简谐振动22简谐振动的合成课件

2-2-1 1 简谐振动简谐振动 2-2-2 2 简谐振动的合成简谐振动的合成 2-3 2-3 波的描述波的描述 2-4 2-4波的衍射和干涉波的衍射和干涉 2-5 2-5声波及超声波的生物效应声波及超声波的生物效应 广义：物理量在某一定值附近反复变化即为振动。广义：物理量在某一定值附近反复变化即为振动。机械振动：物体在某一位置附近往复运动机械振动：物体在某一位置附近往复运动复杂振动复杂振动 =若干个简谐振动的合成若干个简谐振动的合成研究目的研究目的 利用、减弱利用、减弱 或或 消除消除振动频率振动频率周期振动：物理量每隔一固定的时间间隔其数值重复一次周期振动：物理量每隔一固定的时间间隔其数值重复一次一、描述简谐振动的特征量一、描述简谐振动的特征量X0 x令令2.1 简谐振动简谐振动质量可忽略的弹簧，一质量可忽略的弹簧，一端固定，一端系一有质端固定，一端系一有质量的物体，称此系统为量的物体，称此系统为弹簧振子。弹簧振子。建建 立立 如如 图的图的 坐坐 标系标系 物物体体 质质 量量 m,坐坐 标标 x 所所 受受 回回 复复 力力 为为 F.此方程的通解为：此方程的通解为：物理量随时间的变化规律可以用正弦、余弦函物理量随时间的变化规律可以用正弦、余弦函数描述，称之为简谐振动。数描述，称之为简谐振动。上式称之为上式称之为 简谐简谐 振振 动表动表 达式（简谐函数或振动方程）达式（简谐函数或振动方程）简谐振动的动力学特征方程简谐振动的动力学特征方程简谐振动的动力学条件简谐振动的动力学条件A 振幅振幅 T 周期周期谐振动的特征量谐振动的特征量 初相位初相位相位相位频率频率1、2、圆频率又称圆频率又称固有圆频率固有圆频率3、确定物体振动状态的物理量确定物体振动状态的物理量简谐振动的各简谐振动的各阶导数也都作阶导数也都作简谐振动简谐振动二二、简谐运动的速度和加速度简谐运动的速度和加速度简谐振动的运动学特征方程简谐振动的运动学特征方程三、三、振振 动动 曲曲 线线 旋转矢量旋转矢量t A-AAttA21.振振 动动 曲曲 线线建立如图坐标系，以平衡位置为坐标建立如图坐标系，以平衡位置为坐标原点。物体坐标为原点。物体坐标为 x,所受的弹性回所受的弹性回复力为复力为 f 和重力和重力 mg 例：例：xxmg物体的质量为物体的质量为 m,弹簧的劲弹簧的劲度系数为度系数为 k。其静止变形其静止变形手拉物体后无初速地释放，确定物手拉物体后无初速地释放，确定物体的运动规律体的运动规律。在平衡位置处在平衡位置处物体受的合力：物体受的合力：例、单摆例、单摆1、细线质量不计、细线质量不计3、阻力不计、阻力不计约约定定摆角在作简谐振动摆角在作简谐振动 固有固有 园频率园频率mgT0质点质点 m 受力如图重力矩：受力如图重力矩：根据质点的动量距定理根据质点的动量距定理设初始条件设初始条件 振幅和振幅和初相初相=？3.3.简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法 采用旋转采用旋转矢量法，可直矢量法，可直观地领会简谐观地领会简谐振动表达式中振动表达式中各个物理量的各个物理量的意义。意义。旋转矢量旋转矢量:一长度等于振幅一长度等于振幅A 的矢量的矢量 在纸平面在纸平面内绕内绕O点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角频率相等，这个矢量称为旋转矢量。频率相等，这个矢量称为旋转矢量。振动相位振动相位逆时针方向逆时针方向 M 点在点在 x 轴上投影轴上投影(P点点)的运动的运动规律规律：的长度的长度 旋转的角速度旋转的角速度旋转的方向旋转的方向与参考方向与参考方向x 的夹角的夹角XOM P x振幅振幅A振动圆频率振动圆频率 t0绕绕O点以角速度点以角速度 逆时针旋转的矢量逆时针旋转的矢量 ，在在x 轴上的投影正好描述了一个简谐振动。轴上的投影正好描述了一个简谐振动。振幅矢量振幅矢量 t+相位相位旋转矢量旋转矢量 速度、加速度的旋转矢量表示法：速度、加速度的旋转矢量表示法：沿沿X 轴的投影轴的投影为简谐运动的速度、为简谐运动的速度、加速度表达式加速度表达式。