应用重积分在几何上的应用1.二重二重积分的元素法积分的元素法设设在闭区域在闭区域似地表示为似地表示为上连续，类似于定积分上连续，类似于定积分的元素法，若要计算的某个变量的元素法，若要计算的某个变量对于闭区域对于闭区域有可加性，在闭区域有可加性，在闭区域内任取一个直径很小的闭区内任取一个直径很小的闭区域域（也表示该区域的面积）时，相应部分量可近（也表示该区域的面积）时，相应部分量可近的形式，其中的形式，其中具具这个这个称为所求量称为所求量的元素，记为的元素，记为，所求量，所求量的积分表达式为的积分表达式为2.曲面的面积曲面的面积的方程为：的方程为：设曲面设曲面以以截曲面截曲面S为为dS，的边界为准线的边界为准线母线平行于母线平行于S的面积元素的面积元素得曲面面积公式为：得曲面面积公式为：或或曲面面积公式曲面面积公式设曲面方程为：设曲面方程为：类似可得曲面面积公式分别为：类似可得曲面面积公式分别为：或或例例1 求求球面球面2222azyx=+，含在圆柱面，含在圆柱面axyx=+22内部的面积内部的面积A。解解由于由于 例例2 求底圆半径相等的两个直交圆柱面求底圆半径相等的两个直交圆柱面 所围立体的表面积所围立体的表面积.解解 因第一卦限部分的表面积由两个相同部分因第一卦限部分的表面积由两个相同部分构成，故只需求出一个部分的表面积，再乘构成，故只需求出一个部分的表面积，再乘16即即得所求的表面积得所求的表面积.的差是的差是2 2米，假设水平面米，假设水平面例例3 在海湾中的一个小岛的陆地高度在海湾中的一个小岛的陆地高度小岛在涨潮与落潮时小岛在涨潮与落潮时露出水面的面积是变化的，海潮的高潮与低潮之间露出水面的面积是变化的，海潮的高潮与低潮之间解解 本题实质是求曲面面积问题本题实质是求曲面面积问题.由题设可知由题设可知,对应于低潮的位置对应于低潮的位置.求求高潮与低潮时的小岛露出水面的面积之比。高潮与低潮时的小岛露出水面的面积之比。（单位为米），（单位为米），关键是找到高潮和低潮时的关键是找到高潮和低潮时的，低潮时，低潮时，；高潮时；高潮时。于是。于是由由，得到，得到由由，得到，得到用极坐标计算：用极坐标计算：面积比面积比 练习练习1 求半径为求半径为的球的表面积。的球的表面积。练习练习2 设有一颗地球同步轨道通讯卫星，距地设有一颗地球同步轨道通讯卫星，距地面的高度为面的高度为运行的角速度与地球自转运行的角速度与地球自转的角速度相同的角速度相同.试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值表面积的比值(地球半径地球半径)。其中其中 为该质点系的总质量为该质点系的总质量.分别为质点系对分别为质点系对轴、轴、轴的静矩轴的静矩.8.4.2 重积分在物理上的应用重积分在物理上的应用1.质心质心平面上有平面上有个质点，它们分别位于个质点，它们分别位于处，质量分别为处，质量分别为 则该质点系的则该质点系的质心质心的坐标为的坐标为 设设当薄片是均匀的，质心称为当薄片是均匀的，质心称为形心形心.*设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有面上的闭区域面上的闭区域在点在点处的面密度为处的面密度为，假定，假定 上连续，求平面薄片的质心。上连续，求平面薄片的质心。在在占有空间有界闭区域占有空间有界闭区域、在点、在点处的处的密度为密度为的物体的质心坐标的物体的质心坐标其中其中例例4 求位于两圆求位于两圆均匀均匀薄片的形心坐标。薄片的形心坐标。和和之间的之间的解解 闭区域闭区域轴上轴上,即即对称于对称于轴轴,所以质心所以质心必在必在且且所求质心为所求质心为例例5 设设球体占有闭区域球体占有闭区域对称性可知其质心坐标对称性可知其质心坐标它在内部各点处的密度大小等于该点到坐标原点的它在内部各点处的密度大小等于该点到坐标原点的为正常数。为正常数。距离的平方。求该球体的质心。距离的平方。求该球体的质心。解解 由题意可知由题意可知,又由又由中的中的而而所求球体的质心坐标为所求球体的质心坐标为 练习练习5 在球心位于原点，半径为在球心位于原点，半径为的均匀半的均匀半球体靠圆形平面的一侧，拼接一个底半径与球半径球体靠圆形平面的一侧，拼接一个底半径与球半径练习练习4 求均匀半球体的求均匀半球体的质心。质心。练习练习3 设有一等腰直角三角形薄片，腰长为设有一等腰直角三角形薄片，腰长为平方，求这薄片的质心。平方，求这薄片的质心。各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的相等的材料相同的圆柱体，并使拼接后整个物体的相等的材料相同的圆柱体，并使拼接后整个物体的质心在球心，试确定圆柱体的高。