点群空间群和晶体结构介绍课件

材料结构与性能 授课教师：刘胜新（18课时）材料结构与性能 授课教师：刘胜新第三章点群、空间群和晶体结构第三章点群、空间群和晶体结构第三章点群、空间群和晶体结构引言引言 群群(Group）是是某某些些具具有有相相互互联联系系规规律律的的元元素素的的组组合合.晶晶体体对对称称操操作作符符合合一一定定规规律律的的组组合合，这这种种群群即即是是对对称称群群（Symmetry Group）。晶晶体体外外形形是是一一个个有有限限对对称称图图象象，对对其其进进行行对对称称操操作作时时，至至少少保保持持一一点点不不动动，即即这这些些操操作作是是点点对对称称操操作作，它它们们组组成成点点对对称称群，称为点群（群，称为点群（Point Group）。）。讨论点对称操作有哪些可能的组合方式，并对晶体做进一步划分。讨论点对称操作有哪些可能的组合方式，并对晶体做进一步划分。3.1 群的概念和基本性质群的概念和基本性质 群是某些具有相互联系规律的一些元素的组合，群的元素可群是某些具有相互联系规律的一些元素的组合，群的元素可以是字母、数字、对称操作、点阵等。以是字母、数字、对称操作、点阵等。任何一个群都应具有以下任何一个群都应具有以下4个基本性质：个基本性质：o 封闭性（封闭性（Closure）群群G的的n个不等效元素中，任两个元素组合或一个同类元素自个不等效元素中，任两个元素组合或一个同类元素自身组合都是群中的一个元素。身组合都是群中的一个元素。引言 群(Group）是某些具有相互联系规律的p 群中所有元素都遵循组合律，但组合次序不能变群中所有元素都遵循组合律，但组合次序不能变。p 有唯一的单位元素（有唯一的单位元素（E）。它和群中任何一个元素的组合是元素）。它和群中任何一个元素的组合是元素本身。本身。p 群中每一个元素，必有一个相应的逆元素（群中每一个元素，必有一个相应的逆元素（Inverse Element）使得两者相乘为其本身。使得两者相乘为其本身。以一个以一个4次对称轴次对称轴C4的全部操作所构成的群的全部操作所构成的群G来说明来说明4个基本性个基本性质。质。p 两个独立群的直接积两个独立群的直接积 设设有有两两个个独独立立群群GA和和GB，其其中中GA是是n阶阶群群，GB是是m阶阶群群。两两个个群群中中除除了了恒恒等等元元素素外外，没没有有其其它它共共有有元元素素，两两个个群群的的元元素素间间相相乘乘有有交换律，即交换律，即两个群的直接积两个群的直接积G以表示：以表示：G是是nm阶群。阶群。群的直接积是扩大群的一种最简单的方法。群的直接积是扩大群的一种最简单的方法。ai bj=bj ai 群中所有元素都遵循组合律，但组合次序不能变。子群、母群及生殖元素子群、母群及生殖元素 子子群群：若若群群GA的的全全部部元元素素是是群群G中中的的元元素素，并并且且两两者者的的结结合合律律相相同同，称称GA是是群群G的的子子群群，而而G是是群群GA的的母母群群。如如果果对对称称元元素素GA和和GB能能够够得得到到G的的全全部部对对称称元元素素，则则称称这这两两个个对对称称元元素素为为群群G中中的的两两个生殖元素个生殖元素(Generating Element).3.2点群的描述及图示点群的描述及图示一组变换矩阵表示一组变换矩阵表示极射投影极射投影点群点群 该该点点群群所所有有元元素素的的极极射射投投影影以以及及一一般般位位置置点点的的正正规规点点系系(Regular Point System,RPS)的极射投影。的极射投影。一一般般位位置置点点指指不不处处在在对对称称元元素素上上的的点点；正正规规点点系系是是指指某某一一点点经过点群所有对称操作导出的全部点的集合。