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微电子器件及工艺CAD1国际微电子中心国际微电子中心1第五章第五章 二维有限差分模拟法二维有限差分模拟法哈尔滨工业大学哈尔滨工业大学(威海威海)微电子中心微电子中心王新胜王新胜微电子器件及工艺CAD2国际微电子中心国际微电子中心2二维有限差分模拟法二维有限差分模拟法 在实际应用中，用一维模型描述器件的性能经常是不在实际应用中，用一维模型描述器件的性能经常是不准确的。如对晶体管而言，在基区中点电流不连续，与基准确的。如对晶体管而言，在基区中点电流不连续，与基区电流有关的发射极电流集边效应在一维模型中也未能得区电流有关的发射极电流集边效应在一维模型中也未能得到反映。所以有必要研究器件的二维模型及其模拟方法。到反映。所以有必要研究器件的二维模型及其模拟方法。半导体器件的二维数值分析是一种研究器件内部过程及探半导体器件的二维数值分析是一种研究器件内部过程及探索新器件结构的有力工具。索新器件结构的有力工具。微电子器件及工艺CAD3国际微电子中心国际微电子中心35-1 基本方程及差分方程基本方程及差分方程基本方程及差分方程基本方程及差分方程微电子器件及工艺CAD4国际微电子中心国际微电子中心4二维形式二维形式5.1.1 基本方程基本方程基本方程及差分方程基本方程及差分方程微电子器件及工艺CAD5国际微电子中心国际微电子中心5二维形式二维形式5.1.2 稳态基本方程稳态基本方程基本方程及差分方程基本方程及差分方程微电子器件及工艺CAD6国际微电子中心国际微电子中心65.1.2 网格化网格化 器件的网格化如图器件的网格化如图5-1所示。在所示。在x-y平面上，任一网格点平面上，任一网格点用用(M,N)来表示，来表示，M代表代表X轴上的值，轴上的值，N代表代表Y轴上的值。这轴上的值。这组坐标称为主网个点，在两个主网格点的中点引入辅助网格组坐标称为主网个点，在两个主网格点的中点引入辅助网格点，以点，以 表示。在表示。在Y=N的网格线上，主网格点依次为的网格线上，主网格点依次为辅网格点为辅网格点为 主网格距为主网格距为 辅网格距为辅网格距为基本方程及差分方程基本方程及差分方程微电子器件及工艺CAD7国际微电子中心国际微电子中心75.1.2 网格化网格化 在在X=M的网格线上，主网格点依次为的网格线上，主网格点依次为辅网格点为辅网格点为 主网格距为主网格距为 辅网格距为辅网格距为 图中阴影部分是金属化电极区。图中阴影部分是金属化电极区。基本方程及差分方程基本方程及差分方程微电子器件及工艺CAD8国际微电子中心国际微电子中心85.1.2 网格化网格化 图图5-1电极电极 固定边界固定边界 浮动边界浮动边界电极电极 固定边界固定边界 基本方程及差分方程基本方程及差分方程BACK微电子器件及工艺CAD9国际微电子中心国际微电子中心95.1.3 基本方程的差分化基本方程的差分化 和前面类似，为了提高差分精度，在主网个点和前面类似，为了提高差分精度，在主网个点(M,N)上上确定基本变量确定基本变量p,n,，在辅助网个点在辅助网个点 上确定它们的导数。上确定它们的导数。基本方程及差分方程基本方程及差分方程1.连续性方程的差分方程连续性方程的差分方程微电子器件及工艺CAD10国际微电子中心国际微电子中心102.Poisson方程的差分方程方程的差分方程5.1.3 基本方程的差分化基本方程的差分化基本方程及差分方程基本方程及差分方程微电子器件及工艺CAD11国际微电子中心国际微电子中心115.1.3 基本方程的差分化基本方程的差分化基本方程及差分方程基本方程及差分方程2.电流密度方程的差分方程电流密度方程的差分方程微电子器件及工艺CAD12国际微电子中心国际微电子中心12基本方程及差分方程基本方程及差分方程微电子器件及工艺CAD13国际微电子中心国际微电子中心135-2 边界条件边界条件边界条件边界条件微电子器件及工艺CAD14国际微电子中心国际微电子中心14 在晶体管的一维模型中，只有发射极和集电极两个端在晶体管的一维模型中，只有发射极和集电极两个端点，这两个端点都用金属电极所覆盖，并且加有固定的偏点，这两个端点都用金属电极所覆盖，并且加有固定的偏压，所以其边界条件是固定的，称为压，所以其边界条件是固定的，称为固定边界条件固定边界条件。但是。但是对二维模型来说，就有发射集、集电极和基极三个端点，对二维模型来说，就有发射集、集电极和基极三个端点，同时还有一些没有被金属化电极覆盖的区域。这些区域由同时还有一些没有被金属化电极覆盖的区域。这些区域由于没有固定电压，所以其表面的电势于没有固定电压，所以其表面的电势 及载流子浓度受体及载流子浓度受体内情况的影响，这些区域的边界条件称为内情况的影响，这些区域的边界条件称为浮动边界条件浮动边界条件。