第四章-统计特征值课件

统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值第一节第一节 集中趋势的测度集中趋势的测度指总体中各单位的次数分布从两边向指总体中各单位的次数分布从两边向中间集中的趋势，中间集中的趋势，用用平均指标平均指标来反映。来反映。集中趋势集中趋势又称平均数，是又称平均数，是又称平均数，是又称平均数，是反映社会经济现反映社会经济现反映社会经济现反映社会经济现象总体各单位某象总体各单位某象总体各单位某象总体各单位某一数量标志在一一数量标志在一一数量标志在一一数量标志在一定时间、地点和定时间、地点和定时间、地点和定时间、地点和条条条条件下所达到的件下所达到的件下所达到的件下所达到的一般水平的综合一般水平的综合一般水平的综合一般水平的综合指标。指标。指标。指标。平平均均数数数值平均数数值平均数数值平均数数值平均数算术平均数算术平均数调和平均数调和平均数几何平均数几何平均数中位数中位数众数众数基本形式：基本形式：例：例：直直接接承承担担者者 注意区分算术平均数与强度相对数注意区分算术平均数与强度相对数算术平均数算术平均数统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值STATSTAT算术平均数算术平均数83名女生的身高名女生的身高变量一般变量一般水平、代水平、代表性数值表性数值分布的集分布的集中趋势、中趋势、中心数值中心数值算术平均数算术平均数统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值算术平均数的计算算术平均数的计算算术平均数算术平均数=总体标志总量总体标志总量总体单位总数总体单位总数数据集数据集数据个数数据个数 N简单算术平均数简单算术平均数统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值A.简单算术平均数简单算术平均数 适用于总体资料未经适用于总体资料未经分组整理、尚为原始资料分组整理、尚为原始资料的情况的情况式中：式中：为算术平均数为算术平均数;为总体单位总数；为总体单位总数；为第为第i i 个单位的标志值。个单位的标志值。算术平均数的计算方法算术平均数的计算方法统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值平均每人日销售额为：平均每人日销售额为：算术平均数的计算方法算术平均数的计算方法某售货小组某售货小组5 5个人，某天的销售额个人，某天的销售额分别为分别为520520元、元、600600元、元、480480元、元、750750元、元、440440元，则元，则【例例】统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值B.加权算术平均数加权算术平均数适用于总体资料经过适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的分组整理形成变量数列的情况情况式中：式中：为算术平均数为算术平均数;为第为第 组的次数；组的次数；为组数；为组数；为第为第 组的标志值或组中值。组的标志值或组中值。算术平均数的计算方法算术平均数的计算方法统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值【例例】某企业某日工人的日产量资料如下：某企业某日工人的日产量资料如下：日产量（件）日产量（件）工人人数（人）工人人数（人）101112131470100380150100合计合计800计算该企业该日全部工人的平均日产量。计算该企业该日全部工人的平均日产量。算术平均数的计算方法算术平均数的计算方法统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值解：解：算术平均数的计算方法算术平均数的计算方法若上述资料为组距数列，则应取各组的若上述资料为组距数列，则应取各组的组组中值中值作为该组的代表值用于计算；此时求作为该组的代表值用于计算；此时求得的算术平均数只是其真值的得的算术平均数只是其真值的近似值近似值。说说明明统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值分析：分析：成绩（分）成绩（分）人数（人）人数（人）甲班甲班乙班乙班丙班丙班603915010013950平均成绩（分）平均成绩（分）619980起到起到起到起到权衡轻权衡轻权衡轻权衡轻重的作用重的作用重的作用重的作用算术平均数的计算方法算术平均数的计算方法决定平均数决定平均数决定平均数决定平均数的变动范围的变动范围的变动范围的变动范围统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值表现为次数、频数、单位数；即表现为次数、频数、单位数；即公式公式 中的中的表现为频率、比重；即公式表现为频率、比重；即公式中的中的算术平均数的计算方法算术平均数的计算方法指指变量数列中各组标志值出现的次变量数列中各组标志值出现的次数，是变量值的承担者，反映了各数，是变量值的承担者，反映了各组的标志值对平均数的影响程度组的标志值对平均数的影响程度权数权数绝对权数绝对权数相对权数相对权数统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值234567819权数与加权权数与加权234567819统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值权数与加权权数与加权234567819统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值权数与加权权数与加权234567819统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值权数与加权权数与加权234567819统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值权数与加权权数与加权234567819算术平均数的计算取决于变算术平均数的计算取决于变量值和权数的共同作用：量值和权数的共同作用：变量值决定平均数的范围；变量值决定平均数的范围；权数则决定平均数的位置权数则决定平均数的位置统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值变量值与其算术平均数的离差之变量值与其算术平均数的离差之和衡等于零，即：和衡等于零，即：变量值与其算术平均数的离差平变量值与其算术平均数的离差平方和为最小，即：方和为最小，即：算术平均数的主要数学性质算术平均数的主要数学性质统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值离差的概念离差的概念12345678-1-1-213统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值【例例】设设X=（2，4，6，8），），则其调和平则其调和平均数可由定义计算如下：均数可由定义计算如下：再求再求算术平均数：算术平均数：求各求各标志值的倒数标志值的倒数：，再求再求倒数：倒数：是总体各单位标志值倒数的算术平是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，又叫均数的倒数，又叫倒数平均数倒数平均数调和平均数调和平均数统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值A.