第四稳恒磁场剖析课件

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第四章第四章 稳恒磁场稳恒磁场1 1 磁的基本现象和基本规律磁的基本现象和基本规律2 2 载流回路的磁场载流回路的磁场3 3 磁场的磁场的“高斯定理高斯定理”与安培环路定理与安培环路定理4 4 磁场对载流导线的作用磁场对载流导线的作用5 5 带电粒子在带电粒子在磁场磁场中的运动中的运动1 1 磁的基本现象和基本规律磁的基本现象和基本规律1.磁现象研究发展概要磁现象研究发展概要 18201820年之前,磁学和电学是独立的学科,年之前,磁学和电学是独立的学科,人们认为磁和电是没有关系的物理问题。库人们认为磁和电是没有关系的物理问题。库仑甚至断言电和磁是完全不同的实体,不可仑甚至断言电和磁是完全不同的实体,不可能互相转化。由于库仑的影响,长时间内上能互相转化。由于库仑的影响,长时间内上述观点被人们所信奉。安培也曾认为库仑的述观点被人们所信奉。安培也曾认为库仑的观点是正确的。观点是正确的。丹麦人丹麦人奥斯特坚信电和磁是统一的观点,经过二奥斯特坚信电和磁是统一的观点,经过二十年努力,终于在十年努力,终于在1860年发现了年发现了电流的磁效应电流的磁效应。随后的随后的半年半年,法国阿拉果、安培、毕奥、萨伐尔,法国阿拉果、安培、毕奥、萨伐尔 、拉普拉斯对拉普拉斯对稳恒电流的磁场进行了研究,即基本建立稳恒电流的磁场进行了研究,即基本建立了电流磁场的知识体系。电学、磁学合并成为一个新了电流磁场的知识体系。电学、磁学合并成为一个新的学科:的学科:电磁学电磁学2.磁的基本现象磁的基本现象(不同磁作用形式)(不同磁作用形式)(1)磁铁磁铁 磁铁磁铁天然磁铁:天然磁铁:Fe3O4人工磁铁人工磁铁:铷铁硼合金 钴镆合金 物质成分物质成分条条形形磁磁铁铁的的两两端端磁磁性性强强,称称作作磁磁极极,中部磁性弱,称作中部磁性弱,称作中性区中性区磁铁分区磁铁分区中性区中性区磁极磁极指南针指南针指南指南原理原理SN作用规律:同性相斥、异性相吸作用规律:同性相斥、异性相吸(2)电流)电流 磁铁(奥斯特实验)磁铁(奥斯特实验)实验现象实验现象实验结论实验结论电流对磁铁有作用电流对磁铁有作用分析分析电电流流方方向向变变化化、磁磁针转动方向也变化针转动方向也变化 对对比比磁磁铁铁间间的的作作用用,电电 流产生了磁。流产生了磁。电流的电流的本质本质是是运动的电荷运动的电荷 运动的运动的电电荷产生荷产生磁磁场场磁与电的关系磁与电的关系问题问题 电流对磁铁有作用,磁铁对电流是否有作用?电流对磁铁有作用,磁铁对电流是否有作用?II实验实验I=0N 极向内极向内结论结论载载流流导导线线和和磁磁铁铁具具有相同的磁特性有相同的磁特性(3)电流)电流 电流电流(应该存在作用力应该存在作用力)实验实验IIII结论结论同向电流相吸同向电流相吸异向电流相斥异向电流相斥问题问题载流导体也具有磁极载流导体也具有磁极?磁铁磁铁 磁铁磁铁 磁作用具有极性特点磁作用具有极性特点电流电流 电流电流 磁作用具有极性特点磁作用具有极性特点载流螺线管磁极的确定方法:载流螺线管磁极的确定方法:右手法则右手法则载流螺线管载流螺线管与磁铁的作用与磁铁的作用NSIINS电流电流 总结:各种磁作用总结:各种磁作用磁铁磁铁 磁铁磁铁电流电流分析分析电荷之间的相互作用力通过电荷之间的相互作用力通过电场电场来传递来传递上述各种作用应该具有相同的作用机理上述各种作用应该具有相同的作用机理上述各种作用也应该通过上述各种作用也应该通过场场来传递来传递3.