第六章-线性变换课件

v 第六章线性变换教学要求 1、了解向量空间之间的联系是通过线性变换实现。2、把握L(V)与Mn(F)的一一对应关系和结论的互相转 换。3、掌握线性变换与矩阵的对应关系，会求线性变换 的矩阵。4、掌握坐标变换公式及应用。5、灵活应用特征多项式及有关性质，会求特征根，特征向量。6、掌握值域与核的定义、求法，线性变换与它的 象、核的关系。7、掌握可以对角化条件及具体方法。重点 难点 教学重点：线性变换及其矩阵，值域与核的性质，特 征根、征向量，可以对角化矩阵。教学难点：值域与核的性质及其应用，特征根、特征 向量的求法及其应用。说明：定义中（1）（2）称为映射的线性性质。定义中（1）（2）成立定义6.1.1 是到的一个映射。如果下列条件被满足，则称 设是数域，设上的两个向量空间，是 到的一个线性映射：(1)(2)6.1线性映射性质6.1.1、线性映射把零向量映成零向量，即：性质6.1.2、线性映射保持线性组合与线性关系式的不 变，即：之下的原象。在叫的一个子集，是，则另一方面，设sxsxWVWVWW)(|是 到 的一个线性映射，如果 则：定义6.2.1 设是 的一个子集，叫 在 之下的象记作 定理6.1.1 空间.而则V的任意子空间在的一个子之下的原象是 的任一子空间在的一个子空间,之下的象是W 设V和W是F上的向量空间，VWss是V到W的一个线性映射.s 证明:空间的子W)V(是s现在证明：,)(,)(,),(,h hsxxshxshx=$VV则 V 是V设的一个子空间,):，有Fba,是线性变换，s)()()()(Vbababa+=+=+shxshsxshx.)(的子空间是WVs 线性映射把子空间映成子空间，如果象是子空间，则原象也是子空间。)。()m(I 即.)m(I 记作 的象，的一个子空 间一个 是 之下的象 在 特别 V(V)Vsss ss s=。0)(|V =)ker(的核。记核 做的一个子空 间一V 之下的原象是 在 0 的零子空 间 W 另一方面，=xsxsss它叫定理6.1.2：=0.=0.是单射(2)的一个线性映射，则：V 是 设Ws证明：WWVW=)Im(,)Im(又 )Im(=)(,是满满射。）若1（sssxxsxxs$),()(，有 是单射，）若2（hsxshxsV hxhxhxshsxshx=0-，0)-(则 ，)()(，且 反之：V 矛盾。是单射 s与已知说明：()()0ker2 (V),)Im()(1 是双射 =ssss定理6.1.3：v两个线性映射的乘积还是线性映射。证明：说明：v推广：定理6.1.4 v如果线性映射有映射，则逆映射也是线性映射。证明：二、例子()()()的一个线一个线性到 是 则,x ，定义 每一个向量到1例 21212323 21 RRRxxxxxRsxsx+-=+=对于例2证明：由射影性质：例3:证明：例4:证明：例：证明：例：证明：例：证明6.2 线性变换的运算可证L(v)是F上的线性空间。定理6.2.1 积合成的 与 做 叫 也 .映射上的向量空间F 成 对于加法和纯量乘法作 L(V)tsts即 如果线性变量 有逆映射，则 也线性变换 叫做的逆变量，着时就叫做可逆的或非奇异的。我们有6.3 6.3 线性变换和矩阵线性变换和矩阵 教学目标：教学目标：渗透现代代数学同构、代数表示论的思渗透现代代数学同构、代数表示论的思 想，和化归的数学思想方法，让学生了解想，和化归的数学思想方法，让学生了解向量空间的线性变换关于基的矩阵之间的向量空间的线性变换关于基的矩阵之间的关系，理解矩阵相似这一重要概念，掌握关系，理解矩阵相似这一重要概念，掌握线性变换关于基的矩阵和线性变换作用下线性变换关于基的矩阵和线性变换作用下的向量关于基的坐标的计算方法。的向量关于基的坐标的计算方法。