弱简并玻色气体和费米气体课件

第八章第八章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计8.1热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式8.2弱简并玻色气体和费米气体弱简并玻色气体和费米气体弱简并玻色气体和费米气体弱简并玻色气体和费米气体8.3光子气体光子气体光子气体光子气体8.4玻色玻色玻色玻色-爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚8.5金属中的自由电子气体金属中的自由电子气体金属中的自由电子气体金属中的自由电子气体第八章玻色统计和费米统计8.1热力学量的统计表达式1 8.1 8.1 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式 回忆一下玻色系统和费米系统中粒子的最概然分布回忆一下玻色系统和费米系统中粒子的最概然分布.下面推导一下玻色系统和费米系统热力学量的统计表达式下面推导一下玻色系统和费米系统热力学量的统计表达式.玻色分布玻色分布玻色分布玻色分布费米分布费米分布费米分布费米分布b=1b=-1一一一一 首先考虑首先考虑玻色系统玻色系统玻色系统玻色系统把把,和和y看作由实验确定的参量看作由实验确定的参量.1 引入引入 巨配分函数巨配分函数 8.1热力学量的统计表达式回忆一下玻色系统和费米2取对数为取对数为对对 取偏导为取偏导为系统的平均总粒子数系统的平均总粒子数比较比较,得得取对数为对取偏导为系统的平均总粒子数比较,得32 系统的平均总粒子数系统的平均总粒子数分布总要满足的另一个条件是分布总要满足的另一个条件是内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值.3 系统的系统的内能内能4 外界对系统的广义作用力外界对系统的广义作用力重要特例重要特例证明证明 证明证明 2系统的平均总粒子数分布总要满足的另一个条件是内能是系45 系统的熵统计表达式系统的熵统计表达式由开系方程由开系方程1/T 是是dS的积分因子的积分因子配分函数配分函数 （，y）的全微分为）的全微分为根据前面求出的已知量，可求得根据前面求出的已知量，可求得(拉氏乘法原理，加上一个为的项拉氏乘法原理，加上一个为的项)5系统的熵统计表达式由开系方程1/T是dS的积分因子5根据偏导公式：根据偏导公式：d(uv)=vdu+udv上式指出上式指出 是是的积分因子。的积分因子。令令根据偏导公式：d(uv)=vdu+udv上式指出是的积分因6积分得积分得 系统的熵统计表达式系统的熵统计表达式玻耳兹曼关系玻耳兹曼关系 熵与微观状态数的关系熵与微观状态数的关系以以T，V，为自然变量的特性函数是巨热力学化学势为自然变量的特性函数是巨热力学化学势巨热力势巨热力势J与巨配分函数的关系：与巨配分函数的关系：积分得系统的熵统计表达式玻耳兹曼关系熵与微观状态数的关系7（二）费米系统（二）费米系统（二）费米系统（二）费米系统巨配分函数巨配分函数其对数为其对数为平均总粒子数平均总粒子数内内 能能广义作用力广义作用力重要特例重要特例熵熵 熵与微观状态数的关系熵与微观状态数的关系玻耳兹曼关系玻耳兹曼关系巨热力势巨热力势（二）费米系统巨配分函数其对数为平均总粒子数内能88.2 8.2 8.2 8.2 弱简并玻色气体和费米气体弱简并玻色气体和费米气体弱简并玻色气体和费米气体弱简并玻色气体和费米气体一分类一分类 一般气体满足经典极限条件一般气体满足经典极限条件e 