磁场磁场磁场磁场这种场就是这种场就是磁场磁场问题问题磁铁磁铁 磁场磁场电流电流 磁场磁场是是一种一种?还是还是两种两种产生方式产生方式分析分析载流螺线管载流螺线管条形磁铁条形磁铁实验表明实验表明:磁性磁性特征相同特征相同产生磁场的源应该相同产生磁场的源应该相同环向电流环向电流环向电流环向电流18221822安安培培提提出出:组组成成磁磁铁铁的的最最小小单单元元(磁磁分分子子)就就是是环环形形电电流流,这这些些分分子子环环流流定定向向排排列列,在在宏宏观观上上就会显示出就会显示出N、S极。极。安培分子安培分子环流假说环流假说图示图示NS磁铁内部分子电流抵消磁铁内部分子电流抵消等效宏观表面电流等效宏观表面电流为什么是假说?为什么是假说?安培提出了分子环流,但在安培时代,还没有建立安培提出了分子环流,但在安培时代,还没有建立物质的分子、原子模型。因此,安培的模型为假说。物质的分子、原子模型。因此,安培的模型为假说。现代观点现代观点物质组成:分子、原子物质组成:分子、原子原子:原子核(正电)原子:原子核(正电)+电子(负电)电子(负电)电子:绕核旋转,自旋电子:绕核旋转,自旋分子环流分子环流经典模型经典模型磁场的本源磁场的本源相互作用模型相互作用模型的统一的统一运动运动的电荷的电荷导线中的传导电流导线中的传导电流磁铁中的分子环流磁铁中的分子环流电流电流 分子分子环流环流 电流电流磁场磁场传导传导电流电流 分子分子环流环流 传导传导电流电流 库仑力库仑力磁力磁力的区别的区别运动的电荷之间运动的电荷之间静止、相对运动电荷之间静止、相对运动电荷之间3.安培定律安培定律 库仑力、磁力库仑力、磁力对比对比 定量描定量描述定律述定律磁作用力磁作用力库仑力库仑力库仑定律库仑定律?定律定律地位地位基本规律基本规律高斯高斯 环路环路(应该为)基本规律(应该为)基本规律?研究研究方法方法点电荷点电荷模型模型分割、分割、叠加叠加电流元电流元模型模型分割、叠加分割、叠加研究研究难易难易相对简单相对简单相对复杂相对复杂 电流元电流元闭合回路闭合回路回路形状回路形状3.安培定律安培定律 研究内容:研究内容:两个两个电流元电流元之间的磁相互作用力之间的磁相互作用力研研究究过过程程:不不同同于于库库仑仑定定律律的的发发现现,安安培培没没有有能能 直直接接通通过过实实验验得得到到电电流流元元之之间间磁磁相相互互 作用力。作用力。(原因?)(原因?)安安 培培 提提 出出 了了 一一 个个 假假 设设,设设 计计 了了 四四 个个实实验验,根根据据实实验验结结果果,通通过过数数 学分析学分析得到了安培定律。得到了安培定律。I1I2实验二实验二矢量和矢量和安培的四个安培的四个示零示零实验实验 无定向秤无定向秤实验一实验一电流反向电流反向实验三:作用力方向实验三:作用力方向IIIIII实验四:作用力与几何尺度实验四:作用力与几何尺度C弧形导体弧形导体水银槽水银槽垂直结构垂直结构固定绝缘柄固定绝缘柄运动限制运动限制d1:d2=1:nd1d2R1:R2:R3=:1:n1nF?