质心在球心，试确定圆柱体的高。2.转动惯量转动惯量则该质点系对于则该质点系对于设设平面上有平面上有个质点，它们分别位于个质点，它们分别位于处，质量分别为处，质量分别为 轴和轴和 转动惯量转动惯量依次为依次为 轴的轴的薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量*,在点在点 设有一薄片，占有设有一薄片，占有面上的闭区域面上的闭区域，假定，假定处的面密度为处的面密度为在在轴和轴和 上连续，求薄片对于上连续，求薄片对于轴的转动惯量。轴的转动惯量。占有空间有界闭区域占有空间有界闭区域、在点、在点处的密度处的密度为为的物体对的物体对轴轴和坐标原点和坐标原点的的转动转动惯量为惯量为例例6 求半径为求半径为的均匀半圆薄片对于其直径边的均匀半圆薄片对于其直径边的的转动惯量转动惯量（面密度为常量（面密度为常量）。）。解解 薄片所占区域薄片所占区域所求所求转动惯量即转动惯量即半圆薄片对于半圆薄片对于轴的轴的转动惯量转动惯量其中其中为半圆薄片的质量为半圆薄片的质量.例例7 在例在例5中，求球体对于中，求球体对于轴的转动轴的转动惯惯量。量。解解的转动的转动惯惯量。量。条轴条轴练习练习8 求由曲线求由曲线值（面密度为值（面密度为1）.成的均匀薄板绕成的均匀薄板绕 轴和直线轴和直线所围所围旋转的转动惯量旋转的转动惯量的最小的最小练习练习6 求密度为求密度为的均匀球体对于过球心的一的均匀球体对于过球心的一练习练习7 求半径为求半径为过中心而平行于母线的轴的转动惯量（密度过中心而平行于母线的轴的转动惯量（密度高为高为的均匀圆柱体对于的均匀圆柱体对于薄片对薄片对为引力常数。为引力常数。平面薄片对质点的引力平面薄片对质点的引力设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有面上的闭区域面上的闭区域，假定，假定 在点在点处的面密度为处的面密度为上连续，计算该平面薄片对位于上连续，计算该平面薄片对位于 在在 轴上的点轴上的点 处的单位质点的处的单位质点的引力引力 轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力3.引力引力，这一小块物体的质量近似为，这一小块物体的质量近似为这一小块物体对位于这一小块物体对位于质点的引力近似为质点的引力近似为上任取一直径很小的闭区域上任取一直径很小的闭区域 在闭区域在闭区域处的单位质量的处的单位质量的设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有面上的闭区域面上的闭区域，假定，假定 在点在点处的面密度为处的面密度为上连续，计算该平面薄片对位于上连续，计算该平面薄片对位于薄片外一点薄片外一点在在处的单位质点的处的单位质点的引力引力 其中其中分别为引力元素分别为引力元素在两个坐标在两个坐标轴上的分量，轴上的分量，数。将数。将在在上分别积分，得上分别积分，得为引力常为引力常讨论空间一物体对于物体外一点讨论空间一物体对于物体外一点处的处的单位质量的质点的引力问题单位质量的质点的引力问题.设物体占有空间有界区域设物体占有空间有界区域，它在点，它在点处的处的密度为密度为小区域小区域这一这一小块物体的质量近似为小块物体的质量近似为这一小块物体对位于这一小块物体对位于处的单位质量的质点的引力近似为处的单位质量的质点的引力近似为空间物体对质点的引力空间物体对质点的引力其中其中为引力元素为引力元素在三个坐标在三个坐标轴上的分量，轴上的分量，为引力常数为引力常数.将将在在上分别积分，得上分别积分，得例例8 设均匀柱体的密度为设均匀柱体的密度为，占有闭区域占有闭区域求它对位于点求它对位于点处的单位质量的质点的引力。处的单位质量的质点的引力。解解 由对称性可知引力由对称性可知引力所以所以练习练习10 设半径为设半径为的匀质球占有空间闭区域的匀质球占有空间闭区域求它对于位于求它对于位于处的单位质量的质点的引力处的单位质量的质点的引力.练习练习9 求面密度为常量、半径为求面密度为常量、半径为R的均匀圆的均匀圆 形薄片：形薄片：，0=z对位于对位于 z 轴上的点轴上的点),0,0(0aM处的单位质点的引力处的单位质点的引力)0(a 练习练习1 求半径为求半径为的球的表面积的球的表面积.解解 上半球面方程为上半球面方程为则它在则它在面上的投影区域面上的投影区域因为这函数在闭区域因为这函数在闭区域上无界，不能直接应用曲上无界，不能直接应用曲面面积公式面面积公式.先取区域先取区域为积分区域，算出为积分区域，算出上的球面面积上的球面面积再取再取的极限就得半球面的面积的极限就得半球面的面积.