第五章-条件平差课件

空间数据误差处理空间数据误差处理Surveying Adjustment第五章第五章 条件平差条件平差第五章第五章 条件平差条件平差v5-1 条件平差原理条件平差原理v5-2 条件方程条件方程v5-3 精度评定精度评定v5-4 条件平差公式汇编和水准网平差实例条件平差公式汇编和水准网平差实例v 作作 业业预备知识预备知识v拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法w求函数求函数Z=f（x，y）在满足附加条件在满足附加条件 的情况的情况下的极值问题，首先构成辅助函数，下的极值问题，首先构成辅助函数，其中其中为某一常数。即拉格朗日乘数。再来求上为某一常数。即拉格朗日乘数。再来求上式的极值式的极值预备知识预备知识v函数向量关于向量的求导规则函数向量关于向量的求导规则 基础方程及其解 条件平差的的计算步骤5-1 条件平差原理条件平差原理5-1 条件平差原理条件平差原理v函数模型函数模型v随机模型随机模型v平差准则平差准则5-1 条件平差原理条件平差原理平差值方程平差值方程5-1 条件平差原理条件平差原理条件方程条件方程方程闭合差方程闭合差5-1 条件平差原理条件平差原理v一、基础方程及其解一、基础方程及其解 问题：根据上述方程求解问题：根据上述方程求解V值值 方法：方法：拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法5-1 条件平差原理条件平差原理5-1 条件平差原理条件平差原理wP为对角阵时为对角阵时改正数方程：改正数方程：法方程：法方程：5-1 条件平差原理条件平差原理v二、条件平差的计算步骤二、条件平差的计算步骤w根据平差问题的具体情况，列出平差值条件根据平差问题的具体情况，列出平差值条件方程并转化为改正数条件方程，条件方程的方程并转化为改正数条件方程，条件方程的个数等于多余观测数个数等于多余观测数r。w组成法方程式，法方程的个数等于多余观测组成法方程式，法方程的个数等于多余观测数数r。5-1 条件平差原理条件平差原理w解算法方程，求出联系数解算法方程，求出联系数K值。值。w将将K值代入改正数方程式，求出值代入改正数方程式，求出V值，并求出平值，并求出平差值差值w为了检查平差计算的正确性，常用平差值为了检查平差计算的正确性，常用平差值 重重新列出平差值条件方程式，看其是否满足方程。新列出平差值条件方程式，看其是否满足方程。5-1 条件平差原理条件平差原理v例例1.1.设对图中的三个内角做同精度观测，得观测值设对图中的三个内角做同精度观测，得观测值 L1=421220 ，L2=780909 ，L3=593840 。试按条件平差求三个内角的平差值。试按条件平差求三个内角的平差值。5-1 条件平差原理条件平差原理v例例2.2.A,B为已知水准点，其高程为为已知水准点，其高程为HA=12.013m，HB=10.013m，可视为无误差。为了确定可视为无误差。为了确定C及及D点的高程，点的高程，共观测了四个高差，高差观测值及相应水准路线的距离共观测了四个高差，高差观测值及相应水准路线的距离为：为：试求试求C和和D点高程的平差值。点高程的平差值。CDh3h4h25-1 条件平差原理条件平差原理v例例3.3.如图，如图，A、B、C三点在一直线上，测出了三点在一直线上，测出了AB、BC及及AC的距离，得的距离，得4 4个独立观测值：个独立观测值：l1=200.010m，l2=300.050m，l3=300.070m，l4=500.090m。若令。若令100m量距量距的权为单位权，试按条件平差法确定的权为单位权，试按条件平差法确定A、C之间各段距离之间各段距离的平差值的平差值ACBl1l2l3l4 水准网条件方程 测角网条件方程 测边网条件方程5-2 条件方程条件方程5-2 条件方程条件方程v一、水准网一、水准网w1.水准网的分类及水准网的基准水准网的分类及水准网的基准分为有已知点和无已知点两类分为有已知点和无已知点两类要确定各点的高程，需要要确定各点的高程，需要1个高程基准个高程基准w2.水准网中必要观测数水准网中必要观测数t的确定的确定有已知点：有已知点：t=网中待定点数网中待定点数无已知点：无已知点：t=网中待定点数网中待定点数-15-2 条件方程条件方程w3.