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概率加油 概率加油 1复习内容一、随机事件及其概率：1.事件：必然事件：在一定的条件下必然要发生的事件记作U；不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件，记作V随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，记作A、B等。复习内容一、随机事件及其概率：事件：必然事件：在一定的条件2复习内容一、随机事件及其概率：2、概率：摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，一般地，在大量重复进行同一试验时，事件记随机事件A在n次试验中发生了m次，那么有总是接近于某个常数，在它附近A发生的频率记作P(A)，所以，即复习内容一、随机事件及其概率：2、概率：摆动，这时就把这个3复习内容二、等可能事件：2.等可能性事件的概率的计算方法 从集合角度看：3.求等可能事件的概率，利用排列、组合的知识先求基本事件总数n，再求所求事件包含基本事件数m。1.定义：对于满足下面特点的随机事件叫做等可能性事件(1)对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果(2)对于上述所有不同的试验结果，它们出现的可能性是相等的复习内容二、等可能事件：2.等可能性事件的概率的计算方法 4例1.在100件产品中，有95件合格品，5件次品。从中任取2件，计算：(1)2件都是合格品的概率；(2)2件都是次品的概率；(3)1件是合格品、1件是次品的概率 典型例题解：从100件产品中任取2件，可能出现的结果为(1)从95件合格品中取到2件的结果为记“任取2件，都是合格品”为事件那么事件的概率例1.在100件产品中，有95件合格品，5件次品。典型例题解5例2.(04全国文)从1，2，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是()典型例题解：基本事件总数为和为偶数分为两种情况：两个奇数一个偶数或都是偶数所以得概率例2.(04全国文)从1，2，9这九个数中，随机抽典型6例3.(04全国理)从1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率是()典型例题解：基本事件总数为所以满足要求的三位数共有应选D用枚举法得出和为9的三个数字可以是：1,3,5或2,3,4或1,4,4或2,2,5或3,3,3例3.(04全国理)从1，2，3，4，5中，随机抽取3个典型7典型例题例4.有3个人需进入4间房中，每人进入每一间房的概率是相同的，求下列事件的概率(1)某指定的3间房中各有1人(2)恰有3间房中各有1人(3)某指定的一间房中恰有2人解：(1)设某指定的3间房中各有1人为事件A(2)设恰有3间房中各有1人为事件B(3)设某指定的一间房中恰有2人为事件C此问题可归结为生日问题典型例题例4.有3个人需进入4间房中，每人进入每一间房的解：8复习内容三、互斥事件：1.定义：事件A与B不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。一般地，如果事件互斥事件，那么就说事件彼此互斥 中的任何两个都是 从集合角度看，n个事件彼此互斥，是指各个事件所含的结果组成的集合彼此不相交。复习内容三、互斥事件：1.定义：事件A与B不可能同时发生，9复习内容2.对立事件：其中必有一个发生的互斥事件叫做 对立事件，记作：说明：两个互斥事件不一定是对立事件，而两个对立事件必是互斥事件，即两个事件对立是这两个事件互斥的充分不必要条件 从集合角度看，两个事件对立时，两个事件所含的结果组成的集合即为事件的全体(全集)。复习内容2.对立事件：其中必有一个发生的互斥事件叫做说明：两103.概率公式：如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率等于事件A，B分别发生的概率的和一般地，如果事件那么事件彼此互斥 这n个事件分别发生的概率的和，发生的概率，等于复习内容对立事件的概率公式：3.概率公式：如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生生的概率11典型例题例5.袋中有5个红球，10个黑球，从中随机地取出两球，求下列事件的概率(1)取出的两球都是红球(2)取出的两球同色(3)取出的两球不同色(4)取出的两球至少有一个是红球解：(1)所求概率为(2)取出两球同色，分为两种情况，即两红(事件A)、两黑(事件B)，且两个事件是互斥的所求概率为典型例题例5.袋中有5个红球，10个黑球，从中随机地取出解：12典型例题例6.(04广东理)某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是_(用分数作答)解：方法(一)方法(二)策略：找事件的对立事件，以简化运算典型例题例6.(04广东理)某班委会由4名男生与3名女生组成13复习内容三、相互独立事件：1.定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。2.相互独立事件与互斥事件的区别：两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。一般地，如果事件A与B相互独立，那么也都是相互独立的。复习内容三、相互独立事件：1.定义：事件A(或B)是否发生14复习内容3.两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。一般地，如果事件这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即 相互独立，那么复习内容3.两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个一般地，15复习内容4.概率的和与积的互补公式 一般地，对于n个随机事件，事件 表示事件 至少有一个发生，表示事件 都发生，即 都不发生。显然 与是两个对立事件，由两个对立事件的概率和等于1，可得 复习内容4.概率的和与积的互补公式，事件 表示事件 至少有一16复习内容5.独立重复试验：在同样的条件下，重复地各次之间相互独立地进行的一种试验。在这样的试验中，每一次试验两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。概率公式：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为 复习内容5.独立重复试验：在同样的条件下，重复地各次之间概率17典型例题例7.(04重庆文)已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为（）解：每次取灯泡的结果是相互独立的，所以，所求概率为典型例题例7.(04重庆文)已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯18例8.(04广东文)一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是 ()A.0.1536 B.0.1808 C.0.5632 D.0.9728 典型例题解：方法一方法二例8.