随机变量的数字特征未完教学课件

本本章章要要求求：理理解解期期望望与与方方差差的的概概念念,掌掌握握期期望望与与方方差差的的性性质质、计计算算，会会计计算算随随机机变变量量函函数数的的期期望望。掌掌握握两两点点分分布布、二二项项分分布布、泊泊松松分分布布、指指数数分分布布和和正正态态分分布布的的期期望望与与方方差差。了了解解协协方方差差、相相关关系系数数的的概概念念及及性性质质，会会求求相相关关系系数数，知知道道矩与协方差阵的概念及求法。矩与协方差阵的概念及求法。重点重点：期望、方差、协方差的计算，随机变量函数的数期望、方差、协方差的计算，随机变量函数的数学期望学期望4.1随机变量的期望离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望数学期望的性质数学期望的性质 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么的概率分布，那么X的的全部概率特征也就知道了全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了数字特征就够了.因此，在对随机变量的研究中，确定某些数因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的字特征是重要的.在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是数学期望、方差、协方差和相关系数数学期望、方差、协方差和相关系数4.1随机变量的期望4.1.1 离散型随机变量的期望例例 设某班设某班40名学生的概率统计成绩及得分人名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：数如下表所示：分数分数 40 60 70 80 90 100 人数人数 1 6 9 15 7 2则学生的平均成绩是总分则学生的平均成绩是总分总人数总人数(分分)。即。即数学期望数学期望描述随机变量取值的平均特征描述随机变量取值的平均特征 定义定义 若XPX=xk=pk,k=1,2,n,则称 定义定义 若XPX=xk=pk,k=1,2,且 为r.v.X的数学期望，简称期望或均值。，则称为r.v.X的数学期望绝对收敛例例 掷一颗均匀的骰子，以掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，表示掷得的点数，求求X的数学期望。的数学期望。完成P87例4-1、4-2例例1 0 1 2 00.2 0.8 0 1 20.60.3 0.1例例2到站时刻到站时刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率概率 1/6 3/6 2/6一旅客一旅客8:20到车站到车站,求他候车时间的数学期望求他候车时间的数学期望.例例3 按规定按规定,某车站每天某车站每天8:009:00,9:0010:00都恰有一辆客车到站都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的但到站时刻是随机的,且两者且两者到站的时间相互独立。其规律为：到站的时间相互独立。其规律为：X 10 30 50 70 90 几个重要几个重要r.v.的期望的期望1.0-1分布的数学期望EX=p2.二项分布B(n,p)3.3.泊松分布泊松分布完成P88例4-3、4-4例例 设随机变量设随机变量X X的分布律为的分布律为解解:求随机变量求随机变量Y=X2的数学期望的数学期望XPk-1 0 1YPk1 0 离散型随机变量函数的期望离散型随机变量函数的期望 定理定理 若若 XPX=xk=pk,k=1,2,则则Y=g(X)的期望的期望E(g(X)为为 完成P88例4-5定义定义2 设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为 f(x),如果积分如果积分绝对收敛绝对收敛,则称此积分值为则称此积分值为X的数学期望的数学期望,即即请注意请注意:连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分的积分.4.1.2连续型随机变量的期望连续型随机变量的期望例例4 例例5若将这两个电子装置串联连接组成整机若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机求整机寿命寿命(以小时计以小时计)N 的数学期望的数学期望.的分布函数为的分布函数为1.均匀均匀分布分布U(a,b)几种重要连续型随机变量的期望2.2.指数分布指数分布3.正态正态分布分布N(,2)该公式的重要性在于该公式的重要性在于:当我们求当我们求Eg(X)时时,不必不必知道知道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的分布就可以了的分布就可以了.这这给求随机变量函数的期望带来很大方便给求随机变量函数的期望带来很大方便.当当X为连续型时为连续型时,它它的密度函数为的密度函数为f(x),连续型随机变量函数的数学期望连续型随机变量函数的数学期望例例例例1 某某人人的的一一串串钥钥匙匙上上有有n把把钥钥匙匙,其其中中只只有有一一把把能能打打开开自自己己的的家家门门,他他随随意意地地试试用用这这串串钥钥匙匙中中的的某某一一把把去去开开门门,若若每每把把钥钥匙匙试试开开一一次次后后除除去去,求求打打开开门门时时试试开次数的数学期望开次数的数学期望.2 2 设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X的概率密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为1 解解 设试开次数为设试开次数为X,于是于是 E(X)2 2 解解解解Y Y是随机变量是随机变量是随机变量是随机变量X X的函数的函数的函数的函数,P(X=k)=1/n,k=1,2,n4.1.3 4.1.3 二维随二维随二维随二维随 机变量的函数的期望。