水准网中条件方程的分类水准网中条件方程的分类分为附合条件和闭合条件两类分为附合条件和闭合条件两类已知点个数大于已知点个数大于1：存在闭合和附合两类条件：存在闭合和附合两类条件已知点个数小于等于已知点个数小于等于1：只有闭合条件：只有闭合条件h1h3h2ABC例：水准网如图，例：水准网如图，A、B、C三点高程三点高程未知，观测值未知，观测值h1h3，列出条件方程，列出条件方程n=3，t=2，r=1 5-2 条件方程条件方程w4.水准网中条件方程的列立方法水准网中条件方程的列立方法列条件方程的原则：列条件方程的原则：足数、独立、最简足数、独立、最简（1）先列附合条件，再列闭合条件）先列附合条件，再列闭合条件（2）附合条件按）附合条件按测段少测段少的路线列立，附合条件的个的路线列立，附合条件的个数等于数等于已知点的个数减已知点的个数减1（3）闭合条件按）闭合条件按小环小环建立（保证最简），一个水准建立（保证最简），一个水准网中有多少小环，就列多少个闭合条件。网中有多少小环，就列多少个闭合条件。5-2 条件方程条件方程v二、测角网二、测角网w1.测角网的组成测角网的组成由三角形、大地四边形和中点多边形等三种基本图由三角形、大地四边形和中点多边形等三种基本图形互相邻接或互相重叠而成。形互相邻接或互相重叠而成。w2.测角网的观测值测角网的观测值测角网的观测值很简单，全部是角度观测值测角网的观测值很简单，全部是角度观测值w3.测角网的作用测角网的作用确定待定点的平面坐标确定待定点的平面坐标5-2 条件方程条件方程w4.测角网的基准数据（起算数据）测角网的基准数据（起算数据）位置基准位置基准2个：任意一点的坐标个：任意一点的坐标x0，y0方位基准方位基准1个：任意一条边的方位角个：任意一条边的方位角0长度基准长度基准1个：任意一条边的边长个：任意一条边的边长S0w5.测角网中必要观测数测角网中必要观测数t的确定的确定有足够的基准数据：有足够的基准数据：t=2m，m为待定点点数为待定点点数无足够的基准数据：无足够的基准数据：t=2z-4，z为三角网的总点数为三角网的总点数两已知点两已知点5-2 条件方程条件方程w6.条件方程的列立条件方程的列立一般而言，网中全部独立的条件数是一定的，但其一般而言，网中全部独立的条件数是一定的，但其列法不唯一。列法不唯一。原则：将复杂图形分解成典型图形原则：将复杂图形分解成典型图形三角形三角形大地四边形大地四边形中心多边形中心多边形5-2 条件方程条件方程w7.条件方程的类型条件方程的类型图形条件（内角和条件）图形条件（内角和条件）:三角形内角和等于三角形内角和等于180圆周条件（水平条件）：圆周角等于圆周条件（水平条件）：圆周角等于360极条件（边长条件）：由不同推算路线得到的同一极条件（边长条件）：由不同推算路线得到的同一边的边长相等边的边长相等方位角条件方位角条件坐标条件坐标条件5-2 条件方程条件方程（1）图形条件）图形条件（2）圆周条件）圆周条件ACBDb1a2a1b3a3b2c1c3c25-2 条件方程条件方程极条件极条件ACBDb1a2a1b3a3b2c1c3c2ACBDb1a2a1b3a3b2c1c3c25-2 条件方程条件方程中点三边形的中点三边形的极条件方程极条件方程5-2 条件方程条件方程ACBDb1a2a1b3a3b2c1c3c25-2 条件方程条件方程v例例1.1.如图为一三角形，试列出条件方程如图为一三角形，试列出条件方程wn=3，t=2，r=1w1个图形条件个图形条件5-2 条件方程条件方程v例例2.2.如图为一大地四边形，试列出条件方程如图为一大地四边形，试列出条件方程wn=8，t=4，r=4w3个图形条件，个图形条件，1个极条件个极条件（1）图形条件）图形条件ABDCa1b1a4b4b3a3a2b25-2 条件方程条件方程（2）极条件）极条件大地四边形的大地四边形的极条件方程极条件方程ABDCa1b1a4b4b3a3a2b2 三角形有三角形有1个多余观测，应列个多余观测，应列1个图形条件；个图形条件；大地四边形有大地四边形有4个多余观测，应列个多余观测，应列3个图形条件和个图形条件和1个个极条件两类条件；极条件两类条件；只有中点只有中点n边形有边形有(n+2)个多余观测，应列个多余观测，应列n个图形条个图形条件，件，1个圆周条件和个圆周条件和1个极条件。