重重 点：点：线性变换关于基的矩阵之间的关系，线性变换关于基的矩阵之间的关系，矩阵相似概念，线性变换关于基的矩阵和矩阵相似概念，线性变换关于基的矩阵和线性变换作用下的向量关于基的坐标的计线性变换作用下的向量关于基的坐标的计算。算。难难 点：点：线性变换关于基的矩阵之间的关系，线性变换关于基的矩阵之间的关系，矩阵相似概念。矩阵相似概念。！6.3 6.3 线性变换和矩阵线性变换和矩阵 一、不同线性变换关于同一个基的矩阵一、不同线性变换关于同一个基的矩阵问题：问题：如何将抽象的线性变换直观化如何将抽象的线性变换直观化?设设V是数域是数域F上的一个上的一个n维向量空间。令维向量空间。令是是V的一的一个线性变换。取定个线性变换。取定V的一个基：的一个基：仍是仍是V的一个向量，设的一个向量，设 向量可以通向量可以通过标坐标来过标坐标来刻画刻画问题：问题：$,21FxxxV，nLx x6.3 6.3 线性变换和矩阵线性变换和矩阵 令令6.3 6.3 线性变换和矩阵线性变换和矩阵 令令(A的第j列)6.3 6.3 线性变换和矩阵线性变换和矩阵 从而取定从而取定F上上n维向量空间维向量空间V的一个基之后，对于的一个基之后，对于V的每一线性变换，有唯一确定的的每一线性变换，有唯一确定的F上的上的n阶矩阵与它阶矩阵与它对应对应:结论结论1：6.3 6.3 线性变换和矩阵线性变换和矩阵 设设则则6.3 6.3 线性变换和矩阵线性变换和矩阵 6.3 6.3 线性变换和矩阵线性变换和矩阵 定理定理6.3.1：令令V是数域是数域F上的一个上的一个n维向量空间，维向量空间，是是V的一个线性变换，而的一个线性变换，而是关于是关于V的一个基的一个基 的矩阵是的矩阵是如果如果V中向量中向量关于这个基的坐标关于这个基的坐标是是 ，而，而()是是关于这个基的坐标关于这个基的坐标是是 ，那么，那么6.3 6.3 线性变换和矩阵线性变换和矩阵 结论结论2：揭示了向量坐揭示了向量坐标与它的像坐标与它的像坐标之间的关系标之间的关系 问题：问题：对于结论对于结论1，给定数域，给定数域F上的一个上的一个n阶矩阵阶矩阵A，是否存在，是否存在F上的上的n维向量空间维向量空间V的一个线性变换的一个线性变换，而而关于关于V的一个给定的基的矩阵恰好是的一个给定的基的矩阵恰好是A？6.3 6.3 线性变换和矩阵线性变换和矩阵 引理引理6.3.2：设设V是数域是数域F上的一个上的一个n维向量空间维向量空间,是是V的一个基，那么对的一个基，那么对V的任意的任意n个向量个向量 ，恰有，恰有V的一个线性变换的一个线性变换，使得，使得证明证明 定理定理6.3.2：设设V是数域是数域F上的一个上的一个n维向量空间维向量空间,是是V的一个基。对的一个基。对V的任一线性变换的任一线性变换,令令是关于是关于基基 的矩阵的矩阵A与它对应，这样与它对应，这样就得到就得到V的全体线性变换所成的集合的全体线性变换所成的集合L(V)到到F上全体上全体n阶矩阵所成的集合阶矩阵所成的集合Mn(F)的一个双射，并且如果对的一个双射，并且如果对,L(V)，而，而 ，那么，那么证明证明6.3 6.3 线性变换和矩阵线性变换和矩阵 推论推论6.3.4：设数域设数域F上上n维向量空间维向量空间V的一个的一个线性线性变换变换关于关于V的一个取定基的矩阵是的一个取定基的矩阵是A。那么。那么可逆必可逆必要且只要要且只要A可逆，并且可逆，并且-1关于这个基的矩阵就是关于这个基的矩阵就是A-1.例例1、例、例2二、同一个线性变换关于不同基的矩阵二、同一个线性变换关于不同基的矩阵 与线性变换对应的矩阵是依赖于基的选择的，同与线性变换对应的矩阵是依赖于基的选择的，同一个线性变换关于不同基的矩阵一般不同。那么同一一个线性变换关于不同基的矩阵一般不同。