经过点群所有对称操作导出的全部点的集合。一一般般位位置置点点的的正正规规点点系系的的总总点点数数（又又称称等等效效位位置置点点数数）和和点点群的阶数相等。群的阶数相等。在极射投影时，点群中所有对称操作都经过投影基圆中心。在极射投影时，点群中所有对称操作都经过投影基圆中心。子群、母群及生殖元素 子群：若群GA的全部元素是3.3点群的推导方法点群的推导方法 通过对晶体外形的研究，人们发现共有通过对晶体外形的研究，人们发现共有32种晶态，每一种晶态种晶态，每一种晶态对应着一种点群。可以用不同方法导出对应着一种点群。可以用不同方法导出32种点群。种点群。A)从五种循环群从五种循环群1(C1)、2(C2)、3(C3)、4(C4)、6(C6)开始，再在开始，再在每种循环群上加进各种新的对称操作，最终导出每种循环群上加进各种新的对称操作，最终导出32种点群。种点群。例如例如：在在垂垂直直于于循循环环群群对对称称轴轴的的方方向向加加上上2次次对对称称轴轴；在在垂垂直直于于循循环环轴轴的的方方向向或或包包含含循循环环轴轴加加上上镜镜面面；用用非非真真旋旋转转轴轴代代替替真真旋旋转转轴轴等等。用这些操作或者这些操作的某一种组合可能会得出一些新的点群。用这些操作或者这些操作的某一种组合可能会得出一些新的点群。B)首先找出仅由真旋转构成的所有群，这种纯旋转结晶学点群首先找出仅由真旋转构成的所有群，这种纯旋转结晶学点群共有共有11种。然后在这种。然后在这11种点群的基础上，把每一种都加上反演对种点群的基础上，把每一种都加上反演对称操作，又获得称操作，又获得11种点群。由这种点群。由这11种中心对称点群，又可以找出种中心对称点群，又可以找出与与11种纯旋转点群不同的种纯旋转点群不同的10种非中心对称子群，最后导出了种非中心对称子群，最后导出了32种种点群，是一种最快和最好的方法。点群，是一种最快和最好的方法。3.3点群的推导方法 通过对晶体外形的研究，人上上述述的的两两种种导导出出方方法法有有一一个个共共同同的的缺缺点点，就就是是导导出出点点群群后后，还要再确定每一种点群分属于哪一种晶系。还要再确定每一种点群分属于哪一种晶系。C)C)用用推推导导7 7种种晶晶系系的的方方法法也也可可以以推推导导出出3232种种点点群群。对对每每一一种种晶晶系系在在保保证证晶晶系系的的对对称称性性不不变变的的前前提提下下，加加入入可可能能的的对对称称操操作作，这这种种导导出出方方法法的的优优点点在在于于使使点点群群与与晶晶系系的的关关系系十十分分明明确。确。下面将用这种方法导出下面将用这种方法导出3232种点群。种点群。在在导导出出点点群群时时应应该该注注意意到到在在每每一一个个点点群群中中都都有有主主导导生生殖殖对对称称元元素素，群群内内其其它它对对称称元元素素可可以以由由主主导导生生殖殖对对称称元元素素组组合合增增殖殖生生成成。如如果果由由一一组组矩矩阵阵表表示示点点群群，则则生生殖殖对对称称元元素的变换矩阵就是点群的生成矩阵。素的变换矩阵就是点群的生成矩阵。上述的两种导出方法有一个共同的缺点，就是导出点群后，还要再确 三斜晶系三斜晶系 三斜晶系单胞的棱长及其夹角不受任何限制。它可能的对称三斜晶系单胞的棱长及其夹角不受任何限制。它可能的对称操作是操作是1(C1)或或 (i)。这晶系可以有。这晶系可以有2个点群。个点群。1)如果物体只有一个如果物体只有一个1(C1)恒等操作，它所属的点群是恒等操作，它所属的点群是1阶阶的的C1)或或1。其熊夫利斯符号是。