边界条件边界条件微电子器件及工艺CAD15国际微电子中心国际微电子中心155.2.1固定边界条件固定边界条件三个电极的三个电极的载流子浓度载流子浓度边界条件边界条件微电子器件及工艺CAD16国际微电子中心国际微电子中心165.2.1固定边界条件固定边界条件 对于对于npn晶体管共基晶体管共基极偏置情况，三个电极极偏置情况，三个电极的准费米电势分别为的准费米电势分别为 三个电极处的电势三个电极处的电势边界条件为边界条件为边界条件边界条件微电子器件及工艺CAD17国际微电子中心国际微电子中心175.2.2浮动边界条件浮动边界条件 在那些没有金属覆盖的区域，也不是重掺杂的区域，在那些没有金属覆盖的区域，也不是重掺杂的区域，不能再用确定固定边界条件的方法。假设半导体表面某处不能再用确定固定边界条件的方法。假设半导体表面某处无金属电极处的未知基本变量为无金属电极处的未知基本变量为(p1,n1,)，其相邻网格线其相邻网格线上点的未知基本变量为上点的未知基本变量为(p2,n2,)，见图见图5-1，在这些表面上，在这些表面上，可以认为空穴和电子电流密度在垂直表面方向上的分量为可以认为空穴和电子电流密度在垂直表面方向上的分量为零，即零，即 因为这样才能满足电流连续条件，垂直流向表面的空因为这样才能满足电流连续条件，垂直流向表面的空穴流及电子流为零，意味着它们的扩散电流和漂移电流数穴流及电子流为零，意味着它们的扩散电流和漂移电流数值相等但方向相反。值相等但方向相反。JP（垂直分量）垂直分量）Jn（垂直分量）垂直分量）0边界条件边界条件微电子器件及工艺CAD18国际微电子中心国际微电子中心18JP（垂直分量）垂直分量）Jn（垂直分量）垂直分量）00)1,()(),()()()(0)1,()(),()()()(2121l ll ll ll l=+=+=NMpNNMpNNhqNJNMnNNMnNNhqNJpypyypynynyyny1)()()()(,1)()()()()()(21eNNNNeNNNNNppyNppy-=-=-b bq qm ml lb bq qm ml lb bb b)()()()(),()()()(1221NNNNNNNNpypnnypypnny=l lm mm ml ll lm mm ml l5.2.2浮动边界条件浮动边界条件边界条件边界条件参考电流方程参考电流方程微电子器件及工艺CAD19国际微电子中心国际微电子中心195.2.2浮动边界条件浮动边界条件边界条件边界条件得得得得微电子器件及工艺CAD20国际微电子中心国际微电子中心2022211121212121npnpenenepep-+G G=-+G G=-qyqyqyqyqyqyqyqy5.2.2浮动边界条件浮动边界条件 上述两个方程维一地确定了浮动边界处相邻两个网格上述两个方程维一地确定了浮动边界处相邻两个网格点上未知变量间的关系。点上未知变量间的关系。边界条件边界条件微电子器件及工艺CAD21国际微电子中心国际微电子中心215-3 差分方程及边界条件的线性化差分方程及边界条件的线性化差分方程及边界条件的线性化差分方程及边界条件的线性化微电子器件及工艺CAD22国际微电子中心国际微电子中心22),(),(),(),(),(),(),(),(),(000NMNMNMNMnNMnNMnNMpNMpNMpdydyy yy yd dd d+=+=+=5.3.1二维稳态差分方程的线性化二维稳态差分方程的线性化 基本方程有限差分化后，所得的差分方程均是未知基基本方程有限差分化后，所得的差分方程均是未知基本变量本变量p,n,的非线性方程，故需要用牛顿迭代法来求解，的非线性方程，故需要用牛顿迭代法来求解，首先需要线性化。首先需要线性化。假定所有网格点上未知量的初值假定所有网格点上未知量的初值(p0,n0,)均已确定，均已确定，则则 与一维的情形一样，将非线性量用与一维的情形一样，将非线性量用Taylor级数在初值附级数在初值附近展开并取一级近似近展开并取一级近似差分方程及边界条件的线性化差分方程及边界条件的线性化微电子器件及工艺CAD23国际微电子中心国际微电子中心235.3.1二维稳态差分方程的线性化二维稳态差分方程的线性化差分方程及边界条件的线性化差分方程及边界条件的线性化微电子器件及工艺CAD24国际微电子中心国际微电子中心245.3.1二维稳态差分方程的线性化二维稳态差分方程的线性化差分方程及边界条件的线性化差分方程及边界条件的线性化微电子器件及工艺CAD25国际微电子中心国际微电子中心255.3.1二维稳态差分方程的线性化二维稳态差分方程的线性化差分方程及边界条件的线性化差分方程及边界条件的线性化将上述方程代入连续性方程和将上述方程代入连续性方程和Poisson方程的差分方程中，并写方程的差分方程中，并写成矩阵形式。成矩阵形式。微电子器件及工艺CAD26国际微电子中心国际微电子中心26aij,bij等的关系式见本节附录等的关系式见本节附录差分方程及边界条件的线性化差分方程及边界条件的线性化微电子器件及工艺CAD27国际微电子中心国际微电子中心275.3.2边界条件的线性化边界条件的线性化 在二维模拟中，边界条件有固定边界条件和浮动边界在二维模拟中，边界条件有固定边界条件和浮动边界条件两个部分。固定边界条件确定了条件两个部分。固定边界条件确定了p,n,和和 的值，故代入的值，故代入矩阵方程后，方程中有关诸项均被简单地变成方程右边的矩阵方程后，方程中有关诸项均被简单地变成方程右边的项加上一个常数。