故整个球面的面积为故整个球面的面积为解解 取地心为坐标原点，地心取地心为坐标原点，地心建立坐标系，如图，建立坐标系，如图，通讯卫星覆盖的曲面通讯卫星覆盖的曲面是上半是上半球面被半顶角为球面被半顶角为的圆锥面所截的圆锥面所截得的部分得的部分.的方程为的方程为到通讯卫星中心的连线为到通讯卫星中心的连线为轴，轴，练习练习2 设有一颗地球同步轨道通讯卫星，距地设有一颗地球同步轨道通讯卫星，距地面的高度为面的高度为运行的角速度与地球自转运行的角速度与地球自转的角速度相同的角速度相同.试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值表面积的比值(地球半径地球半径).在在面上的投影区域为面上的投影区域为于是通讯卫星的覆盖面积为于是通讯卫星的覆盖面积为由于由于代入上式得代入上式得由此得该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为由此得该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为 解解 如图建立直角坐标系，如图建立直角坐标系，练习练习3 设有一等腰直角三角形薄片，腰长为设有一等腰直角三角形薄片，腰长为平方，求这薄片的质心。平方，求这薄片的质心。各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的则薄片上任一点则薄片上任一点处的面密度为处的面密度为练习练习4 求均匀半球体的求均匀半球体的质心。质心。解解 取半球体的对称轴为取半球体的对称轴为轴，原点取在球心上轴，原点取在球心上又设球半径为又设球半径为，则半球体所占空间闭区域，则半球体所占空间闭区域显然，质心在显然，质心在轴上，故轴上，故其中其中为半球体的体积为半球体的体积因此，因此，质心为质心为练习练习5 在球心位于原点，半径为在球心位于原点，半径为的均匀半的均匀半相等的材料相同的圆柱体，并使拼接后整个物体的相等的材料相同的圆柱体，并使拼接后整个物体的解解 如图建立直角坐标系，如图建立直角坐标系，满足满足质心在球心，试确定圆柱体的高。质心在球心，试确定圆柱体的高。球体靠圆形平面的一侧，拼接一个底半径与球半径球体靠圆形平面的一侧，拼接一个底半径与球半径设圆柱体的高为设圆柱体的高为质心坐标质心坐标于是于是是整个物体的体积是整个物体的体积.令令故所求圆柱体的高为故所求圆柱体的高为得得解解 取球心为坐标原点，取球心为坐标原点，轴与轴轴与轴重合，又设球重合，又设球的半径为的半径为则球体所占空间闭区域则球体所占空间闭区域所求转动惯量即球体对于所求转动惯量即球体对于轴的转动惯量为轴的转动惯量为的转动的转动惯惯量。量。条轴条轴练习练习6 求密度为求密度为的均匀球体对于过球心的一的均匀球体对于过球心的一其中其中为球体的质量为球体的质量.解解 如图建立坐标系，如图建立坐标系，轴的轴的转动惯量，于是转动惯量，于是其中其中练习练习7 求半径为求半径为过中心而平行于母线的轴的转动惯量（密度过中心而平行于母线的轴的转动惯量（密度高为高为的均匀圆柱体对于的均匀圆柱体对于则问题转化为对则问题转化为对练习练习8 求由曲线求由曲线值（面密度为值（面密度为1）.成的均匀薄板绕成的均匀薄板绕 轴和直线轴和直线所围所围旋转的转动惯量旋转的转动惯量的最小的最小解解 转动惯量转动惯量是是的函数的函数.令令得得 又又取极小值（驻点取极小值（驻点故此时故此时唯一），且为最小值唯一），且为最小值.解解由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知练习练习9 求面密度为常量、半径为求面密度为常量、半径为R的均匀圆的均匀圆形薄片：形薄片：222Ryx=+，0=z对位于对位于 z 轴上的点轴上的点),0,0(0aM处的单位质点的引力处的单位质点的引力)0(a 所求引力为所求引力为练习练习10设半径为设半径为的匀质球占有空间闭区域的匀质球占有空间闭区域求它对于位于求它对于位于处的单位质量的质点的引力处的单位质量的质点的引力.解解 设球的密度为设球的密度为量分布的均匀性知量分布的均匀性知由球体的对称性及质由球体的对称性及质所求引力沿所求引力沿轴的分量为轴的分量为其中其中为球的质量为球的质量.设小区域设小区域任取点任取点的质的质量近似为量近似为静矩元素分别为静矩元素分别为这些元素在这些元素在又知薄片的质量为又知薄片的质量为上积分，得上积分，得 所以，薄片的质心坐标为所以，薄片的质心坐标为设小区域设小区域任取点任取点的质的质量近似为量近似为薄片对于薄片对于的转动惯量的转动惯量元素分别为元素分别为这些元素在这些元素在上积分，得上积分，得 轴，轴，轴和坐标原点轴和坐标原点