算数平均数几何课件

6.2 算术平均数与几何平均数 1基本不等式基本不等式 若若a，bR，则，则a2b2 2ab，当且，当且仅当仅当 时取时取“”号号 2均值不等式均值不等式 如果如果a，b是是 ，那么，那么 ，当且仅当，当且仅当ab时取时取“”号这一定理号这一定理又可叙述为：两个正数的又可叙述为：两个正数的 不不小于它们的小于它们的 .基础知识梳理基础知识梳理算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数ab正数正数基础知识梳理基础知识梳理1.不等式不等式a2b22ab与与ab2成立的条件为什么会有变化成立的条件为什么会有变化？【思考思考提示提示】两个不等式两个不等式是通过换元转化过来的，即设是通过换元转化过来的，即设a2x，b2y 3利用均值不等式求最大、利用均值不等式求最大、最小值问题最小值问题 (1)如果如果x，y(0，)，且，且xyp(定值定值)，那么当，那么当xy时，时，xy有最有最 值值 .(2)如果如果x，y(0，)，且，且xys(定值定值)，那么当，那么当xy时，时，xy有最有最 值值 .基础知识梳理基础知识梳理小小大大2.利用均值不等式求最值应注利用均值不等式求最值应注意什么条件？意什么条件？【思考思考提示提示】利用均值不利用均值不等式求最值，一定要注意使用的条等式求最值，一定要注意使用的条件：一正件：一正(各数为正各数为正)，二定，二定(和或积和或积为定值为定值)，三相等，三相等(等号在允许取值范等号在允许取值范围内能取到围内能取到)基础知识梳理基础知识梳理三基能力强化三基能力强化1已知已知ab0，a，bR，则下列，则下列式子总能成立的是式子总能成立的是()答案答案：DA充分非必要条件充分非必要条件 B必要非充分条件必要非充分条件C充要条件充要条件 D非充分非必要条件非充分非必要条件答案答案：B三基能力强化三基能力强化3若若x(e1,1)，alnx，b2lnx，cln3x，则，则()Aabc BcabCbac DbcQM BQPMCQMP DMQP课堂互动讲练课堂互动讲练跟踪训练跟踪训练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练证明不等式时，可依据求证两证明不等式时，可依据求证两端的式子结构，合理选择均值不等端的式子结构，合理选择均值不等式及其变形不等式来证式及其变形不等式来证课堂互动讲练课堂互动讲练考点二考点二利用均值不等式证明不等式利用均值不等式证明不等式同时要从整体上把握不等式，如：同时要从整体上把握不等式，如：a4b42a2b2，a2b2b2c22(ab)(bc)，都是对都是对“a2b22ab，a，bR”的灵活的灵活运用运用课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例2 2课堂互动讲练课堂互动讲练【思维总结思维总结】利用算术平均数利用算术平均数与几何平均数的定理证明不等式，关与几何平均数的定理证明不等式，关键是所证不等式中必须具有键是所证不等式中必须具有“和和”式或式或“积积”式，通过将式，通过将“和和”式转化为式转化为“积积”式或式或将将“积积”式转化为式转化为“和和”式，从而达到放式，从而达到放缩的效果必要时，也需要运用缩的效果必要时，也需要运用“拆、拆、拼、凑拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用的技巧，同时应注意多次运用定理时等号能否取到定理时等号能否取到课堂互动讲练课堂互动讲练2请你把上述不等式推广到一般请你把上述不等式推广到一般情形，并证明你的结论情形，并证明你的结论课堂互动讲练课堂互动讲练互动探究互动探究课堂互动讲练课堂互动讲练用均值不等式求函数的最值时，关用均值不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项的和或积，使键在于将函数变形为两项的和或积，使这两项的和或积或平方和为定值，然后这两项的和或积或平方和为定值，然后用均值不等式求出最值；在求条件最值用均值不等式求出最值；在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数的最时，一种方法是消元，转化为函数的最值，另一种方法是把求最值的表达式变值，另一种方法是把求最值的表达式变形，然后用均值不等式使要求最值的表形，然后用均值不等式使要求最值的表达式放缩为一个定值不管哪种题，哪达式放缩为一个定值不管哪种题，哪种方法，在用均值不等式求最值时都必种方法，在用均值不等式求最值时都必须要验证等号成立的条件须要验证等号成立的条件课堂互动讲练课堂互动讲练考点三考点三利用均值不等式求最值（或值域）利用均值不等式求最值（或值域）课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例3 