第三章刚体力学基础-课件

首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出第第3章章刚体力学基础刚体力学基础 3.1刚体刚体定轴转动的描述刚体刚体定轴转动的描述 3.2力矩刚体定轴转动的转动定律力矩刚体定轴转动的转动定律 3.3刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 3.4刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律律1首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出3.1刚体刚体定轴转动的描述刚体刚体定轴转动的描述一、刚体的引入一、刚体的引入 刚体刚体(rigid body)：即形状和大小完全不变的即形状和大小完全不变的物体。是一理想模型。物体。是一理想模型。通常把刚体分成许多部分，每一部分都小到可通常把刚体分成许多部分，每一部分都小到可看作质点，叫作看作质点，叫作刚体的质元刚体的质元。由于刚体不变形，各质元间距离不变。由于刚体不变形，各质元间距离不变。2首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出二、刚体的基本运动二、刚体的基本运动 刚体最基本的运动方式是刚体最基本的运动方式是平动平动和和转动转动。1、刚体的平动、刚体的平动在运动过程中，若刚体内部任意两质元间的在运动过程中，若刚体内部任意两质元间的连线在各个时刻的位置都和初始时刻的位置连线在各个时刻的位置都和初始时刻的位置保持平行，这样的运动称为刚体的平动保持平行，这样的运动称为刚体的平动 3首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出2、刚体的转动、刚体的转动 若刚体上各个质元都绕同一直线作若刚体上各个质元都绕同一直线作圆周运动，这样的运动称作圆周运动，这样的运动称作刚体的刚体的转动转动(rotation)，这条直线称为，这条直线称为转转轴轴（这根轴可在刚体之内，也可在（这根轴可在刚体之内，也可在刚体之外）。刚体之外）。非定轴转动非定轴转动：在刚体转动过程中，转轴的方：在刚体转动过程中，转轴的方向或位置随时间变化。该转轴称为向或位置随时间变化。该转轴称为转动瞬轴转动瞬轴如陀螺的旋进、车轮的滚动等。如陀螺的旋进、车轮的滚动等。定轴转动定轴转动：转轴固定不动，即既不改变方向转轴固定不动，即既不改变方向又不发生平移。该转轴称为又不发生平移。该转轴称为固定轴固定轴。4首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出三、刚体定轴转动的描述三、刚体定轴转动的描述 垂直于固定轴的平面为垂直于固定轴的平面为转动平面转动平面显然，转动平面显然，转动平面不止一个，而有无数多个。如果以某转动平面与转不止一个，而有无数多个。如果以某转动平面与转轴的交点为原点，则该转动平面上的所有质元都绕轴的交点为原点，则该转动平面上的所有质元都绕着这个原点作圆周运动。着这个原点作圆周运动。刚体定轴转动的基本特征是：刚体定轴转动的基本特征是：轴上所有各点都保轴上所有各点都保持不动，轴外所有各点在同一时间间隔内转过的持不动，轴外所有各点在同一时间间隔内转过的角度都一样。角度都一样。角位移、角速度和角加速度角位移、角速度和角加速度 转动平面上任一质元对原点的位矢转动平面上任一质元对原点的位矢r与极轴的夹角与极轴的夹角称为角位置称为角位置。刚体在一段时间内转过的角度。刚体在一段时间内转过的角度=2-1称为称为角位移角位移 5首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出在时刻在时刻t到到t+t时间内的角位移时间内的角位移与与t之比称为之比称为刚体的平均角速度刚体的平均角速度当当t0时，平均角速度的极限称为瞬时角速度，简时，平均角速度的极限称为瞬时角速度，简称称角速度角速度，用，用表示表示：平均角加速度平均角加速度瞬瞬时角加速度，角加速度，简称称角加速度角加速度 6首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出刚体定轴转动的特点刚体定轴转动的特点:所有质点的角量都相同所有质点的角量都相同 ；质点的线量与该质点的轴矢径大小成正比质点的线量与该质点的轴矢径大小成正比。7首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出一、力矩一、力矩 1 1、力对固定点的力矩、力对固定点的力矩 1）定义：作用于质点的）定义：作用于质点的力对惯性系中某参考点的力对惯性系中某参考点的力矩，等于力的作用点对力矩，等于力的作用点对该点的位矢与力的矢积，该点的位矢与力的矢积，即即 力矩是矢量，力矩是矢量，M的方向垂直于的方向垂直于r和和F所决定的平面，所决定的平面，其指向用右手螺旋法则确定。