安安 培培 假假 设设:两两 个个 电电 流流 元元 之之 间间 的的 相相 互互 作作 用用 力力 沿它们的连线沿它们的连线安培定律数学表达:安培定律数学表达:安培安培最初最初的数学表达式的数学表达式错误之一:错误之一:作用力沿电流元之间的连线作用力沿电流元之间的连线正确的正确的安培定律数学表达式安培定律数学表达式该公式与安培实验结果相符(自行验证)该公式与安培实验结果相符(自行验证)安培定律数学安培定律数学表达式说明表达式说明I1I2dF12与电流元空间位置的关系与电流元空间位置的关系dF12垂直垂直 在平面在平面I内内垂直垂直平面平面 IdF12与电流元参量(与电流元参量(I1 dl1,I2 dl2)之间的关系之间的关系平面平面 I对比对比库仑定律库仑定律问题:问题:dF12的最大值条件?的最大值条件?电流元与连线垂直电流元与连线垂直且在同一平面且在同一平面k 的取值的取值dF21的表达式的表达式问题:问题:库仑定律有文字表述,为什么安培定律库仑定律有文字表述,为什么安培定律 没有文字表述?没有文字表述?量纲量纲数值数值安培定律分析平行电流元受力安培定律分析平行电流元受力 同向电流相互吸引同向电流相互吸引 相同分析:反向电流相互排斥相同分析:反向电流相互排斥zxy安培定律分析垂直电流元受力安培定律分析垂直电流元受力 电流元磁作用电流元磁作用不满足不满足牛顿第三定律牛顿第三定律问题:磁作用不满足牛顿第三定律?本节思考题问题:磁作用不满足牛顿第三定律?本节思考题3zxy4.磁感应强度矢量磁感应强度矢量 (1)通过与电场强度的通过与电场强度的对比对比引入磁感应强度矢引入磁感应强度矢量量 点电荷电场强度的引入点电荷电场强度的引入两点电荷之间的库仑力两点电荷之间的库仑力将将 q2看看 作作 试试 探探 电电 荷荷,电电 场由场由q1产生产生 电流元磁感应强度的引入电流元磁感应强度的引入两电流元之间的安培力两电流元之间的安培力将将 看看作作试试探探电电流流元元,磁场由磁场由 产生产生(2)产生产生 说明说明特性:特性:大小大小与电流元、场点之间的距离与电流元、场点之间的距离平方成反比平方成反比方方向向由由 决决定定,即即与与电电流流元元取取向向、场场点空间点空间位置位置有关。有关。确定确定 方向的方向的另一方法另一方法:与电流方向与电流方向 满足满足右手关系右手关系。Bdr(3)闭合载流回路的磁感应强度闭合载流回路的磁感应强度 矢量叠加原理矢量叠加原理 两电流元:两电流元:电流元与闭合回路:电流元与闭合回路:(4)电流元电流元 dl 与闭合载流回路与闭合载流回路L 的作用力的作用力IL(5)电流元电流元 I dl 在任意在任意 B 中的受中的受力力 (a)电流元受力大小与取向有关(不同于点电荷)电流元受力大小与取向有关(不同于点电荷)(b)dl B 时,时,dF 最大最大 (6)B 的广义定义的广义定义 B大小:大小:B方向:方向:dF=0时电流元的取向时电流元的取向,两个:两个:=0,=0,再由再由唯一确定唯一确定(见图见图)(7)B 的单位的单位 量纲量纲单位单位特斯拉特斯拉(T),高斯(高斯(Gs)换算关系:换算关系:1 T=104 Gs说明说明 高高斯斯不不是是MKSA有有理理制制单单位位(国国际际单单位位制制中中的的电电磁磁学学部部分分),特特斯斯拉拉是是MKSAMKSA有理制有理制四个基本量:米,千克,秒,安培四个基本量:米,千克,秒,安培其他电磁学量均为导出量其他电磁学量均为导出量是是电电磁磁学学发发展展中中的的历历史史“错错误误”。在在早早期期磁磁学学研研究究中中,用用磁磁场场强强度度衡衡量量天天然然磁磁铁铁产产生生的的磁磁场场强弱。由分子电流解释的磁场产生时:强弱。由分子电流解释的磁场产生时:(8)B 的的 名称说明名称说明 电流产生磁场电流产生磁场 B磁感应强度磁感应强度磁场强度磁场强度?