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第第3 3章章 被控过程的数学模型被控过程的数学模型本章要点本章要点掌握被控过程机理建模的方法与步骤掌握被控过程机理建模的方法与步骤熟悉被控过程的自衡和非自衡特性熟悉被控过程的自衡和非自衡特性 熟悉单容过程和多容过程的阶跃响应曲线及解析表熟悉单容过程和多容过程的阶跃响应曲线及解析表 达式达式 重点掌握被控过程基于阶跃响应的建模步骤、作图方重点掌握被控过程基于阶跃响应的建模步骤、作图方法和数据处理法和数据处理 3.13.1 过程建模的基本概念过程建模的基本概念3.1.1 3.1.1 被控过程的数学模型及其作用被控过程的数学模型及其作用 被控过程的数学模型是指过程的输入变量与输被控过程的数学模型是指过程的输入变量与输出变量之间定量关系的描述出变量之间定量关系的描述 数学模型在过程控制中的重要性数学模型在过程控制中的重要性1)1)良好数学模型的建立是控制器参数确定的重要依据。良好数学模型的建立是控制器参数确定的重要依据。2)2)数学建模是仿真或研究、开发新型控制策略的必要条数学建模是仿真或研究、开发新型控制策略的必要条件件 。3)3)通过对生产工艺过程及相关设备数学模型的分析或仿通过对生产工艺过程及相关设备数学模型的分析或仿真，可以为生产工艺及设备的设计与操作提供指导。真，可以为生产工艺及设备的设计与操作提供指导。4)4)利用数学模型可以及时发现工业过程中控制系统的故利用数学模型可以及时发现工业过程中控制系统的故障及其原因，并提供正确的解决途径。障及其原因，并提供正确的解决途径。5)5)全面、深入地掌握被控过程的数学模型是控制系统设全面、深入地掌握被控过程的数学模型是控制系统设计的基础。计的基础。3.1.2 3.1.2 被控过程的特性被控过程的特性依据过程特性的不同分为自衡特性与无自衡特性、依据过程特性的不同分为自衡特性与无自衡特性、单容特性与多容特性、振荡与非振荡特性等单容特性与多容特性、振荡与非振荡特性等 1 1有自衡特性和无自衡特性有自衡特性和无自衡特性 当原来处于平衡状态的过程出现干扰时，其输出量在当原来处于平衡状态的过程出现干扰时，其输出量在无人或无控制装置的干预下，能够自动恢复到原来或新的无人或无控制装置的干预下，能够自动恢复到原来或新的平衡状态，则称该过程具有自衡特性，否则，该过程则被平衡状态，则称该过程具有自衡特性，否则，该过程则被认为无自衡特性。认为无自衡特性。具有自衡特性的过程及其响应曲线具有自衡特性的过程及其响应曲线 h()0.982h()0.95h()0.865h()0.632h()t0T2T3T 4T 无自衡过程及其阶跃响应曲线无自衡过程及其阶跃响应曲线 自平衡特性其传递函数的典型形式有：自平衡特性其传递函数的典型形式有：一阶惯性环节一阶惯性环节 二阶惯性环节二阶惯性环节 二阶惯性二阶惯性+纯滞后环节纯滞后环节 一阶惯性一阶惯性+纯滞后环节纯滞后环节 一阶环节一阶环节 一阶一阶+纯滞后环节纯滞后环节二阶二阶+纯滞后环节纯滞后环节无平衡特性其传递函数的典型形式：无平衡特性其传递函数的典型形式：二阶环节二阶环节 3振荡与非振荡过程的特性振荡与非振荡过程的特性4 4具有反向特性的过程特性具有反向特性的过程特性3.1.3 3.1.3 过程建模方法过程建模方法 1 1机理演绎法机理演绎法 根据被控过程的内部机理，运用已知的静态或动态根据被控过程的内部机理，运用已知的静态或动态平衡关系，用数学解析平衡关系，用数学解析的方法求取被控过程的数学模型。的方法求取被控过程的数学模型。2 2试验辨识法试验辨识法3.3.混合法混合法 机理演绎法与试验辩识法的相互交替使用机理演绎法与试验辩识法的相互交替使用的一种的一种方法。