机变量的函数的期望。机变量的函数的期望。机变量的函数的期望。例例 设随机变量设随机变量(X,Y)(X,Y)的分布律如下，求的分布律如下，求E(XY)E(XY)解解:例例例例例例例例特注P93例4-13 4.1.4数学期望的性质数学期望的性质 1.设设C是常数，则是常数，则E(C)=C;4.设设X、Y 相互独立，则相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);2.若若k是常数，则是常数，则E(kX)=kE(X);3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);（诸（诸Xi相互独立时）相互独立时）请注意请注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y 独立独立例例 设随机变量设随机变量X X服从标准正态分布，求随机变量服从标准正态分布，求随机变量Y=aX+bY=aX+b的数学期望的数学期望(其中其中a0)a0)解：解：E(Y)=E(aX+b)=E(aX)+E(b)=aE(X)+b=a*0+b=b 可见，服从参数为可见，服从参数为n和和p的二项分布的随机变量的二项分布的随机变量X的数学期望是的数学期望是 n p.XB(n,p),若设若设则则 X=X1+X2+Xn=npi=1,2，n因为因为 P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p所以所以 E(X)=则则X表示表示n重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功”次数次数.E(Xi)=p例 设随机变量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z独立，求随机变量U=（2X+3Y)(4Z-1)的数学期望.例 设随机变量相互独立，且均服从分布，求随机变量的数学期望答答:答答:例例 把把数数字字1,2,n任任意意地地排排成成一一列列，如如果果数数字字k恰恰好好出出现现在在第第k个个位位置置上上，则则称称为为一一个个巧巧合合，求求巧巧合合个数的数学期望个数的数学期望.由于由于 E(Xk)=P(Xk=1)解解:设巧合个数为设巧合个数为X,k=1,2,n则则故故引入引入例例 一民航送客车载有一民航送客车载有20位旅客自机场开出位旅客自机场开出,旅客有旅客有10个车站可以下车个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就如到达一个车站没有旅客下车就不停车不停车.以以X表示停车的次数，求表示停车的次数，求E(X).(设每位旅客设每位旅客在各个车站下车是等可能的在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相并设各旅客是否下车相互独立互独立)按题意按题意按题意按题意 本题是将本题是将本题是将本题是将X X分解成数个随机变量之和分解成数个随机变量之和分解成数个随机变量之和分解成数个随机变量之和,然后利用随然后利用随然后利用随然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求数学期望的数学期望的数学期望的数学期望的,此方法具有一定的意义此方法具有一定的意义此方法具有一定的意义此方法具有一定的意义.小结小结 这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征的一个重要的数字特征.接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征：量另一个重要的数字特征：方差方差4.24.2方差方差 设设X是一个随机变量，若是一个随机变量，若E(X-E(X)2存在存在,称称E(X-E(X)2为为 X 的方差的方差.记为记为D(X)或或Var(X)，即，即D(X)=Var(X)=EX-E(X)24.2.14.2.1方差的概念方差的概念 若若X的取值比较分散，则方差的取值比较分散，则方差D(X)较大较大.方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度离散程度.若若X的取值比较集中，则方差的取值比较集中，则方差D(X)较小；较小；因此，因此，D（X）是刻画）是刻画X取值分散程度的一个量，它取值分散程度的一个量，它是衡量是衡量X取值分散程度的一个尺度。取值分散程度的一个尺度。X为离散型，为离散型，分布率分布率PX=xk=pk 由定义知，方差是随机变量由定义知，方差是随机变量 X 的函数的函数 g(X)=X-E(X)2 的的数学期望数学期望.方差的计算方差的计算X为连续型，为连续型，X概率密度概率密度f(x)计算方差的一个简化公式计算方差的一个简化公式 D(X)=E(X2)-E(X)2 展开展开证：证：D(X)=EX-E(X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=E(X2)-2E(X)2+E(X)2=E(X2)-E(X)2利用期望利用期望性质性质例例设随机变量设随机变量X具有具有(01）分布，其分布率为）分布，其分布率为求求D(X).解解由公式由公式因此因此,0-1分布分布例例2解解X的分布率为的分布率为上节已算得上节已算得因此因此,泊松分布泊松分布例例3解解 因此因此,均匀分布均匀分布例例4设随机变量设随机变量X服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为解解由此可知由此可知,指数分布指数分布4.2.3方差的性质方差的性质 1.设设C 是常数是常数,则则 D(C)=0;2.若若 C 是常数是常数,则则 D(CX)=C2 D(X);3.