但是浮动边界条件关系式给出的是相邻项加上一个常数。但是浮动边界条件关系式给出的是相邻诸网格点上的未知变量间的非线性关系，所以必须在解矩诸网格点上的未知变量间的非线性关系，所以必须在解矩阵方程之前把它们线性化。阵方程之前把它们线性化。Taylor级数展开级数展开差分方程及边界条件的线性化差分方程及边界条件的线性化微电子器件及工艺CAD28国际微电子中心国际微电子中心2822211120020121011020201210110220102011011)0022)02)20110110220220110110220202202201101011011)()()()()()()()()()()()(020101020102010202010102020220101011npnpnnnpppppppeepepppeepepepepepppeepepepppeepep-+G G=-+G G=+-=+-+-+=-+=-+=-+-+=-+-+-+=-+-+=-e ey yy yy yy yq qe ey yy yy yy yq qy yy yq qe ey yy yq qe ey yy yq qy yy yq qy yy yq qy yy yq qy yy yq qy yy yq qy yy yq qy yy yq qy yy yq qqyqyqyqyqyqyqyqyqyqyqyqyqyqyqyqyqyqyqyqyqyqyqyqyqyqy同理同理设设除除整理得整理得（5.3.2边界条件的线性化边界条件的线性化差分方程及边界条件的线性化差分方程及边界条件的线性化微电子器件及工艺CAD29国际微电子中心国际微电子中心295.3.2边界条件的线性化边界条件的线性化 写成矩阵形式写成矩阵形式差分方程及边界条件的线性化差分方程及边界条件的线性化微电子器件及工艺CAD30国际微电子中心国际微电子中心305.3.2边界条件的线性化边界条件的线性化差分方程及边界条件的线性化差分方程及边界条件的线性化微电子器件及工艺CAD31国际微电子中心国际微电子中心315.3.3解线性方程组解线性方程组 在二维晶体管的分析中，一般典型问题所包括的网格在二维晶体管的分析中，一般典型问题所包括的网格点在点在x,y方向上都至少有几十个。方向上都至少有几十个。例如，例如，这样必须联立地解这样必须联立地解1200个方程。个方程。由于每个网格点包括三个由于每个网格点包括三个未知量，故总的变量数是未知量，故总的变量数是3600个。个。假定所有的矩阵假定所有的矩阵(矢量矢量)方程归纳入一个方程，则系数矩阵将包括方程归纳入一个方程，则系数矩阵将包括 个个标量。标量。因此，因此，解矩阵方程本身是个很大的问题。如果采用解矩阵方程本身是个很大的问题。如果采用Gauss消元法之类的直接解法，即使采用性能优异的计算机，消元法之类的直接解法，即使采用性能优异的计算机，也是不能胜任的。也是不能胜任的。前面曾讲过对于稀松矩阵可以采用迭代法求解，在二前面曾讲过对于稀松矩阵可以采用迭代法求解，在二维差分法中采用逐行超松弛法维差分法中采用逐行超松弛法(SLOR)代替高斯消元法，在代替高斯消元法，在这种方法中，对于线性方程组必须反复进行迭代计算，直这种方法中，对于线性方程组必须反复进行迭代计算，直到求得解为止。与先前讲的一样，一旦求得了线性方程组到求得解为止。与先前讲的一样，一旦求得了线性方程组差分方程及边界条件的线性化差分方程及边界条件的线性化微电子器件及工艺CAD32国际微电子中心国际微电子中心325.3.3解线性方程组解线性方程组的解，便跳过了一次牛顿迭代。的解，便跳过了一次牛顿迭代。一般，牛顿迭代中一次迭一般，牛顿迭代中一次迭代并不能产生非线性方程组代并不能产生非线性方程组(矩阵方程矩阵方程)的真正解，必须进的真正解，必须进行下一次牛顿迭代，行下一次牛顿迭代，在该次迭代中，矩阵方程的矩阵在该次迭代中，矩阵方程的矩阵(矢量矢量)系数被引入的最新的一组系数被引入的最新的一组 值所替代，必须连续地进值所替代，必须连续地进行牛顿迭代，直到充分求得原来非线性方程组的解为止。行牛顿迭代，直到充分求得原来非线性方程组的解为止。这里叙述的牛顿这里叙述的牛顿SLOR法包括牛顿迭代和法包括牛顿迭代和SLOR迭代，它们迭代，它们分别构成外迭代和内迭代。可见，解二维模型的器件差分分别构成外迭代和内迭代。可见，解二维模型的器件差分方程，使用了双重迭代法。方程，使用了双重迭代法。牛顿迭代法需要赋予牛顿迭代法需要赋予p,n和和 以初始值。在一维模型我以初始值。在一维模型我们已经介绍了初值的建立方法。在二维模型中，初始值的们已经介绍了初值的建立方法。在二维模型中，初始值的建立有类似之处。建立有类似之处。