第四章弯曲应力资料课件

4-4 4-4 梁横截面上的正应力、梁梁横截面上的正应力、梁的的正应正应力强度条件力强度条件一、概述一、概述二、纯弯曲时梁横截面上的正应力二、纯弯曲时梁横截面上的正应力三、横力弯曲时的正应力三、横力弯曲时的正应力四、梁的正应力强度条件四、梁的正应力强度条件一、一、概述概述MFss st tFFaa一、一、概述概述FFFsFaM横力弯曲横力弯曲FF纯弯曲纯弯曲FF纯弯曲纯弯曲：横截面上：横截面上只只有弯矩没有剪力的弯曲。有弯矩没有剪力的弯曲。横力弯曲：横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲。横力弯曲：横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲。纯弯曲实验纯弯曲实验 PPFsPaM一、概述一、概述PP1.1.纯弯曲试验纯弯曲试验二、纯弯曲时梁横截面上的正应力二、纯弯曲时梁横截面上的正应力1.1.纯弯曲试验纯弯曲试验2.纵向线纵向线：1.横向线横向线：3.上层纤维缩短，下层纤维伸长上层纤维缩短，下层纤维伸长直线直线,相对旋转了一个角度相对旋转了一个角度平行的弧线，平行的弧线，距离没有改变，垂直于横向线距离没有改变，垂直于横向线梁内梁内横截面横截面变形后仍保持为变形后仍保持为平面平面，只是绕着某只是绕着某个轴个轴转动一个角度转动一个角度,仍然仍然与轴线垂直与轴线垂直平面平面假设假设:纵向纤维之间纵向纤维之间没有挤压没有挤压2.纵向线：纵向线：1.横向线：横向线：3.上层纤维缩短，下层纤维伸长上层纤维缩短，下层纤维伸长直线直线相对旋转了一个角度相对旋转了一个角度平行的弧线，平行的弧线，距离没有改变，垂直于横向线距离没有改变，垂直于横向线单向受力单向受力假设假设：既不伸长、也不缩短的纤维层既不伸长、也不缩短的纤维层 中性层与横截面的交线中性层与横截面的交线 对称面对称面中性层中性层横截面横截面横截面对称轴横截面对称轴轴线轴线中性层中性层中性轴中性轴中性轴中性轴变形几何关系变形几何关系中性层的曲率半径中性层的曲率半径mmxnndxybb对于指定的横截面对于指定的横截面=常量常量(a)aax2 2、公式推导、公式推导oo物理关系物理关系(a)(b)横截面上一点的正应力与该横截面上一点的正应力与该点到点到中性轴的距离成正比中性轴的距离成正比b.沿沿横截面的高度横截面的高度，正应力正应力按按线性规律变化；线性规律变化；a.在在中性轴上为零中性轴上为零比例极限范围内比例极限范围内:Myzx横截面上正横截面上正应力的分布应力的分布图图静力关系静力关系(b)MyzdAsxyzM横截面上的应力构成横截面上的应力构成空间平行力系空间平行力系(e)(d)(c)中性轴必须通过横截面的形心中性轴必须通过横截面的形心自然满足自然满足Myzx梁的中性层变形后的曲率，梁的中性层变形后的曲率，梁梁的弯曲刚度的弯曲刚度反映了梁抵抗反映了梁抵抗弯曲弯曲变形的能力变形的能力在纯弯曲时，梁的轴线被弯曲成在纯弯曲时，梁的轴线被弯曲成静力关系静力关系梁的轴线变形后的曲率梁的轴线变形后的曲率圆弧圆弧该截面的弯矩该截面的弯矩所求点到该截面所求点到该截面中性轴中性轴的距离的距离该截面对该截面对中性轴中性轴的惯性矩的惯性矩纯弯曲纯弯曲时梁横截面上时梁横截面上的正应力计算公式的正应力计算公式符号判断法：符号判断法：1.直接代入直接代入M和和 y代数代数值，值，求出为正，为拉应力；求出为正，为拉应力；求求出为负，为压应力。出为负，为压应力。2.代入代入M和和 y绝对绝对值，再根据梁段的变形情况判断符号值，再根据梁段的变形情况判断符号 公式讨论公式讨论正弯矩正弯矩：中性轴以下受拉，中性轴以上受压。：中性轴以下受拉，中性轴以上受压。负负弯矩弯矩：中性轴以下受压，中性轴以上受拉。：中性轴以下受压，中性轴以上受拉。的正负号的判断的正负号的判断上下上下边缘同时达到最大值边缘同时达到最大值：A.横截面关于中性轴对称时横截面关于中性轴对称时(如如矩形矩形、圆形圆形等等)最大应力最大应力弯曲截面弯曲截面系数系数 其中：其中：zyzy反映了梁抵抗反映了梁抵抗弯曲弯曲破坏的能力破坏的能力A.横截面关于中性横截面关于中性轴对称时轴对称时B.