其指向用右手螺旋法则确定。2）力矩的单位力矩的单位:牛牛米米(Nm)o m3.2力矩刚体定轴转动的转动定律力矩刚体定轴转动的转动定律8首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出 3）力矩的计算：力矩的计算：M的大小、方向均与参考点的选择有关的大小、方向均与参考点的选择有关在直角坐标系中，其表示式为在直角坐标系中，其表示式为9首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出 力矩在力矩在x,y,z轴的分量式，或称轴的分量式，或称力对力对轴的矩。轴的矩。例如上面所列例如上面所列x,My,Mz,即即为力对轴、轴、轴的矩。为力对轴、轴、轴的矩。、力对轴的矩、力对轴的矩：式中式中 为力为力F到轴的距离到轴的距离 若设力的作用点到轴的位矢为若设力的作用点到轴的位矢为r，则力对轴的则力对轴的力矩为力矩为力对固定点的力矩为零的情况：力对固定点的力矩为零的情况：力力F等于零，等于零，力力F的作用线与矢径的作用线与矢径r共线（共线（力力F F的作用线穿过的作用线穿过0 0点点,即，有心力对力心的力矩恒为零即，有心力对力心的力矩恒为零）。）。10首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出任一对作用力和反作用力（内力）对同点（同轴）的任一对作用力和反作用力（内力）对同点（同轴）的力矩之和为零：力矩之和为零：力对固定轴的力矩为零的情况：力对固定轴的力矩为零的情况：若力的作用线与轴平行若力的作用线与轴平行若力的作用线与轴相交若力的作用线与轴相交则力对该轴无力矩作用则力对该轴无力矩作用11首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出二、刚体定轴转动的转动定律二、刚体定轴转动的转动定律 在刚体上任取一质元在刚体上任取一质元mi，半径为，半径为ri，设它所受的合外力为，设它所受的合外力为Fi，合内，合内力为力为fi，它们与矢径，它们与矢径ri的夹角分别的夹角分别为为i和和i设刚体绕轴转动的角速设刚体绕轴转动的角速度和角加速度分别为度和角加速度分别为和和根据根据牛顿第二定律，采用自然坐标系，牛顿第二定律，采用自然坐标系，可得质元可得质元mi的法向和切向方程，的法向和切向方程，分别为分别为12首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出将切向方程的两边各乘以将切向方程的两边各乘以ri，可得，可得 切向方程：切向方程：把上式对刚体所有质元求和，并考虑到各质元角加把上式对刚体所有质元求和，并考虑到各质元角加速度相同，有速度相同，有 因为因为令令：合外力矩合外力矩转动惯量转动惯量13首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出单位：千克单位：千克米米2（kgm2）三、转动惯量的计算三、转动惯量的计算对于单个质点对于单个质点 质点系质点系 若物体质量连续分布若物体质量连续分布，上式为刚体定轴转动的转动定律：绕定轴转动的刚刚体定轴转动的转动定律：绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。与刚体的转动惯量成反比。牛顿第二定律：牛顿第二定律：F=ma。14首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出()质量元的选取：质量元的选取：线分布线分布面分布面分布体分布体分布 (3)由于刚体是一个特殊质点系，即各质点之间无相对由于刚体是一个特殊质点系，即各质点之间无相对位移，即对于给定的刚体其质量分布不随时间变化，位移，即对于给定的刚体其质量分布不随时间变化，故对于故对于给定轴而言，刚体的转动惯量是一个常数。给定轴而言，刚体的转动惯量是一个常数。(1)刚体的转动惯量刚体的转动惯量与刚体的质量有关，与刚体的质量有关，与刚体的质量分布有关，与刚体的质量分布有关，与轴的位置有关。与轴的位置有关。转动惯量计算举例：转动惯量计算举例：注意：15首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出解：在棒上任取一质量元解：在棒上任取一质量元线密度线密度 于是于是例例3 31 1 求质量为求质量为 M M，长为长为l的均质细棒对过穿过棒的均质细棒对过穿过棒之中心并与棒垂直的轴的转动惯量。之中心并与棒垂直的轴的转动惯量。16首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出解：与上例做法相同，只是坐标原点由中点移至端点，解：与上例做法相同，只是坐标原点由中点移至端点，积分限改变。积分限改变。