一般来说有二种方法：一种是将一维模一般来说有二种方法：一种是将一维模型的结果做维二维模型的初始值；再一种方法是如果已经型的结果做维二维模型的初始值；再一种方法是如果已经差分方程及边界条件的线性化差分方程及边界条件的线性化微电子器件及工艺CAD33国际微电子中心国际微电子中心33两维有限差分模拟法两维有限差分模拟法5.3.3解线性方程组解线性方程组求得偏值电压为求得偏值电压为(VBE)1及及(VBC)1的解的解p1,n1,，现在要求偏置现在要求偏置电压为电压为(VBE)2及及(VBC)2的解的解p2,n2,，则，则p1和和n1直接可以作为直接可以作为待求解的初值，以待求解的初值，以 为基础，将为基础，将(VBE)2-(VBE)1及及(VBC)2-(VBC)1在作用区间中均匀地迭加在在作用区间中均匀地迭加在 上作为待求解新解上作为待求解新解 的的初始值。初始值。微电子器件及工艺CAD34国际微电子中心国际微电子中心34两维有限差分模拟法两维有限差分模拟法5.3.4附录附录-二维稳态差分方程矩阵形式中二维稳态差分方程矩阵形式中aij,bij的关系式的关系式微电子器件及工艺CAD35国际微电子中心国际微电子中心35两维有限差分模拟法两维有限差分模拟法5.3.4附录附录-二维稳态差分方程矩阵形式中二维稳态差分方程矩阵形式中aij,bij的关系式的关系式微电子器件及工艺CAD36国际微电子中心国际微电子中心36两维有限差分模拟法两维有限差分模拟法5.3.4附录附录-二维稳态差分方程矩阵形式中二维稳态差分方程矩阵形式中aij,bij的关系式的关系式微电子器件及工艺CAD37国际微电子中心国际微电子中心37两维有限差分模拟法两维有限差分模拟法5.3.4附录附录-二维稳态差分方程矩阵形式中二维稳态差分方程矩阵形式中aij,bij的关系式的关系式微电子器件及工艺CAD38国际微电子中心国际微电子中心38两维有限差分模拟法两维有限差分模拟法5.3.4附录附录-二维稳态差分方程矩阵形式中二维稳态差分方程矩阵形式中aij,bij的关系式的关系式微电子器件及工艺CAD39国际微电子中心国际微电子中心39两维有限差分模拟法两维有限差分模拟法5.3.4附录附录-二维稳态差分方程矩阵形式中二维稳态差分方程矩阵形式中aij,bij的关系式的关系式微电子器件及工艺CAD40国际微电子中心国际微电子中心40两维有限差分模拟法两维有限差分模拟法5.3.4附录附录-二维稳态差分方程矩阵形式中二维稳态差分方程矩阵形式中aij,bij的关系式的关系式微电子器件及工艺CAD41国际微电子中心国际微电子中心41两维有限差分模拟法两维有限差分模拟法5.3.4附录附录-二维稳态差分方程矩阵形式中二维稳态差分方程矩阵形式中aij,bij的关系式的关系式微电子器件及工艺CAD42国际微电子中心国际微电子中心42两维有限差分模拟法两维有限差分模拟法5.3.4附录附录-二维稳态差分方程矩阵形式中二维稳态差分方程矩阵形式中aij,bij的关系式的关系式微电子器件及工艺CAD43国际微电子中心国际微电子中心43两维有限差分模拟法两维有限差分模拟法5.3.4附录附录-二维稳态差分方程矩阵形式中二维稳态差分方程矩阵形式中aij,bij的关系式的关系式微电子器件及工艺CAD44国际微电子中心国际微电子中心445-4 npn晶体管两维稳态解晶体管两维稳态解计算举例计算举例计算举例计算举例微电子器件及工艺CAD45国际微电子中心国际微电子中心455.4.1 掺杂函数及网格化方案的确定掺杂函数及网格化方案的确定 为了进行计算，需要确定掺杂函数以及网格化方案，同为了进行计算，需要确定掺杂函数以及网格化方案，同样假设掺杂函数为高斯分布，如下。样假设掺杂函数为高斯分布，如下。计算举例计算举例微电子器件及工艺CAD46国际微电子中心国际微电子中心465.4.1 掺杂函数及网格化方案的确定掺杂函数及网格化方案的确定 晶晶体体管管尺尺寸寸如如下下CNE=1020cm-1(发射区扩散层的表面浓度）发射区扩散层的表面浓度）CNC=1020cm-1(N+衬底扩散层表面掺杂浓度衬底扩散层表面掺杂浓度)CPB=1017cm-1(基区浓度基区浓度)CNB=1015cm-1(外延层浓度外延层浓度)WNE=10m(发射区厚度发射区厚度)WPB=20m(基区厚度基区厚度)WNB=50m(外延层厚度外延层厚度)WNC=100m(N+区扩散厚度区扩散厚度)发射区台的宽度发射区台的宽度 100 m发射区极电极宽度发射区极电极宽度 90 m台底的宽度台底的宽度 150 m基区电极的宽度基区电极的宽度 50 m计算举例计算举例微电子器件及工艺CAD47国际微电子中心国际微电子中心47非均匀划分非均匀划分最小网格距最小网格距0.5 m最大网格距最大网格距10 m5.4.1 掺杂函数及网格化方案的确定掺杂函数及网格化方案的确定图图5-244 43 42 41 40 39 38 37 36 35 3413 11 9 7 5 3 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 2728 29 30MAMBMCMD集电极集电极发射极发射极基极基极yx计算举例计算举例NENSNS微电子器件及工艺CAD48国际微电子中心国际微电子中心48X（m）间距间距hx（m）及分割点数及分割点数X方向方向09010 9901106，4，4，611025010 14Y方向方向082 48121，0.5 4，112283，4，5，428351，0.5 4，1，335755 