电场强度电场强度电荷产生电场电荷产生电场 EElectric field intensityMagnetic induction intensity HMagnetic field intensity D E B H(包包含含介介质质电电荷荷、电电流流产生的电场、磁场产生的电场、磁场)(9)磁感应线磁感应线(B 线)线)引入引入B 线作用线作用:(与电力线作用相同)(与电力线作用相同)B 线定义线定义:直观直观地描述磁场的地描述磁场的空间分布空间分布大大小小:穿穿过过单单位位面面积积的的磁磁感感应应线线根根数数 (或磁通量,后面讲授)(或磁通量,后面讲授)方向:方向:磁感应线磁感应线上上每一点每一点的切线方向;的切线方向;线密集:线密集:B强强 线稀疏:线稀疏:B弱弱B 线特征线特征:闭闭合合(后后面面证证明明)1.毕奥毕奥-萨伐尔定律萨伐尔定律静电场中,由电荷求电场静电场中,由电荷求电场没有没有命名对应的定律命名对应的定律稳恒磁场中,由电流求磁场稳恒磁场中,由电流求磁场有有对应的定律对应的定律在在上上一一节节,对对比比库库仑仑力力与与场场强强的的关关系系,由由安安培培定定律律可可以以导导出出B与与电电流流的的关关系系式式。但但在在历历史史上上,安安培培定定律律的的发发现现(1820,12,4)晚晚 于于 毕毕 奥奥 和和 萨萨 伐伐 尔尔 的的 实实 验验 研研 究究(1820,10,30):长长直直导导线线对对磁磁极极的的作作用用力力反反比比于于距距离离 r。法法国国数数学学家家拉拉普普拉拉斯斯参参与与该该实实验验结结果果的的理理论论分分析析工工作作,得得到到了了磁磁场场与与电电流流之之间间的的关关系系式式,因因此此该该公公式式也也被被称称为为毕毕奥奥-萨萨伐伐尔尔-拉拉普普拉拉斯斯 (Biot-Sarvart-Laplace)定定律律说明说明2 2 载流回路的磁场载流回路的磁场毕奥毕奥-萨伐尔定律的表达式(上节已给出)萨伐尔定律的表达式(上节已给出)微分形式微分形式积分形式积分形式 dB 形状、方向形状、方向Bdr方向方向形状形状Bdr毕奥毕奥-萨伐尔定律的适用范围萨伐尔定律的适用范围 是是实实验验定定律律,是是在在稳稳恒恒电电流流的的条条件件下下总总结结出出来来的,适用于稳恒电流,以下两种情况近似成立:的,适用于稳恒电流,以下两种情况近似成立:似稳电流:似稳电流:电流虽变化,但变化缓慢,任意两截面电流虽变化,但变化缓慢,任意两截面 I 可可近似相等。近似相等。单个匀速运动的电荷:单个匀速运动的电荷:一般与稳恒电流元不相等效,产生的磁场一般与稳恒电流元不相等效,产生的磁场很复杂,当很复杂,当 vR,上两式,上两式近似成立。近似成立。依照电场的计算方法,引入磁通量的概念。依照电场的计算方法,引入磁通量的概念。3 3 磁场的磁场的“高斯定理高斯定理”与安培环路定理与安培环路定理1、磁场的、磁场的“高斯定理高斯定理”磁通量:若磁场中某点的磁感应强度为磁通量:若磁场中某点的磁感应强度为B,通过通过该点的面元矢量为该点的面元矢量为dS,则通过则通过dS的的磁磁通量定义为通量定义为理理通过任意曲面通过任意曲面S的磁通量为:的磁通量为:单位:单位:特斯拉特斯拉米米2韦伯韦伯若用磁感应线表示,则通过若用磁感应线表示,则通过S的磁通量等于穿过的磁通量等于穿过S的磁感应线的根数。的磁感应线的根数。磁通量有正、磁通量有正、负之分负之分非闭合曲面,需要规定曲面正反面。非闭合曲面,需要规定曲面正反面。闭合曲面,习惯选外法线方向为正。