随机变量的方差课件

一、离散型随机变量的均值一、离散型随机变量的均值(数学期望数学期望数学期望数学期望)二、离散型随机变量均值的线性性质二、离散型随机变量均值的线性性质三、两点分布与二项分布的均值三、两点分布与二项分布的均值E(XE(X)X X服从两点分布服从两点分布X X 已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X X1 1、X X2 2、的分布列如下：的分布列如下：试比较两名射手的射击水平试比较两名射手的射击水平.X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.4 显然两名选手显然两名选手的水平是不同的的水平是不同的,这里要进一步去这里要进一步去分析他们的成绩分析他们的成绩的稳定性的稳定性.探究探究 一组一组数据的方差：数据的方差：方差反映了这组数据的方差反映了这组数据的波动情况波动情况 在一在一组组数：数：x x1 1,x x2 2 ,x xn n 中，各数据的平均数为中，各数据的平均数为 ，则这组数据的方差为：，则这组数据的方差为：类似于这个概念类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差我们可以定义随机变量的方差.新课新课 离散型离散型随机变量取值的方差和标准差随机变量取值的方差和标准差:一般地一般地,若离散型随机变量若离散型随机变量 的概率分布列为：的概率分布列为：称称为随机变量为随机变量 的的标准差标准差.则称则称为随机变量为随机变量 的的方差方差.它们都是反映离散型随机变量它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度偏离于均值的平均程度的量，的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值集中于均值.1.1.已知随机变量已知随机变量 的分布列的分布列 01234P0.10.20.40.20.1求求D 和和.解：解：试比较两名射手的射击水平试比较两名射手的射击水平.2 2、已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数、已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X X1 1、X X2 2的分布列如下：的分布列如下：X X18910P0.20.60.2X X28910P0.40.20.4结论结论1：则则 ;结论结论2：若：若B(n，p)，则，则E=np.可以证明可以证明,对于方差有下面两个重要性质：对于方差有下面两个重要性质：则则 结论结论 小结：小结：1 1、随机变量、随机变量 的的方差方差：2 2、随机变量、随机变量 的的标准差：标准差：3 3、方差的性质：、方差的性质：(1)(1)(3)(3)(2)(2)1.1.已知随机变量已知随机变量X X的分布列为的分布列为:求求EXEX与与DXDX的值。的值。X X12P0.30.73 3、有一批数量很大的商品，其中次品占、有一批数量很大的商品，其中次品占1 1，现从中任意地连续，现从中任意地连续取出取出200200件商品，设其次品数为件商品，设其次品数为X X，求，求 EX EX 和和 DXDX。2.2.已知已知 ，则，则EX=_,DX=_,EX=_,DX=_,X X=_.E(2X-1)=_,=_.E(2X-1)=_,D(2X-1)=_D(2X-1)=_，(2X-1)=_(2X-1)=_4、甲乙两人每天产量相同，它们的次品个数分别为甲乙两人每天产量相同，它们的次品个数分别为 ，其分，其分布列为布列为 0 1 2 3P0.30.30.20.2 0 1 2 P0.10.50.4判断甲乙两人生产水平的高低？判断甲乙两人生产水平的高低？5 5、有甲乙两个单位都愿意聘用你、有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息：而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资甲单位不同职位月工资X X1 1/元元12001200140014001600160018001800获得相应职位的概率获得相应职位的概率P P1 10.40.40.30.30.20.20.10.1乙单位不同职位月工资乙单位不同职位月工资X X2 2/元元10001000140014001800180022002200获得相应职位的概率获得相应职位的概率P P2 20.40.40.30.30.20.20.10.