量子力学-第五章课件

第五章第五章 近似方法近似方法第五章 近似方法1（一）近似方法的重要性（一）近似方法的重要性前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理论解决了一些简单问题。如：些理论解决了一些简单问题。如：（1 1）一维无限深势阱问题；）一维无限深势阱问题；（2 2）线性谐振子问题；）线性谐振子问题；（3 3）势垒贯穿问题；）势垒贯穿问题；（4 4）氢原子问题。）氢原子问题。这些问题都给出了问题的精确解析解。这些问题都给出了问题的精确解析解。然而，对然而，对于大量的实际物理问题，于大量的实际物理问题，Schrodinger Schrodinger 方程能有精方程能有精确解的情况很少。通常体系的确解的情况很少。通常体系的 Hamilton Hamilton 量是比较量是比较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理复杂的复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理复杂的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法（简称实际问题时，量子力学求问题近似解的方法（简称近似方法）就显得特别重要。近似方法）就显得特别重要。引引言言（一）近似方法的重要性前几章介绍了量子力学的基本理论，使用2（二）近似方法的出（二）近似方法的出发点点近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发，近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发，来求较复杂问题的近似（解析）解。来求较复杂问题的近似（解析）解。（三）近似解（三）近似解问题分分为两两类（1）体体系系 Hamilton 量量不不是是时时间间的的显显函函数数定定态态问问题题A.A.定态微扰论；定态微扰论；B.B.变分法。变分法。（2）体体系系 Hamilton 量量显显含含时时间间状状态态之之间间的的跃跃迁迁问问题题A.与时间与时间 t 有关的微扰理论；有关的微扰理论；B.常微扰。常微扰。（二）近似方法的出发点近似方法通常是从简单问题的精确解（解析3教学要求：教学要求：通过本章的学习通过本章的学习,能理解量子力学中的近似处理方法能理解量子力学中的近似处理方法 重难点重难点重点：重点：非简并定态微扰理论非简并定态微扰理论难点：难点：简并情况下的微扰理论，变分法，与时间有关简并情况下的微扰理论，变分法，与时间有关 的微扰理论的微扰理论教学要求：通过本章的学习,能理解量子力学中的近似处理方法411非非简并定并定态微微扰理理论 22简并微并微扰理理论33变分法分法主要内容：主要内容：1非简并定态微扰理论 主要内容：511非非简并定并定态微微扰理理论（一）微扰体系方程（一）微扰体系方程 （二）态矢和能量的一级修正（二）态矢和能量的一级修正 （三）能量的二阶修正（三）能量的二阶修正 （四）微扰理论适用条件（四）微扰理论适用条件 （五）讨论（五）讨论（六）实例（六）实例1 非简并定态微扰理论（一）微扰体系方程 6微扰法不是量子力学所特有的方法，在处理天体运行微扰法不是量子力学所特有的方法，在处理天体运行的天体物理学中，计算行星运行轨道时，就是使用微扰方法。的天体物理学中，计算行星运行轨道时，就是使用微扰方法。计算中需要考虑其他行星影响的二级效应。计算中需要考虑其他行星影响的二级效应。例例如如，地地球球受受万万有有引引力力作作用用绕绕太太阳阳转转动动，可可是是由由于于其其它它行行星星的的影影响响，其其轨轨道道需需要要予予以以修修正正。在在这这种种情情况况下下，计计算算所所使使用用的的方方法法是是：首首先先把把太太阳阳和和地地球球作作为为二二体体系系统统，求求出出其其轨道，然后研究这个轨道受其它行星的影响而发生的变化。