例例3 32 2 求上述细棒对过棒之一端并与棒垂直的轴的求上述细棒对过棒之一端并与棒垂直的轴的转动惯量转动惯量.17首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出解：在细圆环上任取一质解：在细圆环上任取一质元元dm，dm到轴的距离为，故到轴的距离为，故 因所有质元到轴心的距离均为，因所有质元到轴心的距离均为，例例3 33 3 求质量为求质量为M M，半径为的细圆环绕过圆心并半径为的细圆环绕过圆心并与环面垂直的轴的转动惯量与环面垂直的轴的转动惯量R18首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出解：设圆盘厚为解：设圆盘厚为 h,h,则整个圆盘可看成是由无穷多个半则整个圆盘可看成是由无穷多个半径为径为r r，宽为宽为drdr的圆环所组成，的圆环所组成，设体密度为设体密度为例例3 34 4 求求质量为质量为M，半径为的半径为的均质圆盘（或圆柱）均质圆盘（或圆柱）对过质心且与盘面垂直的转轴的转动惯量。对过质心且与盘面垂直的转轴的转动惯量。19首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出四、刚体定轴转动的转动定律的应用四、刚体定轴转动的转动定律的应用作定轴转动的刚体，其转动角加速度与外力对转轴作定轴转动的刚体，其转动角加速度与外力对转轴的力矩之和成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。的力矩之和成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。其在定轴转动中的地位与牛顿定律在质其在定轴转动中的地位与牛顿定律在质点运动中地位相当。点运动中地位相当。20首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出 转动定律说明了转动定律说明了J J是物体转动惯性大小的量度。因为：是物体转动惯性大小的量度。因为：说明：说明：J越大的物体，保持原来转动状态的性质就越越大的物体，保持原来转动状态的性质就越强，转动状态越难改变，即转动惯性越大。强，转动状态越难改变，即转动惯性越大。如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒，若筒，若受力和力矩一样，谁转动得快些呢？受力和力矩一样，谁转动得快些呢？MM21首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出例例35 质量为质量为m1，m2（m1m2）的两物体，的两物体，通过一定滑轮用绳相连，通过一定滑轮用绳相连，已知绳与滑轮间无相对滑已知绳与滑轮间无相对滑动，且定滑轮是半径为动，且定滑轮是半径为R、质量为质量为m3的均质圆盘，忽的均质圆盘，忽略轴的摩擦。求：略轴的摩擦。求：(1)m1、m2的加速度；的加速度；(2)滑轮的滑轮的角加速度及绳中的张力。角加速度及绳中的张力。（绳轻且不可伸长）（绳轻且不可伸长）m1m2m3R22首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出m1m2解解 对m1、m2，滑轮作受力分析，m1、m2作平动，滑轮作转动，23首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出解得：请注意与教材：请注意与教材P27之例题之例题2.4比较，其有两处不同。比较，其有两处不同。其一此处滑轮质量不可忽略，大小不可忽略，所以其一此处滑轮质量不可忽略，大小不可忽略，所以要用到转动定律；要用到转动定律；其二绳与滑轮间无相对滑动，所以，滑轮两边之张其二绳与滑轮间无相对滑动，所以，滑轮两边之张力不相等。力不相等。回上页回上页下一页下一页回首页回首页24首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出例例3-6N如图如图2.37(a)所示，质量均为所示，质量均为m的两物体的两物体A，B.A放在倾角放在倾角为为的光滑斜面上，通过定滑轮由不可伸长的轻绳与的光滑斜面上，通过定滑轮由不可伸长的轻绳与B相连相连.定滑轮是半径定滑轮是半径为为R的圆盘，其质量也为的圆盘，其质量也为m.物体运动时，绳与滑轮无相对滑动物体运动时，绳与滑轮无相对滑动.求绳中张求绳中张力力和和及物体的加速度及物体的加速度a(轮轴光滑轮轴光滑).解物体A，B，定滑轮受力图见图2.37(b).对于作平动的物体A，B，分别由牛顿定律得对定滑轮，由转动定律得25首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出由于绳不可伸长，所以联立式，得26首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出例例3-7转动着的飞轮的转动惯量为转动着的飞轮的转动惯量为J，在，在t0时角速度为时角速度为.