第二章--行列式克拉默法则剖析课件

CramerCramer法则法则un 阶行列式的定义、性质及计算方法 u克拉默（Cramer）法则第二章第二章 行列式行列式用用消元法解二元线性方程组消元法解二元线性方程组一、二阶行列式第一节第一节 二阶和三阶行列式二阶和三阶行列式其系数矩阵是一个二阶方阵。用消元法求解线性方程组用消元法求解线性方程组上式中上式中 的系数的系数 称为由二阶方阵称为由二阶方阵A 所确定的二阶行列式所确定的二阶行列式.方程组的解为方程组的解为由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.记为记为:矩阵矩阵 还记作还记作 ,即即主主对角线对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶二阶行列式的计算行列式的计算若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式则二元则二元线性方程组的解为线性方程组的解为注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.例例例例1 1 1 1解解求解二元线性方程组二、三阶行列式记记记记上式称为数表所确定的三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式.三阶行列式的计算三阶行列式的计算.列标列标行标行标对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式;三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项,每一项都是位于不同行、每一项都是位于不同行、不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积,其中三项为正、三项为其中三项为正、三项为负负.例例例例 解解解解按按对角线法则，有对角线法则，有例例例例3 3 3 3解解解解方程左端方程左端 如果三元线性方程组如果三元线性方程组的的系数行列式系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组若记若记或或记记即即得得得得则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为:例例4 4 解线性方程组解线性方程组解解解解由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式同理可得同理可得故方程组的解为故方程组的解为:引例引例用用1、2、3三个数字，可以组成多少个没三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？有重复数字的三位数？解解1 2 3123百位百位3种种放法放法十位十位1231个位个位12 32种放法种放法1种放法种放法种放法种放法.共有共有一、概念的引入一、概念的引入第二节第二节 排列排列问题问题定义定义把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个个元素的全排列（或排列）元素的全排列（或排列）.个不同的元素的所有排列的种数，通常个不同的元素的所有排列的种数，通常用用 表示表示.由引例由引例同理同理二、全排列及其逆序数二、全排列及其逆序数 在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 则称这两个数组成一个逆序则称这两个数组成一个逆序.例如例如 排列排列32514 中，中，定义定义 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个个不同的自然数，规定由小到大为不同的自然数，规定由小到大为标准次序标准次序.排列的逆序数排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序定义定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数.例如例如 排列排列32514 中，中，3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31故此排列的故此排列的逆序数为逆序数为3+1+0+1+0=5.计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法方法方法1分别计算出排在分别计算出排在 前面比它大的数前面比它大的数码之和即分别算出码之和即分别算出 这这 个元素个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数排列的逆序数.逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.排列的奇偶性排列的奇偶性分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数序数.方法方法2 2例例1 1 求排列求排列45321的逆序数的逆序数.解解在排列在排列45321中中,4排在首位排在首位,逆序数为逆序数为0;5是最大数，故逆序数为是最大数，故逆序数为0;4 5 3 2 1于是排列于是排列45321的逆序数为的逆序数为3的前面比的前面比3大的数有两个大的数有两个:4,5,故逆序数为故逆序数为2;2的前面比的前面比2大的数有三个大的数有三个:4,5,3,故逆序数为故逆序数为3;1的前面比的前面比1大的数有大的数有4个个:4,5,3,2,故逆序数为故逆序数为4.例例2 2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性偶性.解解此排列为此排列为偶排列偶排列.解解当当 时为偶排列；时为偶排列；当当 时为奇排列时为奇排列.解解当当 为偶数时，排列为偶排列，为偶数时，排列为偶排列，当当 为奇数时，排列为奇排列为奇数时，排列为奇排列.三、对换的定义定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换例如例如四、对换与排列的奇偶性的关系定理定理1 1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性证明证明设排列为对换对换 与与除 外，其它元素的逆序数不改变.当当 时，时，的逆序数不变的逆序数不变;经对换后经对换后 的逆序数增加的逆序数增加1,经对换后经对换后 的逆序数不变的逆序数不变，的逆序数减少的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为设排列为当当 时，时，现来对换现来对换 与与次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性.