3课堂互动讲练课堂互动讲练【思维总结思维总结】利用算术平均数利用算术平均数与几何平均数的定理求代数式的最值，与几何平均数的定理求代数式的最值，关键是合理使用关键是合理使用“拆、拼、凑拆、拼、凑”的技巧，的技巧，得到满足得到满足“正、定、等正、定、等”三个条件的式三个条件的式子对于含分母的式子，常常采用分子对于含分母的式子，常常采用分离变量的方法，而分离变量常使用平离变量的方法，而分离变量常使用平方差公式，这样可以简化运算过程方差公式，这样可以简化运算过程有时候为了简化分母还可以对分母进有时候为了简化分母还可以对分母进行代换行代换课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练互动探究互动探究课堂互动讲练课堂互动讲练在实际应用问题中求最值时，在实际应用问题中求最值时，应先将要求最值的量表示为某个变应先将要求最值的量表示为某个变量的函数，然后利用不等式的知识量的函数，然后利用不等式的知识和方法求出该函数的最值和方法求出该函数的最值课堂互动讲练课堂互动讲练考点四考点四利用均值不等式解决实际问题利用均值不等式解决实际问题课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例4 4 (满分展示满分展示)(本题满分本题满分12分分)某厂花费某厂花费50万元买回一台机器，这万元买回一台机器，这台机器投入生产后每天要付维修费，已台机器投入生产后每天要付维修费，已元机器从投产到报废共付的维修费与元机器从投产到报废共付的维修费与购买机器费用的和均摊到每一天，叫做购买机器费用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗，当平均损耗达到最小每天的平均损耗，当平均损耗达到最小值时，机器应当报废值时，机器应当报废 (1)将每天平均损耗将每天平均损耗y(元元)表示为投产表示为投产天数天数x的函数；的函数；(2)求机器使用多少天应当报废？求机器使用多少天应当报废？【思路分析思路分析】认真审题，理解认真审题，理解维修费的计算方法，表示出维修费，维修费的计算方法，表示出维修费，然后写出平均损耗的表达式，化简之然后写出平均损耗的表达式，化简之后利用基本不等式求出平均损耗的最后利用基本不等式求出平均损耗的最小值，从而得到机器的使用天数小值，从而得到机器的使用天数课堂互动讲练课堂互动讲练【解解】(1)机器投产机器投产x天，每天的天，每天的平均损耗是平均损耗是课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【误区警示误区警示】本题易出现忽略本题易出现忽略验证等号是否成立的错误验证等号是否成立的错误课堂互动讲练课堂互动讲练4(本小题满分本小题满分12分分)某单位决定某单位决定投资投资3200元建一仓库元建一仓库(长方体状长方体状)，高，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁棚，每米长造价正面用铁棚，每米长造价40元，两侧元，两侧墙砌砖，每米长造价墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平元，顶部每平方米造价方米造价20元试计算：元试计算：(1)仓库面积仓库面积S的最大允许值是多的最大允许值是多少？少？(2)为使为使S达到最大，而实际投资达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁棚应设计又不超过预算，那么正面铁棚应设计为多长？为多长？课堂互动讲练课堂互动讲练高考检阅高考检阅解：设铁棚长为解：设铁棚长为x米，一堵砖墙长米，一堵砖墙长为为y米，米，则有则有Sxy.2分分由题意得由题意得40 x245y20 xy3200.4分分课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练2在运用均值不等式时，要特别在运用均值不等式时，要特别注意注意“拆、拼、凑拆、拼、凑”等技巧，使其满足等技巧，使其满足均值不等式中均值不等式中“正正”(条件要求中字母为条件要求中字母为正数正数)、“定定”(不等式的一边必须为一不等式的一边必须为一定值定值)、“等等”(等号取得的条件等号取得的条件)的条件的条件规律方法总结规律方法总结3正确理解定理：正确理解定理：“和定积最大，和定积最大，积定和最小积定和最小”4连续使用以上两个公式中的任连续使用以上两个公式中的任一个，或两个，取等号的条件很严格，一个，或两个，取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致在且一致的单调性与极值的单调性与极值(或值域或值域)要了解，并能要了解，并能在解题时灵活运用，特别是当问题不在解题时灵活运用，特别是当问题不能满足均值不等式的条件之一能满足均值不等式的条件之一“三相等三相等”时时规律方法总结规律方法总结随堂即时巩固随堂即时巩固点击进入点击进入课时活页训练课时活页训练点击进入点击进入