简单调和平均数简单调和平均数 适用于总体资料未经适用于总体资料未经分组整理、尚为原始资料分组整理、尚为原始资料的情况的情况式中：式中：为调和平均数为调和平均数;为变量值为变量值 的个数；的个数；为第为第 个变量值。个变量值。调和平均数的计算方法调和平均数的计算方法统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值B.加权调和平均数加权调和平均数适用于总体资料经过分适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情组整理形成变量数列的情况况式中：式中：为第为第 组的变量值；组的变量值；为第为第 组的标志总量。组的标志总量。调和平均数的计算方法调和平均数的计算方法统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值当己知各组变量值和标志总量时，当己知各组变量值和标志总量时，作为算术平均数的变形使用。作为算术平均数的变形使用。因为：因为：调和平均数的应用调和平均数的应用统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值x、f 为已知为已知若只知若只知 x 和和xf，而，而f 未未知，则不能使用知，则不能使用加权算术平均方式，只能使用其变形即加权算术平均方式，只能使用其变形即加权调和平均方式加权调和平均方式。苹果苹果 单价单价 购买量购买量 总金额总金额 品种品种 （元）（公斤）（元）（公斤）（元）（元）红富士红富士 2 3 6青香蕉青香蕉 1.8 5 9 统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值日产量（件）日产量（件）日产量（件）日产量（件）各组工人日总产量（件）各组工人日总产量（件）各组工人日总产量（件）各组工人日总产量（件）1010111112121313141470070011001100456045601950195014001400合计合计合计合计97109710【例例】某企业某日工人的日产量资料如下：某企业某日工人的日产量资料如下：计算该企业该日全部工人的平均日产量。计算该企业该日全部工人的平均日产量。调和平均数的应用调和平均数的应用统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值即该企业该日全部工人的平均日产量为即该企业该日全部工人的平均日产量为12.1375件。件。调和平均数的应用调和平均数的应用解解统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值比值比值的平均数的计算方法的平均数的计算方法由于比值（由于比值（平均数或相对数平均数或相对数）不能直接相）不能直接相加，求解比值的平均数时，需将其还原为加，求解比值的平均数时，需将其还原为构成比值的分子、分母原值总计进行对比构成比值的分子、分母原值总计进行对比设设比值比值 分子变量分子变量分母变量分母变量则有：则有：统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值己知己知己知己知 ，采用基本平采用基本平采用基本平采用基本平均数公式均数公式均数公式均数公式己知己知己知己知 ，采用加权算术采用加权算术采用加权算术采用加权算术平均数公式平均数公式平均数公式平均数公式己知己知己知己知 ，采用加权调和平采用加权调和平采用加权调和平采用加权调和平均数公式均数公式均数公式均数公式比值比值统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值比值比值的平均数的计算方法的平均数的计算方法【例例A】某季度某工业公司某季度某工业公司18个工业企业个工业企业产值计划完成情况如下：产值计划完成情况如下：计划完成程度计划完成程度计划完成程度计划完成程度（）组组组组中值中值中值中值（）企业数企业数企业数企业数（个）（个）（个）（个）计划产值计划产值计划产值计划产值（万元）（万元）（万元）（万元）9090以下以下以下以下9090100100100100110110110110以上以上以上以上858595951051051151152 23 310103 380080025002500172001720044004400合计合计合计合计18182490024900计算该公司该季度的平均计划完成程度。计算该公司该季度的平均计划完成程度。统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值比值比值的平均数的计算方法的平均数的计算方法【例例A】某季度某工业公司某季度某工业公司18个工业企业个工业企业产值计划完成情况如下：产值计划完成情况如下：计划完成程度计划完成程度计划完成程度计划完成程度（）组组组组中值中值中值中值（）企业数企业数企业数企业数（个）（个）（个）（个）计划产值计划产值计划产值计划产值（万元）（万元）（万元）（万元）9090以下以下以下以下9090100100100100110110110110以上以上以上以上858595951051051151152 23 310103 380080025002500172001720044004400合计合计合计合计18182490024900计算该公司该季度的平均计划完成程度。计算该公司该季度的平均计划完成程度。分析：分析：应采用加权算术平均数公式计算应采用加权算术平均数公式计算统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值比值比值的平均数的计算方法的平均数的计算方法【例例B】某季度某工业公司某季度某工业公司18个工业企业产值个工业企业产值计划完成情况如下（按计划完成程度分组计划完成情况如下（按计划完成程度分组）：）：组别组别组别组别企业数企业数企业数企业数（个）（个）（个）（个）计划产值计划产值计划产值计划产值（万元）（万元）（万元）（万元）实际产值实际产值实际产值实际产值（万元）（万元）（万元）（万元）1 12 23 34 42 23 310103 38008002500250017200172004400440068068023752375180601806050605060合计合计合计合计181824900249002617526175计算该公司该季度的平均计划完成程度。