轨道，然后研究这个轨道受其它行星的影响而发生的变化。可可精精确确求求解解的的体体系系叫叫做做未未微微扰扰体体系系，待待求求解解的的体体系系叫叫做做微微扰扰体体系系。假假设设体体系系 Hamilton 量量不不显显含含时时间间，而而且且可可分为两部分：分为两部分：（一）微（一）微扰体系方程体系方程微扰法不是量子力学所特有的方法，在处理天体运行的天体物理学7 H(0)所描写的体系是可以精确求解的，其本征所描写的体系是可以精确求解的，其本征值 E n(0)，本，本征矢征矢 n(0)满足如下本征方程：足如下本征方程：另一部分另一部分 H是是很小很小的（很小的物理意义将在下面讨论）可的（很小的物理意义将在下面讨论）可以看作加于以看作加于 H(0)上的上的微小扰动微小扰动。现在的问题是如何求解微。现在的问题是如何求解微扰后扰后 Hamilton 量量 H 的本征值和本征矢，即如何求解整个体的本征值和本征矢，即如何求解整个体系的系的 Schrodinger 方程：方程：当当H=0 时，时，n=n(0),En=E n(0)；当当 H 0 时时，引引入入微微扰扰，使使体体系系能能级级发发生生移移动动，由由 E n(0)En，状态由，状态由 n(0)n。为了明了明显表示出微表示出微扰的微小程度，将其写的微小程度，将其写为：其中其中是很小的是很小的实数，表征微数，表征微扰程度的参量。程度的参量。H(0)所描写的体系是可以精确求解的，其本征值 E n8因为因为 En、n 都与微扰有关，可以把它们看成是都与微扰有关，可以把它们看成是的函数的函数而将其展开成而将其展开成的幂级数：的幂级数：其中其中E n(0),E n(1),2 E n(1),.分分别是能量的别是能量的 0 级近似，能量的一级修级近似，能量的一级修正和二级修正等；正和二级修正等；而而n(0),n(1),2 n(2),.分别是状态矢量分别是状态矢量 0 级近似，一级修正和二级修正等。级近似，一级修正和二级修正等。代入代入Schrodinger方程得：方程得：乘开得：乘开得：因为 En、n 都与微扰有关，可以把它们看成是的函数9根据等式两边根据等式两边同幂次的系数应该相等，可得到如下一系同幂次的系数应该相等，可得到如下一系列方程式列方程式:整理后得：整理后得：上上面面的的第第一一式式就就是是H(0)的的本本征征方方程程，第第二二、三三式式分分别别是是n(1)和和n(2)所所满满足足的的方方程程，由由此此可可解解得得能能量量和和态态矢矢的的第第一、二级修正。一、二级修正。根据等式两边同幂次的系数应该相等，可得到如下一系列方程式:10现在我们借助于未微扰体系的态矢现在我们借助于未微扰体系的态矢n(0)和本征能量和本征能量 E n(0)来来导出扰动后的态矢导出扰动后的态矢n 和能量和能量 En 的表达式。的表达式。(1)能量一能量一级修正修正 E n(1)左乘左乘n*(0)，并并对空空间积分分（二）（二）态矢和能量的一矢和能量的一级修正修正利用利用Hamilton 量的厄米性量的厄米性现在我们借助于未微扰体系的态矢n(0)和本征能量 E n11准确到一阶微扰的体系能量：准确到一阶微扰的体系能量：其中能量的一级修正等于微扰其中能量的一级修正等于微扰 Hamilton 量在量在 0 级态矢中的平均值级态矢中的平均值（2 2）态矢的一矢的一级修正修正 n n(1)(1)根根据据力力学学量量本本征征矢矢的的完完备备性性假假定定，H(0)的的本本征征矢矢n(0)是是完完备备的的，任任何何态态矢矢量量都都可可按按其其展展开开，n(1)也也不不例例外外。