875903，2，2，3，59018010 9计算举例计算举例微电子器件及工艺CAD49国际微电子中心国际微电子中心495.4.1 掺杂函数及网格化方案的确定掺杂函数及网格化方案的确定计算举例计算举例WNE=10m(发射区厚度发射区厚度)WPB=20m(基区厚度基区厚度)WNB=50m(外延层厚度外延层厚度)WNC=100m(N+区扩散厚度区扩散厚度)发射区厚度发射区厚度10m基区厚度基区厚度20m外延层厚度外延层厚度50mN+区扩散厚度区扩散厚度100m180m010m30m80m微电子器件及工艺CAD50国际微电子中心国际微电子中心505.4.2 SLOR单元及线方程的确定单元及线方程的确定 在一维晶体管模型中，已经对一条垂直线在一维晶体管模型中，已经对一条垂直线M=2做过计做过计算，确定了该垂直线上的算，确定了该垂直线上的p,n和和 ，这便提示对于二维问题，这便提示对于二维问题可选择一条垂直线作为可选择一条垂直线作为SLOR单元。在图单元。在图5-2中，有中，有28条垂条垂直线，从直线，从M=2扩展到扩展到M=MD=29。所以全部矩阵矢量方程所以全部矩阵矢量方程载划分为载划分为28块。因此，单个网格点上的矩阵方程可以写为块。因此，单个网格点上的矩阵方程可以写为计算举例计算举例微电子器件及工艺CAD51国际微电子中心国际微电子中心515.4.2 SLOR单元及线方程的确定单元及线方程的确定计算举例计算举例 SLOR法的一个特点是把相邻两条线上的未知量法的一个特点是把相邻两条线上的未知量Y(M-1,N)和和Y(M+1,N)看作是已知量。看作是已知量。微电子器件及工艺CAD52国际微电子中心国际微电子中心525.4.2 SLOR单元及线方程的确定单元及线方程的确定 在在 的范围，发射极电极和集电极电极在的范围，发射极电极和集电极电极在线的两端上，即线的两端上，即N=1N=1和和N NE E+1=44+1=44，在这两端上的量由固定边在这两端上的量由固定边界条件方程决定界条件方程决定（下页）（下页）。因此对于。因此对于N=NN=NS S=2=2，上面的矩阵上面的矩阵方程左边的第一项作为已知量被移到方程的右边，得到方程左边的第一项作为已知量被移到方程的右边，得到)1()()()()()1()(432+-=+-=EEEEEEEESNYNCNFNYNBNYNANN时时时时 同样，对于同样，对于N=NE=43，矩阵方程左边的第三项被移到矩阵方程左边的第三项被移到方程的右边，得到方程的右边，得到计算举例计算举例)1()()()1()()()(-=+sssssssNYNANFNYNCNYNB微电子器件及工艺CAD53国际微电子中心国际微电子中心535.4.2 SLOR单元及线方程的确定单元及线方程的确定计算举例计算举例微电子器件及工艺CAD54国际微电子中心国际微电子中心545.4.2 SLOR单元及线方程的确定单元及线方程的确定 特别地，特别地，M=2M=2的情形，左边相邻线的情形，左边相邻线M=1M=1上的未知变量受到上的未知变量受到浮动边界条件的制约。然而，由于杂质浓度沿法线浮动边界条件的制约。然而，由于杂质浓度沿法线(水平水平)方向不发生任何变化，故方向不发生任何变化，故M=1M=1上的变量完全能够等于上的变量完全能够等于M=2M=2上上的变量，即的变量，即 因此，因此，M=2M=2时，矩阵方程中的时，矩阵方程中的B(T)B(T)，F(T)F(T)可写为可写为()()TTTTNMYNMENMFNFNMDNMBNBNYNY+-=+=),1(),(,),(),()(),2(),1(计算举例计算举例微电子器件及工艺CAD55国际微电子中心国际微电子中心555.4.2 SLOR单元及线方程的确定单元及线方程的确定 对于对于M=MA+1=12的情形，在的情形，在N=1处无电极存在，所以要处无电极存在，所以要采用浮动边界条件。由于沿着垂直方向杂质浓度梯度不为零，采用浮动边界条件。由于沿着垂直方向杂质浓度梯度不为零，故不允许简单地处理，而是要把浮动边界条件故不允许简单地处理，而是要把浮动边界条件Y(1)=SY(2)+R代入代入N=NS=2的矩阵方程，从而得到的矩阵方程，从而得到 )2()2()3()2()2()2()2()2()3()2()2()2()1()2(RAFYCYBSAFYCYBYA-=+=+即即计算举例计算举例微电子器件及工艺CAD56国际微电子中心国际微电子中心565.4.2 SLOR单元及线方程的确定单元及线方程的确定 此外，线此外，线M=12右邻的未知变量处于台壁上，故也必须右邻的未知变量处于台壁上，故也必须为它们建立浮动边界条件，即为它们建立浮动边界条件，即B(N),F(N)应为应为()(),1(),(,),(),()(NMYNMDNMFNFNMENMBNBTTTT-=+=计算举例计算举例微电子器件及工艺CAD57国际微电子中心国际微电子中心575.4.2 SLOR单元及线方程的确定单元及线方程的确定计算举例计算举例微电子器件及工艺CAD58国际微电子中心国际微电子中心585.4.2 SLOR单元及线方程的确定单元及线方程的确定 至此，便完全确定了图至此，便完全确定了图5-2种全部空间网格点上的矩阵种全部空间网格点上的矩阵方程。