横截面关于中性轴横截面关于中性轴不对称不对称y2003030zC17013961三、横力弯曲时的正应力三、横力弯曲时的正应力可按可按纯弯曲纯弯曲的正应力公式计算的正应力公式计算横力弯曲横力弯曲时的正应力时的正应力横力弯曲横力弯曲A.A.变形后，变形后，横截面将发生翘曲横截面将发生翘曲，不再保持为平面，不再保持为平面B.B.纵向纤维之间还可能会发生纵向纤维之间还可能会发生挤压挤压精确的分析表明精确的分析表明当梁的跨长当梁的跨长l与横截面的高度与横截面的高度h之比大于之比大于5 5时时三、横力弯曲时的正应力三、横力弯曲时的正应力最大正应力：最大正应力：弯曲正应力：弯曲正应力：例例1 试求图示矩形截面梁试求图示矩形截面梁1-1截面上的截面上的D与与E点的正应力点的正应力1 mABC1.5 m1 mF=20kN11yz6010030DE解：解：yz6010030DE（压）（压）（拉）（拉）yz6010030DE或或或或例例：一跨中受集中荷载作用的简支梁，由：一跨中受集中荷载作用的简支梁，由18b18b号槽钢制成。求此梁号槽钢制成。求此梁的最大拉应力和最大压应力，并画出危险截面上的应力分布图。的最大拉应力和最大压应力，并画出危险截面上的应力分布图。1 mABC2 mF=5kNz解：解：（1 1）作弯矩图）作弯矩图（2 2）查表，得）查表，得（3 3）计算最大应力）计算最大应力 试计算图示简支矩形截面木梁平放与试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大正应力，并加以比较。竖放时的最大正应力，并加以比较。200100竖放横放 例题例题例题例题 M图图解：解：例：求例：求并求各自的最大拉应力和最大压应力并求各自的最大拉应力和最大压应力10 20 解：解：200 200 30 302m3m1mq=10kN/mF=20kNACBD30kN10kN yzcyc B截面：截面：C截面：截面：10 20 200 200 30 302m3m1mq=10kN/mF=20kNACBD30kN10kN yzcyc四四、梁的正应力、梁的正应力强度条件强度条件1.对于对于抗拉抗拉和和抗抗压压强度强度相等相等的材料的材料(如低碳钢如低碳钢)2.对于对于抗拉抗拉和和抗压抗压强度强度不相等不相等的材料的材料(如铸铁）如铸铁）许用拉压应力许用拉压应力对等对等直梁：直梁：等直梁：等直梁：中性轴中性轴是是对称轴对称轴中性轴中性轴不是不是对称轴对称轴发生在发生在 的截面上。的截面上。（A）（B）截面）截面关于关于中性轴不对称的梁中性轴不对称的梁（脆性材料）：（脆性材料）：等直梁等直梁：危险截面：危险截面：截面关于中性轴对称截面关于中性轴对称时：时：要确定最大应力，需分别计算最大正、负弯矩要确定最大应力，需分别计算最大正、负弯矩所在截面的最大拉、压应力，再作比较。所在截面的最大拉、压应力，再作比较。已知工字钢已知工字钢=215MPa=215MPa。试选择工字钢型号。试选择工字钢型号。查表查表N0 12.6工字钢工字钢 WZ=77.5cm3 例题例题例题例题 解：解：1 1、作剪力、弯矩图、作剪力、弯矩图2 2、选择工字钢型号、选择工字钢型号由由得得0.937m例例 铸铁梁的受载情况以及截面尺寸如图所示。铸铁材料铸铁梁的受载情况以及截面尺寸如图所示。铸铁材料的许的许用用拉应力拉应力 ,许用压应力许用压应力 ，其中其中 ，,试试计算该梁的许可载荷计算该梁的许可载荷F。解：解：危险危险截面为截面为1400AC600BC1502005050yM作作弯矩图弯矩图A截面：截面：C截面：截面：1400AC600BC1502005050yM对全梁对全梁 由由 得得 由由 得得 故许可荷载故许可荷载 图示结构承受均布荷载，图示结构承受均布荷载，ACAC为为1010号工字钢梁，号工字钢梁，B B处用直径处用直径d=20mmd=20mm的钢杆的钢杆BDBD悬吊，梁和杆的悬吊，梁和杆的许用应力许用应力均为均为 160MPa 160MPa。不考虑切应力，试计算结构的。不考虑切应力，试计算结构的许可荷载许可荷载 qq。FB2 2、根据梁、根据梁的的强度条件确强度条件确定荷载定荷载 例题例题例题例题 解：解：1 1、作弯矩图、作弯矩图0.75m查表得查表得NONO.1010工字钢工字钢:FA故许可荷载故许可荷载3 3、根据拉杆、根据拉杆的的强度条件确定荷载强度条件确定荷载 例：例：承受承受相同弯矩相同弯矩Mz的三根直梁，其截面组成方式如图所示。