(04广东文)一台X型号自动机床在一小时内不需典型例题19辨析高考例9.(00全国17)甲、乙两人参加普法知识竞赛，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题(1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙二人至少有一人抽到选择题的概率是多少？解：(1)所求概率为(2)甲、乙都抽到判断题的概率为所以至少有一人抽到选择题的概率是辨析高考例9.(00全国17)甲、乙两人参加普法知识竞赛，其20例10.(01全国18/19)用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统M、N。当元件A、B、C都正常工作时，系统M正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N正常工作。已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90，并且工作状态相互独立。请分别求出系统M、N正常工作的概率辨析高考例10.(01全国18/19)用A、B、C三类不同的元件连接21例11.(02全国19/20)某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5(相互独立)。(1)至少3人同时上网的概率(2)至少几人同时上网的概率小于0.3解：(1)至少3人同时上网，包括3、4、5、6人同时上网(2)至少5人同时上网的概率小于0.3辨析高考例11.(02全国19/20)某单位6个员工借助互联网开展工22例12.(04全国文20)从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为，每位男同学能通过测验的概率均为试求：（1）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；（2）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.解：(1)随机选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为(2)甲、乙被选中且能通过测验的概率为 辨析高考例12.(04全国文20)从10位同学（其中6女，4男）中，23辨析高考例13.(04全国18/19)已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支.(1)A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；(2)A组中至少有两支弱队的概率.(1)解法一：三支弱队在同一组的概率为 故有一组恰有两支弱队的概率为解法二：有一组恰有两支弱队的概率(2)A组中至少有两支弱队的概率 辨析高考例13.(04全国18/19)已知8支球队中有3支弱24辨析高考例14.(04全国文20)某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题.竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响.（）求这名同学得300分的概率；（）求这名同学至少得300分的概率.解：记“这名同学答对第i个问题”为事件(1)这名同学得300分的概率(2)这名同学至少得300分的概率 辨析高考例14.(04全国文20)某同学参加科普知识竞赛，需25辨析高考例15.(04重庆文18)设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。（1）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率；（2）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率.解：记“第k个人命中目标”为事件(1)至少有一人命中目标的概率为：恰有两人命中目标的概率为：(2)设甲每次射击为一次试验，从而该问题构成三次重复独立试验，恰有两次发生的概率 辨析高考例15.(04重庆文18)设甲、乙、丙三人每次射击命26辨析高考例16.(04湖南18/19)甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 ,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为 ,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 .（）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；（）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率 辨析高考例16.(04湖南18/19)甲、乙、丙三台机床各自27辨析高考解：（）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件.解得(舍)得(2)设从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品为事件D 辨析高考解：（）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各解得28辨析高考例17.(04湖北文21)为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P）和所需费用如下表：预防措施甲乙丙丁P0.90.80.70.6费用（万元）90603010预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.辨析高考例17.(04湖北文21)为防止某突发事件发生，有甲29辨析高考解：方案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元.由表可知，采用甲措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.9.方案2：联合采用两种预防措施，费用不超过120万元，由表可知.联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为1-(1-0.9)(1-0.7)=0.97.方案3：联合采用三种预防措施，费用不超过120万元，故只能联合乙、丙、丁三种预防措施，此时突发事件不发生的概率为1-(1-0.8)(1-0.7)(1-0.6)=1-0.024=0.976.综合上述三种预防方案可知，在总费用不超过120万元的前提下，联合使用乙、丙、丁三种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大.辨析高考解：方案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过30归纳总结1.五种事件的概念及理解2.四种事件的概率基本公式：(1)等可能事件：除 (2)互斥事件有一个发生：加 (3)对立事件发生：减 (4)相互独立事件同时发生：乘归纳总结1.五种事件的概念及理解31
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