其熊夫利斯符号是C1，国际简略符号是，国际简略符号是l，即点，即点群符号是群符号是C1-1。这这种种点点群群符符号号和和其其对对称称操操作作符符号号相相同同。因因为为C1-1 点点群群只只有有一一种种单单一一对对称称操操作作，所所以以，尽尽管管点点群群符符号号和和对对称称操操作作符符号号相相同同也也不不会会引引起起混混乱乱。这这种种点点群群的的生生殖殖对对称称元元素素就就是是C1(E)，生生殖殖矩矩阵阵就就是是恒恒等等操操作作的的变变换换矩矩阵阵。这这种种点点群群的的极极射射投投影影图图如如附附图图1(a)所示。所示。三斜晶系 三斜晶系单胞的棱长及其夹 在在图图中中没没有有标标出出对对称称元元素素的的投投影影，因因为为任任何何方方向向都都可可以以是是1次次轴轴，故故不不能能标标出出它它的的位位置置。投投影影图图中中的的一一般般位位置置点点的的等等效效点点只只有有一一个个点点，因因为为经经对对称称操操作作后后这这个个点点仍仍在在原原来来位位置置。2)如如果果物物体体有有1(E)和和1(i)对对称称操操作作，这这个个点点群群是是2阶阶的的：E，i或或1，1。点点群群的的熊熊夫夫利利斯斯符符号号是是Ci，国国际际简简略略符符号号是是1，即即点点群群的的符符号号是是Ci-1。这这个个点点群群的的生生殖殖对对称称元元素素是是1，生生殖殖矩矩阵阵就就是是反反演演操操作作的的变变换换矩矩阵阵。这这种种点点群群的的极极射射投投影影图图如如附附图图l(b)所所示示：在在图图中中心心标标出出对对称称中中心心。一一般般位位置置点点的的等等效效点点系系是是一一个个在在上上半半球球(用用表表示示)，另另一一个个在在下下半半球球(用用表表示示)的的2个个等等效点。效点。附图1 在图中没有标出对称元素的投影，因为任何方向都 除除了了上上述述两两种种点点群群，我我们们不不可可能能再再增增加加任任何何对对称称操操作作而而使使物物体体仍仍属属于于三三斜斜晶晶系系，所所以以，属属于于三三斜斜晶晶系系的的晶晶类类只只有有两两种种。C Ci i-1-1点点群群的的对对称称操操作作最最多多(不不严严格格地地说说它它具具有有最最高高的的对对称称性性)，称称这这种种点群为该晶系的全对称点群点群为该晶系的全对称点群。附图1 除了上述两种点群，我们不可能再增加任何对称操 从上述两种点群的极射投影再一次说明在投影图上一般位置从上述两种点群的极射投影再一次说明在投影图上一般位置的正规点系的数目和点群具有对称操作的数目相同，即与点群的正规点系的数目和点群具有对称操作的数目相同，即与点群的阶数相同。的阶数相同。从上述两种点群的极射投影再一次说明在投影图上一般位在在(e)所所示示：在在投投影影面面上上111)位位置置4个个3轴轴，单单胞胞3个个轴轴为为4次次轴轴，过单胞过单胞3个轴两两构成个轴两两构成3个镜面及个镜面及6个个110的镜面。一般位置点的等的镜面。一般位置点的等效点系共有效点系共有48个点。个点。立方系各晶类的投影图立方系各晶类的投影图 5种种点点群群中中(e)是是该该晶晶系系的的全全对对称称点点群群。从从这这5种种点点群群可可以以看看到到立立方方晶晶系系不不一一定定有有4次次轴轴，例例如如点点群群(a)和和(b)就就没没有有4次次轴轴。另另外外，立立方方晶晶系系并并不不一一定定总总是是具具有有最最高高的的对对称称性性，例例如如四四方方晶晶系系的的点点群群D4h-4mmm(16阶阶)和和六六方方晶晶系系的的点点群群D6h-6mmm(24阶阶)就就比立方晶系的点群比立方晶系的点群T-23(12阶阶)的对称性高。的对称性高。