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第7章 拉普拉斯变换7.1 拉普拉斯变换7.2 拉普拉斯变换的基本性质 7.3 拉普拉斯逆变换7.4 拉普拉斯变换的应用在 所确定的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为 7.1 拉普拉斯变换7.1.1拉普拉斯变换的概念定义定义1 设函数 当 有定义,而且积分是一个复参量）我们称上式为函数 的拉普拉斯变换式,记做 叫做的拉氏变换,象函数.叫做的拉氏逆变换,象原函数,=的增长速度不超过某一指数函数,亦即存在常数 7.1.2 拉普拉斯变换存在定理 若函数满足下列条件 在的任一有限区间上连续或分段连续,时,当时,及,使得成立,则函数 的拉氏变换在半平面 上一定存在.此时右端的积分绝对收敛而且一致收敛.并且在此半平面内 为解析函数 7.1.3 一些常用函数的拉普拉斯变换 例例2 求单位阶跃函数 的拉氏变换 解解 例例1 求单位脉冲函数 的拉氏变换 解解 例例3 求函数 的拉氏变换 解解 例例4 求单位斜坡函数 的拉氏变换 解解 例例5 求幂函数 的拉氏变换 解解 当为正整数时,例例6 求正弦函数 的拉氏变换 解解 则所以 即同理可得如 是周期为当 在一个周期上连续或分段连续时,则有7.1.4 周期函数的拉普拉斯变换 这是求周期函数拉氏变换公式 的周期函数,即可以证明:若 7.2 拉普拉斯变换的性质 7.2.1 线性性质 设为常数则 7.2.2 相似性质若=则7.2.3平移性质（1）象原函数的平移性质为非负实常数,则 例7 求函数的拉氏变换解 因为 所以 若（2）象函数的平移性质 为实常数,则 若(为正整数).例8 求解 因为 所以 则7.2.4 微分性质（1）象原函数的微分性质一般地,若特别地,当时,可以证明（2）象函数的微分性质若则从而 例9 求函数解 因为 同理,所以,7.2.5 积分性质若则（1）象原函数的积分性质 一般地且积分 收敛若则（2）象函数的积分性质 一般地或推论若则 且积分 收敛例10 求 解 因为 所以 顺便可得7.2.7 拉氏变换的卷积与卷积定理(1)上的卷积定义 若函数满足,时都为零,称为函数在 上的卷积.则可以证明卷积例11对函数计算 上的卷积 解(2)拉氏变换的卷积定理 若则 例12 已知为正整数)求在 上的卷积解 因为所以7.3 拉普拉斯逆变换 求拉普拉斯逆变换的方法主要有留数法、部分分式法、查表法等.我们简单介绍留数法和查表法.根据拉普拉斯变换的定义 右端的积分称为拉氏反演积分.它是一个复变函数的积分,但计算比较麻烦.2.3.1 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换 一些常用函数的拉氏变换拉氏逆变换的性质 例13 已知求解所以例14 已知求解所以例15 已知求解所以例16 已知求解所以2.3.2 利用留数定理求拉氏逆变换 7.4 拉普拉斯变换的应用7.4.1常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法 利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其基本步骤如下:（1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性性质,对微分方程（或方程组）两端取拉普拉斯变换,把微分方程化为象函数的代数方程;（2）从象函数的代数方程中解出象函数;（3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分方程（或方程组）的解.例例17 求微分方程满足初始条件的解 解解 设对方程两边取拉氏变换,并考虑到初始条件,则得解得所以33写在最后写在最后成功的基础在于好的学习习惯成功的基础在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habits 结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The End演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
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