高考数学二轮复习空间向量与空间角空间向量与空间距课件

空间向量与空间角 空间向量与空间距离空间向量与空间角 空间向量的引入为代数方法处理立体几何问空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证琐的推理论证.求空间角与距离是立体几何的一求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一类重要的问题，也是高考的热点之一.本节课主本节课主要是讨论怎样用向量的办法解决空间角问题要是讨论怎样用向量的办法解决空间角问题.空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重O OA AB B.OAB.高考数学二轮复习空间向量与空间角空间向量与空间距课件用空间向量解决立体几何问题的三步曲：用空间向量解决立体几何问题的三步曲：1.1.（化为向量问题）（化为向量问题）建立立体图形与空间向量的联建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题把立体几何问题转化为向量问题.2.2.（进行向量运算）（进行向量运算）通过向量运算，研究点、直线、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题题.3.3.（回到图形问题）（回到图形问题）把向量的运算结果把向量的运算结果“翻译翻译”成成相应的几何意义相应的几何意义.用空间向量解决立体几何问题的三步曲：1.（化为向量问题）建立探究点探究点1 1 异面直线所成的角异面直线所成的角lmlm若两直线若两直线 所成的角为所成的角为 .提示：提示：探究点1 异面直线所成的角lmlm若两直线 所成的角为【总结提升总结提升】两条异面直线所成的角的两个关注点两条异面直线所成的角的两个关注点(1)(1)余弦值非负余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值非负值,而对应的方向向量的夹角可能为钝角而对应的方向向量的夹角可能为钝角.(2)(2)范围范围:异面直线所成的角异面直线所成的角 ,故两直线的方故两直线的方向向量夹角向向量夹角的余弦值为负时的余弦值为负时,应取其绝对值应取其绝对值.【总结提升】探究点探究点2 2 线面角线面角ll提示：提示：探究点2 线面角ll提示：2.2.向量法求直线与平面所成角的原理向量法求直线与平面所成角的原理条件条件直直线l(方向向量方向向量为a)与平面与平面(法向量法向量为n)所成的角所成的角为图形形关系关系 计算算sin=|cossin=|cos|2.向量法求直线与平面所成角的原理条件直线l(方向向量为a)DClBA探究点探究点3 3二面角二面角DClBA探究点3二面角注意法向量的方向：同进同出，注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹一进一出，二面角等于法向量夹角角l注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进二面角的范围：二面角的范围：二面角的范围：提示：提示：提示：高考数学二轮复习空间向量与空间角空间向量与空间距课件求异面直线的夹角求异面直线的夹角考点一考点一 两两条条异异面面直直线线所所成成角角可可以以通通过过这这两两条条直直线线的的方方向向向向量量的的夹夹角角来来求求得得，但但二二者者不不完完全全相相等等当当两两方方向向向向量量夹夹角角为为钝钝角角时时，应应取取其其补补角角作作为为两两异异面面直直线线所成的角所成的角求异面直线的夹角考点一 两条异面直线所成角可以 四四棱棱锥锥PABCD中中，PD平平面面ABCD，PA与与平平面面ABCD所所成成的的角角为为60.在在四四边边形形ABCD中中，ADCDAB90，AB4，CD1，AD2.