1，可用玻耳，可用玻耳兹曼分布曼分布处理理 （）（）满足足经典极限条件的气体称典极限条件的气体称为非非简并性气体并性气体 （）需要用玻色分布或（）需要用玻色分布或费米分布米分布讨论的气体称的气体称为简并性气体并性气体 其中又分其中又分为完全完全简并气体和弱并气体和弱简并气体并气体 分子的能量分子的能量二弱简并气体二弱简并气体（不考虑分子内部结构，只有平动自由度）（不考虑分子内部结构，只有平动自由度）8.2弱简并玻色气体和费米气体一分类分9在体积在体积V内，在内，在 到到+d 的能量范围内，分子可能的的能量范围内，分子可能的 微观状态数微观状态数其中：其中：g由粒子可能具有自旋而引入的简并度由粒子可能具有自旋而引入的简并度系统的总分子数系统的总分子数代入代入 系统的内能系统的内能代入代入下面要确定式子中的拉氏乘子下面要确定式子中的拉氏乘子 在体积V内，在到+d的能量范围内，分子可能的其中10 系统的内能系统的内能系统的总分子数系统的总分子数引入引入变量变量变量变量x=x=，dx=dx=d d ，且且 =1/kT=1/kT，将上述两式改写为将上述两式改写为两式被积函数的分母表示为两式被积函数的分母表示为代入代入保留展开的第一项相当于将费米分布近似为玻耳兹曼分布保留展开的第一项相当于将费米分布近似为玻耳兹曼分布 现在保留两项，相当于弱简并的情形。现在保留两项，相当于弱简并的情形。系统的内能系统的总分子数引入变量x=，dx=d11 系统的内能系统的内能系统的总分子数系统的总分子数过程过程 过程过程 两式相除两式相除系统的内能系统的总分子数过程过程两式相除12玻耳兹曼分玻耳兹曼分布的内能布的内能微观粒子全同性原理引起的粒子微观粒子全同性原理引起的粒子统计关联所导致的附加内能统计关联所导致的附加内能在弱简并情形下附加内能的数值是小的。在弱简并情形下附加内能的数值是小的。费米气体的附加内能为正而玻色气体的附加内能为负指费米气体的附加内能为正而玻色气体的附加内能为负指粒子的统计关联使费米粒子间出现等效的排斥作用，玻色粒粒子的统计关联使费米粒子间出现等效的排斥作用，玻色粒子间则出现等效的吸引作用。子间则出现等效的吸引作用。玻耳兹曼分布的内能微观粒子全同性原理引起的粒子统计关联所导13在第二章我们根据热力学理论论证过平衡辐射的内能密度和内能密度的频率分布只与温度有关，并证明了内能密度与绝对温度的四次方成正比。在第七章（四节）中又根据经典统计的能量均分定理讨论过这一问题，所得内能的频率分布在低频范围与实验符合，在高频范围与实验不符合。更为严重的是，根据能量均分定理有限温度下平衡辐射的内能和定容热容量是发散的，与实际不符。本节根据量子统计理论，从粒子观点研究平衡辐射问题。在第二章我们根据热力学理论论证过平148.3 8.3 8.3 8.3 光子气体光子气体光子气体光子气体根据量子统计理论，从粒子观点研究平衡辐射问题。根据量子统计理论，从粒子观点研究平衡辐射问题。根据粒子观点，可以把空窖的辐射场看作光子气体。根据粒子观点，可以把空窖的辐射场看作光子气体。一模型：一模型：二光子的能量动量关系：二光子的能量动量关系：具有一定的波矢具有一定的波矢k和圆频率和圆频率 的单色平面波与具有一系的光子的单色平面波与具有一系的光子相应，动量相应，动量p与波矢与波矢k，能量，能量 与圆频率与圆频率 之间遵从德布罗意关系之间遵从德布罗意关系光子是光子是三统计分布：三统计分布：玻色子，达到平衡后遵从玻色分布。玻色子，达到平衡后遵从玻色分布。