简单的线性规划问题课件

简单的线性规划问题简单的线性规划问题11.一元二次不等式表示平面区域一元二次不等式表示平面区域(左小右大）左小右大）在直角坐标系中，在直角坐标系中，Ax+By+C=0将平面分成三部分将平面分成三部分.直线上的点直线上的点满足满足Ax+By+C=0，当，当B=0时，直接从坐标系上看出范围，当时，直接从坐标系上看出范围，当B0时，时，满足满足B(Ax+By+C)0表示直线上方的区域，满足表示直线上方的区域，满足B(Ax+By+C)0表示直线下方的区域表示直线下方的区域.口诀是：同号在上，异号在下口诀是：同号在上，异号在下.或采用或采用“以线以线定界，以点定域定界，以点定域”的原则的原则.判别不等式判别不等式Ax+By+C0(或或Ax+By+C0)表示的平面区域时，表示的平面区域时，只要在直线只要在直线Ax+By+C=0的一侧任取一点的一侧任取一点(x0，y0)，将它的坐标代入，将它的坐标代入不等式，如果该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一不等式，如果该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一2侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域另一侧平面区域.由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分所表示的平面区域的公共部分.2.线性规划线性规划 线性目标函数在线性约束条件下，线性目标函数在线性约束条件下，最值问题最值问题的讨论的讨论.基本概念基本概念由由x、y的一次不等式的一次不等式(或方程或方程)组成的不等式组，是组成的不等式组，是对对x、y的约束条件的约束条件线性约束条件线性约束条件意义意义名称名称3求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题值的问题线性规划问题线性规划问题使目标函数达到最大值或最小值的可行解使目标函数达到最大值或最小值的可行解最优解最优解所有可行解组成的集合叫做可行域所有可行解组成的集合叫做可行域可行域可行域满足线性约束条件满足线性约束条件x、y的解的解(x，y)叫做可行解叫做可行解可行解可行解关于关于x、y的一次解析式的一次解析式线性目标函数线性目标函数关于关于x、y的解析式，如：的解析式，如：z=2x+y，z=x2+y2等等目标函数目标函数 解线性规划的问题，一般用图解法，解线性规划的问题，一般用图解法，其步骤如下其步骤如下：(1)设出变量设出变量x、y；(2)找出约束条件，找出线性目标函数；找出约束条件，找出线性目标函数；4(3)画出可行域；画出可行域；(4)利用线性目标函数作平行直线系；利用线性目标函数作平行直线系；(5)求出最值，还原成实际问题的解求出最值，还原成实际问题的解.5 x-3y+60 x-y+20表示的平面区域是表示的平面区域是()1.不等式组不等式组B基础练习：基础练习：6 (2009上海卷上海卷)已知实数已知实数x、y满足满足 y2x y-2x x3，则目标函数，则目标函数z=x-2y的最小值是的最小值是 .学例1-9 作出作出(x,y)满足的值域满足的值域如图，由目标函数的特点知，如图，由目标函数的特点知，在点（在点（3，6）处）处z取得最小值取得最小值-9.7 可行域为图中阴影可行域为图中阴影部分部分,由图可知由图可知s=x+y在点在点(4，5)处取得最大值，处取得最大值，最大值为最大值为s=4+5=9.(2009北京卷北京卷)若实数若实数x,y满足满足x+y-20 x4y5,则则s=x+y的最大值为的最大值为 .学例2984.不不等等式式|x-1|+|y-1|2表表示示的的平平面面区区域域的的面积是面积是 .8|x-1|+|y-1|2可化为可化为 x-10 x-10 x-10 y-10 y-10 y-10 x+y-40 x-y-20 x-y+20或或或或9 x-10 y-10 x+y0.其平面区域如图：其平面区域如图：所以面积所以面积S=42=8.或或10方法点拨：数形结合，以线定界以点定域数形结合，以线定界以点定域.自学范例1设设R为平面上以为平面上以A(4，1)、B(-1，-6)、C(-3，2)三点为顶三点为顶点的三角形区域点的三角形区域(包括边界及内部包括边界及内部)，试求，试求(x，y)在在R内运动时，内运动时，x，y需满足的条件，并画出平面区域需满足的条件，并画出平面区域.考 点基本知识基本概念基本知识基本概念;可行域及判定、目标函数可行域及判定、目标函数;不不等式、不等式组表示的区域的求法等式、不等式组表示的区域的求法1分析:先由三个顶点求出三条边界线的方程先由三个顶点求出三条边界线的方程.再确定区域的不等式组再确定区域的不等式组解析解析:在直角坐标系中，标出在直角坐标系中，标出A、B、C三点，画出三点，画出AB、AC、BC11三条直线并写出各自对应的直线方程，代入原点三条直线并写出各自对应的直线方程，代入原点(0，0)检验即可检验即可.因为因为AB:7x-5y-23=0，BC:4x+y+10=0，AC:x+7y-11=0，将将(0，0)代入代入7x-5y-23得得-230，原点在原点在7x-5y-230所表示的区域内所表示的区域内.