因因此我们可以将态矢的一级修正展开为：此我们可以将态矢的一级修正展开为：准确到一阶微扰的体系能量：其中能量的一级修正等于微扰（2）12可以证明如果可以证明如果是方程是方程的解，则的解，则也同样是方程的解也同样是方程的解所以：所以：可以证明如果是方程的解，则也同样是方程的解所以：13代回前面的第二式并计及第一式得：代回前面的第二式并计及第一式得：左乘左乘*m(0)，并并对空空间积分分 代回前面的第二式并计及第一式得：左乘*m(0)，14考虑到本征基矢的正交归一性：考虑到本征基矢的正交归一性：所以所以考虑到本征基矢的正交归一性：所以15将将n(1)展开式代入展开式代入 关于关于 2 的第三式的第三式左乘左乘态矢矢n(0)*,并并对空空间积分：分：正交正交归一性一性（三）能量的二（三）能量的二阶修正修正将n(1)展开式代入 关于 2 的第三式左乘态矢16在推导中使用了微扰矩阵的厄密性在推导中使用了微扰矩阵的厄密性在推导中使用了微扰矩阵的厄密性17能量的二级修正能量的二级修正在计及二阶修正后，扰动体系能量本征值由下式给出：在计及二阶修正后，扰动体系能量本征值由下式给出：能量的二级修正在计及二阶修正后，扰动体系能量本征值由下式给出18总结上述，在非简并情况下，受扰动体系的能量和态矢量分总结上述，在非简并情况下，受扰动体系的能量和态矢量分别由下式给出：别由下式给出：欲欲使使二二式式有有意意义义，则则要要求求二二级级数数收收敛敛。由由于于不不知知道道级级数数的的一一般般项项，无无法法判判断断级级数数的的收收敛敛性性，我我们们只只能能要要求求级级数数已已知知项项中中，后后项项远远小小于于前前项项。由此我们得到微扰理论适用条件是：由此我们得到微扰理论适用条件是：这这就就是是本本节节开开始始时时提提到到的的关关于于 H H 很很小小的的明明确确表表示示式式。当当这这一一条条件件被被满满足足时时，由由上上式式计计算算得得到到的的一一级级修修正正通通常常可可给给出出相相当精确的结果。当精确的结果。（四）微（四）微扰理理论适用条件适用条件总结上述，在非简并情况下，受扰动体系的能量和态矢量分别由下式19微微扰适用条件表明：适用条件表明：（2）|En(0)El(0)|要大，即能级间距要宽。要大，即能级间距要宽。（1）|Hln|=|要小，即微扰矩阵元要小；要小，即微扰矩阵元要小；例如：在库仑场中，体系能量（能级）与量子数例如：在库仑场中，体系能量（能级）与量子数n2成成反比，即反比，即由上式可见，当由上式可见，当n大时，能级间距变小，因此微扰理大时，能级间距变小，因此微扰理论不适用于计算高能级（论不适用于计算高能级（n大）的修正，而只适用于大）的修正，而只适用于计算低能级（计算低能级（n小）的修正。小）的修正。微扰适用条件表明：（2）|En(0)El(0)|要20例例1.1.一一电电荷荷为为 e e 的的线线性性谐谐振振子子，受受恒恒定定弱弱电电场场作作用用。电场沿电场沿 x x 正向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。正向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。解：解：（1）电谐振子振子Hamilton 量量将将HamiltonHamilton量分成量分成H H0 0+H+H两部分，在弱两部分，在弱电场下，上式最后下，上式最后一一项很小，可看成微很小，可看成微扰。（2 2）写出）写出 H H0 0 的本征的本征值和本征函数和本征函数 E E(0)(0),n n(0)(0)（3）计算算 En(1)上式上式积分等于分等于00是因是因为被被积函数函数为奇函数所致。奇函数所致。（五）（五）实例例例1.一电荷为 e 的线性谐振子，受恒定弱电场作用。电场沿21（4 4）计算能量算能量 二二级修正修正欲欲计算能量二算能量二级修正，修正，首先首先应计算算HHknkn矩矩阵元。元。利用利用线性性谐振子本征函数的振子本征函数的递推公式：推公式：对谐振子有；振子有；E En n(0)(0)-E-En-1n-1(0)(0)=,E En n(0)(0)-E-En+1n+1(0)(0)=-=-，代入代入（4）计算能量 欲计算能量二级修正，利用线性谐振子本征函数22由此式可知，能由此式可知，能级移移动与与nn无关，无关，即与即与扰动前振子的状前振子的状态无关。