8.3光子气体根据量子统计理论，从粒子观点研究平衡15光子气体的统计分布光子气体的统计分布由于窖壁不断发射和吸收光子，光子气体中光子数是不守由于窖壁不断发射和吸收光子，光子气体中光子数是不守恒的。恒的。在导出玻色分布时只存在在导出玻色分布时只存在E是常数的条件而不存在是常数的条件而不存在N是常是常数的条件，因而只应引进一个拉氏乘子数的条件，因而只应引进一个拉氏乘子 。令令,平衡状态下光子气体的化学势为零。平衡状态下光子气体的化学势为零。体积为体积为V的空窖内的空窖内,在在p到到p+dp的动量范围内，的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为自由粒子可能的量子态数为复习复习 光子的自旋量子数为光子的自旋量子数为1。自旋在动量方向的投影可取自旋在动量方向的投影可取 两个可能值，相当于左，右两个可能值，相当于左，右圆偏振。圆偏振。光子自旋有两个投影光子自旋有两个投影.光子气体的统计分布由于窖壁不断发射和吸收光子，光子气体中16 体积为体积为V的空窖内的空窖内,p到到p+dp的动量范围内，光子的量子态数的动量范围内，光子的量子态数(光子自旋有两个投影光子自旋有两个投影)体积为体积为V的空窖内，在的空窖内，在 到到+d 的圆频率范围内，光子的的圆频率范围内，光子的量子态数量子态数每个量子态上的平均光子数每个量子态上的平均光子数体积为V的空窖内,p到p+dp的动量范围内，光子的17四四 辐射场的内能辐射场的内能普朗克公式普朗克公式上式所给出的辐射场内能按频率的分布与实验结果完全符合。上式所给出的辐射场内能按频率的分布与实验结果完全符合。讨论：讨论：低频低频高频高频维恩公式维恩公式瑞利金斯公式瑞利金斯公式 1896 1896年得到的公式，表明年得到的公式，表明U U随随 的增加而迅速趋近于的增加而迅速趋近于0 0温度温度为为T T时的平衡辐射中，高频光子几乎不存在此时窖壁发射高频时的平衡辐射中，高频光子几乎不存在此时窖壁发射高频光子的概率是极小的光子的概率是极小的四辐射场的内能普朗克公式上式所给出的辐射场内能按频率的分布18空窖辐射内能空窖辐射内能将普朗克公式积分，得到将普朗克公式积分，得到引入引入变量变量变量变量x=x=kTkT(kT/(kT/)dx=dx=d 空窖辐射内能将普朗克公式积分，得到引入变量x=kT(19表明：平衡辐射的内能密度与绝对温度的四次方成正比表明：平衡辐射的内能密度与绝对温度的四次方成正比斯特藩玻耳兹曼公式斯特藩玻耳兹曼公式空窖辐射内能空窖辐射内能说明说明在热力学中，只可由实验测定在热力学中，只可由实验测定在统计学中，可直接求出在统计学中，可直接求出表明：平衡辐射的内能密度与绝对温度的四次方成正比斯特藩玻20根据普朗克公式根据普朗克公式的变式的变式空窖辐射内能密度随空窖辐射内能密度随 的分布有一个极大值的分布有一个极大值 m m可以由可以由决定出来决定出来.根据普朗克公式的变式空窖辐射内能密度随的分布有一个极大21非线性方程非线性方程这个方程可以由图解法或数值法解出这个方程可以由图解法或数值法解出:其解为其解为可见可见,空窖辐射场的内能密度取极大值空窖辐射场的内能密度取极大值 m/kT值是一定的值是一定的上式可化为上式可化为 m 与温度与温度T成正比这个结论称为成正比这个结论称为维恩位移定律维恩位移定律维恩位移定律维恩位移定律非线性方程这个方程可以由图解法或数值法解出:其解为可见,22五光子气体的热力学函数五光子气体的热力学函数五光子气体的热力学函数五光子气体的热力学函数玻色粒子系统玻色粒子系统玻色粒子系统玻色粒子系统1 巨配分函数巨配分函数 取对数为取对数为令令(光子自旋有两个投影光子自旋有两个投影)体积为体积为V的空窖内，在的空窖内，在 