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：解：在两个单位工资的数学期望相等的情况下在两个单位工资的数学期望相等的情况下,如果认为自己能力如果认为自己能力很强很强,应选择工资方差大的单位应选择工资方差大的单位,即乙单位即乙单位;如果认为自己能力不强如果认为自己能力不强,就应选择工资方差小的单位就应选择工资方差小的单位,即甲单位即甲单位.6.6.若随机变量若随机变量 服从二项分布，且服从二项分布，且E E=6=6，D D =4,=4,求此二项分布求此二项分布7 7、随机变量、随机变量X X的分布列如下：的分布列如下：其中其中a，b，c成等差数列若成等差数列若E(X)，求，求D(X)的值。的值。X101Pabc1=+=DD则则，且，且、已知、已知,138387 7、随机变量、随机变量X X的分布列如下：的分布列如下：,求求D(X)的值。的值。X101P0.51-2q9 9、编号、编号1 1，2 2，3 3的三位学生随意入座编号的三位学生随意入座编号1 1，2 2，3 3的三个座位，每的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是X X。(1)(1)求随机变量求随机变量X X的概率分布列；的概率分布列；(2)(2)求随机变量求随机变量X X的期望与方差的期望与方差.1010、设在、设在1515个同类型的零件中有个同类型的零件中有2 2个次品，每次任取个次品，每次任取1 1个，共取个，共取3 3次，并且每次取出后不再放回次，并且每次取出后不再放回.若用若用X X表示取出次品的个数表示取出次品的个数.(1)(1)求求X X的分布列；的分布列；(2)(2)求求X X的均值的均值E(X)E(X)和方差和方差D(X).D(X).1111、一盒中装有零件一盒中装有零件5 5个，其中有个，其中有3 3个正品，个正品，2 2个次品，从中任取个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件直到取得一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件直到取得正品为止求在取得正品之前已取出次品数的期望与方差正品为止求在取得正品之前已取出次品数的期望与方差1212、袋中有相同的、袋中有相同的5 5个球，其中个球，其中3 3个红球，个红球，2 2个黄球，现从中随个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸机且不放回地摸球，每次摸1 1个，当两种颜色的球都被摸到时个，当两种颜色的球都被摸到时即停止摸球，记随机变量即停止摸球，记随机变量X X为此时已摸球的次数，求为此时已摸球的次数，求EXEX和和DX.DX.8 8、如图所示的直角边长为、如图所示的直角边长为4 4的三角形地块的每个格点的三角形地块的每个格点(横、纵直横、纵直线的交叉点以及三角形的顶点线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物，处都种了一株相同品种的作物，一株作物的年收获量一株作物的年收获量Y(Y(单位：单位：kg)kg)与它与它“相近相近”作物株数作物株数X X之间之间的关系如下：的关系如下：两注作物两注作物“相近相近”：它们之间的直线距离不超过：它们之间的直线距离不超过1.1.(1)(1)从三角形内部和边界上分别随机选一株作物，求它们从三角形内部和边界上分别随机选一株作物，求它们“相近相近”的概率；的概率；(2)(2)从所种作物中随机选一株，求它的年收从所种作物中随机选一株，求它的年收 获量获量Y Y的分布列的分布列;(3)(3)求求Y Y的期望和方差。的期望和方差。X1234Y514845424 44 40 09 9、现对甲项目每投资、现对甲项目每投资1010万元，一年后收益是万元，一年后收益是1.21.2万元、万元、1.181.18万元、万元、1.171.17万元的概率分别为万元的概率分别为 ，；乙项目的利润与产品价格的调；乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是整有关，在每次调整中价格下降的概率都是p(0p1),p(0p1),乙项目产乙项目产品价格在一年内进行品价格在一年内进行2 2次独立调整，次独立调整，X X为乙项目产品价格在一年内为乙项目产品价格在一年内下降的次数，对乙项目没投资下降的次数，对乙项目没投资1010万元，万元，X X取取0,1,20,1,2时，一年后相应时，一年后相应的利润是的利润是1.31.3万元、万元、1.251.25万元、万元、0.20.2万元。