在(e)所示：在投影面上111)位置4个3轴，单胞3个 把把32种种点点群群的的符符号号、对对称称组组合合、主主导导生生殖殖元元素素的的方方向向、阶阶数数以以及及点点群群导导出出方方法法综综合合列列于于附附表表1中中，把把它它们们的的极极射射投投影影图图综综合合列列于于附附表表2中中，其其中中四四方方晶晶系系采采用用第第二二定定向向的的。在在附附表表2中中的的每每一一方方格格，中中间间的的圆圆是是极极射射投投影影图图，左左上上角角是是国国际际符符号号，右右上上角角的的i表表示示该该点点群群具具有有中中心心对对称称，左左下下角角给给出出这这个个点点群群的的基基本本对对称称元素，右下角是国际完全符号。元素，右下角是国际完全符号。把32种点群的符号、对称组合、主导生殖元素的方附表1 32种点群附表1 32种点群点群空间群和晶体结构介绍课件极射投影图极射投影图附表附表2 32种点群投影种点群投影极射投影图极射投影图极射投影图续附表续附表2 32种点群投影种点群投影极射投影图3.4空间群概念及其描述空间群概念及其描述能使三维周期物体能使三维周期物体(无限大晶体无限大晶体)自身重复的几何对称操作的集合自身重复的几何对称操作的集合就是空间群。就是空间群。用途：描述晶体用途：描述晶体(假设是无限大的假设是无限大的)结构的空间对称性。结构的空间对称性。一一个个周周期期性性物物体体的的对对称称操操作作必必然然包包含含平平移移操操作作。用用平平移移矢矢量量来来描描述述点点阵阵的的周周期期性性，所所有有平平移移矢矢量量的的集集合合构构成成1 1个个平平移移群群，是是无无限限群。群。空间群的全部对称操作是由点对称操作和平移操作组成。空间群的全部对称操作是由点对称操作和平移操作组成。以以 D/tD/t)表示空间操作算符，则空间操作对一般位矢作用可表表示空间操作算符，则空间操作对一般位矢作用可表示为示为:D D是点对称操作的变换算符是点对称操作的变换算符t t是平移操作是平移操作3.4空间群概念及其描述能使三维周期物体(无限大晶体)自点阵的空间对称操作中除了使单胞平移到每一个其它单胞点阵的空间对称操作中除了使单胞平移到每一个其它单胞的操作的操作(对于有限群操作数为一数值对于有限群操作数为一数值N，对于无限群操作数，对于无限群操作数则为无穷大则为无穷大)之外，还有使初基单胞所含的实体之外，还有使初基单胞所含的实体(晶体结构晶体结构中的结构基元中的结构基元)变换到本身的变换到本身的h个对称操作，所以，空间群个对称操作，所以，空间群共有共有Nh个对称操作。个对称操作。其其中中一一组组特特殊殊操操作作是是h个个对对称称操操作作与与平平移移群群恒恒等等操操作作(即即零零平平移移)的的组组合合，即即这这个个组组合合只只有有h个个对对称称操操，这这h 个个对对称称操操作作称称为为空空间间群群的的基基本本操操作作。而而h个个对对称称操操作作和和初初基基点点群平移群平移(非零平移非零平移)的组合称为空间群的非基本操作。的组合称为空间群的非基本操作。点阵的空间对称操作中除了使单胞平移到每一个其它单胞的操作(对 在某些空间群的对称操作中，其中有可能比初基点群平移小的在某些空间群的对称操作中，其中有可能比初基点群平移小的平移平移t，它与旋转或镜面结合称之为螺旋操作或滑移操作。，它与旋转或镜面结合称之为螺旋操作或滑移操作。空间群可分为空间群可分为点式空间群点式空间群(symmorphic space Group)非点式空间群非点式空间群(Nonsymmorphic space Group)对对称称操操作作全全部部作作用用于于同同一一个个公公共共点点上上的的，不不包包含任何一个比初基平移还要小的平移含任何一个比初基平移还要小的平移。