设设 X 与与 Y 是两个随机变量，则是两个随机变量，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y)4.D(X)=0 PX=C=1,这里这里C=E(X)下面我们证明性质下面我们证明性质3证明证明若若 X,Y 相互独立相互独立,由数学期望的性质由数学期望的性质4得得此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况的情况.可以不要求可以不要求例例6 设设XB(n,p)，求，求E(X)和和D(X).若设若设i=1,2，n 则则 是是n次试验中次试验中“成功成功”的次数的次数下面我们举例说明方差性质的应用下面我们举例说明方差性质的应用.解解XB(n,p),“成功成功”次数次数.则则X表示表示n重努里试验中的重努里试验中的于是于是i=1,2，n 由于由于X1,X2,Xn 相互相互独立独立=np(1-p)E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p),例例7解解于是于是可只记结论可只记结论可只记结论例如例如,解：解：记记 q=1-p求和与求导求和与求导交换次序交换次序无穷递缩等比无穷递缩等比级数求和公式级数求和公式1、设随机变量设随机变量X服从几何分布，概率分布为服从几何分布，概率分布为PX=k=p(1-p)k-1,k=1,2,其中其中0p0,D(Y)0,称称在不致引起混淆时在不致引起混淆时，记记 为为 .相关系数的性质：相关系数的性质：证证:由方差的性质和协方差的定义知由方差的性质和协方差的定义知,对任意实数对任意实数 b,有有0D(Y-bX)=b2D(X)+D(Y)-2b Cov(X,Y)令令，则上式为，则上式为 D(Y-bX)=由于方差由于方差D(Y)是正的是正的,故必有故必有1-0,所以所以|1。2.X和和Y独立时，独立时，=0，但其逆不真，但其逆不真.由于当由于当X和和Y独立时，独立时，Cov(X,Y)=0.故故=0但由但由并不一定能推出并不一定能推出X和和Y 独立独立.请看下例请看下例.，Cov(X,Y)=0，事实上，事实上，X的密度函数的密度函数例例 设设X服从服从(-1/2,1/2)内的均匀分布内的均匀分布,而而Y=cos X,不难求得不难求得存在常数存在常数 a,b(b0），使使 PY=a+b X=1，即即 X 和和 Y 以概率以概率 1 线性相关线性相关.因而因而 =0，即即X和和Y不相关不相关.但但Y与与X有严格的函数关系，有严格的函数关系，即即X和和Y不独立不独立.考虑以考虑以X的线性函数的线性函数a+bX来近似表示来近似表示Y，以均方误差以均方误差e=EY-(a+bX)2来衡量以来衡量以 a+b X 近似表示近似表示Y 的好坏程度的好坏程度:e 值越小表示值越小表示 a+b X 与与 Y 的近似程度越好的近似程度越好.用微积分中求极值的方法，求出使用微积分中求极值的方法，求出使e 达到最小时的达到最小时的 a,b相关系数刻划了相关系数刻划了X和和Y间间“线性相关线性相关”的程度的程度.=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)e=EY-(a+bX)2 解得解得这样求出的这样求出的最佳逼近为最佳逼近为L(X)=a0+b0X 这样求出的最佳逼近为这样求出的最佳逼近为L(X)=a0+b0X这一逼近的剩余是这一逼近的剩余是若若 =0，Y 与与 X 无线性关系无线性关系;Y与与X有严格线性关系有严格线性关系;若若可见可见,若若0|1,|的值越接近于的值越接近于1,Y 与与 X 的线性相关程度越高的线性相关程度越高;|的值越接近于的值越接近于0,Y与与X的线性相关程度越弱的线性相关程度越弱.E(Y-L(X)2=D(Y)(1-)但对下述情形，独立与不相关等价但对下述情形，独立与不相关等价若若(X,Y)服从二维正态分布，则服从二维正态分布，则X与与Y独立独立X与与Y不相关不相关前面，我们已经看到：前面，我们已经看到：若若 X 与与 Y 独立，则独立，则X与与Y不相关不相关，但由但由X与与Y不相关，不一定能推出不相关，不一定能推出X与与Y独立独立.三、课堂练习三、课堂练习1、解解解解2、小结小结 这一节我们介绍了协方差、相关系数、这一节我们介绍了协方差、相关系数、相关系数是刻划两个变量间相关系数是刻划两个变量间线性相关程度线性相关程度的一个重要的一个重要的数字特征的数字特征.注意独立与不相关并不是等价的注意独立与不相关并不是等价的.当当(X,Y)服从二维正态分布时，有服从二维正态分布时，有X 与与 Y 独立独立X 与与 Y 不相关不相关一、一、原点矩原点矩 中心矩中心矩定义定义 设设X和和Y是随机变量，若是随机变量，若 存在，称它为存在，称它为X的的k阶原点矩阶原点矩，简称，简称 k阶矩阶矩 存在，称它为存在，称它为X的的k阶中心矩阶中心矩可见，均值可见，均值 E（X）是是X一阶原点矩，方差一阶原点矩，方差D（X）是是X的二阶中心矩。的二阶中心矩。4.3.3 矩、协方差矩阵协方差协方差Cov(X,Y)是是X和和Y的的二阶混合中心矩二阶混合中心矩.称它为称它为 X 和和 Y 的的 k+L 阶混合（原点）矩阶混合（原点）矩.若若存在，存在，称它为称它为X 和和 Y 的的 k+L 阶混合中心矩阶混合中心矩.设设 X 和和 Y 是随机变量，若是随机变量，若 k,L=1,2,存在，存在，可见，可见，二、二、协方差矩阵协方差矩阵将二维随机变量（将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩）的四个二阶中心矩排成矩阵的形式排成矩阵的形式:称此矩阵为称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵）的协方差矩阵.这是一个这是一个对称矩阵对称矩阵解解:据据协方差矩阵的定义协方差矩阵的定义.设设（X,Y）的）的协方差矩阵为协方差矩阵为求求 则精品课件资料分享精品课件资料分享 SL出品谢谢！