无关。（6 6）讨论：1.1.电谐振子振子问题亦可在粒子数表象中求解微亦可在粒子数表象中求解微扰矩矩阵元元由此式可知，能级移动与 n 无关，即与扰动前振子的状态无关。23计算二算二级修正：修正：代入能量二代入能量二级修正公式：修正公式：2.2.电谐振子的精确解振子的精确解实际上上这个个问题是可以精确是可以精确求解的，只要求解的，只要我我们将体系将体系HamiltonHamilton量作量作以下整理：以下整理：计算二级修正：代入能量二级修正公式：2.电谐振子的精确解实24其其中中xx=xxe/e/2 2 ，可可见，体体系系仍仍是是一一个个线性性谐振振子子。它它的的每每一一个个能能级都都比比无无电场时的的线性性谐振振子子的的相相应能能级低低ee2 22 2/222 2 ，而而平平衡衡点点向向右右移移动了了e/e/2 2距离。距离。由由于于势场不不再再具具有有空空间反反射射对称称性性，所所以以波波函函数数没没有有确确定定的的宇宇称称。这一一点点可可以以从从下下式式扰动后后的的波波函数函数n n已已变成成n n(0)(0),n+1n+1(0)(0),n-1n-1(0)(0)的叠加看出。的叠加看出。例例2.设Hamilton量的矩量的矩阵形式形式为：（1 1）设c1c1，应用微用微扰论求求H H本征本征值到二到二级近似；近似；（2 2）求）求HH的精确本征的精确本征值；（3 3）在怎）在怎样条件下，上面二条件下，上面二结果一致。果一致。其中x=x e/2，可见，体系仍是一个25解：解：（1 1）c1c1，可取，可取00级和微和微扰HamiltonHamilton量分量分别为：H H00是是对角角矩矩阵，是是HamiltonHamilton H H0 0在在自自身身表表象象中中的的形形式式。所所以以能能量量的的 00级近似近似为：E E1 1(0)(0)=1 =1 E E2 2(0)(0)=3 E=3 E3 3(0)(0)=-2=-2由非由非简并微并微扰公式公式得能量一得能量一级修正：修正：能量二能量二级修正修正为：解：（1）c 1，可取 0 级和微扰 Hamilton26准确到二准确到二级近似的能量近似的能量本征本征值为：设HH的本征的本征值是是EE，由久期方程可解得：，由久期方程可解得：解得：解得：(3)将准确解按将准确解按 c(1)展开：展开：比比 较较（1 1）和和（2 2）之之解解，可可知知，微微扰扰论论二二级级近近似似结结果果与与精精确确解解展展开开式式不不计计c c4 4及及以以后后高高阶阶项项的的结结果果相同。相同。(2)(2)精确解：精确解：准确到二级近似的能量本征值为：设 H 的本征值是 E，由久期27第五章第五章 近似方法近似方法（一）（一）简并微并微扰理理论（二）（二）实例例（三）（三）讨论22简并微并微扰理理论第五章 近似方法（一）简并微扰理论 2 简并微扰理论28假设假设E En n(0)(0)是简并的，那末属于是简并的，那末属于 H H(0)(0)的本征值的本征值 E En n(0)(0)有有 k k 个归一化本征函数：个归一化本征函数：于于是是我我们们就就不不知知道道在在k k个个本本征征函函数数中中究究竟竟应应取取哪哪一一个个作作为为微微扰扰波波函函数数的的 0 0 级级近近似似。所所以以在在简简并并情情况况下下，首首先先要要解解决决的的问问题题是是如如何何选选取取 0 0 级级近近似似波波函函数的问题数的问题，然后才是求能量和波函数的各级修正。，然后才是求能量和波函数的各级修正。（一）（一）简并微并微扰理理论假设En(0)是简并的，那末属于 H(0)的本征值 En(029n(0)已是正交已是正交归一化一化系数系数 c i 由由 一一 次幂方次幂方 程定出程定出n(0)已是正交归一化系数 c i 30解此久期方程解此久期方程:可得能量的一级修正可得能量的一级修正En(1)的的k个根：个根：Enj(1),j=1,2,.,k.