第二讲单自由度系统自由振动剖析课件

机械振动学机械振动学教学内容第二章第二章 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动无阻尼自由振动能量法瑞利法（选讲）瑞利法（选讲）等效质量和等效刚度振动系统的组成振动系统的组成简化机床弹性衬垫基础 图图 将实际系统抽象为单自由度振动系统将实际系统抽象为单自由度振动系统混凝土2.1.12.1.1直线自由振动直线自由振动令令 x 为位移，以质量块的静平衡位置为位移，以质量块的静平衡位置为坐标原点，为坐标原点，xs为静变形。为静变形。当系统受到初始扰动时，由牛顿第二当系统受到初始扰动时，由牛顿第二定律，得：定律，得：在静平衡位置：在静平衡位置：固有振动或自由振动微分方程固有振动或自由振动微分方程：单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置0 x静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置m固有振动或自由振动微分方程固有振动或自由振动微分方程：令令：单位：弧度单位：弧度/秒（秒（rad/s）则有则有：通解通解：任意常数，由初始条件决定任意常数，由初始条件决定 振幅振幅：初相位初相位：固有频率固有频率单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动系统固有的数值特征，与系统是否正在振动着以及如系统固有的数值特征，与系统是否正在振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系何进行振动的方式都毫无关系 不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动零时刻的初始条件：零时刻的初始条件：零初始条件下的自由振动：零初始条件下的自由振动：单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动考虑系统在初始扰动下的自由振动考虑系统在初始扰动下的自由振动 零初始条件下的自由振动：零初始条件下的自由振动：无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 为振动频率的简谐振动，并且永无休止。为振动频率的简谐振动，并且永无休止。初始条件的说明：初始条件的说明：初始条件是外界能量转入的一初始条件是外界能量转入的一种方式，有初始位移即转入了种方式，有初始位移即转入了弹性势能，有初始速度即转入弹性势能，有初始速度即转入了动能。了动能。单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动零初始条件下的自由振动：零初始条件下的自由振动：无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 为振动频率的简谐振动，并且永无休止。为振动频率的简谐振动，并且永无休止。单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动初始条件：初始条件：固有频率从左到右：固有频率从左到右：时间时间位置位置固有频率计算的另一种方式固有频率计算的另一种方式(静变形法）静变形法）：在静平衡位置：在静平衡位置：则有：则有：对于不易得到对于不易得到 m 和和 k 的系统，若能测出静变形的系统，若能测出静变形 ，则用，则用 该式该式计算是较为方便的计算是较为方便的。单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置例：例：提升机系统提升机系统重物重重物重 量量钢丝绳的弹簧刚度钢丝绳的弹簧刚度 求：求：绳的上端突然被卡住时，（绳的上端突然被卡住时，（1）重物的振动频率，）重物的振动频率，（2）钢丝绳中的最大张力。）钢丝绳中的最大张力。单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动Wv重物以重物以v=15m/s的速度匀速下降时的速度匀速下降时解：解：振动频率振动频率重物匀速下降时处于静平衡位重物匀速下降时处于静平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位置住瞬时重物所在位置 则则 t=0 时，有：时，有：振动解：振动解：单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动W静平衡位置静平衡位置kxWv振动解：振动解：绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和动张力之和：动张力几乎是静张力的一半动张力几乎是静张力的一半 由于由于 为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动Wv例：圆盘转动。已知：圆盘转动惯量例：圆盘转动。已知：圆盘转动惯量 J在圆盘的静平衡位置上任意选一根在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为角位移的起点位置半径作为角位移的起点位置扭振固有频率扭振固有频率单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩产生单位转角所需的力矩由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：2.1.2 2.1.2 扭转自由振动扭转自由振动扭振的运规律扭振的运规律 由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动角振动与与直线直线振动振动的数学描述是完全相同的。如果在弹簧质量系统中将的数学描述是完全相同的。如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广义的广义的。