此后飞轮经此后飞轮经历制动过程，阻力矩历制动过程，阻力矩M的大小与角速度的大小与角速度的平方成正比，比例系数为的平方成正比，比例系数为k(k为为大于零的常数大于零的常数)，当，当 时，飞轮的角加速度是多少？从开始制动到现时，飞轮的角加速度是多少？从开始制动到现在经历的时间是多少？在经历的时间是多少？解(1)由题知 ，故由转动定律有 即将 代入，求得这时飞轮的角加速度为27首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出(2)为求经历的时间t，将转动定律写成微分方程的形式，即分离变量，并考虑到t0时，两边积分故当 时，制动经历的时间为28首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出一、刚体的转动动能一、刚体的转动动能可见，刚体的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度可见，刚体的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。平方乘积的一半。i质点的动能质点的动能 整个刚体的动能整个刚体的动能对对i求和求和下一页下一页注意比较注意比较转动动能转动动能平动动能平动动能回上页回上页回首页回首页3.3刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理29首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出二、力矩的功二、力矩的功 对于对于i 质点其受外力为质点其受外力为Fi，对对i求和，当整个刚体转动求和，当整个刚体转动d ，则力矩的元功则力矩的元功 式中式中M为作用于刚体上外力矩之和为作用于刚体上外力矩之和-其表明：力矩的其表明：力矩的元功等于力矩与角位移之乘积（元功等于力矩与角位移之乘积（内力矩之和为零）内力矩之和为零）当刚体转过有限角时，力矩的功为当刚体转过有限角时，力矩的功为 30首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出三、刚体定轴转动的动能定理：三、刚体定轴转动的动能定理：力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。31首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出四、刚体的势能四、刚体的势能其中其中m为刚体的总质为刚体的总质量量,yc为刚体质心的为刚体质心的高度高度质量分布均匀而有质量分布均匀而有一定几何形状的刚一定几何形状的刚体，质心的位置为体，质心的位置为它的几何中心。它的几何中心。OXY miMC32首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出五、机械能守恒定律五、机械能守恒定律系统机械能守恒，即系统机械能守恒，即33首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出例例3-83-8如图如图2.392.39所示，一根质量为所示，一根质量为m m，长为，长为l l的均匀细棒的均匀细棒OAOA，可绕固定点，可绕固定点O O在在竖直平面内转动竖直平面内转动.今使棒从水平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成今使棒从水平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成3030角时中心点角时中心点C C和端点和端点A A的速度的速度.解棒受力如图2.39所示，其中重力G对O轴的力矩大小等于 ，是的函数，轴的支持力对O轴的力矩为零.由转动动能定理，有等式左边的积分为重力矩的功.即34首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出则中心点C和端点A的速度分别为将 及代入式，得35首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出例例3-9如图如图2.40所示，物体的质量为所示，物体的质量为，且，且.圆盘状定滑圆盘状定滑轮的质量为轮的质量为和和 ，半径为，半径为 ，质量均匀分布，质量均匀分布.绳轻且不可伸长，绳轻且不可伸长，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑.试求当试求当 下降了下降了x距离时两物体的距离时两物体的速度和加速度速度和加速度.解以两物体、两滑轮、地球成为一系统，故机械能守恒.以 下降x时的位置为重力势能零点，则有由于 ，可解得由于运动过程中物体所受合力为恒力，a为常数，2ax，故有36首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出解法二联解以上6个方程得：因为加速度是一个常数，所以37首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出一.