因为因为 En j=En(0)+E(1)n j 所以，若这所以，若这k个根都不相等，那末个根都不相等，那末一级微扰就可以将一级微扰就可以将 k 度简并完全消除；度简并完全消除；若若En k(1)有几个重有几个重根，则表明简并只是部分消除，必须进一步考虑二级修正根，则表明简并只是部分消除，必须进一步考虑二级修正才有可能使能级完全分裂开来。才有可能使能级完全分裂开来。为为了了确确定定能能量量 En j 所所对对应应的的0级级近近似似波波函函数数，可可以以把把 E(1)n j 之之值值代代入入线线性性方方程程组组从从而而解解得得一一组组ci(i=1,2,.,k.)系系数数，将该组系数代回展开式就能够得到相应的将该组系数代回展开式就能够得到相应的 0 级近似波函数。级近似波函数。解此久期方程:为了确定能量 En j 所对应的0级近似波函31例例1.1.氢原子一级氢原子一级 Stark Stark 效应效应（1 1）Stark Stark 效应效应氢原子在外电场作用下产生谱线分裂现象称为氢原子在外电场作用下产生谱线分裂现象称为 Stark 效应。效应。（2 2）外电场下氢原子）外电场下氢原子 Hamilton Hamilton 量量取外电场沿取外电场沿 z 正向。通常外电场强度比原子内部电场强度正向。通常外电场强度比原子内部电场强度小得多，例如小得多，例如,强电场强电场 107 伏伏/米，米，而而 原子内部电场原子内部电场 1011 伏伏/米，二者相差米，二者相差 4个量级。个量级。所以我们可以把外电场的影响作为微扰处理。所以我们可以把外电场的影响作为微扰处理。（二）（二）实例例例1.氢原子一级 Stark 效应（1）Stark 效应氢32（3 3）H H0 0 的本征的本征值和本征函数和本征函数下面我下面我们只只讨论 n=2 的情况，的情况，这时简并度并度 n2=4。属于属于该能能级的的4个个简并并态是：是：（3）H0 的本征值和本征函数下面我们只讨论 n=2 33（4）求）求 H 在各在各态中的矩中的矩阵元元由简并微扰理论知由简并微扰理论知,求解久期方程求解久期方程,须先计算出微扰须先计算出微扰Hamilton Hamilton 量量 H H 在以上各态的矩阵元。在以上各态的矩阵元。将将 H H 的矩阵元代入久期方程：的矩阵元代入久期方程：（4）求 H 在各态中的矩阵元由简并微扰理论知,求解久期方34解得解得 4 4 个根：个根：由由此此可可见见，在在外外场场作作用用下下，原原来来 4 4 度度简简并并的的能能级级 E E2 2(0)(0)在在一一级级修修正正下下，被被分分裂裂成成 3 3 条条能能级级，简简并并部部分分消消除除。当当跃跃迁迁发发生生时时，原原来来的的一一条条谱谱线线就就变变成成了了 3 3 条条谱谱线线。其其频频率率一一条条与与原原来来相相同同，另另外外两两条条中中一一条条稍稍高高于于一一条条稍稍低低于于原原来来频率频率。（5 5）能量一）能量一级修正修正解得 4 个根：由此可见，在外场作用下，原来 4 度简并的能35（6 6）求）求 0 0 级近似波函数近似波函数分分别将将 E E2 2(1)(1)的的 4 4 个个值代入方程代入方程组：得得 四四 元一次元一次线性方程性方程组:（6）求 0 级近似波函数分别将 E2(1)的 4 个值代36E2(1)=E21(1)=3ea0 代入上面方程，得：代入上面方程，得：所以相所以相应于能于能级 E2(0)+3ea0 的的 0 级近似波函数是：近似波函数是：E2(1)=E22(1)=-3ea0 代入上面方程，得：代入上面方程，得：所以相所以相应于能于能级 E(0)2-3ea0 的的 0 级近似波函数是：近似波函数是：E2(1)=E23(1)=E24(1)=0，代入上面方程，得：，代入上面方程，得：因此相因此相应与与 E2(0)的的 0 级近似波函数可以按如下方式构成：近似波函数可以按如下方式构成：E2(1)=E21(1)=3ea0 代入上面37我我们不不妨妨仍仍取取原原来来的的0 0级波波函数，即令：函数，即令：（7 7）讨论上述结果表明，若氢原子处于上述结果表明，若氢原子处于 0 级近似态级近似态 1(0),2(0),3(0),4(0),那那末末，氢氢原原子子就就好好象象具具有有了了大大小小为为 3ea0 的的永永久久电电偶偶极极矩矩一一般般。