个极条件。5-2 条件方程条件方程以虚焦点以虚焦点O为极为极OABDCa1b1a4b4b3a3a2b25-2 条件方程条件方程v例例3.3.列出如图模型的条件方程，列出如图模型的条件方程，9 9个同精度观测值为个同精度观测值为 试列出条件方程试列出条件方程。wn=9，t=4，r=5w3个图形条件，个图形条件，1个圆周条件，个圆周条件，1个极条件个极条件ACBDb1a2a1b3a3b2c1c3c25-2 条件方程条件方程v三、测边网三、测边网w1.测边网的观测值测边网的观测值测边网的观测值很简单，全部是边长观测值测边网的观测值很简单，全部是边长观测值w2.测边网的作用测边网的作用确定待定点的平面坐标确定待定点的平面坐标w3.测边网的类型测边网的类型单三边形、大地四边形、中点多边形、组合图形单三边形、大地四边形、中点多边形、组合图形5-2 条件方程条件方程w4.测边网的基准数据测边网的基准数据位置基准位置基准2个：任意一点的坐标个：任意一点的坐标x0，y0方位基准方位基准1个：任意一条边的方位角个：任意一条边的方位角0w5.测边网中必要观测数测边网中必要观测数t的确定的确定有足够的基准数据：有足够的基准数据：t=2m，m为待定点点数为待定点点数无足够的基准数据：无足够的基准数据：t=2z-3，z为三角网的总点数为三角网的总点数5-2 条件方程条件方程（1）单三角形：）单三角形：t=2*3-3=3，n=3，r=n-t=3-3=0（2）大地四边形：）大地四边形：t=2*4-3=5，n=6，r=n-t=6-5=1（3）中点）中点N边形：边形：t=2*(N+1)-3=2N-1，n=2N，r=n-t=1 在测边网中，单三角形不存在条件，大地四边形和中点多边形都只在测边网中，单三角形不存在条件，大地四边形和中点多边形都只有一个条件。故测边网中条件方程的个数等于大地四边形和中点多边形有一个条件。故测边网中条件方程的个数等于大地四边形和中点多边形的个数之和。的个数之和。5-2 条件方程条件方程w6.测边网中条件方程的列立测边网中条件方程的列立（1）以角度改正数表示的条件方程）以角度改正数表示的条件方程 角度闭合法：利用观测边长求出网中的内角，列出角度间角度闭合法：利用观测边长求出网中的内角，列出角度间应满足的条件，然后，以边长改正数代换角度改正数，得到以应满足的条件，然后，以边长改正数代换角度改正数，得到以边长改正数表示的图形条件。边长改正数表示的图形条件。CABS1S3S2123S5S4S65-2 条件方程条件方程（2）角度改正数与边长改正数关系）角度改正数与边长改正数关系 任意角的改正数，等于其对边的改正数分别减去两任意角的改正数，等于其对边的改正数分别减去两邻边的改正数乘以其邻角的余弦，然后在除以该角至邻边的改正数乘以其邻角的余弦，然后在除以该角至其对边的高，并乘以常数其对边的高，并乘以常数BCAhaScSaSbhchb5-2 条件方程条件方程（3）以边长改正数表示的图形条件方程）以边长改正数表示的图形条件方程中点多边形中点多边形ACBDS5S1S3a3S2h1h3h2312S4S6BCADS5S2S6S4h1S3S1123h25-2 条件方程条件方程大地四边形大地四边形5-2 条件方程条件方程（4）具体计算）具体计算单位：边长改正数单位：边长改正数cm，高，高km，取取2.062ACBDS5S1S3a3S2h1h3h2312S4S65-2 条件方程条件方程余弦定理：余弦定理：BCADS5S2S6S4h1S3S1123h2 单位权方差的估值公式 观测值函数的协因数 平差值函数的中误差5-3 精度评定精度评定5-3 精度评定精度评定v一、单位权方差的估值公式一、单位权方差的估值公式wVTPV的计算的计算（1）直接计算）直接计算（2）用常数项与联系数）用常数项与联系数5-3 精度评定精度评定v二、观测值函数的协因数二、观测值函数的协因数基本向量基本向量关系式关系式5-3 精度评定精度评定求求:QZZ基本思想：基本思想：把这些向量表示成已把这些向量表示成已知协因数阵的量知协因数阵的量L L的线性函数，然后用的线性函数，然后用协因数传播律求解。