(1)建立适当的坐标系，并写出点建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；的坐标；(2)求异面直线求异面直线PA与与BC所成的角的余弦值所成的角的余弦值例例1 四棱锥PABCD中，PD平面A高考数学二轮复习空间向量与空间角空间向量与空间距课件高考数学二轮复习空间向量与空间角空间向量与空间距课件求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角考点二考点二考点二考点二求直线与平面所成的角考点二【思思路路点点拨拨】利利用用正正三三棱棱柱柱的的性性质质，建建立立适适当当的的空空间间直直角角坐坐标标系系，写写出出有有关关点点的的坐坐标标求求角角时时有有两两种种思思路路：一一是是由由定定义义找找出出线线面面角角，取取A1B1的的中中点点 M，连连 结结 C1M，证证 明明 C1AM是是 AC1与与 平平 面面A1ABB1所所成成的的角角；另另一一种种是是利利用用平平面面A1ABB1的的法法向量向量n(，x，y)求解求解例例2【思路点拨】利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，高考数学二轮复习空间向量与空间角空间向量与空间距课件高考数学二轮复习空间向量与空间角空间向量与空间距课件高考数学二轮复习空间向量与空间角空间向量与空间距课件高考数学二轮复习空间向量与空间角空间向量与空间距课件高考数学二轮复习空间向量与空间角空间向量与空间距课件利用向量法求二面角的步骤：利用向量法求二面角的步骤：(1)建立适当的空间直角坐标系；建立适当的空间直角坐标系；(2)分分别别求求出出二二面面角角的的两两个个半半平平面面所所在在平平面面的的法法向向量；量；(3)求出两个法向量的夹角；求出两个法向量的夹角；(4)判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角；判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角；(5)确定出二面角的平面角的大小确定出二面角的平面角的大小求平面与平面所成的角求平面与平面所成的角考点三考点三利用向量法求二面角的步骤：求平面与平面所成的角考点三 如如图图，在在长长方方体体ABCDA1B1C1D1中中，E，F分分别别是是棱棱BC，CC1上上的的点点，CFAB2CE，ABADAA1124.(1)求异面直线求异面直线EF与与A1D所成角的余弦值；所成角的余弦值；(2)证明证明AF平面平面A1ED；(3)求二面角求二面角A1EDF的正弦值的正弦值例例3 如图，在长方体ABCDA1B1C1【思思路路点点拨拨】解解答答本本题题首首先先建建立立空空间间坐坐标标系系，写出一些点的坐标，再利用向量法求解写出一些点的坐标，再利用向量法求解【思路点拨】解答本题首先建立空间坐标系，写出一些点的坐标，高考数学二轮复习空间向量与空间角空间向量与空间距课件高考数学二轮复习空间向量与空间角空间向量与空间距课件高考数学二轮复习空间向量与空间角空间向量与空间距课件探究探究4 4：1.1.空间两点之间的距离空间两点之间的距离 根据两向量数量积的性质和坐标运算，根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式利用公式 或或 (其中其中 )，可将两点距离问题，可将两点距离问题转化为求向量模长问题转化为求向量模长问题.提示：提示：探究4：1.空间两点之间的距离 根据两向量数量积2.2.点到直线的距离点到直线的距离点点P P与直线与直线l的距离为的距离为d d。2.点到直线的距离点P与直线l的距离为d。设设E E为平面为平面外一点外一点,F,F为为内任意一内任意一 点点,为平面为平面的法向量的法向量,则点则点E E到平面的到平面的 距离为。距离为。3.3.点到平面的距离点到平面的距离 设E为平面外一点,F为内任意一3.点到 a,b是异面直线是异面直线,E,F,E,F分别是直线分别是直线a,b上的点上的点,是是a,b公垂线的方向向量公垂线的方向向量,则则a,b间距离为间距离为4.4.异面直线间的距离异面直线间的距离 a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b4.5.5.平面与平面的距离问题：平面与平面的距离问题：A，P分别是平面分别是平面a a与与b b上任意一点，上任意一点，平面平面a a与与b b的的距离为距离为d,d,则则mDCPA5.平面与平面的距离问题：A，P分别是平面a与b上任意一点，类型一类型一空间两点间距离空间两点间距离【典例典例】1.1.若若O O为原点，为原点，=(1=(1，1 1，-2)-2)，=(3=(3，2 2，8)8)，=(0=(0，1 1，0)0)，则线，则线段段ABAB的中点的中点M M到点到点C C的距离为的距离为()类型一空间两点间距离2.2.