方法。先给被控过程人为地施加一个输入作用，然后记录先给被控过程人为地施加一个输入作用，然后记录过程的输出变化量，得到一系列实验数据或曲线，最过程的输出变化量，得到一系列实验数据或曲线，最后再根据实验数据确定数学模型的结构及其参数。后再根据实验数据确定数学模型的结构及其参数。3.2 3.2 解析法建立过程的数学模型解析法建立过程的数学模型3.2.13.2.1解析法建模的一般步骤解析法建模的一般步骤1 1）明确过程的输出变量、输入变量和其他中间变量）明确过程的输出变量、输入变量和其他中间变量2 2）依据过程的内在机理和有关定理、定律以及公式）依据过程的内在机理和有关定理、定律以及公式列写静态方程或动态方程列写静态方程或动态方程3 3）消去中间变量，求取输入、输出变量的关系方程）消去中间变量，求取输入、输出变量的关系方程4 4）将其简化成控制要求的某种形式，如高阶微分将其简化成控制要求的某种形式，如高阶微分（差分）方程或传递函数（脉冲传递函数）等（差分）方程或传递函数（脉冲传递函数）等3.2.2 单容过程的解析法建模单容过程的解析法建模 某单容液位过程，贮罐中液位高度h为被控参数，流入贮罐的体积流量为q1过程的输入量并可通过阀门1的开度来改变；流出贮罐的体积流量q2为过程的干扰，其大小可以通过阀门2的开度来改变。试确定q1与h之间的数学关系?解解 n单容热力过程p18n n能量动态平衡关系能量动态平衡关系能量动态平衡关系能量动态平衡关系增量式增量式增量式增量式容器绝热，容器绝热，容器绝热，容器绝热，为常数为常数为常数为常数容器绝热，容器绝热，容器绝热，容器绝热，为常数为常数为常数为常数 例例例例4-3 4-3 4-3 4-3 如图如图如图如图4-104-104-104-10：如果水箱出口由泵打出，其不：如果水箱出口由泵打出，其不：如果水箱出口由泵打出，其不：如果水箱出口由泵打出，其不同之处在于：同之处在于：同之处在于：同之处在于：当当当当q q q q1 1 1 1发生变化时，发生变化时，发生变化时，发生变化时，q q q q2 2 2 2不发生变化不发生变化不发生变化不发生变化。如。如。如。如果果果果q q q q1 1 1 1q q q q2 2 2 2 ，水位，水位，水位，水位HH将不断上升，直至溢出，将不断上升，直至溢出，将不断上升，直至溢出，将不断上升，直至溢出，可见可见可见可见该系统是无自衡能力。该系统是无自衡能力。该系统是无自衡能力。该系统是无自衡能力。绝大多数对象都有自衡能力，一般而言有自衡绝大多数对象都有自衡能力，一般而言有自衡绝大多数对象都有自衡能力，一般而言有自衡绝大多数对象都有自衡能力，一般而言有自衡能力的系统比无自衡能力的系统容易控制。能力的系统比无自衡能力的系统容易控制。能力的系统比无自衡能力的系统容易控制。能力的系统比无自衡能力的系统容易控制。图图4-10 无自衡特性水槽无自衡特性水槽qq2 2=0=0 h h0 0阀门阀门1 1q q1010q q2020h h单容无自衡特性单容无自衡特性 若阀门若阀门1 1突然开大突然开大1 1，则则q q1 1增大，增大，q q2 2不变化。不变化。传递函数：传递函数：3.2.3 3.2.3 多容过程的解析法建模多容过程的解析法建模 以自衡特性的双容过程为例，如图设为q1过程输入量，第二个液位槽的液位h2为过程输出量，若不计第一个与第二个液位槽之间液体输送管道所形成的时间延迟，试求q1与h2之间的数学关系。（6）两边对）两边对t求导，得：求导，得：（7）代入（）代入（8），整理得：），整理得：或或两边取拉氏变换：两边取拉氏变换：传递函数：传递函数：当当输输入入量量是是阶阶跃跃增增量量q q1 1 时时，被被控控变变量量h h2 2的的反反应应（飞飞升升）曲曲线呈线呈S S型。