M 点点:两个同频率的简谐运动：两个同频率的简谐运动：相位之差为相位之差为采用旋转矢量直观表示为：采用旋转矢量直观表示为：同相同相反相反相已知简谐振动表达已知简谐振动表达xA(0)A试画出振动曲线试画出振动曲线0 tx例题例题1一质点沿一质点沿x 轴作简谐运动轴作简谐运动，A=0.12 m，T=2s，当当t=0时质点在平衡位置的位移时质点在平衡位置的位移 x0=0.0 6m 向向x 轴正向运动。轴正向运动。求：（求：（1）简谐运动表达式；）简谐运动表达式；（2）t=T/4 时，质点的位置、速度、加速度时，质点的位置、速度、加速度；（3）第一次通过平衡位置的时刻）第一次通过平衡位置的时刻。解：解：（1）A/2?例题例题2（2）t=T/4 时，质点的位置、速度、加速度；时，质点的位置、速度、加速度；返回返回10（3）第一次通过平衡位置的时刻。）第一次通过平衡位置的时刻。振幅矢量旋转角度振幅矢量旋转角度问题转化为：已知旋转问题转化为：已知旋转2 需要需要T 时时间，问旋转间，问旋转 5 /6 需要多少时间？需要多少时间？还可以求还可以求“第二次第二次”旋转角度旋转角度11 /6平衡平衡位置位置返回返回10X0 x动能动能势能势能m惯性质量惯性质量单摆的能量单摆的能量LC 电路电路的能量的能量四、简谐振动的能量四、简谐振动的能量X能量随时间变化能量随时间变化能量随空间变化能量随空间变化 胡玉才：e-mail 五、阻尼振动五、阻尼振动五、阻尼振动五、阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振1.阻尼振动阻尼振动 振振动动物物体体不不受受任任何何阻阻力力的的影影响响，只只在在回回复复力力作作用用下所作的振动，称为下所作的振动，称为无阻尼自由振动无阻尼自由振动。在回复力和阻力作用下的振动称为在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动阻尼振动。阻尼：阻尼：消耗振动系统能量的原因消耗振动系统能量的原因。阻尼种类：摩擦阻尼阻尼种类：摩擦阻尼 辐射阻尼辐射阻尼阻尼振动的准周期性阻尼振动的准周期性 减幅振动减幅振动 阻尼振动不是周期性振动，更不是简谐振动，因阻尼振动不是周期性振动，更不是简谐振动，因位移不是时间的周期函数。但阻尼振动有某种重复性。位移不是时间的周期函数。但阻尼振动有某种重复性。位移相继两次达到极大值的时间间隔叫做位移相继两次达到极大值的时间间隔叫做阻尼振阻尼振动的周期动的周期，有，有显而易见，由于阻尼，振动变慢了。显而易见，由于阻尼，振动变慢了。阻尼振动的振幅为：阻尼振动的振幅为：振幅随时间作指数衰减。阻尼振幅随时间作指数衰减。阻尼 大小决定了阻尼大小决定了阻尼振动振幅的衰减程度。振动振幅的衰减程度。阻尼振动的三种情形：阻尼振动的三种情形：临界阻尼临界阻尼过阻尼过阻尼欠阻尼欠阻尼欠阻尼欠阻尼过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼 通过控制阻尼的通过控制阻尼的大小，以满足不同实大小，以满足不同实际需要。际需要。2.受迫振动受迫振动 共振共振物体在物体在周期性外力周期性外力的持续作用下发的持续作用下发生的振动称为生的振动称为受迫振动受迫振动。共振共振共振共振 对对于于受受迫迫振振动动，当当外外力力幅幅值值恒恒定定时时，稳稳定定态态振振幅幅随随驱驱动动力力的的频频率率而而变变化化。当当驱驱动动力力的的角角频频率率等等于于某某个个特特定定值值时时，位位移移振振幅幅达达到最大值的现象称为位移共振。到最大值的现象称为位移共振。阻尼阻尼=0=0阻尼较小阻尼较小阻尼较大阻尼较大根据根据共振共振 受受迫迫振振动动速速度度在在一一定定条条件件下下发发生生共共振振的的的的现现象象称为称为速度共振速度共振。根据根据共振共振 在在阻阻尼尼很很小小的的前前提提下下，速速度度共共振振和和位位移移共共振振可可以以认为等同。认为等同。阻尼阻尼=0=0阻尼较小阻尼较小阻尼较大阻尼较大 代数方法：设两个振动具有相同频率，代数方法：设两个振动具有相同频率，同一直线上运动，有不同的振幅和初相位同一直线上运动，有不同的振幅和初相位2.2 简谐振动的合成简谐振动的合成一一、同方向同频率的简谐振动的合成同方向同频率的简谐振动的合成 结论：仍仍然然是是同同频频率率的的简简谐谐振振动动。