对对称称操操作作全全部部作作用用于于同同一一个个公公共共点点上上的的，至至少少包包含一个比初基平移还要小的平移含一个比初基平移还要小的平移。73种种157种种230种种 在某些空间群的对称操作中，其中3.4.1 点式空间群点式空间群 通通常常获获得得点点式式空空间间群群的的办办法法就就是是把把32种种点点群群和和14种种布布喇喇菲菲点点阵阵直直接接组组合合，即即每每一一种种点点群群都都可可以以同同所所属属晶晶系系中中可可能能有有的的布布喇菲点阵喇菲点阵P、I、F或或C相结合。相结合。强强调调组组合合是是由由同同属属一一种种晶晶系系的的点点群群和和布布喇喇菲菲点点阵阵组组合合，因因为为不属于同一种晶系的点群和布喇菲点阵组合是不相容的。不属于同一种晶系的点群和布喇菲点阵组合是不相容的。正正交交晶晶系系包包含含有有全全部部可可能能的的布布喇喇菲菲P、I、F和和C点点阵阵，所所以以以正交晶系为例来讨论如何以上述的方式组合来导出空间群。以正交晶系为例来讨论如何以上述的方式组合来导出空间群。正正交交点点群群有有D2-222、C2v-mm2和和D2h-mmm三三种种。若若取取1个个点点对对称称性性为为C2v-mm2 的的物物体体(结结构构基基元元)，以以合合适适的的取取向向放放到到1个个阵阵点上，由于平移对称性，也即每一个阵点也放上这样的物体。点上，由于平移对称性，也即每一个阵点也放上这样的物体。3.4.1 点式空间群 通常获得点式空间群的办法就是把3如果这个物体是由原子如果这个物体是由原子(或分子或分子)按按C2v-mm2 对称性排列起来对称性排列起来的原子的原子(或分子或分子)集团组成，那就构成了一种晶体结构。集团组成，那就构成了一种晶体结构。以合适的取向放到阵点上的含义以合适的取向放到阵点上的含义如如果果希希望望每每个个阵阵点点都都具具有有正正交交对对称称性性，那那么么放放置置物物体体时时就就必必须须使使它它的的镜镜面面和和2次次轴轴沿沿单单胞胞某某一一轴轴方方向向放放置置。这这样样导导出出的的晶晶体体结结构构，才才会会既既有有平平移移对对称称性性又又能能使使任任何何一一个个阵阵点点都都有有C2v-mm2 的对称性。的对称性。如果这个物体是由原子(或分子)按C2v-mm2 对称性排这两种类型的对称操作正是描述整个晶体结构对称性的基本操作。这两种类型的对称操作正是描述整个晶体结构对称性的基本操作。(a)正交晶系的Pmm2空间群图图(a)是是正正交交点点阵阵的的阵阵点点 上上 放放 上上 对对 称称 性性 为为 C2v-mm2的的物物体体的的空空间间群群的的俯俯视图。视图。图图中中画画出出单单胞胞的的轮轮廓廓，原原点点选选在在左左上上角角，a轴轴指指向向页页底底，b轴轴指指向向右右，c轴轴从从页页面面指指出出来来。以以圆圆圈圈排排列列来来表表示示它它的的对对称称性性，在在左左边边的的图图中中每每个个阵阵点点的的对对称称性性用用一一般般位位置置点点的的等等效效点点系系表表示示。其其中中每每一一个个圆圆圈圈既既可可以以代代表表晶晶体体中中单单个个原原子子，也也可可以以代代表表原原子子集集团团。在在右右边边的的图图上上给给出出对对称称元元素素的的配配置置。在在原原点点有有一一个个沿沿c方方向向的的2次次轴轴和和2个个镜镜面面(用用粗粗线线表表示示)。P-初初基基点点阵阵，mm2-基基本本操作。非基本操作（附加的操作。非基本操作（附加的2次轴和镜面）未表示。次轴和镜面）未表示。这两种类型的对称操作正是描述整个晶体结构对称性的基本操作。(上上述述的的推推导导过过程程完完全全可可以以推推广广到到其其它它晶晶系系的的空空间间群群。