质点的角动量质点作匀速圆周运动时质点作匀速圆周运动时o3.4刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律定义定义:质点相对于质点相对于O点的矢径点的矢径与质点的动量与质点的动量的矢积的矢积定义为该时刻质点相对于定义为该时刻质点相对于O点的角动量，用点的角动量，用表示表示0大小大小:L=rpsin 方向：右螺旋方向：右螺旋单位：单位：kgm2s-138首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出在直角坐标系中表示在直角坐标系中表示当质点作圆周运动时当质点作圆周运动时Lrmu u=mr2 o39首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出2.质点的角动量定理质点的角动量定理由牛顿定律由牛顿定律质点角动量定理质点角动量定理微分形式微分形式作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变化作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变化率。称率。称质点质点对固定点的对固定点的角动量定理。角动量定理。40首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出质点角动量定理质点角动量定理积分形式积分形式叫冲量矩叫冲量矩力矩对时间的积累作用力矩对时间的积累作用注注:M和和L必须是对同一点而言必须是对同一点而言41首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出二、质点角动量守恒律若若,则则=常矢量常矢量质点所受外力对某固定点的力矩为零，则质质点所受外力对某固定点的力矩为零，则质点对该固定点的角动量守恒，这就是质点的点对该固定点的角动量守恒，这就是质点的角动角动量守恒定律量守恒定律.角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系。不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系。42首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出例例3-103-10在光滑的水平桌面上，放有质量为在光滑的水平桌面上，放有质量为M的木块，的木块，木块与一弹簧相连，弹簧的另一端固定在木块与一弹簧相连，弹簧的另一端固定在O点，弹簧点，弹簧的劲度系数为的劲度系数为k，设有一质量为，设有一质量为m的子弹以初速的子弹以初速 垂垂直于直于OA射向射向M并嵌在木块内并嵌在木块内.弹簧原长弹簧原长 ，子弹击中，子弹击中木块后，木块木块后，木块M运动到运动到B点时刻，弹簧长度变为点时刻，弹簧长度变为l，此，此时时OB垂直于垂直于OA，求在，求在B点时，木块的运动速度点时，木块的运动速度 .解解击中瞬间，在水平击中瞬间，在水平面内，子弹与木块组成面内，子弹与木块组成的系统沿的系统沿 方向动量守方向动量守恒，即有恒，即有43首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出在由在由AB的过程中，子弹、木块系统机械能守恒的过程中，子弹、木块系统机械能守恒 在由在由AB的过程中木块在水平面内只受指向的过程中木块在水平面内只受指向O点的点的弹性有心力，故木块对弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设点的角动量守恒，设 与与OB方向成方向成角，则有角，则有44首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出三三、质点系的角动量定理1.质点系对固定点的角动量定理质点系对固定点的角动量定理0mi对对i质点质点对对i求和，得求和，得:称为称为质点系所受合外力矩质点系所受合外力矩于是得于是得45首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出或或作用于质点系的外力矩的矢量和等于质点系角作用于质点系的外力矩的矢量和等于质点系角动量对时间的变化率动量对时间的变化率.这就是质点系对固定点的角动这就是质点系对固定点的角动量定理量定理.质点系角动量守恒定律质点系角动量守恒定律2.