合振幅合振幅式中：式中：可见：可见：合振幅最大。合振幅最大。几何方法几何方法(旋转矢量图示法旋转矢量图示法)上面得到：上面得到：讨论一：讨论一：合振幅最大。合振幅最大。当当 讨论二：讨论二：当当 讨论三：讨论三：一般情况：一般情况：二二.相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成1.同频率同频率xy0这是椭圆方程，质点的轨这是椭圆方程，质点的轨迹一般是个斜椭圆。迹一般是个斜椭圆。讨论几个特例讨论几个特例 11 12xy0 xy0y 超前超前 /2，轨迹顺时针轨迹顺时针右旋。右旋。y 落后落后 /2，轨迹顺时针轨迹顺时针左旋。左旋。几种特殊情况：几种特殊情况：QP .2、如果两个互相垂直的振动频率成整数比，如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。称为李萨如图形。用李萨如图形用李萨如图形在无线电技术在无线电技术中可以测量频中可以测量频率：率：在示波器上，垂直方向与水平方向同时在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。形去比较，就可得知另一个未知的频率。1:21:32:3几幅典型的利萨如图形几幅典型的利萨如图形2-3 波的描述波的描述一、机械波的传播一、机械波的传播机械波产生的条件机械波产生的条件:弹性介质和波源弹性介质和波源弹性介质弹性介质:是指由弹性力组合的连续介质。是指由弹性力组合的连续介质。波动：振动的传播（振动状态的传播）波动：振动的传播（振动状态的传播）机械波：机械振动在媒质中的传播。机械波：机械振动在媒质中的传播。0纵纵波波横横波波振动方向与传播方向垂直振动方向与传播方向垂直振动方向与传播方向一致振动方向与传播方向一致水波水波质元在自己的平衡位置附近振动，并不迁移质元在自己的平衡位置附近振动，并不迁移2.波的几何描述波的几何描述波面波面：同位相各点所组成面（位相差为零）：同位相各点所组成面（位相差为零）波前波前：离波源最远即最前方的波面：离波源最远即最前方的波面波线波线：表明波传播方向的线：表明波传播方向的线在均匀且各向同性的媒质中在均匀且各向同性的媒质中波线与波面始终是垂直的波线与波面始终是垂直的SS1S2球面波：波前为球面球面波：波前为球面平面波：波前为平面平面波：波前为平面3.波的特征量波的特征量(1)波速波速 u=跟踪某一相位，沿波线方向相位跟踪某一相位，沿波线方向相位传播的速度传播的速度.它与媒质的性质有关它与媒质的性质有关媒质波的种类温度波速（m/s)空气纵波 0 331.520.0 342.4 100 386氧水铜铁砖纵波纵波横波横波 0 317.2 13 144031 1500横波 15-20 3570100 5300室温室温 3652波在各种媒质中的传播速度波在各种媒质中的传播速度波在各种媒质中的传播速度波在各种媒质中的传播速度波速波速单位时间某种一定的振动状态单位时间某种一定的振动状态(或振动相位或振动相位)所传播的距离称为波速所传播的距离称为波速 ，也称之相速，也称之相速。Y Y 杨氏弹性模量杨氏弹性模量 体密度体密度固固体体中中N N 切变模量切变模量 N N Y Y 横波横波x1 =x2x1(10 t+6x2)(10 t+6x1)=2 =x2x1 =/3T：每个质元作一次完全振动（相位增加每个质元作一次完全振动（相位增加2）的时间）的时间X点：点：t1t2 时间内相位改变了时间内相位改变了2 (10 t2+6x)(10 t1+6x)=2 t2t1=/5（2）波谷经过原点的时刻）波谷经过原点的时刻解：解：（2）y=0.02cos(10t+6x)t=0 时波形图时波形图Oxy0.02原点原点 y =0.02cos10t波谷经过原点波谷经过原点 y(0,t)=0.02t=(2k+1)/10 k=0，1,（3）t=6 s时各波峰的位置时各波峰的位置t=6sy=0.02cos(60+6x)波峰波峰 y=0.02X=(k/3)10oyxu思考题思考题tyo求求O点的初相点的初相求振动的初相求振动的初相yx=0y2-4 波的衍射和干涉波的衍射和干涉一、惠更斯原理一、惠更斯原理波传播时，任一波阵面上的每一点都可以看作波传播时，任一波阵面上的每一点都可以看作发射子波的点波源，以后任意时刻，这些子波发射子波的点波源，以后任意时刻，这些子波的包迹就是该时刻的波阵面。