计算该公司该季度的平均计划完成程度。统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值比值比值的平均数的计算方法的平均数的计算方法【例例B】某季度某工业公司某季度某工业公司18个工业企业产值个工业企业产值计划完成情况如下（按计划完成程度分组计划完成情况如下（按计划完成程度分组）：）：组别组别组别组别企业数企业数企业数企业数（个）（个）（个）（个）计划产值计划产值计划产值计划产值（万元）（万元）（万元）（万元）实际产值实际产值实际产值实际产值（万元）（万元）（万元）（万元）1 12 23 34 42 23 310103 38008002500250017200172004400440068068023752375180601806050605060合计合计合计合计181824900249002617526175计算该公司该季度的平均计划完成程度。计算该公司该季度的平均计划完成程度。求解求解比值的平均数的方法比值的平均数的方法分析：分析：应采用平均数的基本公式计算应采用平均数的基本公式计算统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值是是N项变量值连乘积的开项变量值连乘积的开N次次方根。方根。几何平均数几何平均数用于计算现象的平均比率或平均速度用于计算现象的平均比率或平均速度应用：应用：q各个比率或速度的连乘积等于总比率各个比率或速度的连乘积等于总比率或总速度；或总速度；q相乘的各个比率或速度不为零或负值。相乘的各个比率或速度不为零或负值。应用的前提条件：应用的前提条件：统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值A.简单几何平均数简单几何平均数适用于总体资料未经分组整适用于总体资料未经分组整理尚为原始资料的情况理尚为原始资料的情况式中：式中：为几何平均数为几何平均数;为变量值的为变量值的个数；个数；为第为第 个变量值。个变量值。几何平均数的计算方法几何平均数的计算方法统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值【例例】某流水生产线有前后衔接的五道工序。某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产品的合格率分别为某日各工序产品的合格率分别为9595、9292、9090、8585、8080，求整个流水生产线产品，求整个流水生产线产品的平均合格率。的平均合格率。分析：分析：设最初投产设最初投产100A个单位个单位，则，则第一道工序的合格品为第一道工序的合格品为100A0.95；第二道工序的合格品为第二道工序的合格品为（100A0.95）0.92；第五道工序的合格品为第五道工序的合格品为（100A0.950.920.900.85）0.80；统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值因该流水线的最终合格品即为第五道工序因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品，的合格品，故该流水线总的合格品应为故该流水线总的合格品应为 100A0.950.920.900.850.80；则该流水线产品总的合格率为：则该流水线产品总的合格率为：即即该该流水线总的合格率等于各工序合格率的流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算采用几何平均法计算。统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值因该流水线的最终合格品即为第五道工序因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品，的合格品，故该流水线总的合格品应为故该流水线总的合格品应为 100A0.950.920.900.850.80；则该流水线产品总的合格率为：则该流水线产品总的合格率为：即即该该流水线总的合格率等于各工序合格率的流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算采用几何平均法计算。解：解：统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值思考思考若上题中若上题中不是由五道连续作业的工序不是由五道连续作业的工序组成的流水生产线，而是五个组成的流水生产线，而是五个独立作独立作业的车间业的车间，且各车间的合格率同前，且各车间的合格率同前，又假定各车间的产量相等均为又假定各车间的产量相等均为100100件，件，求该企业的平均合格率。求该企业的平均合格率。几何平均数的计算方法几何平均数的计算方法统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值 因各车间彼此独立作业，所以有因各车间彼此独立作业，所以有 第一车间的合格品为：第一车间的合格品为：1000.95；第二车间的合格品为：第二车间的合格品为：1000.92；第五车间的合格品为：第五车间的合格品为：1000.80。则该企业全部合格品应为各车间合格品的则该企业全部合格品应为各车间合格品的总和，即总和，即总合格品总合格品=1000.95+1000.80几何平均数的计算方法几何平均数的计算方法分析：分析：统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值不再符合几何平均数的适用条件，需按照不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解比值的平均数的方法计算。又因为求解比值的平均数的方法计算。又因为应采用加权算术平均数公式计算，即应采用加权算术平均数公式计算，即统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值B.加权几何平均数加权几何平均数适用于总体资料经过分组整理适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况形成变量数列的情况式中：式中：为几何平均数为几何平均数;为第为第 组的次数；组的次数；为组数；为组数；为第为第 组的标志值或组中值。组的标志值或组中值。