随机变万元。随机变 量量 、分别分别表示对甲、乙两项目各投资表示对甲、乙两项目各投资1010万元一年后的利润。万元一年后的利润。(1)(1)求求 、的分布列和期望；的分布列和期望；(2)(2)当当 时，求时，求p p的取值范围。的取值范围。1010、某商场有单价分别为、某商场有单价分别为1818元元/kg/kg，2424元元/kg/kg，3636元元/kg/kg的三种的三种水果，为了利于销售，将这三种糖按水果，为了利于销售，将这三种糖按a a：2 2：1()1()的比例混的比例混合合,混合后价格不能超过混合后价格不能超过2323元元/kg/kg但也不能低于但也不能低于2020，求，求a a的值。的值。1111、随机抽取某厂的某种产品、随机抽取某厂的某种产品200200件，经质检，其中有一等品件，经质检，其中有一等品126126件、二等品件、二等品5050件、三等品件、三等品2020件、次品件、次品4 4件已知生产件已知生产1 1件一、件一、二、三等品获得的利润分别为二、三等品获得的利润分别为6 6万元、万元、2 2万元、万元、1 1万元，而万元，而1 1件次件次品亏损品亏损2 2万元设万元设1 1件产品的利润（单位：万元）为件产品的利润（单位：万元）为X X（1 1）求）求X X的分布列；的分布列；（2 2）求）求1 1件产品的平均利润（即件产品的平均利润（即X X的数学期望）；的数学期望）；（3 3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%1%，一等品率提高为一等品率提高为70%70%如果此时要求如果此时要求1 1件产品的平均利润不小于件产品的平均利润不小于4.734.73万元，则三等品率最多是多少？万元，则三等品率最多是多少？（2）若若 ，则，则再回顾：两个特殊分布的方差再回顾：两个特殊分布的方差（1）若若 X 服从两点分布，则服从两点分布，则（2）若若 ，则，则两种特殊分布的均值两种特殊分布的均值（1）若若X服从两点分布，则服从两点分布，则方差的性质方差的性质平移变化不改变方差，但是伸缩变化改变方差平移变化不改变方差，但是伸缩变化改变方差.均值的性质均值的性质推论：常数的方差为推论：常数的方差为_.0 对随机变量对随机变量X的均值的均值(期望期望)的理解：的理解：(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义上的平均；均值是算术平均值概念的推广，是概率意义上的平均；(2)E(X)是一个实数，由是一个实数，由X的分布列唯一确定，也就是说随的分布列唯一确定，也就是说随 机变量机变量X可以取不同的值，而可以取不同的值，而E(X)是不变的，它描述的是是不变的，它描述的是 X取值的平均状态；取值的平均状态；(3)E(X)的公式直接给出了的公式直接给出了E(X)的求法的求法 (2010衡阳模拟衡阳模拟)一厂家向用户提供的一箱产品一厂家向用户提供的一箱产品共共10件，其中有件，其中有n件次品，用户先对产品进行抽检以决定是件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收抽检规则是这样的：一次取一件产品检查否接收抽检规则是这样的：一次取一件产品检查(取出的取出的产品不放回箱子产品不放回箱子)，若前三次没有抽查到次品，则用户接收，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品且用户拒绝接收这箱产品(1)若这箱产品被用户接收的概率是若这箱产品被用户接收的概率是 ，求，求n的值；的值；(2)在在(1)的条件下，记抽检的产品件数为的条件下，记抽检的产品件数为X，求，求X的分布列的分布列和数学期望和数学期望（1）利用古典概型易求）利用古典概型易求.（2）X的取值为的取值为1、2、3，求出分布列代入期望，求出分布列代入期望 公式公式.【解解】(1)设设“这箱产品被用户接收这箱产品被用户接收”为事件为事件A，n2.