同理检验出原点在同理检验出原点在4x+y+100，x+7y-110所表示的区域内所表示的区域内.x、y满足的条件为满足的条件为 它所表示的平面区域如下它所表示的平面区域如下图所示图所示.【点评】正确表示出区域，求出不等式或二元一次直线方程，再结合原正确表示出区域，求出不等式或二元一次直线方程，再结合原点存在与否点存在与否定域定域，区域或边界用阴影或，区域或边界用阴影或虚实线虚实线表示表示.12考 点几个常见的几何问题的线性规划几个常见的几何问题的线性规划2方法点拨:目标函数建立后目标函数建立后,要联系要联系相关几何意义相关几何意义.如如斜率斜率、截截距距、距离距离等等.自学范例2 设设x、y满足满足13分析分析:先画出不等式组表示的平先画出不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何面区域，结合目标函数的几何意义求解意义求解.解析解析:如图直线如图直线x-y+2=0，x+y-4=0，2x-y-5=0的交点的交点A(1，3)，B(3，1)，C(7，9).(1)设设z=x+2y-4，则，则 作斜率为作斜率为 的平行直线的平行直线l.当当l过过C(7，9)时，截距最大，这时时，截距最大，这时z也最大也最大.即即z的最大值是的最大值是7+29-4=21.14(2)x2+y2-10y+25=x2+(y-5)2是表示区域上的点是表示区域上的点(x，y)与与(0，5)的距的距离的平方离的平方.(0，5)到直线到直线x-y+2=0的距离是的距离是d=x2+y2-10y+25的最小值是的最小值是15 x-y-20 x+2y-40 2y-30,则则 的最大值是的最大值是.设实数设实数x、y满足满足 不等式组确定的平面区域如图阴不等式组确定的平面区域如图阴影部分影部分.16设设 =t，则则y=tx,求求 的的最最大大值值，即即求求y=tx的斜率的最大值的斜率的最大值.显然显然y=tx过过A点时，点时，t最大最大.x+2y-4=0 2y-3=0代入代入y=tx,得得t=.所以所以 的最大值为的最大值为 .由由，解得，解得A(1,).17 x1 x-y+10 2x-y-20，则，则x2+y2的最小值是的最小值是 .2.已知实数已知实数x、y满足满足5 x-y+1=0 x=1，得最优解为得最优解为A(1,2)，所以所以x2+y2的最小值为的最小值为5.作出可行域，由作出可行域，由18 本本题题是是将将非非线线性性规规划划问问题题，转转化化为为线线性性规规划划问问题题求求解解，体体现现了了数数形形结结合合和和化化归归思思想想的的运运用用.这这种种题题型型在在今今后后高高考考中中可可能能会会成成为为主主要要命命题题方方向向，望望引起同学们的关注引起同学们的关注.19方法点拨：目标函数是连续函数或是整点最值问题目标函数是连续函数或是整点最值问题.以实际意义来看，一以实际意义来看，一类是资源分配能使完成任务量最大；另一类是统筹安排任务，使耗费的人力、类是资源分配能使完成任务量最大；另一类是统筹安排任务，使耗费的人力、物力资源最少物力资源最少.考 点线性规划解决应用问题线性规划解决应用问题3自学范例3 某公司计划某公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不年在甲、乙两个电视台做总时间不超过超过300分钟的广告分钟的广告，广告总费用不超过广告总费用不超过9万元万元.甲、乙电视台的甲、乙电视台的广告收费标准分别为广告收费标准分别为500元元/分钟和分钟和200元元/分钟分钟.假定甲、乙两个假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为为0.3万元和万元和0.2万元，问该公司如何分配在甲、乙两个电视台万元，问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？20分析:假设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为假设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和分钟和y分钟，总收益为分钟，总收益为z元，则可列出元，则可列出x，y所满足的不等式所满足的不等式组及目标函数组及目标函数.解析解析:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟分钟和和y分钟，总收益为分钟，总收益为z元，由题意得元，由题意得作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如上图作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如上图.+=+0，0，90025，300.20003000.0，0，90000200500，300yxyxyxyxzyxyxyx于于二元一次不等式组等价二元一次不等式组等价目标函数为目标函数为21 作直线作直线l:3000 x+2000y=0.即即3x+2y=0.