几何平均数的计算方法几何平均数的计算方法统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值【例例】某某金融机构以复利计息。近金融机构以复利计息。近12年来的年年来的年利率有利率有4年为年为3，2年为年为5，2年为年为8，3年年为为10，1年为年为15。求平均年利率。求平均年利率。设本金为设本金为V，则至各年末的本利和应为：则至各年末的本利和应为：第第1年末的本利和为：年末的本利和为：第第2年末的本利和为：年末的本利和为：第第12年末的本利和为：年末的本利和为：分析：分析：第第2年的年的计息基础计息基础第第12年的年的计息基础计息基础统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值则该笔本金则该笔本金12年总的本利率为：年总的本利率为：即即即即1212年总本利率等于各年本利率的连乘积年总本利率等于各年本利率的连乘积年总本利率等于各年本利率的连乘积年总本利率等于各年本利率的连乘积，符合几，符合几，符合几，符合几何平均数的适用条件，故计算平均年本利率应采用何平均数的适用条件，故计算平均年本利率应采用何平均数的适用条件，故计算平均年本利率应采用何平均数的适用条件，故计算平均年本利率应采用几何平均法。几何平均法。几何平均法。几何平均法。解：解：统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值几何平均数的计算方法几何平均数的计算方法思思考考若上题中若上题中不是按复利而是按不是按复利而是按单利单利计息计息，且各年的利率与上相同，且各年的利率与上相同，求平均年利率。求平均年利率。分分析析第第1年末的应得利息为年末的应得利息为：第第2年末的应得利息为年末的应得利息为：第第12年末的应得利息为：年末的应得利息为：设本金为设本金为V，则各年末应得利息为：则各年末应得利息为：统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值则该则该笔本金笔本金12年应得的利息总和为：年应得的利息总和为：=V（0.034+0.052+0.151）这里的利息率或本利率不再符合几何这里的利息率或本利率不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解比值的平平均数的适用条件，需按照求解比值的平均数的方法计算。因为均数的方法计算。因为假定本假定本金为金为V统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值所以，应采用加权算术平均数公式计算平所以，应采用加权算术平均数公式计算平均年利息率，即均年利息率，即：解：解：（比较：按复利计息时的平均年利率为（比较：按复利计息时的平均年利率为6.85）统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值是否为比率是否为比率或速度或速度各个比率或速各个比率或速度的连乘积是否等于总比度的连乘积是否等于总比率或总速度率或总速度是否为是否为其他比值其他比值是是是是否否否否否否否否是是是是否否否否是是是是 几何平均法几何平均法算术平均法算术平均法求解比值的平均数的方法求解比值的平均数的方法数值平均数计算数值平均数计算数值平均数计算数值平均数计算公式的选用顺序公式的选用顺序公式的选用顺序公式的选用顺序指标指标统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值四种数值平均数均源于一个通式：四种数值平均数均源于一个通式：统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值四种数值平均数均源于一个通式：四种数值平均数均源于一个通式：统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值四种数值平均数均源于一个通式：四种数值平均数均源于一个通式：统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值四种数值平均数均源于一个通式：四种数值平均数均源于一个通式：统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值k=-1 k=0 k=1 k=2就同一资料计算时，有：就同一资料计算时，有：即：即：k 值越大，平均数值越大。值越大，平均数值越大。统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值设设 x 取值为：取值为：、10算术平均与几何平均更为常用一些，算术平均与几何平均更为常用一些，其中几何平均数对小的极端值敏感，其中几何平均数对小的极端值敏感，算术平均数对大的极端值敏感。算术平均数对大的极端值敏感。统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值某系某系83名女生身高资料（按序排列）名女生身高资料（按序排列）次序统计量的概念次序统计量的概念 身高身高 人数人数（CM）（人）（人）152 1 154 2 155 2 156 4 157 1 158 2 159 2 160 12 161 7 162 8 163 4 身高身高 人数人数（CM）（人）（人）164 3 165 8 166 5 167 3 168 7 169 1 170 5 171 2 172 3 174 1总计总计 83 152 154 154 155 155 156 156 156 156 157 158 158 159 159 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 161 161 161 161 161 161 161 162 162 162 162 162 162 162 162 163 163 163 163 164 164 164 165 165 165 165 165 165 165 165 166 166 166 166 166 167 167 167 168 168 168 168 168 168 168 169 170 170 170 170 170 171 171 172 172 172 174将变量值按顺序排列起来，将变量值按顺序排列起来，当反映分布集中趋势的度量值仅当反映分布集中趋势的度量值仅仅由数列中某个位置的值来确定仅由数列中某个位置的值来确定时，这个值就称为次序统计量，时，这个值就称为次序统计量，也可以称为位置平均数。也可以称为位置平均数。位置平均数与数值平均数的基本位置平均数与数值平均数的基本区别在于其不需要依据每一个变区别在于其不需要依据每一个变量值来计算。量值来计算。