把把上上述述办办法法依依次次用用于于7种种晶晶系系，共共导导出出66种种空空间间群群。如如果果再再考考虑虑点点群群元元素素与与布布喇喇菲菲点点阵阵之之间间的的取取向向关关系系，又又能能得得到到另另一些空间群，结果总共得出一些空间群，结果总共得出73种点式空间群。种点式空间群。上述的推导过程完全可以推广到其它晶系的空间群。把上述办法附表附表3 73种点式空间群种点式空间群附表3 73种点式空间群3.4.2 非点式空间群非点式空间群 非非点点式式空空间间群群必必包包含含1个个非非初初基基平平移移T的的非非点点式式操操作作，引引入入了了这种非点式操作，又可以导出这种非点式操作，又可以导出157种非点式空间群种非点式空间群。螺旋轴螺旋轴 螺螺旋旋轴轴螺螺旋旋轴轴的的国国际际符符号号为为ns，其其中中n是是旋旋转转阶阶次次，s是是小小于于n的的整整数数，平平移移量量是是s/n单单位位平平移移矢矢量量。当当对对称称图图像像绕绕螺螺旋旋轴轴ns旋旋转转2/ns角角度度，继继而而沿沿轴轴的的平平行行方方向向平平移移s/n单单位位平平移移矢矢量量的的距距离离后后使使对对称图像的等同部分重合，它就是一种对称操作。称图像的等同部分重合，它就是一种对称操作。这这种种复复合合操操作作的的两两种种操操作作先先后后次次序序是是不不影影响响最最后后结结果果的的。和和旋旋转转轴轴一一样样，螺螺旋旋轴轴次次只只可可能能有有1、2、3、4和和6五五种种，相相应应的的旋旋转转角角为为360、180、120、90和和60。旋旋转转后后的的平平移移矢矢量量t t=ts，t为为与与平平移移矢量矢量t t相平行的基矢。相平行的基矢。螺螺旋旋轴轴ns的的基基本本对对称称操操作作可可表表示示为为(2/n)T(s/n)t)p,其其中中P=0，1，2。S(n/2)右螺旋右螺旋(n/2)Sn左螺旋左螺旋S=(n/2)中性螺旋轴中性螺旋轴3.4.2 非点式空间群 非点式空间群必包含1个非初基平二次螺旋轴二次螺旋轴二次螺旋轴所有可能的晶体学螺旋轴操作所有可能的晶体学螺旋轴操作所有可能的晶体学螺旋轴操作石英结构中的六次螺旋轴石英结构中的六次螺旋轴石石英英的的基基本本结结构构可可以以看看成成是是硅硅氧氧四四面面体体在在三三和和六六次次螺螺旋旋轴轴附附近近的的螺螺旋旋链链。左左边边为为其其中中一一个个三三次次螺螺旋旋，右右方方显显示示的的是是螺螺旋旋连连接构成晶体框架。接构成晶体框架。石英结构中的六次螺旋轴石英的基本结构可以看成是硅氧四面体滑移面滑移面由由镜镜面面和和平平移移组组合合产产生生的的对对称称元元素素称称为为滑滑移移反反映映面面，简简称称滑滑移移面面。滑滑移移面面的的基基本本操操作作可可表表示示为为mt t，其其对对称称群群为为mt t p，P=0，1，2。晶体中有晶体中有3种不同的滑移面，即轴向滑移、对角线滑移（又称种不同的滑移面，即轴向滑移、对角线滑移（又称n滑移）和金刚石滑移。滑移）和金刚石滑移。所所有有滑滑移移中中，都都是是经经镜镜面面操操作作后后再再平平移移单单胞胞周周期期的的某某一一分分数数的的距距离离。和和螺螺旋旋轴轴的的操操作作相相同同，镜镜面面和和平平移移两两步步操操作作的的先先后后次次序序是不重要的。是不重要的。图图(a)镜面垂直于镜面垂直于a轴，平移矢量轴，平移矢量t tb/2，这种轴向滑移称为这种轴向滑移称为b滑移滑移图图(b)表示镜面垂直于表示镜面垂直于c轴，平移矢量是轴，平移矢量是(a+b)/2的的n滑移滑移。