(2)X的可能取值为的可能取值为1,2,3.P(A)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=X的概率分布列为：的概率分布列为：X123P1(2010河南六市联考河南六市联考)甲、乙、丙、丁四人参加一家公司甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的招聘面试公司规定面试合格者可签约甲、乙面试合格的招聘面试公司规定面试合格者可签约甲、乙面试合格 就签约；丙、丁面试都合格则一同签约，否则两人都不签就签约；丙、丁面试都合格则一同签约，否则两人都不签约设每人面试合格的概率都是约设每人面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不，且面试是否合格互不影响求：影响求：(1)至少有三人面试合格的概率；至少有三人面试合格的概率；(2)恰有两人签约的概率；恰有两人签约的概率；(3)签约人数的数学期望签约人数的数学期望解：解：(1)设设“至少有至少有3人面试合格人面试合格”为事件为事件A，则则P(A)(2)设设“恰有恰有2人签约人签约”为事件为事件B，“甲、乙两人签约，丙、丁两人都不签约甲、乙两人签约，丙、丁两人都不签约”为事件为事件B1；“甲、乙两人都不签约，丙、丁两人签约甲、乙两人都不签约，丙、丁两人签约”为事件为事件B2；则：则：BB1B2P(B)P(B1)P(B2)(3)设设X为签约人数为签约人数X的分布列如下：的分布列如下：P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=X01234P (2010贵阳模拟贵阳模拟)有甲、乙两个建材厂，都想投有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标，其分布列如下：抗拉强度指标，其分布列如下：举一反三举一反三1.某有奖竞猜活动设有A、B两组相互独立的问题，答对问题A可赢得奖金3万元，答对问题B可赢得奖金6万元.规定答题顺序可任选，但只有一个问题答对后才能解答下一个问题，否则中止答题.假设你答对问题A、B的概率依次为 、.若你按先A后B的次序答题，写出你获得奖金的数额的分布列及期望值E.039p解析：若按先A后B的次序答题，获得奖金数额的可取值为0,3(万元)，9（万元）.P（=0）=,P（=3）=,P（=9）=.的分布列为题型二题型二 求随机变量的方差求随机变量的方差【例2】编号1，2，3的三位学生随意入座编号1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是X.（1）求随机变量X的概率分布列；（2）求随机变量X的期望与方差.的数学期望为E（）=分析 （1）随机变量X的意义是对号入座的学生个数，所有取值为0,1,3.若有两人对号入座，则第三人必对号入座.由排列与等可能事件概率易求分布列;（2）直接利用数学期望与方差公式求解.X013P解 （1）P（X=0）=,P（X=1）=,P（X=3）=,故X的概率分布列为(2)E(X)=D(X)=举一反三举一反三2.设在15个同类型的零件中有2个次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出后不再放回.若用X表示取出次品的个数.（1）求X的分布列；（2）求X的均值E(X)和方差D(X).学后反思 求离散型随机变量X的方差的步骤：（1）写出X的所有取值；（2）计算P（X=xi）;(3)写出分布列，并求出期望E(X)；（4）由方差的定义求出D(X).解析：(1)P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.故X的分布列为(2)X的均值E(X)和方差D(X)分别为E(X)=;D(X)=X012P题型四题型四 期望与方差的综合应用期望与方差的综合应用【例4】(14分)（2008广东）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：万元）为.(1)求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%,一等品率提高为70%,如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？分析 求的分布列时，要先求取各值时的概率.解 （1）的所有可能取值有6,2,1,-21P(=6)=0.63,.2P(=2)=0.25,.3P(=1)=0.1,4P(=-2)=.5故的分布列为 7621-2p0.630.250.10.02(2)E()=60.63+20.25+10.1+（-2）0.02=4.34.9(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为E()=60.7+2(1-0.7-0.01-x)+1x+(-2)0.01=4.76-x(0 x0.29).12依题意，E()4.73,即4.76-x4.73,解得x0.0313所以三等品率最多为3%.14学后反思 本题主要考查学生运用知识，迁移知识的能力.解决该类实际问题的关键是将实际问题化为数学问题，利用已学的知识进行处理，这也是今后高考的一大热点.