统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值某系某系83名女生身高资料（按序排列）名女生身高资料（按序排列）次序统计量的概念次序统计量的概念 身高身高 人数人数（CM）（人）（人）152 1 154 2 155 2 156 4 157 1 158 2 159 2 160 12 161 7 162 8 163 4 身高身高 人数人数（CM）（人）（人）164 3 165 8 166 5 167 3 168 7 169 1 170 5 171 2 172 3 174 1总计总计 83 将变量值按顺序排列起来，将变量值按顺序排列起来，当反映分布集中趋势的度量值仅当反映分布集中趋势的度量值仅仅由数列中某个位置的值来确定仅由数列中某个位置的值来确定时，这个值就称为次序统计量，时，这个值就称为次序统计量，也可以称为位置平均数。也可以称为位置平均数。位置平均数与数值平均数的基本位置平均数与数值平均数的基本区别在于其不需要依据每一个变区别在于其不需要依据每一个变量值来计算。量值来计算。152 154 154 155 155 156 156 156 156 157 158 158 159 159 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 161 161 161 161 161 161 161 162 162 162 162 162 162 162 162 163 163 163 163 164 164 164 165 165 165 165 165 165 165 165 166 166 166 166 166 167 167 167 168 168 168 168 168 168 168 169 170 170 170 170 170 171 171 172 172 172 174数列中点的值数列中点的值即第即第42个值个值统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值将将总体各单位标志值按大小顺序排总体各单位标志值按大小顺序排列后，指处于数列中间位置的标志列后，指处于数列中间位置的标志值，用值，用 表示表示中位数中位数不受不受极端数值的影响极端数值的影响，在总体标志值差异很大，在总体标志值差异很大时，具有较强的代表性。时，具有较强的代表性。中位数的作用：中位数的作用：位置平均数位置平均数中位数把标志值数列分为两个部分中位数把标志值数列分为两个部分,一部分一部分标志值小于或等于它标志值小于或等于它,另一部分标志值大于另一部分标志值大于或等于它或等于它.中位数的位次为：中位数的位次为：即第即第3个单位的标志值就是中位数个单位的标志值就是中位数【例例A A】某售货小组某售货小组5 5个人，某天的销售额按个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为从小到大的顺序排列为440440元、元、480480元、元、520520元、元、600600元、元、750750元，则元，则中位数的确定中位数的确定（未分组资料）（未分组资料）统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值中位数的位次为中位数的位次为中位数应为第中位数应为第3和第和第4个单位标志值的算术平个单位标志值的算术平均数，即均数，即【例例B B】若上述售货小组为若上述售货小组为6 6个人，某天的销个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为售额按从小到大的顺序排列为440440元、元、480480元、元、520520元、元、600600元、元、750750元、元、760760元，则元，则中位数的确定中位数的确定（未分组资料）（未分组资料）统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值【例例C C】某企业某日工人的日产量资料如下：某企业某日工人的日产量资料如下：日产量（件）日产量（件）工人人数（人）工人人数（人）向上累计次数向上累计次数（人）（人）10111213147010038015010070170550700800合计合计800计算该企业该日全部工人日产量的中位数。计算该企业该日全部工人日产量的中位数。中位数的位次：中位数的位次：中位数的确定中位数的确定（单值数列）单值数列）统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值中位数的确定中位数的确定（组距数列）组距数列）【例例D D】某某车间车间5050名工人月产量的资料如下：名工人月产量的资料如下：月产量（件）月产量（件）工人人数（人）工人人数（人）向上累计次数向上累计次数（人）（人）200以下以下200400400600600以上以上373283104250合计合计50计算该车间工人月产量的中位数。计算该车间工人月产量的中位数。统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值中位数的确定中位数的确定（组距数列）组距数列）共共 个单位个单位共共 个单位个单位共共 个单位个单位共共 个单位个单位LU中位数组中位数组中位数组中位数组组距为组距为d共共 个单位个单位假定该组内的单假定该组内的单假定该组内的单假定该组内的单位呈均匀分布位呈均匀分布位呈均匀分布位呈均匀分布共有单位数共有单位数共有单位数共有单位数 中位数下限公式为中位数下限公式为中位数下限公式为中位数下限公式为 该段长度应为该段长度应为该段长度应为该段长度应为 统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值中位数一定存在；中位数一定存在；中位数与算术平均数相近；中位数与算术平均数相近；中位数不受极端值影响；中位数不受极端值影响；变量值与中位数离差绝对值之和最小。变量值与中位数离差绝对值之和最小。中位数的作用及用法中位数的作用及用法统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值中位数一定存在；中位数一定存在；中位数与算术平均数相近；中位数与算术平均数相近；中位数不受极端值影响；中位数不受极端值影响；变量值与中位数离差绝对值之和最小。变量值与中位数离差绝对值之和最小。中位数的作用及用法中位数的作用及用法 变量值变量值34556910中位数中位数 5平均值平均值 6与中位数离差与中位数离差 -2 -1 0 0 1 4 5与平均数离差与平均数离差 -3 -2 -1 -1 0 3 4绝对绝对数值数值之和之和 13 14统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值指总体中出现次数最多的变量值，指总体中出现次数最多的变量值，用用 表示表示,它不受极端数值的影响，它不受极端数值的影响，用来说明总体中大多数单位所达到用来说明总体中大多数单位所达到的一般水平。