闭合曲面,习惯选外法线方向为正。磁场的磁场的“高斯定理高斯定理”闭合曲面的磁通量为零。闭合曲面的磁通量为零。公式表示:公式表示:意义:说明磁场是无源场(磁感应线没有起点和意义:说明磁场是无源场(磁感应线没有起点和终点)终点)适用范围:适用于任意非稳恒电流激发的场,尽适用范围:适用于任意非稳恒电流激发的场,尽管此时毕管此时毕-萨定律不再成立。萨定律不再成立。下面由毕下面由毕-萨定律证明磁场的萨定律证明磁场的“高斯定理高斯定理”单个电流元产生的磁场的磁单个电流元产生的磁场的磁感应线是以感应线是以 dl 方向为轴的圆,方向为轴的圆,圆周上磁场处处相等圆周上磁场处处相等取取任意闭合曲面任意闭合曲面S,设与圆形磁感线相交。穿入处,设与圆形磁感线相交。穿入处取面元取面元dS1,通过其边缘的磁感线围成一环状磁感通过其边缘的磁感线围成一环状磁感应管,该管在穿出处截出另一面元应管,该管在穿出处截出另一面元dS2,通过通过dS1的磁通量:的磁通量:通过通过dS2的磁通量:的磁通量:磁感应管正磁感应管正截面面积截面面积可见,单个电流元产生的磁场满足:可见,单个电流元产生的磁场满足:由磁场的叠加原理,得总磁场也满足上式,由磁场的叠加原理,得总磁场也满足上式,证毕。证毕。2、安培环路定理安培环路定理静电场中,静电场中,仿照静电场,计算仿照静电场,计算 由于磁感应线是闭合的,若取积分回路由于磁感应线是闭合的,若取积分回路沿磁感应线,则沿磁感应线,则(a)简单例子分析:简单例子分析:环路在环路在垂直垂直于导线的平面内于导线的平面内 若图中环绕方向若图中环绕方向反向,反向,无限长无限长载流直导线载流直导线所选所选环路环路包围包围载流导线载流导线 电流方向与环绕方向成电流方向与环绕方向成右手系右手系情形情形1 1情形情形2所选所选环路环路不包围不包围载流导线载流导线普适性普适性?结论结论环路环路包围包围载流导线载流导线环路环路不包围不包围载流导线载流导线磁场的安培环路定理磁场的安培环路定理问题问题(b)(b)安培环路定理安培环路定理 在在恒恒定定磁磁场场中中,磁磁感感强强度度 沿沿任任一一闭闭合合环环路路的的线线积积分分,等等于于穿穿过过该该环环路路的的所所有有电流的电流的代数和代数和的的 倍。倍。说明:说明:代数和的理解代数和的理解,I 正负正负规定规定定理表述定理表述穿越穿越 L 电流有正负(如右图)电流有正负(如右图)I 与环路积分方向与环路积分方向成成右手系右手系,I 取取正值正值L穿越穿越:以以 L 边界的曲面(如右图)边界的曲面(如右图)I 与环路积分方向与环路积分方向成成左手系左手系,I 取取负值负值L何谓电流穿越环路?何谓电流穿越环路?S1I 穿越曲面 S1 I 不穿越曲面 S2S2结论与曲面选择无关结论与曲面选择无关L1B 的理解的理解LB由由所所有有电电流流产产生生(穿穿越越、不不穿穿越越),但但对对环路积分环路积分贡献不同贡献不同 B仅仅由由 I1 产生?产生?0安培环路定理证明安培环路定理证明 (任意闭合电流)(任意闭合电流)Attention!B由由多多个个闭闭合合电电流流回回路路产产生生,对对单单个个电电流流回回路路证证明明安安培培环环路路定定理理成成立立,多多个个回回路路由由单单回回路路叠加叠加即可。即可。下下面面利利用用立立体体角角的的概概念念和和毕毕-萨萨定定律律证证明明安安培培环路定理。环路定理。