到到+d 的圆频率范围内，光子的的圆频率范围内，光子的量子态数量子态数五光子气体的热力学函数玻色粒子系统1巨配分函数取对23引入引入变量变量变量变量x=x=kTkT(kT/(kT/)dx=dx=d 引入变量x=kT(kT/)dx=d2425 光子气体的光子气体的内内 能能外界对系统的广义作用力外界对系统的广义作用力特例：特例：光子气体的光子气体的压强压强比较得比较得光子气体的熵光子气体的熵 令令 光子气体的熵随光子气体的熵随T0而趋于而趋于0符合热力学第三定律的要求符合热力学第三定律的要求光子气体的辐射通量密度光子气体的辐射通量密度光子气体的内能外界对系统的广义作用力特例：光子气26 8.4 8.4 玻色玻色玻色玻色-爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚本节讨论简并理想玻色气体在动量空间的凝聚问题。本节讨论简并理想玻色气体在动量空间的凝聚问题。考虑由个全同，近独立的玻色子组成的系统，温度为，考虑由个全同，近独立的玻色子组成的系统，温度为，体积为体积为 设粒子自旋为零，根据玻色分布，处在能级设粒子自旋为零，根据玻色分布，处在能级 l的粒子数为的粒子数为从上式可看出，这要求对所有能级从上式可看出，这要求对所有能级 l 均有均有 以以 0 表粒子的最低能级，这个要求也可以表达为表粒子的最低能级，这个要求也可以表达为显然，处在任一个能级的粒子都不能取负值。显然，处在任一个能级的粒子都不能取负值。说明：理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的能量。说明：理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的能量。8.4玻色-爱因斯坦凝聚本节讨论简并理27如果取最低能级为能量的零点即如果取最低能级为能量的零点即 0，则上式可以表为则上式可以表为化学势化学势 由公式由公式确定为温度确定为温度T及粒子数密度及粒子数密度n=N/V的函数。的函数。注意注意 l 和和 l 都与温度无关。都与温度无关。在粒子数密度在粒子数密度n给定的情形下，温度越低由上式确定的给定的情形下，温度越低由上式确定的 值值必然越高。必然越高。如果将上式的求和用积分代替，可将之表达为如果将上式的求和用积分代替，可将之表达为其中用了态密度的公式其中用了态密度的公式适用于热力学极限或能级适用于热力学极限或能级间距远小于间距远小于kT的情况的情况如果取最低能级为能量的零点即0，化学势由公式28化学势既随温度的降低而升高，当温度降到某一临界温度化学势既随温度的降低而升高，当温度降到某一临界温度T时，时，将趋于。将趋于。临界温度临界温度T由下式定出由下式定出这时趋于。这时趋于。利用积分利用积分因此对给定的粒子数密度因此对给定的粒子数密度n，临界温度，临界温度T为为化学势既随温度的降低而升高，当温度降到某一临界温度T时29温度低于时会出现什么现象呢？温度低于时会出现什么现象呢？温度越低时，化学式温度越低时，化学式 越高，但在任何温度下越高，但在任何温度下 必是负的必是负的化学势既随温度的降低而升高，化学势既随温度的降低而升高，TT时，时，仍趋于。仍趋于。改写为改写为第一项：第一项：n0(T)是温度为是温度为T时处在能级时处在能级 的粒子数密度，的粒子数密度，第二项：第二项：处在激发能级处在激发能级 的粒子数密度的粒子数密度n ，将积分代替求和时所产生的误差不可以忽略时，将积分代替求和时所产生的误差不可以忽略时，温度低于时会出现什么现象呢？