的一般水平。众数众数位置平均数位置平均数众数（众数（mode）：）：出现次数最多出现次数最多即出现频率最高的变量值。即出现频率最高的变量值。身高身高 人数人数（CM）（人）人）152 1 154 2 155 2 156 4 157 1 158 2 159 2 160 12 161 7 162 8 163 4 身高身高 人数人数（CM）（人）人）164 3 165 8 166 5 167 3 168 7 169 1 170 5 171 2 172 3 174 1总计总计 83 152 154 154 155 155 156 156 156 156 157 158 158 159 159 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 161 161 161 161 161 161 161 162 162 162 162 162 162 162 162 163 163 163 163 164 164 164 165 165 165 165 165 165 165 165 166 166 166 166 166 167 167 167 168 168 168 168 168 168 168 169 170 170 170 170 170 171 171 172 172 172 174统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值众数的确定方法众数的确定方法某某年级年级83名女生身高资料名女生身高资料 身高身高 人数人数（CM）（人）人）152 1 154 2 155 2 156 4 157 1 158 2 159 2 160 12 161 7 162 8 163 4 身高身高 人数人数（CM）（人）人）164 3 165 8 166 5 167 3 168 7 169 1 170 5 171 2 172 3 174 1总计总计 83 统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值 身高身高 人数人数 比重比重 （CM）（人）（人）（%）150-155 3 3.61 155-160 11 13.25 160-165 34 40.96 165-170 24 28.92 170以上以上 11 13.25 总计总计 83 100某某年级年级83名女生身高资料名女生身高资料众数的确定方法众数的确定方法概约众数：众数所概约众数：众数所在组的组中值，在在组的组中值，在本例为本例为162.5cm统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值日产量（件）日产量（件）工人人数（人）工人人数（人）101112131470100380150100合计合计800【例例A A】已知已知某企业某日工人的日产量资料如下某企业某日工人的日产量资料如下:众数的确定众数的确定（单值数列）单值数列）计算该企业该日全部工人日产量的众数。计算该企业该日全部工人日产量的众数。统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值众数的确定众数的确定（组距数列）组距数列）【例例B B】某某车间车间5050名工人月产量的资料如下：名工人月产量的资料如下：月产量（件）月产量（件）工人人数（人）工人人数（人）向上累计次数向上累计次数（人）（人）200以下以下200400400600600以上以上373283104250合计合计50计算该车间工人月产量的众数。计算该车间工人月产量的众数。概约众数概约众数：众数所在组的：众数所在组的组中值，在本例为组中值，在本例为500件件众数的原理及应用众数的原理及应用83名女生身高原始数据名女生身高原始数据83名女生身高组距数列名女生身高组距数列统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值q当数据分布存在明显的集中趋势，当数据分布存在明显的集中趋势，且有显著的极端值时，适合使用众且有显著的极端值时，适合使用众数；数；q当数据分布的集中趋势不明显或当数据分布的集中趋势不明显或存在两个以上分布中心时，不适合存在两个以上分布中心时，不适合使用众数（使用众数（前者无众数，后者为双前者无众数，后者为双众数或多众数，也等于没有众数众数或多众数，也等于没有众数）众数的原理及应用众数的原理及应用统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值出生1981.01980.01979.01978.01977.01976.01975.0160140120100806040200没有突出地集没有突出地集中在某个年份中在某个年份413名学生出生时间分布直方图名学生出生时间分布直方图众数的原理及应用众数的原理及应用（无众数）（无众数）统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值192.5190.5188.5186.5184.5182.5180.5178.5176.5174.5172.5170.5168.5166.5164.5162.5160.5158.5156.5154.5152.5150.5148.56050403020100413名学生的身高分布直方图名学生的身高分布直方图（双众数）（双众数）当数据分布呈现出双众数或多众数时，当数据分布呈现出双众数或多众数时，可以断定这些数据来源于不同的总体。可以断定这些数据来源于不同的总体。出现了两个明出现了两个明显的分布中心显的分布中心统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值集中趋势弱、集中趋势弱、离散趋势强离散趋势强集中趋势强、集中趋势强、离散趋势弱离散趋势弱统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值 标志变异指标标志变异指标统计上用来反映总体各单位标志统计上用来反映总体各单位标志值之间差异程度大小的综合指标，值之间差异程度大小的综合指标，也称做也称做标志变动度标志变动度。平均指标是一个代表性数值，它反映总体各单位某一数平均指标是一个代表性数值，它反映总体各单位某一数量标志的一般水平，而把总体各单位之间的差异抽象化了。量标志的一般水平，而把总体各单位之间的差异抽象化了。但总体各单位之间的差异是客观存在的，这种差异也是统但总体各单位之间的差异是客观存在的，这种差异也是统计总体的重要特征之一。因此，要全面反映一个总体的特计总体的重要特征之一。因此，要全面反映一个总体的特征，还必须测定总体各单位之间征，还必须测定总体各单位之间差异程度差异程度。