说明说明PdSrr面元面元矢量矢量 dS 对对P点所张的立点所张的立体角定义为体角定义为dS 在在垂直垂直 r 方向的投影方向的投影立体角有正负之分,当立体角有正负之分,当 dS 与与 r 夹角为锐角时,夹角为锐角时,立体角为正,反之,夹角为钝角时,立体角为立体角为正,反之,夹角为钝角时,立体角为负。负。可证,可证,球面球面S对球心所张的立体角为对球心所张的立体角为4 O OnS =4 半球面半球面S对球心所张的立体角为对球心所张的立体角为 2 nO O =2=2 nO O =-2=-2 无限大平面无限大平面 S 对面外一点对面外一点O所张的立体角为所张的立体角为 2 O On =2=2 O On =-2=-2 SM载流载流回路回路MP0P1P2安安培培环环路路LP如图,一载流回路如图,一载流回路 M,以回路以回路 M为为边界的曲面边界的曲面记为记为SM ,规定其正法线方向符合右手定则。规定其正法线方向符合右手定则。取取安培环路为安培环路为 L,设其与,设其与曲曲面面 SM 交交于于 P0 点,点,P1 位于上方,位于上方,P2位于下方,位于下方,可见,曲面可见,曲面 SM 对对P1 所张立体角所张立体角 1 1 为负为负,对对P2 所张立体角所张立体角 2 2 为正。为正。SMP1P2nP0SM载流载流回路回路MP0P1P2安安培培环环路路LP当当P1 和和P2 都无限靠近都无限靠近 P0 点点时,时,1 1=-2=-2 ,2 2=2 2 。SMP1P2nP0可以看出,当环路可以看出,当环路 L 上上的的 P 点点沿沿顺时针方向由顺时针方向由P1 向向P2 移动过移动过程中,曲面程中,曲面 SM 对对 P 点所张立体点所张立体角角 由由 -2-2 2 2 逐渐增加。逐渐增加。下面计算当下面计算当 P 点移动点移动 时,曲面时,曲面 SM 对对 P 点所张点所张立体角的改变量立体角的改变量 d。SM载流载流回路回路MP0P1P2安安培培环环路路LPdldlPdlMMdm-dldS直接计算很不方便,按相对直接计算很不方便,按相对运动观点,回路运动观点,回路M不动,不动,P移动移动 dl 与与P不动,不动,M位移位移-dl 等效。等效。回路回路 M 上线元矢量上线元矢量 dm 作作位移位移-dl 时扫过的面积矢时扫过的面积矢量为量为面元面元矢量矢量 dS 对对 P 点所张点所张立体角为立体角为PdlMMdm-dldSrrP点指向电流元矢量点指向电流元矢量 Idm 的的单位矢量。单位矢量。整个载流回路整个载流回路 M 平移平移-dl 后扫过的带状面积对后扫过的带状面积对 P点所张的立体角为,点所张的立体角为,此即当此即当 P 点移动点移动 时,时,曲面曲面 SM 对对 P 点所张立体点所张立体角的角的改变量改变量 d。dl利用矢量恒等式:利用矢量恒等式:证明:证明:上式应等于右边三矢量构上式应等于右边三矢量构成的六面体的体积成的六面体的体积 V。得:得:对对回路回路 M 积积分时为常数分时为常数PdlMMdm-dldSr由毕由毕-萨定律,载流回路萨定律,载流回路 M 在在P点产生的磁感应强度点产生的磁感应强度 B 为:为:此为此为P点指向点指向dm的单位矢量的单位矢量代代入入 d d 表达式得表达式得两边对安培环路两边对安培环路L积分积分物理意义:物理意义:B B 沿安培环路积分与沿安培环路积分与 P P 点沿安培环路正方向点沿安培环路正方向移动一周中,静止不动的载流回路曲面移动一周中,静止不动的载流回路曲面 SM 对对P P点点所张立体角的总增量成正比。所张立体角的总增量成正比。