滑移面由镜面和平移组合产生的对称元素称为滑移反映面，简称3.4.3 空间群的推导方法空间群的推导方法 关关于于230种种空空间间群群的的推推导导工工作作，早早在在1890年年由由俄俄国国晶晶体体学学家家费费多多罗罗夫夫完完成成，其其后后又又由由德德国国科科学学家家熊熊夫夫利利斯斯和和英英国国学学者者巴巴罗罗分分别别在在1891年年和和1894年年利利用用不不同同的的推推导导方方法法，独独立立地地得得出出了了相相同同的的结结果果。在在文文献献上上用用得得最最多多的的是是熊熊夫夫利利斯斯方方案案，这这套套方方案案的的基基本本概概念念简简单单，处处理理直直截截了了当当。这这种种方方案案是是从从73个个点点式式空空间间群群出出发发，然然后后试试探探替替换换各各种种可可能能的的滑滑移移面面和和螺螺旋旋轴轴，看看是是否否得得出出新新的的空空间间群群。在在这这个个过过程程中中，既既不不能能漏漏掉掉任任何何可可能能的的空空间间群群，又又不不能能出出现现重重复复的的空空间间群群，结结果果可可以以导导出出全全部部230种种空空间间群群。推推导全部空间群的工作量很大，这里不作具体说明。导全部空间群的工作量很大，这里不作具体说明。3.4.3 空间群的推导方法 关于230种空间群的推导工3.4.4 空间群国际符号 空间群符号也有国际符号和熊夫利斯符号两种。空间群符号也有国际符号和熊夫利斯符号两种。空间群的国际符号由两部分组成：空间群的国际符号由两部分组成：p最前面的大写英文字母最前面的大写英文字母(P，A，B，C，I，F)表示空间群的平移表示空间群的平移群，在空间群中一定含有作为子群的平移群，它是用以描述晶体群，在空间群中一定含有作为子群的平移群，它是用以描述晶体结构周期性的；结构周期性的；p符符号号的的第第二二部部分分是是与与其其同同形形点点群群相相应应的的同同形形对对称称元元素素。它它们们一一般般是是由由3个个位位序序组组成成，分分别别表表示示空空间间群群中中主主导导方方向向上上的的对对称称元元素素，所规定的方向与点群国际符号所规定的方向与点群国际符号3个位序相应的方向相同。个位序相应的方向相同。p对对于于简简单单点点群群的的同同形形空空间间群群，因因为为对对称称元元素素少少，用用一一个个位位序序也也不不至至引引起起混混乱乱，这这些些空空间间群群符符号号的的第第二二部部分分只只用用一一个个位位序序。例例如如空空间间群群P21/m，P代代表表平平移移群群，它它属属于于单单斜斜初初基基点点群群，21/m表表示示在在点点阵阵平平行行c轴轴有有2次次螺螺旋旋轴轴(21)和和垂垂直直于于b轴轴的的镜镜面面，相相应应空空间间群群的的点群为点群为2/m。P21/m是点群是点群2/m的同形空间群。的同形空间群。3.4.4 空间群国际符号 空间群符号也有国际符号和熊夫 在同形点群符号上添加一个数字在同形点群符号上添加一个数字(1，2，3，)指标后，就变指标后，就变成该点群的同形空间群了。例如前面讨论成该点群的同形空间群了。例如前面讨论C2-2点群的同形空间群点群的同形空间群 (即国际符号即国际符号P2)，(即国际符号即国际符号P21)和和 (即国际符号即国际符号B2)等。符等。符号的数字指标表示出这个空间群在某一定同形点群中的顺序号码，号的数字指标表示出这个空间群在某一定同形点群中的顺序号码，最终号码表明属于同一点群有多少个同形空间群。最终号码表明属于同一点群有多少个同形空间群。空间群的熊夫利斯符号空间群的熊夫利斯符号3.4.5 国际表简介国际表简介 (International Table for Crystallography，Volume A，SpaceGroup Symmetry；ed by Hahn，1983)全面了解某种晶体的对称性和相应空间的各种性质的简全面了解某种晶体的对称性和相应空间的各种性质的简捷的方法。