作用作用1、衡量平均指标、衡量平均指标代表性代表性的大小的大小2、反映社会经济活动过程的、反映社会经济活动过程的均衡性均衡性和和稳定性稳定性测定标志变异度的绝对量指标测定标志变异度的绝对量指标（与原变量值名数相同与原变量值名数相同）测定标志变异度的相对量指标测定标志变异度的相对量指标（表现为无名数表现为无名数）全距全距平均差平均差标准差标准差全距全距系数系数平均差平均差系数系数标准差标准差系数系数标志变异指标的种类标志变异指标的种类统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值指所研究的数据中，最大值与指所研究的数据中，最大值与最小值之差，又称最小值之差，又称极差极差。全距全距最大变量值或最最大变量值或最高组上限或开口高组上限或开口组假定上限组假定上限最小变量值或最最小变量值或最低组下限或开口低组下限或开口组假定下限组假定下限【例例A A】某售货小组某售货小组5 5人某天的销售额分别为人某天的销售额分别为440440元、元、480480元、元、520520元、元、600600元、元、750750元，则元，则统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值标志变异指标的种类标志变异指标的种类【例例B B】某季度某工业公司某季度某工业公司1818个工个工业企业产值计划完成情况如下：业企业产值计划完成情况如下：计划完成程度计划完成程度计划完成程度计划完成程度（）组组组组中值中值中值中值（）企业数企业数企业数企业数（个）（个）（个）（个）计划产值计划产值计划产值计划产值（万元）（万元）（万元）（万元）9090以下以下以下以下9090100100100100110110110110以上以上以上以上858595951051051151152 23 310103 380080025002500172001720044004400合计合计合计合计18182490024900计算该公司该季度计划完成程度的全距。计算该公司该季度计划完成程度的全距。统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值标志变异指标的种类标志变异指标的种类q优点优点:计算计算方法简单、易懂；方法简单、易懂；q缺点缺点:易受极端数值的影响，不能易受极端数值的影响，不能全面反映所有标志值差异大小及分全面反映所有标志值差异大小及分布状况，准确程度差布状况，准确程度差往往应用于生产过程的质量控制中往往应用于生产过程的质量控制中全距的特点全距的特点统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值标志变异指标的种类标志变异指标的种类 简单平均差简单平均差适用于未分组资料适用于未分组资料是是各个数据与其算术平均数的离差各个数据与其算术平均数的离差绝对值的算术平均数，用绝对值的算术平均数，用A.D 表示表示平均差平均差计算公式：计算公式：总体算术总体算术平均数平均数总体单总体单位总数位总数第第 个单位个单位的变量值的变量值统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值标志变异指标的种类标志变异指标的种类【例例A】某售货小组某售货小组5个人，某天的销售额分个人，某天的销售额分别为别为440元、元、480元、元、520元、元、600元、元、750元，元，求该售货小组销售额的平均差。求该售货小组销售额的平均差。解：解：即该即该售货小组售货小组5个人销售额的平均差为个人销售额的平均差为93.6元元统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值标志变异指标的种类标志变异指标的种类 加权平均差加权平均差适用于分组资料适用于分组资料平均差的计算公式平均差的计算公式总体算术总体算术平均数平均数第第 组变量值组变量值出现的次数出现的次数第第 组的变量组的变量值或组中值值或组中值统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值【例例B】计算下表中某公司职工月工资的平均差计算下表中某公司职工月工资的平均差月工资（元）月工资（元）组组中值（元）中值（元）职工人数（人）职工人数（人）300以下以下300400400500500600600700700800800900900以上以上2503504505506507508509502083143824563052377820合计合计2000统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值解：解：即该即该公司职工月工资的平均差为公司职工月工资的平均差为138.95元元统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值q优点优点:不易受极端数值的影响，能综合不易受极端数值的影响，能综合反映全部单位标志值的实际差异程度；反映全部单位标志值的实际差异程度；q缺点缺点:用绝对值的形式消除各标志值与用绝对值的形式消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，不便于算术平均数离差的正负值问题，不便于作数学处理和参与统计分析运算。作数学处理和参与统计分析运算。平均差的特点平均差的特点一般情况下都是通过计算另一种标志一般情况下都是通过计算另一种标志变异指标变异指标标准差，来反映总体内标准差，来反映总体内部各单位标志值的差异状况部各单位标志值的差异状况统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值 简单标准差简单标准差适用于未分组资料适用于未分组资料是是各个数据与其算术平均数的各个数据与其算术平均数的离差平方的算术平均数的开平离差平方的算术平均数的开平方根，用方根，用 来表示；标准差的来表示；标准差的平方又叫作方差，用平方又叫作方差，用 来表示。来表示。标准差标准差计算公式：计算公式：总体单总体单位总数位总数第第 个单位个单位的变量值的变量值总体算术总体算术平均数平均数统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值【例例A】某售货小组某售货小组5个人，某天的销售额分个人，某天的销售额分别为别为440元、元、480元、元、520元、元、600元、元、750元，元，求该售货小组销售额的标准差。求该售货小组销售额的标准差。解：解：（比较：其销售额的平均差为（比较：其销售额的平均差为93.6元）元）即该售货小组销售额的标准差为即该售货小组销售额的标准差为109.62元。元。