当安培环路当安培环路L穿过载流回路穿过载流回路M时,时,SM载流载流回路回路MP0P1P2安安培培环环路路LPSM载流载流回路回路M安安培培环环路路LP当安培环路当安培环路L不不穿过载流回路穿过载流回路M时,时,至此,一条载流回路的安培环路定理得证。由至此,一条载流回路的安培环路定理得证。由叠加原理可得多个载流回路的安培定理。叠加原理可得多个载流回路的安培定理。安培环路定理的意义:安培环路定理的意义:揭示了磁感应线是闭合曲线。揭示了磁感应线是闭合曲线。对磁感应强度对磁感应强度B B的计算起重要作用,的计算起重要作用,提供了一种计算磁场的简单方法。提供了一种计算磁场的简单方法。说明:说明:定理表达式中的定理表达式中的 B 是积分环路上各点的总磁是积分环路上各点的总磁感应强度,是空间所有电流元共同激发的。感应强度,是空间所有电流元共同激发的。只适用于稳恒电流激发的场。只适用于稳恒电流激发的场。,所以磁场不是保守力场。,所以磁场不是保守力场。(a a)应用安培环路求磁场的条件应用安培环路求磁场的条件高斯定理高斯定理安培环路定理安培环路定理电流回路具有对称性、特殊性电流回路具有对称性、特殊性 (b b)应用例子应用例子求求E E条件条件:对称性、特殊情况对称性、特殊情况3、安培环路定理应用安培环路定理应用一一无无限限长长直直圆圆柱柱导导线线,截截面面半半径径为为R R,电电流流沿沿截截面面均均匀匀分分布布,电电流流强强度度为为I,求求导导线线内、外内、外的磁场分布的磁场分布 。例例1对对称称性性分分析析:载载流流体体具具有有轴轴 对称性对称性,磁场,磁场具有具有轴对称性轴对称性解解磁场方向分析:磁场方向分析:zr Bz=0-无限长载流线结果无限长载流线结果Br?opoBr=0,且在相同且在相同r处处相等相等取合适的安培环路:圆形取合适的安培环路:圆形o利用利用安培环路定理安培环路定理orR求密绕求密绕无限长无限长直螺线管内、外部的磁感应强度直螺线管内、外部的磁感应强度例例2预备知识:预备知识:证明一对镜像对称的电流元在对称面上证明一对镜像对称的电流元在对称面上产生的合磁场产生的合磁场 B B 必与此面垂直。必与此面垂直。xyz证:证:P由对称性得:由对称性得:令令xyzP可见,合磁场可见,合磁场B B只有只有y 轴分量,即垂直于对称面。轴分量,即垂直于对称面。设单位长度绕有设单位长度绕有n 匝线圈匝线圈,通有稳恒电流通有稳恒电流I I。下面求密绕下面求密绕无限长无限长直直螺线管内、外部的磁感应强度。螺线管内、外部的磁感应强度。解:由对称性分析,解:由对称性分析,螺线管内、外螺线管内、外B B的方向的方向平行于管的轴线平行于管的轴线 管内管内 P 点(轴线外)点(轴线外)如图取安培环如图取安培环 abcd由由前面毕前面毕-萨计算萨计算结果知轴线上结果知轴线上B=0 0nI又又结结论论:管管内内任任一一点点的的磁磁感感应应强强度度均均与与轴轴线线上上相同,说明管内是匀强磁场。相同,说明管内是匀强磁场。管外任一管外任一 点点 Q如图取安培环如图取安培环 efgh又又结论:结论:管外磁感应强度处处为零。管外磁感应强度处处为零。螺绕环的磁场螺绕环的磁场,总匝数为总匝数为 N ,匝密度为匝密度为 n ,螺螺绕环的平均半径为绕环的平均半径为 R,每圈线圈的电流强度为每圈线圈的电流强度为I。求:螺绕环内外的求:螺绕环内外的 B 分布。分布。例例3解解轴对称轴对称:在与环共轴的在与环共轴的同一同一圆周圆周上,上,B 的的数值相等数值相等,方向方向沿圆周沿圆周的的切线切线。