型。所谓所谓滞后滞后是指被控变量的变化落后于输入变化是指被控变量的变化落后于输入变化的时间。的时间。0 0t th h2 2（）h h2 2为简化数学模型，为简化数学模型，可以用可以用带滞后的单容过带滞后的单容过程程来近似。来近似。0 0t th h2 2（）h h2 20 0 0tc cT0h2（）在在S S形曲线的拐点上作一切线，若将它与时间形曲线的拐点上作一切线，若将它与时间轴的交点近似为反应曲线的起点，则曲线可表达为轴的交点近似为反应曲线的起点，则曲线可表达为带滞后的一阶特性带滞后的一阶特性：如果槽1和槽2之间管道长度形成的时间延迟为如果过程为n个容器依次分离串联，则传函为：，则传函为：若将阀门3改为定量泵，则传函为：三、如图所示为相互影响的双容对象三、如图所示为相互影响的双容对象3.3 3.3 实验法建立过程的数学模型实验法建立过程的数学模型3.3.1 3.3.1 响应曲线法响应曲线法3.3.1.1 3.3.1.1 阶跃响应曲线法阶跃响应曲线法1 1）试验测试前，被控过程应处于相对稳定的工作状态）试验测试前，被控过程应处于相对稳定的工作状态 一、注意事项一、注意事项2 2）相同条件下重复多做几次试验）相同条件下重复多做几次试验 ，减少随机干扰的影响，减少随机干扰的影响3 3）对正、反方向的阶跃输入信号进行试验，以衡量过程的）对正、反方向的阶跃输入信号进行试验，以衡量过程的 非线性程度非线性程度4 4）一次试验后，应将被控过程恢复到原来的工况并稳定一）一次试验后，应将被控过程恢复到原来的工况并稳定一 段时间再做第二次试验段时间再做第二次试验 5 5）输入的阶跃幅度不能过大，以免对生产的正常进行产生）输入的阶跃幅度不能过大，以免对生产的正常进行产生不利影响。但也不能过小，以防其它干扰影响的比重相对较不利影响。但也不能过小，以防其它干扰影响的比重相对较大而影响试验结果。大而影响试验结果。二、模型结构的确定二、模型结构的确定一阶惯性一阶惯性一阶惯性一阶惯性+纯滞后纯滞后 二阶惯性二阶惯性+纯滞后纯滞后 二阶惯性二阶惯性三。模型参数的确定三。模型参数的确定（1 1）确定一阶环节的参数）确定一阶环节的参数 该响应曲线可近似为无时延的一阶环节该响应曲线可近似为无时延的一阶环节则其输入与输出的关系为：则其输入与输出的关系为：为过程的放大系数，为过程的放大系数，为时间常数。为时间常数。其中其中上式中，当上式中，当时时以上式为斜率在以上式为斜率在t=0t=0处作切线，切线方程为处作切线，切线方程为 当当则有：则有：和和时时（2 2）计算法）计算法2 2、确定一阶时延环节的参数确定一阶时延环节的参数 3、确定二阶环节的参数确定二阶环节的参数 t t1 1=0.4 t=0.4 t2 2=0.8=0.8时，应为一阶环节时，应为一阶环节 其中其中当当时，应为二阶环节时，应为二阶环节 其中其中时，应为二阶以上环节。时，应为二阶以上环节。当当对于对于n n阶环节传递函阶环节传递函数数n12345678101214t1/t20.320.460.530.580.620.650.670.6850.710.7350.75高阶过程的高阶过程的n n与与的关系的关系当当其中其中4 4、确定二阶时延环节的参数、确定二阶时延环节的参数 0.080.04TC/TAT1/TA0.75T2/TAABC3.3.1.2 3.3.1.2 方波响应曲线法方波响应曲线法 如图，q1为过程的流入量，q2为过程的流出量，h为液位高度，C为容量系数。若以q1为过程的输入量，h为输出量（被控量），R1、R2设为线性液阻，求过程的传函R1q1hq2q3h1h2代入拉普拉斯变换已知两个水箱串联工作，其输入量为 q1，流出量为 q2、q3，h1、h2 分别为两个水箱的水位。