统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值 加权标准差加权标准差适用于分组资料适用于分组资料标准差的计算公式标准差的计算公式总体算术总体算术平均数平均数第第 组变量值组变量值出现的次数出现的次数第第 组的变量组的变量值或组中值值或组中值统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值【例例B】计算下表中某公司职工月工资的标准差。计算下表中某公司职工月工资的标准差。月工资（元）月工资（元）组组中值（元）中值（元）职工人数（人）职工人数（人）300以下以下300400400500500600600700700800800900900以上以上2503504505506507508509502083143824563052377820合计合计2000统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值解：解：（比较：其工资的平均差为（比较：其工资的平均差为138.95元）元）即该公司职工月工资的标准差为即该公司职工月工资的标准差为167.9元。元。统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值由同一资料计算的标准差的结果一般要略大于平均差。由同一资料计算的标准差的结果一般要略大于平均差。由同一资料计算的标准差的结果一般要略大于平均差。由同一资料计算的标准差的结果一般要略大于平均差。证明：当证明：当证明：当证明：当a,b,c0a,b,c0时，有时，有时，有时，有 标准差的特点标准差的特点q不易受极端数值的影响，能综合反映全不易受极端数值的影响，能综合反映全部单位标志值的实际差异程度；部单位标志值的实际差异程度；q用平方的方法消除各标志值与算术平均用平方的方法消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，可方便地用于数数离差的正负值问题，可方便地用于数学处理和统计分析运算学处理和统计分析运算.统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值简单标准差简单标准差加权标准差加权标准差标准差的简捷计算标准差的简捷计算避免离差平方和计算过程的出现避免离差平方和计算过程的出现目的目的:变量值平方变量值平方的平均数的平均数变量值平均变量值平均数的平方数的平方统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值测定标志变异度的绝对量指标测定标志变异度的绝对量指标（与原变量值名数相同与原变量值名数相同）测定标志变异度的相对量指标测定标志变异度的相对量指标（表现为无名数表现为无名数）全距全距平均差平均差标准差标准差全距全距系数系数平均差平均差系数系数标准差标准差系数系数标志变异指标的种类标志变异指标的种类统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值可比可比变异系数指标变异系数指标统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值身高的差异水平：身高的差异水平：cmcm体重的差异水平：体重的差异水平：kgkg用用变异系数变异系数可以相互比较可以相互比较可可比比统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值平均差系数平均差系数标准差系数标准差系数变异系数变异系数用来对比不同水平的同类现象，特别是用来对比不同水平的同类现象，特别是不同类现象总体平均数代表性的大小不同类现象总体平均数代表性的大小:标准差系数小的总体，其平均数的标准差系数小的总体，其平均数的代表性大；反之，亦然。代表性大；反之，亦然。应用应用:统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值各种变指标与其算术平均数各种变指标与其算术平均数之比。一般用之比。一般用V表示。表示。【例例】某年级一、二两班某门课的平均成绩分某年级一、二两班某门课的平均成绩分别为别为82分和分和76分，其成绩的标准差分别为分，其成绩的标准差分别为15.6分和分和14.8分，比较两班平均成绩代表性的大小。分，比较两班平均成绩代表性的大小。解：解：一班一班成绩的标准差系数为：成绩的标准差系数为：二班成绩的标准差系数为：二班成绩的标准差系数为：因为因为 ，所以一班平均成绩的代，所以一班平均成绩的代表性比二班大。表性比二班大。统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值是非标志总体是非标志总体分组分组单位数单位数变量值变量值具有某一属性具有某一属性不具有某一属性不具有某一属性10合计合计为研究是非标志总体的数量特征，令为研究是非标志总体的数量特征，令指指总体中全部单位只具有总体中全部单位只具有“是是”或或“否否”、“有有”或或“无无”两种两种表现形式的标志，又叫表现形式的标志，又叫交替标志交替标志是非标志是非标志统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值性别：性别：男、女（非男）男、女（非男）产品质量产品质量：合格、不合格：合格、不合格1 01 0是非标志总体的指标是非标志总体的指标具有某种标志表现的具有某种标志表现的具有某种标志表现的具有某种标志表现的单位数所占的成数单位数所占的成数单位数所占的成数单位数所占的成数不具有某种标志表现不具有某种标志表现不具有某种标志表现不具有某种标志表现的单位数所占的成数的单位数所占的成数的单位数所占的成数的单位数所占的成数指指是非标志总体中具有某种表现或是非标志总体中具有某种表现或不具有某种表现的单位数占全部总不具有某种表现的单位数占全部总体单位总数的比重体单位总数的比重成数成数统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值是非标志总体的指标是非标志总体的指标平均数平均数标标准准差差统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值是非标志总体的指标是非标志总体的指标方差方差标准差系数标准差系数统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值【例例】某厂某月份生产了某厂某月份生产了400400件产品，其中件产品，其中合格品合格品380380件，不合格品件，不合格品2020件。求产品质量件。求产品质量分布的集中趋势与离中趋势。分布的集中趋势与离中趋势。是非标志总体的指标是非标志总体的指标解：解：统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值非对称的，非对称的，偏斜的分偏斜的分布布对称的、对称的、高度适中高度适中的分布的分布既偏斜又既偏斜又低平的分低