对称性、对称性、磁场方向磁场方向分析分析:取合适的安培环路取合适的安培环路取以取以o为圆心的圆周为安培环路为圆心的圆周为安培环路zoo取安培环路为取安培环路为L L1 1(管外)管外)L L1 1B=0oL L1 1L3L L2 2取安培环路为取安培环路为L L2 2(管内)管内)螺线管中心螺线管中心取安培环路为取安培环路为L L3 3(管外)管外)B=0实际情况实际情况螺绕环螺绕环有螺距时有螺距时例例4(p386 p386 习题6 6)矩形截面载流螺绕环,矩形截面载流螺绕环,(1 1)求环内)求环内B B分布分布 (2 2)证明通过螺绕环截面的磁通量为)证明通过螺绕环截面的磁通量为式中式中N 为总匝数。为总匝数。解解(1 1)如图作安培环路)如图作安培环路r(2 2)R取安培环路为取安培环路为L L1 1(管内)管内)例例5一一无无限限长长直直空空心心载载流流薄薄管管,半半径径为为R,电电流流沿沿管管面面均匀均匀分布,电流强度为分布,电流强度为I I,求管求管内、外内、外的磁场分布的磁场分布。o oI I轴对称轴对称 B 方向方向沿圆周的沿圆周的切线切线对称性、对称性、磁场方向磁场方向分析分析:取合适的安培环路取合适的安培环路取与载流管共轴的圆周为安培环路取与载流管共轴的圆周为安培环路B=0取安培环路为取安培环路为L L2 2(管外)管外)L L1 1L L2 2RB磁磁场场分分布布例例6无限大均匀无限大均匀载流载流平面,平面,面面电流流密度密度 i,求,求B B(p386 p386 习题7 7)xyz解解对称性分析,对称性分析,B B只有只有y y分量,分量,且平面两侧且平面两侧 B B 方向相反。方向相反。过过P P点作安培环路,由安培点作安培环路,由安培环路定理得环路定理得xyBBPabcd磁场为均匀磁场,两侧磁场为均匀磁场,两侧 B B 大小相等,方向相反。大小相等,方向相反。(c c)应用例子总结应用例子总结无限无限长载流流直直线 无限无限长均匀均匀载流流圆柱体柱体 无限大均匀无限大均匀载流流平平面面长直密直密绕载流流螺螺线 管管 密密绕载流流螺螺绕 环环无限无限长电缆线 I II I(d)讨论讨论穿越安培环路的电流元穿越安培环路的电流元 原因原因?电流元电流元不不构成构成闭合回路闭合回路 积分路径不闭合积分路径不闭合 轴线上磁场轴线上磁场沿沿z z轴积分轴积分如何解释?如何解释?第一种理解第一种理解第二种理解第二种理解 p1 p2一般情况一般情况任意形状载流回路任意形状载流回路向无穷远伸展的任意积分路径向无穷远伸展的任意积分路径L L积分路径积分路径穿越穿越载流回路载流回路积分路径积分路径不穿越不穿越载流回路载流回路的距离平方反比关系。若的距离平方反比关系。若 当当n2n2时,高斯定理时,高斯定理仍然成立仍然成立“高斯高斯定理定理”、安培环路定理与安培环路定理与B-SB-S定律的关系定律的关系 两条定理均两条定理均通过通过毕奥沙萨尔定律毕奥沙萨尔定律导出导出高斯定理的证明过程知:它高斯定理的证明过程知:它不要求不要求B-SB-S定律中定律中安培环路定理要求安培环路定理要求B-SB-S定律中的平方反比关系定律中的平方反比关系实验表明实验表明:磁场随时间变化时,磁场随时间变化时,“高斯高斯定理定理”仍然有效仍然有效,但安培环路定理,但安培环路定理需要修正,需要修正,详见第详见第八章八章
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