的包迹就是该时刻的波阵面。球面波球面波平面波平面波二、波的衍射二、波的衍射当障碍物的线度接近光的波长，衍射现象尤当障碍物的线度接近光的波长，衍射现象尤其显著。其显著。衍射衍射：波能绕过障碍物的边缘继续前进的现象：波能绕过障碍物的边缘继续前进的现象三、波的干涉三、波的干涉1.波的叠加原理波的叠加原理 在各个波重叠处在各个波重叠处,质点的振动质点的振动位移是各个波单独存在时在时在该位移是各个波单独存在时在时在该点引起振动位移的矢量和点引起振动位移的矢量和.2.波的干涉波的干涉现象现象：几列波叠加时产生强度的稳定分布：几列波叠加时产生强度的稳定分布波的相干条件：波的相干条件：频率相同，振动方向相同，相差恒定。频率相同，振动方向相同，相差恒定。s1s2r1r2pP点相位差：相位差：合振动：合振动：合振幅：合振幅：强度：强度：（强度最大）干涉相长：（强度最大）干涉相长：（强度最小）干涉相消：（强度最小）干涉相消：时，波程差时，波程差强度最大强度最大强度最小强度最小四、四、波的能量波的能量一一.弹性波的能量弹性波的能量 能量密度能量密度 振动动能振动动能 形变势能形变势能 +=波的能量波的能量1 1 弹性波的能量密度弹性波的能量密度(以细长棒为例以细长棒为例)动能动能动能密度动能密度 势能密度势能密度棒中有纵波时棒中有纵波时能量密度能量密度2 2 平面简谐波的能量密度平面简谐波的能量密度(x,t)=Acos(t-kx)能量密度能量密度wk、w p均随均随 t 周期性周期性变化变化(1)固定固定x 物理意义物理意义 w k=w p(2)固定固定twk、w p随随x周期分布周期分布=0w k w p最大最大 最大最大 wk w p为为 0o xwkwpt=t0u(1/4)2A2o Ttwkwpx=x0(1/4)2A23.3.能流能流(能通量能通量)、波的强度、波的强度（1 1）能流能流(能通量能通量)能流能流:单位时间内通过某单位时间内通过某 一面的能量。一面的能量。平均能流平均能流（2 2）能流密度）能流密度垂直于传播方向的单位面积的能流垂直于传播方向的单位面积的能流Sxudt能流密度的时间平均值能流密度的时间平均值平面简谐波平面简谐波平面简谐波平面简谐波w u=u 2A2sin2(t-kx)波的强度波的强度S平面简谐波沿平面简谐波沿 x 方向传播，媒质不吸收能量方向传播，媒质不吸收能量S1S2球面波球面波（1）声波）声波机械纵波机械纵波可闻声波可闻声波 ：20 Hz-20000Hz次声波次声波 ：20000Hz一、声波一、声波2-2-5 声波及超声波的生物效应声波及超声波的生物效应（2）声强：声波的能流密度）声强：声波的能流密度（3）声强级声强级单位：贝尔（单位：贝尔（Bel）单位：单位：分贝（分贝（dB）人耳能忍受的最大声强人耳能忍受的最大声强人耳有听觉的最小声强人耳有听觉的最小声强引起听觉的声波的声强范围：引起听觉的声波的声强范围：10-12 w/m21 w/m2 标准声强标准声强闹市车声闹市车声 70分贝分贝 响响 通常说话通常说话 60分贝分贝 正常正常室内轻声收音机室内轻声收音机 40分贝分贝 轻轻轻轻耳语耳语 20分贝分贝 轻轻树叶沙沙声树叶沙沙声 10分贝分贝 极轻极轻二、超声波与次声波及其生物效应二、超声波与次声波及其生物效应超声波特点：频率高、波长短、衍射不严重超声波特点：频率高、波长短、衍射不严重1、定向传播特性、定向传播特性探测水中物体、工件内部缺陷探测水中物体、工件内部缺陷 、B超超2、穿透本领大、穿透本领大2.次声波次声波(亚声波）亚声波）与地球、海洋及大气的大规模运动有关。如火山爆发、地震、与地球、海洋及大气的大规模运动有关。如火山爆发、地震、大气湍流等都有次声波产生大气湍流等都有次声波产生特点：频率低、能量损失少。特点：频率低、能量损失少。