对对于于处处在在1(0),2(0)态态的的氢氢原原子子，其其电电矩矩取取向向分分别别与与电电场场方方向向平平行行和和反反平平行行；而而对对于于处处在在3(0),4(0)态态的的氢氢原子，其电矩取向分别与电场方向垂直。原子，其电矩取向分别与电场方向垂直。我们不妨仍取原来的0级波函数，即令：（7）讨论上述结果表明，38例例2.2.有有一一粒粒子子，其其 Hamilton Hamilton 量量的的矩矩阵形形式式为：H H=H H0 0 +HH，其中其中求能求能级的一的一级近似和波函数的近似和波函数的0级近似。近似。解：解：H H0 0 的本征值问题是三重简并的，这是一个简并微扰问题。的本征值问题是三重简并的，这是一个简并微扰问题。E E(1)(1)(E(E(1)(1)2 2-2 2 =0 =0解得：解得：E(1)=0,.记为：E E1 1(1)(1)=-=-E E2 2(1)(1)=0 =0 E3(1)=+故能故能级一一级近近似：似：简并完全消除并完全消除(1)(1)求本征能量求本征能量 由久期方程由久期方程例2.有一粒子，其 Hamilton 量的矩阵形式为：H=39(2)求解求解 0 级近似波函数级近似波函数将将E1(1)=代入方程，得：代入方程，得：由归一化条件：由归一化条件：则则将将E2(1)=0 代入方程，得：代入方程，得：则则由归一化条件：由归一化条件：(2)求解 0 级近似波函数将E1(1)=代入方程40第五章第五章 近似方法近似方法33变分法分法第五章 近似方法3 变分法41（一）能量的平均值一）能量的平均值 （二）（二）与与 E E0 0 的偏差和试探波函数的关系的偏差和试探波函数的关系（三）如何选取试探波函数（三）如何选取试探波函数 （四）变分方法（四）变分方法（五）实例（五）实例微微扰法求解法求解问题的条件是体系的的条件是体系的 Hamilton Hamilton 量量 H H可分可分为两部分两部分其其中中 H H0 0 的的本本征征值值本本征征函函数数已已知知有有精精确确解解析析解解，而而 HH很很小小。如如果果上上面面条条件件不不满满足足，微微扰扰法法就就不不适适用用。这这时时我我们们可可以以采采用用另另一一种近似方法种近似方法变分法。变分法。（一）能量的平均值 微扰法求解问题的条件是体系的 Hamil42设设体体系系的的 Hamilton 量量 H 的的本本征征值值由由小小到到大大顺顺序序排排列为：列为：E0 E1 E2 .En .0 1 2.n.上式第二行是与本征值相应的本征函数，其中上式第二行是与本征值相应的本征函数，其中 E0、0 分别为基态能量和基态波函数。分别为基态能量和基态波函数。（一）能量的平均（一）能量的平均值为为简简单单计计，假假定定H本本征征值值是是分分立立的的，本本征征函函数数组成正交归一完备系，即组成正交归一完备系，即设体系的 Hamilton 量 H 的本征值由小到大顺序排列43设设是是任任一一归归一一化化的的波波函函数数，在在此此态态中中体体系能量平均值：系能量平均值：若若未未归一化，一化，则这这个个不不等等式式表表明明，用用任任意意波波函函数数计计算算出出的的平平均均值值 总总是是大大于于（或或等等于于）体体系系基基态态的的能能量量，而而仅仅当当该该波波函函数数等等于于体体系基态波函数时，平均值系基态波函数时，平均值 才等于基态能量。才等于基态能量。