单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件惯性元件和和弹性元件弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置2.1.3 2.1.3 固有频率、等效质量和等效刚度系数固有频率、等效质量和等效刚度系数1、固有、固有频率的率的计算算静变形法:用弹簧静变形量用弹簧静变形量xs表示固有圆频率的计算公式表示固有圆频率的计算公式 物块静平衡位置时物块静平衡位置时固有圆频率固有圆频率例：例：重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞梁长梁长 L，抗弯刚度，抗弯刚度 EJ求：求：梁的自由振动频率和最大挠度梁的自由振动频率和最大挠度单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动mh0l/2l/2解：解：由材料力学由材料力学：自由振动频率为自由振动频率为：单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动取平衡位置取平衡位置以梁承受重物时的静平以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点建立衡位置为坐标原点建立坐标系坐标系静变形静变形mh0l/2l/2x静平衡位置静平衡位置撞击时刻为零时刻，则撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：时，有：则自由振动振幅为则自由振动振幅为：梁的最大扰度：梁的最大扰度：单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动mh0l/2l/2x静平衡位置静平衡位置能量法 对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以利用以利用能量守恒原理能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求出建立自由振动的微分方程，或直接求出系统的固有频率。系统的固有频率。无阻尼系统为无阻尼系统为保守系统保守系统，其，其机械能守恒机械能守恒，即动能，即动能 T 和势和势能能 V 之和保持不变之和保持不变，即：，即：或：或：单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动弹簧质量系统弹簧质量系统 动能：动能：势能：势能：（重力势能）（重力势能）（弹性势能）（弹性势能）不可能恒为不可能恒为 0 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置如果将坐标原点不是取在系统的静平衡位如果将坐标原点不是取在系统的静平衡位置，而是取在弹簧为自由长时的位置置，而是取在弹簧为自由长时的位置 动能：动能：势能：势能：设新坐标设新坐标 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动0mx静平衡位置静平衡位置如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位置，那么将坐标原点取在静平衡位平衡位置，那么将坐标原点取在静平衡位置上，方程中就不会出现重力项置上，方程中就不会出现重力项。单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动考虑两个特殊位置上系统的能量考虑两个特殊位置上系统的能量 静平衡位置上，系统势静平衡位置上，系统势能为零，动能达到最大能为零，动能达到最大最大位移位置，系统动最大位移位置，系统动能为零，势能达到最大能为零，势能达到最大单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动对于转动：对于转动：x 是广义的是广义的0mx静平衡位置静平衡位置静平衡位置静平衡位置最大位移位置最大位移位置xmax0mx例例：如图所示是一个倒置的摆：如图所示是一个倒置的摆 摆球质量摆球质量 m刚杆质量忽略刚杆质量忽略 每个弹簧的刚度每个弹簧的刚度 求求:倒摆作微幅振动时的固有频率倒摆作微幅振动时的固有频率单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动lmak/2k/2解法解法1：广义坐标广义坐标动能动能势能势能平衡位置平衡位置1零平衡位置零平衡位置1单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动lmak/2k/2单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动例：均质圆柱例：均质圆柱质量质量m，半径，半径R与地面纯滚动与地面纯滚动在在A、B点挂有弹簧点挂有弹簧确定系统微振动的固有频率确定系统微振动的固有频率k1abRk1k2k2AB单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动解：解：k1abRk1k2k2AB广义坐标：圆柱微转角广义坐标：圆柱微转角圆柱做一般运动，动能：圆柱做一般运动，动能：C点为运动瞬心点为运动瞬心势能：势能：CA点速度：点速度：B点速度：点速度：单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动解：解：k1abRk1k2k2AB动能：动能：势能：势能：C单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动k1Rk2M m 例：例：铅垂平面内一个滑轮铅垂平面内一个滑轮-质量质量-弹簧系统弹簧系统确定系统微振动的固有频率确定系统微振动的固有频率滑轮为匀质圆柱滑轮为匀质圆柱 ，绳子不可伸，绳子不可伸长，且与滑轮间无滑动，绳右下长，且与滑轮间无滑动，绳右下端与地面固结。端与地面固结。