的三根直梁，其截面组成方式如图所示。图（图（a a）的截面为一整体；图（）的截面为一整体；图（b b）的截面由两矩形截面并列而成）的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图（未粘接）；图（c c）的）的截面截面由由两两矩形截面上下叠合而成（未粘接）矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正应力分别为。三根梁中的最大正应力分别为max（a）、max（b）、max（c）。关于三者之间的关系有四种答案，试判断哪一种是正确的。关于三者之间的关系有四种答案，试判断哪一种是正确的。(a)(b)(c)zzzz答案：答案：B B4.5 4.5 梁横截面上的梁横截面上的切切应力、应力、梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件横力弯曲横力弯曲另一些梁则是因另一些梁则是因切应力切应力达到剪切强度极限而破坏达到剪切强度极限而破坏横截面上既有横截面上既有正应力正应力、又有、又有切应力切应力实践表明实践表明有些梁是因有些梁是因正应力正应力达到拉伸或压缩强度极限而破坏达到拉伸或压缩强度极限而破坏跨度小、截面高的木梁跨度小、截面高的木梁一、狭长矩形截面梁的切应力一、狭长矩形截面梁的切应力假设：假设：1 1、横截面上的、横截面上的方向与方向与FS平行平行2 2、沿截面宽度是均匀分布的沿截面宽度是均匀分布的zyFs即横截面上距中性轴等远各点处的切应力相等。即横截面上距中性轴等远各点处的切应力相等。Fs 横截面上的剪力；横截面上的剪力；IZ 截面对中性轴的惯性矩；截面对中性轴的惯性矩；b 截面截面的宽度；的宽度；矩形截面梁弯曲时横截面上矩形截面梁弯曲时横截面上任一点的切应力计算公式任一点的切应力计算公式SZ 该点横线以外部分的该点横线以外部分的面积对中性轴的面积对中性轴的静矩。静矩。切应力沿截面高度抛物线分布，中性轴切应力沿截面高度抛物线分布，中性轴上切应力最大，上、下边缘处为零。上切应力最大，上、下边缘处为零。矩形截面简支梁，加载于梁中点矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。，如图示。求求max ,max 。例题例题例题例题解：解：F/2F/2FSMF/2F/2Fl/4二、工字形截面梁的切应力二、工字形截面梁的切应力 横截面上的切应力横截面上的切应力(95-9795-97)由腹板承担由腹板承担,而翼而翼缘仅承担了缘仅承担了(3-5)(3-5),且翼且翼缘上的切应力情况又比较复缘上的切应力情况又比较复杂杂.为了满足实际工程中计为了满足实际工程中计算和设计的需要仅分析腹板算和设计的需要仅分析腹板上的切应力上的切应力.hh0t腹板：狭长矩形腹板：狭长矩形查表获得查表获得式式中：中：整个工字形截面对中整个工字形截面对中性轴的惯性矩性轴的惯性矩该点横线以外部分面该点横线以外部分面积对中性轴的静矩积对中性轴的静矩腹板的宽度腹板的宽度对工字型钢，对工字型钢，发生在中性轴上，发生在中性轴上，三、圆形和圆环形截面梁的最大切应力三、圆形和圆环形截面梁的最大切应力zydDdA A为圆环形截面面积为圆环形截面面积 四、四、梁梁的切应力强度条件的切应力强度条件 最大正应力发生在最大弯矩截面的上、下边最大正应力发生在最大弯矩截面的上、下边缘处，该处的切应力为零，即正应力危险点处缘处，该处的切应力为零，即正应力危险点处于单轴应力状态；于单轴应力状态；最大切应力通常发生在最大剪力截面的中性轴最大切应力通常发生在最大剪力截面的中性轴处，该处的正应力为零，即切应力危险点处于纯处，该处的正应力为零，即切应力危险点处于纯剪切剪切应力状态。应力状态。(2)在设计梁的截面时：在设计梁的截面时：(1)(1)对于对于细长梁细长梁：d d.木梁木梁a a.小跨度梁小跨度梁b b.支座附近有支座附近有较大荷载较大荷载c c.铆接、焊接或胶合而成的梁铆接、焊接或胶合而成的梁再按再按切切应力强度条件应力强度条件校核校核一般不必校核弯曲一般不必校核弯曲切切应力强度应力强度但在以下几种情况中，必须考虑弯曲但在以下几种情况中，必须考虑弯曲切切应力强度应力强度讨论：讨论：通常先按通常先按正应力强度正应力强度条件设计条件设计其控制因素通常是其控制因素通常是弯曲正应力弯曲正应力例例:试试求图示矩形截面梁求图示矩形截面梁1-11-1截面上的截面上的D与与E点的切点的切应力应力.