捷的方法。以以国国际际表表中中介介绍绍第第83号号空空间间群群P4/m()为为例例了了解解国国际际表表的的一一般结构。般结构。在同形点群符号上添加一个数字(1，2，3，国际符号国际符号熊夫利斯符号熊夫利斯符号序号空间群的完全符号空间群的完全符号晶系晶系点群符号点群符号对称元素系对称元素系一般等效点系的位置一般等效点系的位置国际符号熊夫利斯符号序号空间群的完全符号晶系点群符号对称元素p 图中第一行最右边是空间群的国际符号，它下面是空间群的熊图中第一行最右边是空间群的国际符号，它下面是空间群的熊夫利斯符号；夫利斯符号；p往往左左是是空空间间群群序序号号(这这个个序序号号是是从从三三斜斜晶晶系系空空间间群群PI开开始始一一直直到到立立方方系系空空间间群群Ia3d为为止止，最最后后一一个个序序号号是是230)、空空间间群群的的完完全全符符号、点群符号和晶系；号、点群符号和晶系；p往下两个图形分别是对称元素系往下两个图形分别是对称元素系(右图右图)和一般等效点系的位置和一般等效点系的位置 (左图左图)；p图图下下面面从从左左到到右右分分别别给给出出一一般般等等系系和和特特殊殊等等效效点点系系中中点点的的数数目目、乌乌科科夫夫符符号号(说说明明每每种种位位置置对对称称性性高高低低程程度度，“a”代代表表最最高高，以以字字母母顺顺序序依依次次排排下下去去，直直到到对对称称性性最最低低的的1(C1)为为止止)、点点群群的的对对称称性、在给定原点下位置的坐标以及能出现衍射线的指数条件。性、在给定原点下位置的坐标以及能出现衍射线的指数条件。图中第一行最右边是空间群的国际符号，它下面是空间群的熊夫利附录附录 230种空间群的符号种空间群的符号空间群的序号号熊夫利斯符号简略国际符号空间群序号熊夫利斯符号简略国际符号1P12P三斜晶系空间群三斜晶系空间群附录 230种空间群的符号空间群的序号号熊夫利斯符号简略国点群空间群和晶体结构介绍课件点群空间群和晶体结构介绍课件点群空间群和晶体结构介绍课件点群空间群和晶体结构介绍课件点群空间群和晶体结构介绍课件3.5晶体结构符号晶体结构符号结构符号（结构符号（Structure Symbol）它它是是由由结结构构报报告告年年刊刊编编者者提提出出的的。这这类类符符号号由由大大写写英英文文字母加上一个数字构成。字母加上一个数字构成。符符号号中中的的第第一一个个大大写写字字母母表表示示结结构构的的类类型型，后后面面的的数数字字为为顺顺序号，不同的顺序号表示不同的结构，例如序号，不同的顺序号表示不同的结构，例如A1是铜型结构，是铜型结构，B2是是CsCl型结构等，型结构等，C3是是FeS2结构等。结构等。3.5晶体结构符号结构符号（Structure SymbolPearson符号 第第一一个个小小写写英英文文字字母母表表示示所所属属晶晶系系（用用该该晶晶系系英英文文名名的的第第一一个个字字 母母），三三 斜斜（Triclinic）用用 另另 一一 个个 英英 文文“三三 斜斜”字字（Anorthic）的的字字母母a，菱菱方方点点阵阵仍仍用用六六方方的的h。第第二二个个大大写写英英文文字字母母表表示示它它所所属属的的布布喇喇菲菲点点阵阵类类型型（例例如如P、I、F、C等等），第第三三个数字表示单胞中的原子数。个数字表示单胞中的原子数。Pearson符号 第一个小写英文字母表示所属晶系（人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。人有了知识，就会具备各种分析能力，点群空间群和晶体结构介绍课件