总之解一条线的方程等效于解矩阵方程方程。总之解一条线的方程等效于解矩阵方程 只是需要按照符合每种情况的边界条件修改一下系数即只是需要按照符合每种情况的边界条件修改一下系数即可。解法本身于一维问题完全相同。可。解法本身于一维问题完全相同。计算举例计算举例微电子器件及工艺CAD59国际微电子中心国际微电子中心595.4.3 初值的确定初值的确定1.一维解作为初值一维解作为初值 在牛顿在牛顿-SLOR法中，二维问题被若干条垂直线组合的法中，二维问题被若干条垂直线组合的一维问题所取代，这样就自然想到用一维问题的真实解作一维问题所取代，这样就自然想到用一维问题的真实解作为二为问题的初值。对于给定的一组偏压为二为问题的初值。对于给定的一组偏压(VBC,VBE)，可以可以得到具有代表性的垂直线得到具有代表性的垂直线M=2的一维解。这些结果可作为的一维解。这些结果可作为相同偏置条件下的二维计算的初值。相同偏置条件下的二维计算的初值。1.2.前一次的两维解作为初值前一次的两维解作为初值 假定对于偏置条件假定对于偏置条件 已经得到了真实的二维解，已经得到了真实的二维解，现在要求新偏置条件现在要求新偏置条件(VBE,VBC)下的二维解，用下面的简单下的二维解，用下面的简单的公式可以求出电势的公式可以求出电势 的初值。的初值。计算举例计算举例微电子器件及工艺CAD60国际微电子中心国际微电子中心60 和和 分别代表集电极和基极电极上的电势，即分别代表集电极和基极电极上的电势，即计算举例计算举例微电子器件及工艺CAD61国际微电子中心国际微电子中心615.4.3 初值的确定初值的确定 至于载流子浓度至于载流子浓度p和和n，则无需修改。在偏置条件则无需修改。在偏置条件 下的真实解，可以直接作为新偏置条件下的真实解，可以直接作为新偏置条件(VBE,VBC)下的初值。下的初值。计算举例计算举例微电子器件及工艺CAD62国际微电子中心国际微电子中心625.4.4 计算结果分析计算结果分析 1.(VBE,VBC)=(0.6,-5)V时载流子和电势的分布时载流子和电势的分布 图图5-3(a),(b),(c)分别分别绘出了该偏置条件下的绘出了该偏置条件下的p,n和和 的分的分布，其中以行号作为参量。在图布，其中以行号作为参量。在图5-3(a)中观察到典型的小注中观察到典型的小注入状态，从入状态，从n发射区注入到发射区注入到p基区的电子以及在相反方向注基区的电子以及在相反方向注入的空穴是入的空穴是1013cm-3或者更小，特别是发射极电极下面的内或者更小，特别是发射极电极下面的内部有源区部有源区(即即 )p和和n沿着横向的沿着横向的x轴不存在任何变轴不存在任何变化，结果完全与一维情况相同。化，结果完全与一维情况相同。这里给出相同条件下二维和一维的计算结果比较。固这里给出相同条件下二维和一维的计算结果比较。固定基极定基极-集电极偏压集电极偏压VBC=-5V，在不同基极在不同基极-发射极偏压下发射极偏压下观察内部载流子和电势的分布。观察内部载流子和电势的分布。计算举例计算举例 一、内部载流子和电势分布一、内部载流子和电势分布微电子器件及工艺CAD63国际微电子中心国际微电子中心63载载流流子子浓浓度度分分布布图图5-3(a)计算举例计算举例 从从n发射区注入到发射区注入到p基区的电子以及在相反基区的电子以及在相反方向注入的空穴是方向注入的空穴是1013cm-3或者更小，特别或者更小，特别是发射极电极下面的内是发射极电极下面的内部有源区部有源区(即即 )p和和n沿着横向的沿着横向的x轴不轴不存在任何变化，结果完存在任何变化，结果完全与一维情况相同。全与一维情况相同。微电子器件及工艺CAD64国际微电子中心国际微电子中心64载载流流子子浓浓度度分分布布图图5-3(a)计算举例计算举例 在这个范围内，电在这个范围内，电子浓度随行号子浓度随行号M的增加的增加自然地衰减，而空穴作自然地衰减，而空穴作为多数载流子其浓度则为多数载流子其浓度则呈现平坦分布。呈现平坦分布。集电结耗尽层在结集电结耗尽层在结线线(y=30um处处)附近附近2um的的狭窄范围内形成。狭窄范围内形成。台底位于深度台底位于深度15um处，对应范围处，对应范围M13，形形成成P型基区的表面层。型基区的表面层。微电子器件及工艺CAD65国际微电子中心国际微电子中心65图图5-3(b)发射区发射区-基区电势分布基区电势分布图图5-3(b),(c)所所示示的电势的电势分布与一分布与一维完全相维完全相同，注意同，注意纵坐标是纵坐标是电势电势计算举例计算举例微电子器件及工艺CAD66国际微电子中心国际微电子中心66图图5-3(c)计算举例计算举例微电子器件及工艺CAD67国际微电子中心国际微电子中心67 2.(VBE,VBC)=(0.8,-5)V时载流子和电势的分布时载流子和电势的分布 图图5-4(a),(b),(c)分别分别绘出了该偏置条件下的绘出了该偏置条件下的p,n和和 的分的分布，可以看出一维和二维之间存在明显的差别，布，可以看出一维和二维之间存在明显的差别，在图在图5-4(a)中中y=15m处的一维电子浓度是处的一维电子浓度是 ，而同一位置处，而同一位置处M=2时的二维电子浓度是时的二维电子浓度是 ，相差，相差5.5倍。