单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动解：解：k1Rk2M m 广义坐标：质量块的垂直位移广义坐标：质量块的垂直位移 x动能：动能：x势能：势能：单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动解：解：k1Rk2M m 广义坐标：质量块的垂直位移广义坐标：质量块的垂直位移 x动能：动能：x势能：势能：教学内容无阻尼自由振动能量法瑞利法等效质量和等效刚度单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动瑞利法 利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有考虑了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限。这种简化方的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限。这种简化方法在许多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元法在许多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否件本身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否则算出的固有频率明显偏高。则算出的固有频率明显偏高。单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动mkx0例如：弹簧质量系统例如：弹簧质量系统设弹簧的动能设弹簧的动能:系统最大动能：系统最大动能：系统最大势能：系统最大势能：若忽略若忽略 ，则，则 增大增大 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动弹簧等效质量弹簧等效质量 mtmkx0例例2.6设设一一均均质质等等截截面面简简支支梁梁，如如图图所所示示，在在中中间间有有一一集集中中质质量量m，如如把把梁梁本本身身质质量量考考虑虑在在内内，试计算此系统的固有频率和梁的等效质量。试计算此系统的固有频率和梁的等效质量。解解：假假定定梁梁在在自自由由振振动动时时动动挠挠度度曲曲线线和和简简支支梁梁中中间间有有集集中中静静载载荷荷mg作作用用下下的的静静挠挠度度曲曲线线一一样样。由由材材料料力力学学可可知知，位位于于距距支支座座距距离离x处处的的任任一一单单元元的的位移表达式为位移表达式为式中，式中，ym为中点挠度。根据材料力学有为中点挠度。根据材料力学有设设为梁单位长度的质量，整个梁的动能为为梁单位长度的质量，整个梁的动能为可见梁的等效质量为可见梁的等效质量为因为是简谐振动，设因为是简谐振动，设则则系统的最大总动能为系统的最大总动能为而梁的最大弹性势能仍为而梁的最大弹性势能仍为由由Tmax=Umax得得得得式式中中，k为为梁梁的的弹弹簧簧刚刚度度，对对于于简简支支梁梁带带有有中中间间集集中中质量时质量时教学内容无阻尼自由振动能量法瑞利法等效质量和等效刚度单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度方法方法1：选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：当当 、分别取最大值时：分别取最大值时：则可得出：则可得出：Ke：简化系统的等效刚度：简化系统的等效刚度Me：简化系统的等效质量：简化系统的等效质量 这里等效的含义是指简化前后的系统的动能和势这里等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等能分别相等 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动动能动能势能势能单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动零平衡位置零平衡位置1lmak/2k/2单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动k1Rk2M m x动能动能势能势能方法方法2：定义法：定义法等效刚度：等效刚度：使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度等效刚度等效质量：等效质量：使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量的等效质量 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动例：串联系统例：串联系统总变形：总变形：在质量块上施加力在质量块上施加力 P弹簧弹簧1变形：变形：弹簧弹簧2变形：变形：根据定义：根据定义：或或 P mk1k2单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度例：并联系统例：并联系统两弹簧变形量相等：两弹簧变形量相等：受力不等：受力不等：在质量块上施加力在质量块上施加力 P由力平衡：由力平衡：根据定义：根据定义：并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和 P mk1k2单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 mk1k2使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度例：杠杆系统例：杠杆系统杠杆是不计质量的刚体杠杆是不计质量的刚体求：求：系统对于坐标系统对于坐标 x 的等效质量和等效刚度的等效质量和等效刚度 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动k1k2m1m2l1l2l3x解：能量法解：能量法动能：动能：势能：势能：单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动等效质量：等效质量：等效刚度：等效刚度：固有频率：固有频率：k1k2m1m2l1l2l3x