设是任一归一化的波函数，在此态中体系能量平均值：若未归一44基于上述基本原理，我们可以选取很多波函数；基于上述基本原理，我们可以选取很多波函数；(1),(2),.,(k),.称为试探波函数，来计算称为试探波函数，来计算其其中中最最小小的的一一个个就就最最接接近近基基态能量态能量 E0，即，即如如果果选选取取的的试试探探波波函函数数越越接接近近基基态态波波函函数数，则则 H 的的平平均均值值就就越越接接近近基基态态能能量量 E0。这这就就为为我我们们提提供供了了一一个个计计算算基基态态能量本征值近似值的方法。能量本征值近似值的方法。使用此方法求基态能量近似值还需要解决以下两个问题：使用此方法求基态能量近似值还需要解决以下两个问题：（1）试探波函数）试探波函数 与与 0 之间的偏差和平均值之间的偏差和平均值H与与 E0 之间偏差的关系；之间偏差的关系；（2 2）如何寻找试探波函数。）如何寻找试探波函数。基于上述基本原理，我们可以选取很多波函数；其中最小的一个就45（二）（二）H H 与与 E E0 0 的偏差和的偏差和试探波函数的关系探波函数的关系由上面分析可以看出，试探波函数越接近基态本征由上面分析可以看出，试探波函数越接近基态本征函数，函数，就越接近基态能量就越接近基态能量 E0 .那末，由于试探波函数选那末，由于试探波函数选取上的偏差取上的偏差 -0 会引起会引起 -E0 的多大偏差呢？的多大偏差呢？是二阶小量。是二阶小量。结结论论 对对本本征征函函数数附附近近的的一一个个任任意意小小的的变变化化，本本征征能能量量是是稳稳定定的的。因因此此，我我们们选选取取试试探探波波函函数数的的误误差差不不会会使使能能量量近似值有更大的误差。近似值有更大的误差。（二）H 与 E0 的偏差和试探波函数的关系由上面分析可以46试探波函数的好坏直接关系到计算结果，但是如何试探波函数的好坏直接关系到计算结果，但是如何选取试探波函数却没有一个固定可循的法则，通常选取试探波函数却没有一个固定可循的法则，通常是根据物理上的知觉去猜测。是根据物理上的知觉去猜测。（1）根根据据体体系系 Hamilton 量量的的形形式式和和对对称称性性推推测测 合理的试探波函数；合理的试探波函数；（2 2）试探波函数要满足问题的边界条件；）试探波函数要满足问题的边界条件；（3 3）为了有选择的灵活性，试探波函数应包含一个）为了有选择的灵活性，试探波函数应包含一个或多个待调整的参数，这些参数称为变分参数；或多个待调整的参数，这些参数称为变分参数；（4）若若体体系系 Hamilton 量量可可以以分分成成两两部部分分 H=H0+H1，而而 H0 的本征函数已知有解析解，则该解析解的本征函数已知有解析解，则该解析解可作为体系的试探波函数。可作为体系的试探波函数。（三）如何（三）如何选取取试探波函数探波函数试探波函数的好坏直接关系到计算结果，但是如何选取试探波函数却47例：一维简谐振子试探波函数例：一维简谐振子试探波函数一一维简谐振子振子HamiltonHamilton量：量：其本征函数是：其本征函数是：下面我下面我们根据上面所述原根据上面所述原则构造构造试探波函数。探波函数。选取如下取如下试探波函数：探波函数：A A 归一化常数，一化常数，是是变分参量。分参量。2.(x)是是高高斯斯函函数数，高高斯斯函函数数有有很很好好的的性性质质，可可作作解解析析积积分，且有积分表可查。分，且有积分表可查。1.关关于于 x=0 点点对对称称，满满足足边边界界条条件件，即即当当|x|时时，0；例：一维简谐振子试探波函数一维简谐振子Hamilton 量：48有了试探波函数后，我们就可以计算有了试探波函数后，我们就可以计算 能量平均值是变分参数的函数，欲使H()取最小值，则要求：上式就可定出上式就可定出试探波函数中的探波函数中的变分参量分参量取何取何值时 H()H()有最小有最小值。（四）（四）变分方法分方法有了试探波函数后，我们就可以计算 能量平均值是变分参数的函49