一维模倍。一维模型给出较高的注入结果，是因为一维情况时发射极偏压型给出较高的注入结果，是因为一维情况时发射极偏压VBE加在发射极电极和基区中点之间，而二维情形则是加在发射加在发射极电极和基区中点之间，而二维情形则是加在发射极和基极电极之间，所以二维情况下，有效发射结偏压减小，极和基极电极之间，所以二维情况下，有效发射结偏压减小，其减小的量等于外基区区域的横向压降。其减小的量等于外基区区域的横向压降。在二维电子浓度分布中，发射极边缘在二维电子浓度分布中，发射极边缘M=11处的电子浓处的电子浓度稍高于发射极中心度稍高于发射极中心M=2处的电子浓度，这是由于存在跨越处的电子浓度，这是由于存在跨越内基区区域的横向电压降而使边缘的有效发射结偏压高于中内基区区域的横向电压降而使边缘的有效发射结偏压高于中心处所至。即存在发射极集边效应。心处所至。即存在发射极集边效应。5.4.4 计算结果分析计算结果分析计算举例计算举例微电子器件及工艺CAD68国际微电子中心国际微电子中心68图图5-4(a)计算举例计算举例 y=15m处的一维电子浓度是处的一维电子浓度是 ，而同一位置处，而同一位置处M=2时的二维电子时的二维电子浓度是浓度是 ，相差，相差5.5倍。倍。一维模型给出较高的注入结一维模型给出较高的注入结果，是因为一维情况时发射极偏果，是因为一维情况时发射极偏压压VBE加在发射极电极和基区中点加在发射极电极和基区中点之间，而二维情形则是加在发射之间，而二维情形则是加在发射极和基极电极之间，所以二维情极和基极电极之间，所以二维情况下，有效发射结偏压减小，其况下，有效发射结偏压减小，其减小的量等于外基区区域的横向减小的量等于外基区区域的横向压降。压降。微电子器件及工艺CAD69国际微电子中心国际微电子中心69图图5-4(a)计算举例计算举例 在二维电子浓度分布中，发在二维电子浓度分布中，发射极边缘射极边缘M=11处的电子浓度稍高处的电子浓度稍高于发射极中心于发射极中心M=2处的电子浓度，处的电子浓度，这是由于存在跨越内基区区域的这是由于存在跨越内基区区域的横向电压降而使边缘的有效发射横向电压降而使边缘的有效发射结偏压高于中心处所至。结偏压高于中心处所至。即存在即存在发射极集边效应。发射极集边效应。微电子器件及工艺CAD70国际微电子中心国际微电子中心70图图5-4(b)计算举例计算举例图图5-4(b)发射区发射区-基区电势分布基区电势分布微电子器件及工艺CAD71国际微电子中心国际微电子中心71图图5-4(c)在一维分布中，在一维分布中，从从y=30m到到y=80m的高租的高租区内，电势近区内，电势近似是线性缓边似是线性缓边的，而二维中的，而二维中电势变化的梯电势变化的梯度大大地降低，度大大地降低，这是因为较低这是因为较低的有效发射结的有效发射结偏压产生了较偏压产生了较小的集电极电小的集电极电流之故。流之故。计算举例计算举例微电子器件及工艺CAD72国际微电子中心国际微电子中心72 3.(VBE,VBC)=(0.98,-5)V时载流子和电势的分布时载流子和电势的分布 图图5-5(a),(b),(c)分别分别绘出了该偏置条件下的绘出了该偏置条件下的p,n和和 的分的分布，可以看出一维和二维之间存在很大的差别。布，可以看出一维和二维之间存在很大的差别。5.4.4 计算结果分析计算结果分析计算举例计算举例微电子器件及工艺CAD73国际微电子中心国际微电子中心73图图5-5(a)从图从图5-5(a)中可以观察到一维中可以观察到一维情形典型的基区展宽，其中从发情形典型的基区展宽，其中从发射区注入的电子以射区注入的电子以10161018cm-3的浓度扩展到高电阻率的集电区的浓度扩展到高电阻率的集电区内。内。二维时，二维时，p型基区内的电子型基区内的电子浓度在浓度在M13时，电子浓度在结深时，电子浓度在结深y=20um处突然降低。这种复杂的处突然降低。这种复杂的变化只有通过完全的二维分析才变化只有通过完全的二维分析才能得出来。能得出来。计算举例计算举例5.4.4 计算结果分析计算结果分析微电子器件及工艺CAD74国际微电子中心国际微电子中心74图图5-5(b)计算举例计算举例 从图从图5-5(b)和和(c)中的电势分布在中的电势分布在一维一维的情形的情形也明显地呈现也明显地呈现出基区扩展，表现为出基区扩展，表现为在高电阻率基电区的在高电阻率基电区的平坦分布以及在平坦分布以及在n-到到n+层的过渡区域中相层的过渡区域中相应于应于5V集电极反向偏集电极反向偏压时的一个很陡的梯压时的一个很陡的梯度，图度，图(c)。5.4.4 计算结果分析计算结果分析微电子器件及工艺CAD75国际微电子中心国际微电子中心75图图5-5(b)计算举例计算举例 二维情况，二维情况，P型型基区的电子浓度在发基区的电子浓度在发射极边缘和在中心位射极边缘和在中心位置要差置要差1.6倍，但是总倍，但是总的注入水平较低，以的注入水平较低，以至在任何位置都未发至在任何位置都未发生基区扩展现象。