协因数传播律求解。5-3 精度评定精度评定5-3 精度评定精度评定5-3 精度评定精度评定条件平差基本向量的协因数阵条件平差基本向量的协因数阵LWKVLW0K0V00005-3 精度评定精度评定v三、平差值函数的中误差三、平差值函数的中误差CDh3h4h2ACBDb1a2a1b3a3b2c1c3c2问题：如何计算平差值函数的中误差？问题：如何计算平差值函数的中误差？5-3 精度评定精度评定设有平差值函数：设有平差值函数：对上式全微分得：对上式全微分得：取全微分式的系数阵为：取全微分式的系数阵为：代入平差值函数得：代入平差值函数得：权函数式权函数式5-3 精度评定精度评定5-3 精度评定精度评定v例例1.1.如图如图6个同精度观测值为个同精度观测值为 图中图中AB为已知边长，设为无误差，经平差求得测角中误为已知边长，设为无误差，经平差求得测角中误 差差 ，试求平差后，试求平差后CD边边长相对中误差边边长相对中误差。243615ABDC中误差与观测值中误差与观测值之比之比 公式汇编 水准网平差示例5-4 公式汇编和水准网平差示例公式汇编和水准网平差示例5-4 公式汇编和水准网平差示例公式汇编和水准网平差示例v一、公式汇编一、公式汇编w函数模型函数模型w条件方程：条件方程：5-4 公式汇编和水准网平差示例公式汇编和水准网平差示例w法方程法方程w基础方程的解基础方程的解w观测量平差值观测量平差值5-4 公式汇编和水准网平差示例公式汇编和水准网平差示例w平差值函数平差值函数w权函数式权函数式w单位权方差的估值单位权方差的估值5-4 公式汇编和水准网平差示例公式汇编和水准网平差示例w平差值函数的中误差平差值函数的中误差5-4 公式汇编和水准网平差示例公式汇编和水准网平差示例v二、水准网平差示例二、水准网平差示例w如图，如图，A、B是已知的高程点，是已知的高程点，C、D、E是待定是待定点。已知数据与观测数据列于下表。按条件平点。已知数据与观测数据列于下表。按条件平差求差求：（1）各待定点的平差高程）各待定点的平差高程 （2）C至至D点间高差平差值的中误差点间高差平差值的中误差5-4 公式汇编和水准网平差示例公式汇编和水准网平差示例路线号路线号观测高差观测高差(m)路线长度路线长度(km)已知高程已知高程(m)1+1.3591.1HA=5.016HB=6.0162+2.0091.73+0.3632.34+1.0122.75+0.6572.46+0.2381.47-0.5952.6Ah1h3h4h5h6h7CDEBh2作作 业业v1.1.有水准网如图，有水准网如图，A、B、C、D均为待定点，独立同精度均为待定点，独立同精度观测了观测了6条路线的高差：条路线的高差：h1=1.576m，h2=2.215m，h3=-3.800m，h4=0.871m，h5=-2.438m，h6=-1.350m 试按条件平差法求各高差的平均值。试按条件平差法求各高差的平均值。h1h2h6h5h4h3作作 业业v1.1.如图所示三角网，指出条件方程的总数和各类条件方如图所示三角网，指出条件方程的总数和各类条件方程式的个数，并列出全部改正数条件方程（非线性的要求程式的个数，并列出全部改正数条件方程（非线性的要求线性化）线性化）作作 业业v2.如图测边网中，如图测边网中，A、B、C为已知点为已知点，D为待定点，观测为待定点，观测边长得边长得S1,S2,S3，试按条件平差列出线性形式的条件方程，试按条件平差列出线性形式的条件方程，并将方程中的角度用边长表示出来（提示：利用余弦定理）并将方程中的角度用边长表示出来（提示：利用余弦定理）。v3.3.如图所示的水准网，如图所示的水准网，A、B、C已知水准点，已知水准点，P1、P2、P3为待定点，已知水准点的高程、各水准路线的长度为待定点，已知水准点的高程、各水准路线的长度及观测高差列入下表及观测高差列入下表.试用条件平差法求试用条件平差法求P1、P2、P3点点高程的平差值和相应的中误差。高程的平差值和相应的中误差。作作 业业线号线号高差高差(m)路线长度路线长度(km)点号点号高程高程(m)11.1004A5.00022.3982B3.95330.2004C7.65041.000253.404263.4524ABCP1P2P3h1h5h6h4h2h3