那么同一个线性变换在不同基下的矩阵有什么关系？个线性变换在不同基下的矩阵有什么关系？结论结论3：，FMVLn这个同构映射保这个同构映射保持乘法。持乘法。)()(6.3 6.3 线性变换和矩阵线性变换和矩阵 设设V是是数域数域F上的上的n维向量空间，维向量空间，是是V的的一个一个线性线性变换。假设变换。假设关于关于V的两个基的两个基 和和 的矩阵分别是的矩阵分别是A和和B，即，即 令令T 是由基是由基 到基到基 的过渡矩阵，即的过渡矩阵，即6.3 6.3 线性变换和矩阵线性变换和矩阵 于是于是因此因此结论结论4：说明了一个线性变换关说明了一个线性变换关于两个基的矩阵的关系于两个基的矩阵的关系 设设A，B是是数域数域F上的两个上的两个n阶矩阵，如果存在阶矩阵，如果存在数数域域F上的上的n阶可逆矩阵阶可逆矩阵T，使得，使得 ，那么就说，那么就说A与与B相似，记为相似，记为AB。！矩阵的相似矩阵的相似关系是矩阵关系是矩阵代数中非常代数中非常重要的概念重要的概念 6.3 6.3 线性变换和矩阵线性变换和矩阵 阶矩阵的相似关系具有下列性质：阶矩阵的相似关系具有下列性质：a.自反性；自反性；b.对称性；对称性；c.传递性。传递性。从而，从而，n维向量空间的一个线性变换维向量空间的一个线性变换关于两个基关于两个基的矩阵是相似的。的矩阵是相似的。反之，设是数域反之，设是数域F上两个相似的上两个相似的n阶矩阵阶矩阵，则存在则存在数域数域F上上n维向量空间维向量空间V的一个线性变换的一个线性变换，它关于，它关于V的的一个基一个基 的矩阵为的矩阵为A，即，即 因为因为A与与B相似，所以存在可逆矩阵相似，所以存在可逆矩阵T，使得，使得6.3 6.3 线性变换和矩阵线性变换和矩阵 令令 则则 也是一个基，且关也是一个基，且关于这个基的矩阵就是。故相似的矩阵可以看成是同一于这个基的矩阵就是。故相似的矩阵可以看成是同一个线性变换关于两个基的矩阵。个线性变换关于两个基的矩阵。最后有：最后有：6.4 不变子空间v教学目标 了解不变子空间的定义并会判断一个子空间是否为一个不变子空间.掌握不变子空间与可对角化的关系.v教学重点 不变子空间的定义及其判断.v教学难点 不变子空间的性质及其应用.一、基本概念 设是数域上维向量空间的一个线性变换。我们自然希望取的一个基，使得关于这个基的矩阵最简单。由于一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的，因此也可以说：在彼此相似的阶矩阵中，选出一个形式尽可能简单的矩阵来。这一问题的讨论和不变子空间的概念有着密切的联系。令 是数域 上的一个向量空间，是 的一个线性变换。定义6.4.1 的一个子空间 说是在线性 变换 之下不变（或稳定），如果:如果子空间 之下不变，那么 在就叫做的一个不变子空间。设是在线性变换 的一个不变子空间。若只考虑 在 上的作用，就得到子空间 本身的一个线性变换，称为 在 上的限制。记作这样 ，有:如果，就没有意义了。)(xsW不变子空间与线性变换矩阵简化的关系：设V是数域F上一个n维向量空间，是V的一个线性变换，假设 有一个非平凡不变子空间W，那么取W的一个基再补充成为V的一个基 由于W在 之下不变，所以 仍在W内，因而可以由W的基 线性表示。我们有：因此，关于该基的矩阵为：，这里 平凡 是关于的基的矩阵。由此可见，如果线性变换 有一个非不变子空间，那么适当选取的基，可以 使与对应的矩阵中有一些元素为零。特 别，如果 可以写成两个非平凡不变子空 与的直和：间。v那么选取 的一个基 与 的一个基 凑成 的一个基 当 与 都在 之下不变时，关于这个基的矩阵为:阶矩阵，这里是一个 阶矩阵，它是关于基的矩阵，是一个它是关于基 的矩阵。