生基区扩展现象。原因：有效发射原因：有效发射极偏置由于外基区的极偏置由于外基区的横向压降而减少。横向压降而减少。5.4.4 计算结果分析计算结果分析微电子器件及工艺CAD76国际微电子中心国际微电子中心76图图5-5(c)计算举例计算举例5.4.4 计算结果分析计算结果分析微电子器件及工艺CAD77国际微电子中心国际微电子中心77 4.(VBE,VBC)=(2.3,-5)V时载流子和电势的分布时载流子和电势的分布 图图5-6(a),(b),(c)分别分别绘出了该偏置条件下的绘出了该偏置条件下的p,n和和 的二的二维分布，维分布，图中没有一维的结果。因为用它来做比较已毫无意图中没有一维的结果。因为用它来做比较已毫无意义。义。5.4.4 计算结果分析计算结果分析计算举例计算举例微电子器件及工艺CAD78国际微电子中心国际微电子中心78图图5-6(a)计算举例计算举例 发射极边缘和中心处发射极边缘和中心处(即即M=11和和M=2)的非平衡电子和空的非平衡电子和空穴向集电极一侧扩展。穴向集电极一侧扩展。5.4.4 计算结果分析计算结果分析微电子器件及工艺CAD79国际微电子中心国际微电子中心79图图5-6(b)计算举例计算举例 基区电极位于台底基区电极位于台底y=15um，从从M=24至至M=29，不管不管VBE和和VBC是多少，根据边界条件是多少，根据边界条件 该处的电势始终固定在该处的电势始终固定在-0.42V。沿着台面底线沿着台面底线y=15um可以看出可以看出电势随着电势随着M的减小向负的方向的减小向负的方向下降。在下降。在M=2处下降到最低点处下降到最低点(-1.88V)。5.4.4 计算结果分析计算结果分析微电子器件及工艺CAD80国际微电子中心国际微电子中心80图图5-6(c)计算举例计算举例 零电势的位置随横向位置零电势的位置随横向位置M而变化，在而变化，在M=11和和M=29之间之间有一个相距有一个相距20um以上的距离。以上的距离。这是从电势角度观察到的基区这是从电势角度观察到的基区展宽现象展宽现象。5.4.4 计算结果分析计算结果分析微电子器件及工艺CAD81国际微电子中心国际微电子中心81计算举例计算举例 二、电极上的电流分布二、电极上的电流分布 这里讨论发射极、基极和集电极上的电流分布，特这里讨论发射极、基极和集电极上的电流分布，特别注意它们与发射极偏压的关系。别注意它们与发射极偏压的关系。图图5-7(a)示出了对于发射极的若干结果，且均取发示出了对于发射极的若干结果，且均取发射极中心位置的值为参考值。射极中心位置的值为参考值。5.4.4 计算结果分析计算结果分析微电子器件及工艺CAD82国际微电子中心国际微电子中心82计算举例计算举例 发射极边缘和中心之间发射极边缘和中心之间的电流密度比对应的电流密度比对应VBE=0.5V和和0.6V时，是时，是1.58V；0.8V时，时，比值是比值是1.86V；0.98V时，比时，比值是值是2.70V；2.3V时，是时，是5.10V。这些比值清楚地表明这些比值清楚地表明在高电压时，发射极边缘效在高电压时，发射极边缘效应增强应增强。5.4.4 计算结果分析计算结果分析图图5-7(a)微电子器件及工艺CAD83国际微电子中心国际微电子中心83计算举例计算举例图图5-7(b)以最靠近发射极边缘的以最靠近发射极边缘的基极基极(x=200um)电流为参考值，电流为参考值，图图5-7(b)示出了基极上的电流示出了基极上的电流分布，分布，在整个偏压范围内，在整个偏压范围内，未观察到显著的变化，未观察到显著的变化，但通但通常都看到很强的集边效应。常都看到很强的集边效应。事实上，电流主要在靠近发事实上，电流主要在靠近发射极边缘射极边缘1/5的区段流动的区段流动x=200um与与210um处电流值比处电流值比达到达到10。5.4.4 计算结果分析计算结果分析微电子器件及工艺CAD84国际微电子中心国际微电子中心84计算举例计算举例图图5-7(c)以集电极中心的集电极电流值作参考值，图以集电极中心的集电极电流值作参考值，图5-7(b)示出了集示出了集电极上的电流分布。电流主要集中在对应发射极的区域内，但随电极上的电流分布。电流主要集中在对应发射极的区域内，但随着电压的增加，电流向右边扩展。着电压的增加，电流向右边扩展。微电子器件及工艺CAD85国际微电子中心国际微电子中心85计算结果（续）计算结果（续）三、三、IE(IB)VBE特性特性5.4.4 计算结果分析计算结果分析 图图5-7(a)和和(b)分别给出了分别给出了IE和和IB随随VBE变化的情况。变化的情况。当电流较大时一维和二维之当电流较大时一维和二维之间有着显著的不同，这种不同是间有着显著的不同，这种不同是由于基区电阻造成的，如果在一由于基区电阻造成的，如果在一维情况下考虑基区电阻，则一维维情况下考虑基区电阻，则一维和二维情况符合得很好。和二维情况符合得很好。微电子器件及工艺CAD86国际微电子中心国际微电子中心86计算结果（续）计算结果（续）
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