温度越低时，化学式越高，但30计算第二项：计算第二项：利用积分利用积分处在激发能级处在激发能级 的粒子数密度的粒子数密度计算第二项：利用积分处在激发能级的粒子数密度31温度为温度为T时处在能级时处在能级 0的粒子数密度的粒子数密度 在在TC以下，以下，n0与与n具有相同的量具有相同的量级，级，n0随温度的变化如图所示随温度的变化如图所示表明：在表明：在TT时宏观量级的粒子在时宏观量级的粒子在能级能级 0凝聚凝聚1.01.00.80.80.60.60.40.40.20.2n0/nT/TC0温度为T时处在能级0的粒子数密度在TC以32在绝对零度下，粒子尽可能占据能量最低的状态在绝对零度下，粒子尽可能占据能量最低的状态 对于玻色粒子，一个个体量子态所能容纳的粒子数目不对于玻色粒子，一个个体量子态所能容纳的粒子数目不受限制受限制 绝对零度下，玻色粒子将全部处在绝对零度下，玻色粒子将全部处在 0的最低能级的最低能级 在在TT时宏观量级的粒子在能级时宏观量级的粒子在能级 0凝聚凝聚 这一现象称为这一现象称为玻色爱因斯坦凝聚玻色爱因斯坦凝聚玻色爱因斯坦凝聚玻色爱因斯坦凝聚，简称，简称玻色凝聚玻色凝聚玻色凝聚玻色凝聚 T称为凝聚温度称为凝聚温度 凝聚在凝聚在 0的粒子集合称为玻色凝聚体的粒子集合称为玻色凝聚体 凝聚体不但能量为零；动量也为零，对压强没有贡献凝聚体不但能量为零；动量也为零，对压强没有贡献 由于凝聚体的的微观状态完全确定，熵也为零由于凝聚体的的微观状态完全确定，熵也为零在绝对零度下，粒子尽可能占据能量最低的状态33在在TT时，理想玻色气体的内能是处在能级时，理想玻色气体的内能是处在能级 0的粒子的粒子能量的统计平均值能量的统计平均值 利用积分利用积分在TT时，理想玻色气体的内能是处在能级0的粒子能34定容热容量为定容热容量为表明：在表明：在TT时，理想玻色气体的定容热容量与时，理想玻色气体的定容热容量与T3/2成正比成正比 T=T时，理想玻色时，理想玻色气体的定容热容量达到最气体的定容热容量达到最大值大值1.925Nk.高温时，理想玻色气高温时，理想玻色气体的定容热容量应趋于经体的定容热容量应趋于经典值典值3/2Nk.理想玻色气体的定容理想玻色气体的定容热容量随温度的变化如图热容量随温度的变化如图所示所示.0.0/NkT/TC.0.0 在在T=T时的尖峰处，理想玻色气体的定容热容量连续时的尖峰处，理想玻色气体的定容热容量连续 但理想玻色气体的定容热容量对但理想玻色气体的定容热容量对T的偏导数存在突变的偏导数存在突变定容热容量为表明：在TkT金属中自由电子气体是高度简并的金属中自由电子气体是高度简并的8定义费米温度例如：铜的TF7.8104k.45（二）（二）（二）（二）1 T1 T0K0K时电子的分布时电子的分布时电子的分布时电子的分布根据温度为根据温度为T时时,处在能量为处在能量为 的一个量子态上的平均粒子数的一个量子态上的平均粒子数:时时 时时2 2 表示为图形为表示为图形为表示为图形为表示为图形为 时时 01f 1每一量子态上平均每一量子态上平均电子数大于电子数大于1/2每一量子态上平均每一量子态上平均电子数等于电子数等于1/2每一量子态上平均每一量子态上平均电子数小于电子数小于1/2函数按指数规律随函数按指数规律随 变变化，实际上只在化，实际上只在 附近数量级为附近数量级为kT的范围内，电子的分布与的范围内，电子的分布与T=0K时的分布有差异时的分布有差异（二）1T0K时电子的分布根据温度为T时,处在46 01f 1在在0K时，电子占据了从时，电子占据了从0到到(0)的每一个量子态的每一个量子态 