v因此，给定 维向量空间 的一个线性变换 ，只要能够将 分解成一些在 之下不变的子空间的直和，那么就可以适当选取的基，使得 关于这个基的矩阵具有比较简单的形状。显然这些不变子空间的维数越小，相应的矩阵的形状就越简单。特别，如果能够将 分解成 个在 之下不变的一维子空间的直和，那么 对应的矩阵就是对角形。这就是我们今后将要解决的问题。二、例子v一般，如果向量空间 可以写成 个子空间 的直和，并且每一子空间都在 之下不变，那么在每一子空间上取一个基，凑成 的一个基，则 关于这个基的矩阵为：其中是 关于的基的矩阵。都在 例2、及之下不变。例3、满足 证明：（1）（2）（3）如果，那么及 都在之下不变例1、向量空间本身和零空间在之下不变。6.5 6.5 特征值与特征向量特征值与特征向量v教学目标 会求特征值与特征向量,并能够应用v教学重点 特征值与特征向量的定义及其性质v教学难点 特征值与特征向量的应用一、定义、定理及性质设上的一个向量空间,是数域定义6.5.1 设是数域中的一个数。，使得若存在非零向量（1）那么就叫做的一个特征值，而 是的属于特的特征向量。征值的特征向量，则的属于特征值是，若有都是不变，从而如果的一个特征向量，那么由所生成的一维子空间在之下不变。的一个一维子空间 在 之下 反过来，如果的每一个非零向量都是的属于同一个那么征值的特征向量。特设是数域上的一个维线性空间。取定 的。令线性变换关于这个基一个基阵为：的矩如果是线性变换的属于特征值的特征向量，则有：另外：根据坐标的唯一性有:。即：（2）因为，所以（2）有非零解。故：（3）反过来，如果满足等式（3），那么（2），由非零解因而满足是 的一个特征值。式（1），即等定义（特征多项式）：设是数域上的一个阶矩阵。行列式 引入叫作矩阵的特征多项式。由定义可知 等式（3）表明，如果是线性变换关于的一个基的矩阵。而 是的一个特征值，那么 是的特征多项式的根，即：。现在设线性变换关于的另一个基的矩阵是则有：因为，所以故 关于从而，相似的矩阵具有相同的特征多项式。这样，的线 我们可以定义性变换的特征多项式是的任意一个基的矩阵的特征多项式，并且把的。特征多项式记作线性变换。定理6.5.1设是数域上维向量空间的一个是的一个特征值是的特征的一个根。多项式那么现在的问题就是来研究矩阵的特征多项式了。（4）将这个行列式展开，就得到中一个多项式，它，出现在对角线上元素的乘积中：的最高次项是（5）个线主对角行列式的展开式其余的项至多含有是乘积（5）和一个至多是的一个次多项式的和。因此，中次数大于的项只出现在乘积（5）里。所以：上的元素。因此，这里没有写出的项的次数至多是次。在（4）式中令得：中，的系数乘以-1就是矩阵在的迹。例、.令，定义为：则，有：从而任意的实数都是的特征根。二、例子6.6 可以对角化的矩阵定义6.6.1 设，如果存在 的一个基，使得 关于这个基的矩阵具有对角形式：（1）则称 可以对角化。类似的：与对角阵相似，则称 可对角化。设，定理6.6.1 可对角化 中存在由 的特征向量组成的基。证明：可对角化，基=，故 是的特征向量,且是基。反之：如果 有个线性无关的特征向量 则取为的基，于是关于这个基的矩阵是 可以对角化。对角形式。定理6.6.2 属于不同特征根的特征向量线性无关。证明：设是 属于不同特征根的特征向量。（对特征根作数学归纳法）。v推论6.6.3 在 维向量空间 中，如果线性变换的特征多项式 在F内有个 不同的特征根，则存在 中一个基，使得 关于这个基的矩阵是对角形的。即 可以对角化。证明：由定理7.6.2直接推得。v推论6.6.4 令A是F上一个 阶矩阵，如果A的特征多项式 在F内有 个单根（个不同的根），则存在一个 阶可逆阵T，使得 =证明：由于A是F上n阶矩阵，则对于给定V的一个基 ，存在一个线性变换 ，使得 关于这个基的矩阵是A，故 的特征多项式 的，在F内的根就是的 特征根。