平移直线平移直线l，从图中可知，当直线，从图中可知，当直线l过过M点时，目标函数取得最大点时，目标函数取得最大值值.联立联立 解得解得x=100，y=200.点点M的坐标为的坐标为(100，200).zmax=3000 x+2000y=700000(元元).答：该公司在甲电视台做答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做分钟广告，在乙电视台做200分钟分钟广告广告.公司的收益最大，最大值为公司的收益最大，最大值为70万元万元.【点评】画出可行域后，再把目标函数平行移动，比较画出可行域后，再把目标函数平行移动，比较截距截距的的大小，要注意目标函数的意义大小，要注意目标函数的意义.注意单位的换算！注意单位的换算！22练习练习 制制定定投投资资计计划划时时，不不仅仅要要考考虑虑可可能能获获得得的的利利润润，而而且且要要考考虑虑可可能能出出现现的的亏亏损损，某某投投资资人人打打算算投投资资甲甲、乙乙两两个个项项目目，根根据据预预测测，甲甲、乙乙项项目目可可能能的的最最大大盈盈利利率率分分别别为为100%和和50%，可可能能的的最最大大亏亏损损分分别别为为30%和和10%，投投资资人人计计划划投投资资金金额额不不超超过过10万万元元，要要求求确确保保可可能能的的资资金金亏亏损损不不超超过过1.8万万元元，问问投投资资人人对对甲甲、乙乙两两个个项项目目各各投投资资多多少少万万元元，才才能能使可能的盈利最大？使可能的盈利最大？23 设投资人分别用设投资人分别用x万元、万元、y万元投资甲、万元投资甲、乙两个项目，则乙两个项目，则目标函数目标函数z=x+0.5y.x+y10 0.3x+0.1y1.8 x0,y0,24作作可可行行域域,当当直直线线l:x+0.5y=z过过点点M时时,z取取最大值最大值.x+y=10 x=4 3x+y=18，y=6，所以点所以点M(4,6).故当故当x=4，y=6时，时，zmax=7.答答：投投资资甲甲项项目目4万万元元，投投资资乙乙项项目目6万万元时，可能的盈利最大元时，可能的盈利最大.由由得得25 这这是是在在高高考考中中第第一一次次以以解解答答题题的的形形式式考考查查简简单单的的线线性性规规划划问问题题.本本题题是是一一道道应应用用题题，以以投投资资决决策策为为背背景景，以以线线性性规规划划为为素素材材，考考查查学学生生对对数数学学的的应应用用意意识识和和能能力力，不不落落俗俗套套，令令人人耳耳目一新目一新.2619.19.（本小题满分（本小题满分1212分分20102010年广东高考年广东高考）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午午餐餐含含1212个单位的个单位的碳水化合物，碳水化合物，6 6个单位个单位蛋白质蛋白质和和6 6个单位的个单位的维生维生素素C C；一个单位的；一个单位的晚餐晚餐含含8 8个单位的个单位的碳水化合物，碳水化合物，6 6个单位的个单位的蛋蛋白质白质和和1010个单位的个单位的维生素维生素C.C.另外，该儿童这两餐需要的营养另外，该儿童这两餐需要的营养中中至少至少含含6464个单位的碳水化合物，个单位的碳水化合物，4242个单位的蛋白质和个单位的蛋白质和5454个单个单位的维生素位的维生素C.C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少花费最少，应当为该，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？解：解：设该儿童分别预订设该儿童分别预订x,y个单位的午餐和晚餐，共花费个单位的午餐和晚餐，共花费z元元即即 27作出可行域如图所示：作出可行域如图所示：经试验发现，当经试验发现，当时，时，花费最少，为花费最少，为（元）（元）答答：应当为该儿童预定：应当为该儿童预定4个单位的午餐和个单位的午餐和4个单位晚餐个单位晚餐28考 点 综合新题综合新题4自学范例4(1)设二元一次不等式组设二元一次不等式组 所表示的平面区所表示的平面区域为域为M，使函数，使函数y=ax(a0，a1)的图象过区域的图象过区域M的的a的取取值的取取值范围是范围是()A.1.1，33 B.2,2,C.22，99D.，9929分析:结合图形求解.解析解析:(1)过点(1,9)(3,8)求得2a930【点评点评】解题的关键是画出图形解题的关键是画出图形.31 设设集集合合A=(x,y)|x,y,1-x-y是是三三角角形形的的边边长长，则则A所所表表示示的的平平面面区区域域（不不含边界的阴影部分）是含边界的阴影部分）是()A32p经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量pStudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe学习总结结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The End演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日