温度升高时，电子有可能跃迁温度升高时，电子有可能跃迁到能量较高的未被占据的状态去到能量较高的未被占据的状态去但处在低能态的电子要跃迁到能量较高的未被占据的状态但处在低能态的电子要跃迁到能量较高的未被占据的状态去，必须吸取很大的能量，而这种可能性是很小的去，必须吸取很大的能量，而这种可能性是很小的 绝大多数状态的占据情况实际上并不改变绝大多数状态的占据情况实际上并不改变 只在只在 附近数量级为附近数量级为kT的能量范围内占据情况发生改变的能量范围内占据情况发生改变只有在只有在 附近，数量级为附近，数量级为kT的能量范围内的电子对热容量有的能量范围内的电子对热容量有贡献贡献 根据这一考虑可以粗略估计电子气体的热容量根据这一考虑可以粗略估计电子气体的热容量 在在 附近，数量级为附近，数量级为kT的能量范围内的对热容量有贡献的的能量范围内的对热容量有贡献的 有效电子数有效电子数01f1在0K时，电子占据了从0到(0)的47将能量均分定理应用于有效电子，每一有效电子对能量将能量均分定理应用于有效电子，每一有效电子对能量的贡献为的贡献为3kT/2，则金属中自由电子对热容量的贡献为，则金属中自由电子对热容量的贡献为在室温范围在室温范围金属中自由电子对热容量的贡献远小于经典理论的数值，金属中自由电子对热容量的贡献远小于经典理论的数值，与离子振动的热容量相比，电子的热容量可以忽略不计与离子振动的热容量相比，电子的热容量可以忽略不计现在对自由电子气体的热容量进行定量计算。现在对自由电子气体的热容量进行定量计算。电子数电子数N满足满足上式确定自由电子气体的化学势。上式确定自由电子气体的化学势。将能量均分定理应用于有效电子，每一有效电子对能量的贡献为48以上两式的积分都可写成下述形式以上两式的积分都可写成下述形式其中其中 分别为分别为 和和 ，常数，常数 电子气体的内能电子气体的内能U为为在右方第一项令在右方第一项令以上两式的积分都可写成下述形式其中49可得可得 在上式右方第二项中，已把积分上限都取作在上式右方第二项中，已把积分上限都取作。这是因为这是因为 /kT，而且因为被积函数分母中的，而且因为被积函数分母中的ex 因子因子使对积分的贡献主要来自使对积分的贡献主要来自x小的范围。小的范围。由于后一理由，可以将被积函数的分子展开为由于后一理由，可以将被积函数的分子展开为x的幂级数，的幂级数，只取到只取到x的一次项而得的一次项而得可得在上式右方第二项中，已把积分上限都取作50因此粒子数和内能可表为因此粒子数和内能可表为由上式得由上式得 当当T0时，时，得得 在第二项中用在第二项中用 kT/(0)代替代替kT/而得而得 因此粒子数和内能可表为由上式得当T0时，得在第二项中用51将上式代入内能表达式，将上式代入内能表达式，并作相应的近似，可得并作相应的近似，可得自由电子气体的内能自由电子气体的内能电子气体的定容热容量为电子气体的定容热容量为这结果与前面粗略分析的结果只有系数的差异。这结果与前面粗略分析的结果只有系数的差异。将上式代入内能表达式，并作相应的近似，可得自由电子气体的内能52 目前所述，在常温范围电子的热容量远小于离子振动的热目前所述，在常温范围电子的热容量远小于离子振动的热容量。容量。但在低温范围，离子振动的热容量按但在低温范围，离子振动的热容量按T3 随温度而减少；电随温度而减少；电子容量与子容量与T成正比，减少比较缓慢。成正比，减少比较缓慢。所以，在足够的温度下热容量就不能忽略。所以，在足够的温度下热容量就不能忽略。目前所述，在常温范围电子的热容量远小于离子振53