h2 为被控参数，C1、C2 为容量系数，假设 R1,R2,R12,R3 为线性液阻。要求：1）列出该液位过程的微分方程组。2）画出该过程的框图 3）求该液位过程的传递函数 q1h1q2R2C1R12C2h2R3q3解 微分方程组-过程框图 过程传函对上式进行拉氏变换4.3.2 最小二乘法最小二乘法4.3.2.1 离散化模型与输入试验信号1离散化模型（1）离散时域模型 如果对被控过程的输入信号u(t)，输出信号y(t)进行采样，采样周期为T，则相应得到差分方程为：（2）离散频域模型 离散频域模型可用脉冲传递函数表示。对输出离散序列 进行Z变换 2 2输入试验信号输入试验信号 （1）输入试验信号的条件与要求 为了使被控过程是可辨识的，输入试验信号必须满足条件为了使被控过程是可辨识的，输入试验信号必须满足条件:1）在辨识时间内被控过程的模态必须被输入试验信号持续激励；2）输入试验信号的选择应能使辨识模型的精度最高。从工程的角度，输入试验信号的选取还要考虑如下一些要求：从工程的角度，输入试验信号的选取还要考虑如下一些要求：3）工程上易于实现，成本低。1）输入试验信号的功率或幅值不宜过大，也不能太小；2）输入试验信号对过程的“净扰动”要小；（2）输入试验信号的选取 白色噪声作为输入试验信号可以保证获得较好的辨识效果，但白色噪声在工程上不易实现 研究表明，最长线性移位寄存器序列（简称M序列）具有近似白色噪声的性能 3M序列的产生（1）移位寄存器产生（2）软件实现 可以使用MATLAB语言编程实现产生M序列4.3.2.2 最小二乘法最小二乘法将待辨识的过程看作“黑箱”如图所示 输入和输出y(t)是可以量测的；e(k)为量测噪声 则过程模型为 其中最小二乘法要解决的问题是如何利用过程的输入/输出量测数据确定多项式 和的系数 对于模型展开后写成最小二乘格式为 其中4.3.2.3 最小二乘问题的解 1.一次完成解法（适用于理论研究）将准则函数 写成二次型的形式，即可求得参数 的估计值，使模型的输出“最好”地预报过程的输出。代表模型的输出 其中显然，极小化的经计算，有唯一的满足使其计算机程序流程，如右图所示：可获得一批输入/输出数据之后，利用这种方法可一次求得相应的参数估计值，这种处理问题的方法称为一次完成算法。的方法，称为最小二乘法。这种计算称为最小二乘参数估计值。（2）最小二乘递推解法（适合于计算机在线辨识）优点：每次计算只需采用k+1时刻的输入/输出数据修正k时刻的参数估计值，从而使参数估计值不断更新，而无需对所有数据进行重复计算，适合于在线辨识。其核心思想是下一时刻的参数估计值 等于上一时刻参数估计值加一项修正项。其信息变换图如下：（3）模型阶次和纯滞后时间的确定 上述情况是假定在系统阶次n和純滞后时间 已知的情况下，但实际情况是这两个参数未必能够事先知道，往往需要根据试验数据加以确定。确定模型阶次n最简单实用的方法是采用数据拟合度检验法。它是通过比较不同阶次的模型输出与实际过程的输出拟合程度来决定模型的节次。纯滞后时间 可以采用阶跃响应曲线法获得，也可以比较不同 值的损失函数来求取。确定n和的最小二乘法计算机程序流程图本章结束，谢谢！本章结束，谢谢！人有了知识，就会具备各种分析能力，人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说古人说“书中自有黄金屋。书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进鼓舞我们前进。
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