质点系对轴的角动量定理质点系对轴的角动量定理质点系对轴的角动量定理质点系对轴的角动量定理46首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出简单地简单地,设质点系内各质点均在各自的转动平面内设质点系内各质点均在各自的转动平面内绕同一轴转动，并设固定转动轴为绕同一轴转动，并设固定转动轴为z轴轴z imi因有：因有：若质点系内所有质点绕轴转动的角速度若质点系内所有质点绕轴转动的角速度 相同，则相同，则令令47首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出四、刚体对轴的角动量守恒定律1.刚体对定轴的角动量定理刚体对定轴的角动量定理作定轴转动刚体，其质元角速度作定轴转动刚体，其质元角速度 相同，因此，相同，因此，定轴转动刚体的角动量的增量等于合外定轴转动刚体的角动量的增量等于合外力矩对冲量矩。力矩对冲量矩。2.定轴转动的角动量守恒定轴转动的角动量守恒若若则则L=Jw w=恒量恒量外力对某轴的力矩之和为零，则该物外力对某轴的力矩之和为零，则该物体对同一轴的角动量守恒体对同一轴的角动量守恒.48首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出刚体组绕同一轴转动时的角动量守恒刚体组绕同一轴转动时的角动量守恒总角动量总角动量L=J1w w1+J2w w2+=常量常量角动量守恒定律的两种情况：角动量守恒定律的两种情况：(1)转动惯量保持不变的刚体转动惯量保持不变的刚体例：回转仪例：回转仪(2)转动惯量可变的物体转动惯量可变的物体当当J增大时，增大时，就减小就减小当当J减小时，减小时，就增大就增大而而保持不变保持不变例：旋转的舞蹈演员例：旋转的舞蹈演员49首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出物体组内各质点以相同角速物体组内各质点以相同角速度度绕同一轴转动绕同一轴转动时的角动量时的角动量守恒守恒 50首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出D:D:实际中的一些现象实际中的一些现象开始不旋转的物体，当其一部分旋转开始不旋转的物体，当其一部分旋转时，必引起另一部分朝另一反方向旋转。时，必引起另一部分朝另一反方向旋转。艺术美、人体美、物理美相互结合艺术美、人体美、物理美相互结合高！高！高！高！芭蕾舞演员的高难动作芭蕾舞演员的高难动作51首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出解以飞轮A，B，啮合器C为系统.在啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器之间的切向摩擦力.前者对轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩.系统所受合外力矩为零，所以系统的角动量守恒.即为两轮啮合后的共同角速度，于是把各量代入上式，得20.9 rad/s.在啮合过程中，摩擦力矩作功，机械能不守恒，损失的机械能转化为内能.损失的机械能为例例3-11在工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转在工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动动.如图如图2.44所示，所示，A和和B两飞轮的轴杆在同一中心线上两飞轮的轴杆在同一中心线上.A轮的转动惯量为轮的转动惯量为，B轮的转动惯量为轮的转动惯量为，开始时，开始时A轮每分钟的转速为轮每分钟的转速为600转，转，B轮静止轮静止.C为摩擦啮合器为摩擦啮合器.求两轮啮合后的转速，在啮合过程中，两轮的求两轮啮合后的转速，在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？机械能有何变化？52首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出解此题可分解为三个简单过程：(1)棒由水平位置下摆至竖直位置但尚未与物块相碰.此过程机械能守恒.以棒、地球为一系统，以棒的重心在竖直位置时为重力势能零点，则有例例3-12如图如图2.45，质量为，质量为m，长为，长为l的均匀细棒，可绕过其一端的水平的均匀细棒，可绕过其一端的水平轴轴O转动转动.现将棒拉到水平位置现将棒拉到水平位置(OA)后放手，棒下摆到竖直位置后放手，棒下摆到竖直位置(OA)时，时，与静止放置在水平面与静止放置在水平面A处的质量为处的质量为M的物块作完全弹性碰撞，物体在水的物块作完全弹性碰撞，物体在水平面上向右滑行了一段距离平面上向右滑行了一段距离s后停止后停止.设物体与水平面间的摩擦系数设物体与水平面间的摩擦系数处处处处相同，求证相同，求证53首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出(2)棒与物块作完全弹性碰撞，此过程角动量守恒(并非动量守恒)和机械能守恒，设碰撞后棒的角速度为，物块速度为v，则有(3)碰撞后物块在水平面滑行，其满足动能定理联立以上四式，即可证得：54