推论推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.证明证明 由定理由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数变化次数,而而标准排列是偶排列标准排列是偶排列(逆序数为逆序数为0),因此因此知推论成立知推论成立.一、n 阶行列式的定义三阶行列式三阶行列式说明说明（1）三阶行列式共有）三阶行列式共有 项，即项，即 项项（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积第三节 n 阶行列式的定义和性质（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列的三个元素的下标排列例如例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列奇排列说明说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的定义的;2、阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;4、一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;5、的符号为的符号为例例1 证明证明对角行列式对角行列式证明证明第一式是显然的第一式是显然的,下面证第二式下面证第二式.若记若记则依行列式定义则依行列式定义证毕证毕例例2 2计算对角行列式分析展开式中项的一般形式是从而这个项不为零，所以 只能等于 ,同理可得解解即行列式中不为零的项为例例3 3 计算上三角行列式分析展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有解解例例4同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中 为行标排列为行标排列 的逆序数的逆序数.证明证明按按行列式定义有行列式定义有记记对于对于D中任意一项中任意一项总有且仅总有且仅有有 中的某一项中的某一项与之对应并相等与之对应并相等;反之,对于 中任意一项也总有且仅有D中的某一项与之对应并相等,于是D与中的项可以一一对应并相等,从而注：注：更一般地，行列式也可定义为其中 为行排列 的逆序数，为列标排列 的逆序数.二、行列式的性质性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等.行列式 称为行列式 的转置行列式.记记证明证明按定义按定义 又因为行列式又因为行列式D可表示为可表示为故证毕性质性质性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.证明证明证明证明设行列式设行列式说明说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.是由行列式 变换 两行得到的,例如例如故故证毕证毕性质性质性质性质3 3 3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.推论推论推论推论 1 1 1 1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面推论推论 2 2 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零性质性质4 4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和：例如例如性质性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变例如例如例例5 5 计算解：解：计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值例例6 计算 阶行列式解解将第 都加到第一列得例例7证明证明证明证明例如例如一、余子式与代数余子式第四节第四节 行列式的展开与计算行列式的展开与计算在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式例如例如引理引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 例如例如证证当 位于第一行第一列时,即有又从而再证一般情形,此时得得得得中的余子式中的余子式故得故得于是有于是有 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即证明证明行列式按行(列)展开法则推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证证同理同理相同相同关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质例例2 设求 及 .解解 按(1)式可知 等于用代替 D 的第一行的所用行列式，即按(2)式可知例例 计算行列式计算行列式解解按按第一行展开，得第一行展开，得例例 计算行列式计算行列式解解例例1二、行列式的计算 证明证明 用用数学归纳法数学归纳法例例2证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式一、克拉默法则如果线性方程组如果线性方程组的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即第五节第五节 克拉默法则克拉默法则其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解可以表为证明证明在把在把 个方程依次相加，得个方程依次相加，得由代数余子式的性质可知由代数余子式的性质可知,于是于是当当 时时,方程组方程组 有唯一的一个有唯一的一个解解由于方程组由于方程组 与方程组与方程组 等价等价,故故也是方程组的也是方程组的 解解.二、重要定理 如果线性方程组 系数行列式不等于零 则 一定有解,且解是唯一的.如果线性方程组 无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.其逆否命题为其逆否命题为齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理 如果齐次线性方程组 的系数行列式 ,则齐次线性方程组 只有零解.也就是说如果齐次线性方程组 有非零解,则它的系数行列式必为零.例例1 1 用克拉默则解方程组用克拉默则解方程组解解例例2 2 用克拉默法则解方程组用克拉默法则解方程组解解例例3 问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组有非零解？有非零解？解解齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.