解：解：1 mABC1.5 m1 mF=20kN11yz6010030DE例例 T形梁尺寸及所受荷载如图所示形梁尺寸及所受荷载如图所示,已知已知s sc=100MPa，s st=50MPa，t t=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2104mm4。求：。求：1)C左侧截面左侧截面E点的正应力、切点的正应力、切应力；应力；2)校核梁的正应力、切应力校核梁的正应力、切应力强度。强度。CAD40401010ycBCAD40401010ycB1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_2 2）作梁的）作梁的Fs和和M图图1 1）求）求支座约束力支座约束力：0.25kN1.75kN40401010ycM(kN.m)0.250.5+_ACBD该梁满足正应力强度要求该梁满足正应力强度要求40401010ycM(kN.m)0.250.5+_ACBD该梁满足切应力强度要求该梁满足切应力强度要求1FS0.250.75(kN)_+40401010yc例例 悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应胶合面的许可切应力为力为0.34MPa，木材木材的的=10 MPa，=1MPa，求许可荷载。求许可荷载。1.1.画梁的剪力图和画梁的剪力图和弯矩图弯矩图2.2.按正应力强度条件按正应力强度条件计算计算许可荷载许可荷载3.3.按切应力强度条件计算许可荷载按切应力强度条件计算许可荷载解解：4.4.按胶合面强度条件计算按胶合面强度条件计算许可荷载许可荷载5.5.梁的许可荷载为梁的许可荷载为 4.64.6 梁的合理设计1弯曲正应力是控制梁强度的主要因素；弯曲正应力是控制梁强度的主要因素；2提高梁强度的措施；提高梁强度的措施；1)采用合理的截面形状，采用合理的截面形状，提高弯曲截面提高弯曲截面系数系数Wz2)采用等强度梁或变截面梁采用等强度梁或变截面梁3)改善梁的受力条件，降低改善梁的受力条件，降低Mmax一、梁的合理截面形状1面积面积A不变，不变，Wz越大，则截面越大，则截面 形状越合理形状越合理2)优先采用工字形、槽形、箱形和圆环形截面优先采用工字形、槽形、箱形和圆环形截面1)为提高为提高Wz/A，截面上的材料应尽可能远离中性轴，截面上的材料应尽可能远离中性轴zyzyzy2材料特性对截面形状的要求材料特性对截面形状的要求2)抗拉、压强度不同的材料，采用中性轴偏向受抗拉、压强度不同的材料，采用中性轴偏向受 拉侧的截面形状，如拉侧的截面形状，如T形形、槽形等、槽形等截面截面1)拉压强度相等的材料，拉压强度相等的材料，采用关于中性轴对称的截面采用关于中性轴对称的截面3同时需考虑弯曲切应力强度同时需考虑弯曲切应力强度由腹板和翼缘组成的薄壁截面，如型钢截面等，弯曲由腹板和翼缘组成的薄壁截面，如型钢截面等，弯曲正应正应力主要由力主要由两端翼缘承担，弯曲切两端翼缘承担，弯曲切应力主要由应力主要由中间腹板承担中间腹板承担yCCy二、采用等强度梁或变截面梁MyxFlABabC变截面梁：变截面梁：1等强度观点的等高矩形截面悬臂梁的宽度等强度观点的等高矩形截面悬臂梁的宽度b(x)固定端固定端等强度梁：等强度梁：各各横横截截面面最最大大正正应应力力都都相相等等，并并均均达达到到材材料料的的许用应力的许用应力的变截面梁变截面梁xylHFxHBbzx 该等强度梁的重量是同样强度等截面梁的一半该等强度梁的重量是同样强度等截面梁的一半和和x截面最大正应力相等截面最大正应力相等注意：自由端应按切应力强度条件确定截面的最小宽度。注意：自由端应按切应力强度条件确定截面的最小宽度。三、三、合理布置梁的形式和荷载，以降低最大弯矩值合理布置梁的形式和荷载，以降低最大弯矩值1.1.合理布置梁的支座合理布置梁的支座简支梁简支梁变变外伸梁外伸梁 (注意最佳的外伸长度注意最佳的外伸长度)2.2.适当增加梁的适当增加梁的支座，变为支座，变为超静定梁超静定梁3.3.改善荷载的布置情况改善荷载的布置情况+集中力分散，最好为均布荷载集中力分散，最好为均布荷载