又 =，由于 的根全在F内，且是单根。有个不同的特征根：由推论1：可以对角 与对角阵相似。故存在可逆阵T，使得=（对角）从而，如果 的特征多项式 在F内有 个不同的根，则 可以对角化，即：如果一个 阶矩阵A的特征多项式 在F内有 个不同的根，可以对角化，但如果 或 在F内有 个根，但有重根。这时，要判断 或 是否可以对角化问题就复杂多了。则化，即 定义6.6.2 设，是的特征根，令，则 是 的一个子空间，称为的属于 的特征子空间。定理6.6.5 的属于特征根 的特征子空间的维数不能大于的重数。即 的重数证明：设 是 的特征根，则取 的一个 余子空间，于是设 的的一个基。是的基，于是 的基，凑成 由此得到 基的矩阵是关于这个。因此：至少是 的S重数。又。所以 至少是 的S重特征根即 的重数因此，如果 在F内有 个单根，即 的每一个 特征子空间的维数都等于1，即等于特征根的维数。这时向量空间V是 的一切特征子空间的直和：且 可对角化，此时对 中任意取非空，则 为V的一个基，关于基 的矩阵是对角形的。一般地：如果 的根在F内，且V可以写成。这里 是 的所有特征子空间，是 的互不相等的特征根，于是从每个特征子空间中取出一个基，凑成V的一个基，则关于这个基的矩阵是对角形的：即：如果 可以写成 的所有特征子空间的直和，则可以对角化。定理7.6.6 设，是 的互不相同的特征根，则子空间的和：是直和。且W在 之下不变。证明：（板书）定理6.6.7 设，则 可以对角化 的根 全在F内；（ii）（i）的维数等于 的重数。证明：若（i）（ii）成立，令 是 部不同的特征根，它们的重数分别是 的全，则：下面证明V可以分解成 的特征子空间的直和，即由定理4有：由 得基，然后凑成 的一个基，使 关于这个基的矩阵为：即可以对角化。：若 可以对角化,则V各由一个 的特征向量组成的基，适当排列这个基的次序，设这个基是：（其中 是 的属于特征根 的特征子空间 的线性无关的向量，显然）于是：关于这个基的矩阵是A=的特征多项式的根都在于是的特征多项式 内。且 的重数是 而 的重数，但：的重数。的重数。从而，可对角化（i）=0的根全在F内；ii）对A的每一特征根，秩 8、对角化的步骤：（包括判别）（I）设A是上阶矩阵，1、求=0的根（若不全在F内，则不能对角化）。2、对每个特征根，求出齐次线性方程组 的基础解系。（若基础解系所含向量的个数不等于的重数，则不能对角化）。3、设全部特征根为：其重数为，则 B=其中 的第1，2，n列依次为特征根 的对应齐次线性方程组的基础解系所组成的特征向量。个（II）设，且A是 关于V的一个基的矩阵，1、2、3同左。的矩阵 4、令，则关于基 是对角形矩阵B。例1 是否对角化。证：设证：设是是V中任意向量。定义中任意向量。定义V到自身的一个映射到自身的一个映射：下面证明下面证明是是V的一个线性变换。设的一个线性变换。设 。返回题目设设这就证明了这就证明了是是V的一个线性变换。的一个线性变换。满足定理所要求的条件：满足定理所要求的条件：如果如果是是V的一个线性变换，且的一个线性变换，且，ZZ对于任意对于任意 ，从而从而。返回题目证：证：显然成立，下面证明显然成立，下面证明设线性变换设线性变换关于基关于基的矩阵是的矩阵是。那么。那么是是到到的一个映射。反过来，设的一个映射。反过来，设 是是上任意一个上任意一个阶矩阵，令阶矩阵，令。由引理由引理7.3.2，存在唯一的，存在唯一的使使关于基关于基的矩阵就是的矩阵就是。这就证明了如上建立的映射是。这就证明了如上建立的映射是到到的双射：的双射：设设 我们有我们有由于由于是线性变换，所以是线性变换，所以因此因此所以所以关于基关于基的矩阵就是的矩阵就是。返回题目