如图，四棱锥如图，四棱锥P-ABCDP-ABCD中，底中，底面是以面是以O O为中心的菱形，为中心的菱形，POPO底面底面ABCDABCD，AB=2AB=2，BADBAD=，M M为为BCBC上一点，且上一点，且BM=BM=，MPAPMPAP，则，则POPO的长为的长为_._.2.如图，四棱锥PABCD中，底3.3.如图，正方形如图，正方形ABCDABCD，ABEFABEF的边长都是的边长都是1 1，而且平面，而且平面ABCDABCD，ABEFABEF互相垂直，点互相垂直，点M M在在ACAC上移动，点上移动，点N N在在BFBF上移上移动，若动，若CM=BN=a(0a ).CM=BN=a(0a ).(1)(1)求求MNMN的长的长.(2)a(2)a为何值时，为何值时，MNMN的长最小？的长最小？3.如图，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面类型二类型二求点到直线的距离求点到直线的距离【典例典例】1.1.已知矩形已知矩形ABCDABCD的边长的边长AB=6AB=6，AD=4AD=4，在，在CDCD上上截取截取CE=4CE=4，以，以BEBE为棱将为棱将BCEBCE折起成折起成BCBC1 1E E，使，使BCBC1 1E E的高的高C C1 1FF平面平面ABCDABCD，则点，则点C C1 1到到ABAB的距离为的距离为_._.类型二求点到直线的距离2.2.如图，在空间直角坐标系中有棱长为如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体的正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，点，点M M是线段是线段DCDC1 1上的动点，试求点上的动点，试求点M M到直到直线线ADAD1 1距离的最小值距离的最小值.2.如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCDA1【解析解析】1.1.如图所示，建立空间直角坐标系如图所示，建立空间直角坐标系.【解析】1.如图所示，建立空间直角坐标系.则则A(0A(0，0 0，0)0)，B(6B(6，0 0，0)0)，C C1 1(4(4，2 2，2 )2 )，D(0D(0，4 4，0)0)，于是，于是 上的单位向量是上的单位向量是n0 0=(-1=(-1，0 0，0)0)，所以点所以点C C1 1到到ABAB的距离为的距离为d=d=则A(0，0，0)，B(6，0，0)，C1(4，2，2 又又 所以所以d=d=答案：答案：2 2又 2.2.设设M(0M(0，m m，m)(0ma)m)(0ma)，=(-a=(-a，0 0，a)a)，直线，直线ADAD1 1的一个单位方向向量的一个单位方向向量s=，=(0=(0，-m-m，a-m)a-m)，故点，故点M M到直线到直线ADAD1 1的距离的距离d=d=2.设M(0，m，m)(0ma)，=(a，0，a根式内的二次函数当根式内的二次函数当m=m=时取最小值时取最小值 故故d d的最小值为的最小值为 a.a.根式内的二次函数当m=时取最小值 类型三类型三求点到平面的距离求点到平面的距离【典例典例】设正方体设正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为2 2，求点，求点D D1 1到到平面平面A A1 1BDBD的距离的距离.类型三求点到平面的距离【解析解析】如图建立空间直角坐标系，则如图建立空间直角坐标系，则D D1 1(0(0，0 0，2)2)，A A1 1(2(2，0 0，2)2)，D(0D(0，0 0，0)0)，B(2B(2，2 2，0)0)，【解析】如图建立空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，A1(所以所以设平面设平面A A1 1BDBD的一个法向量的一个法向量n=(x=(x，y y，z)z)，则则 令令x=1x=1，则则n=(1=(1，-1-1，-1)-1)，所以点所以点D D1 1到平面到平面A A1 1BDBD的距离的距离d=d=所以课堂小结：课堂小结：课堂小结：1.向量法解决空间几何问题的“三部曲”。2.向量法求“点点距”，“点面距”。3.“点线距”、“线线距”可转化为点点距；“线面距”、“面面距”可转化为点面距进行处理.1.向量法解决空间几何问题的“三部曲”。