第2章-控制系统的数学模型课件

2-1 引言引言数学模型数学模型1.定义：定义：描述控制系统的输入和输出之间动态描述控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表达式。数学模型是分析和设计关系的数学表达式。数学模型是分析和设计自动控制系统的基础。自动控制系统的基础。2.为什么要建立数学模型：为什么要建立数学模型：我们需要了解系统我们需要了解系统的具体的性能指标，只是定性地了解系统的的具体的性能指标，只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的，希望工作原理和大致的运动过程是不够的，希望能够从理论上对系统的性能进行能够从理论上对系统的性能进行定量的分析定量的分析和计算和计算。要做到这一点，首先要建立系统的。要做到这一点，首先要建立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。数学模型。它是分析和设计系统的依据。另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示，称为一样，可以用一个运动方程来表示，称为相似系统相似系统。我们可以不单独地去研究具体。我们可以不单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式，即可知其变系统而只分析其数学表达式，即可知其变量间的关系，这种关系可代表数学表达式量间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的任何系统。相同的任何系统。比如机械平移系统和比如机械平移系统和RLC电路就可以用同电路就可以用同一个数学表达式描述，具有相同的数学模一个数学表达式描述，具有相同的数学模型。型。3.表示形式表示形式 a.微分方程微分方程 b.传递函数传递函数 c.频率特性频率特性三种数学模型之间的关系三种数学模型之间的关系线性系统线性系统传递函数传递函数微分方程微分方程频率特性频率特性拉氏拉氏变换变换傅氏傅氏变换变换 同一个系统，可以选用不同的数学模型，同一个系统，可以选用不同的数学模型，研究时域响应时可以用传递函数，研究频研究时域响应时可以用传递函数，研究频域响应时则要用频率特性。域响应时则要用频率特性。4.建立方法建立方法 a.分析法分析法 分析法是根据支配系统的内在运动规律以分析法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的结构和参数，推导出输入量和输及系统的结构和参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从而建立数学模出量之间的数学表达式，从而建立数学模型型适用于简单的系统。适用于简单的系统。b.系统辨识法系统辨识法 系统辨识法是利用系统的输入系统辨识法是利用系统的输入-输出信号来建立输出信号来建立数学模型的方法。通常在对系统一无所知的情数学模型的方法。通常在对系统一无所知的情况下，采用这种建模方法。况下，采用这种建模方法。但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为为灰箱灰箱，可以分析法与系统辨识法一起用，较，可以分析法与系统辨识法一起用，较准确而方便地建立系统的数学模型。准确而方便地建立系统的数学模型。黑箱黑箱黑箱黑箱 输入输入输入输入输出输出输出输出 实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影响较小在一般情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简的因素来简化，但这就出现了一对矛盾：化，但这就出现了一对矛盾：简简化与准确性化与准确性。不能过于简化，而使数学模型。不能过于简化，而使数学模型变的不准确，也不能过分追求准确性，使系变的不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过于复杂。统的数学模型过于复杂。一一 微分方程的建立微分方程的建立 微分方程是控制系统最基本的数学模型，要微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。一个控制系统由若干具有不同功能的元件组一个控制系统由若干具有不同功能的元件组成，首先要根据各个元件的物理规律，成，首先要根据各个元件的物理规律，列写列写各个元件的微分方程各个元件的微分方程，得到一个微分方程组，得到一个微分方程组，然后然后消去中间变量消去中间变量，即得控制系统总的关于，即得控制系统总的关于输入和输出的微分方程。输入和输出的微分方程。2-2 微分方程的建立及线性化微分方程的建立及线性化列写系统（或元件）微分方程的一般步骤列写系统（或元件）微分方程的一般步骤:1.1.分析系统的工作原理和信号传递变换的过程，确分析系统的工作原理和信号传递变换的过程，确分析系统的工作原理和信号传递变换的过程，确分析系统的工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量。定系统和各元件的输入、输出量。定系统和各元件的输入、输出量。定系统和各元件的输入、输出量。2.2.从系统的输入端开始，按照信号传递变换过程，从系统的输入端开始，按照信号传递变换过程，从系统的输入端开始，按照信号传递变换过程，从系统的输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量所遵循的物理或化学规律，依次列写依据各变量所遵循的物理或化学规律，依次列写依据各变量所遵循的物理或化学规律，依次列写依据各变量所遵循的物理或化学规律，依次列写出各元部件的微分方程。出各元部件的微分方程。出各元部件的微分方程。出各元部件的微分方程。3.3.消去中间变量，得到一个描述系统输入、输出变消去中间变量，得到一个描述系统输入、输出变消去中间变量，得到一个描述系统输入、输出变消去中间变量，得到一个描述系统输入、输出变量之间关系的微分方程。量之间关系的微分方程。量之间关系的微分方程。量之间关系的微分方程。4.4.写成标准形式写成标准形式写成标准形式写成标准形式。将与输入有关的项放在等式右端，。将与输入有关的项放在等式右端，。将与输入有关的项放在等式右端，。将与输入有关的项放在等式右端，与输出有关的项放在等式的左端，且各阶导数项与输出有关的项放在等式的左端，且各阶导数项与输出有关的项放在等式的左端，且各阶导数项与输出有关的项放在等式的左端，且各阶导数项按降幂排列。按降幂排列。按降幂排列。按降幂排列。列写元件微分方程的时候要考虑负载效应！列写元件微分方程的时候要考虑负载效应！例例1.机械平移系统机械平移系统 求在外力求在外力F(t)作用下，物作用下，物体的运动轨迹。体的运动轨迹。k kF(t)F(t)x(t)x(t)阻尼器阻尼器阻尼器阻尼器阻尼系数阻尼系数阻尼系数阻尼系数f fmm首先确定：输入首先确定：输入F(t),输出输出x(t)其次：理论依据其次：理论依据1.牛顿第二定律牛顿第二定律 物体所受的合外力等于物物体所受的合外力等于物体质量与加速度的乘积体质量与加速度的乘积 2.牛顿第三定律牛顿第三定律 作用力等于反作用力作用力等于反作用力 单独取出单独取出m进行分析。进行分析。mF F1 1(弹簧的拉力弹簧的拉力弹簧的拉力弹簧的拉力)F(t)F(t)外力外力外力外力F F2 2阻尼器的阻力阻尼器的阻力阻尼器的阻力阻尼器的阻力写微分方程时，常习惯于把写微分方程时，常习惯于把输出写在方程的输出写在方程的左边，输入写在方程右边，而且微分的次数左边，输入写在方程右边，而且微分的次数由高到低排列由高到低排列。所以机械平移系统的微分方程为：所以机械平移系统的微分方程为：例例2.RLC电路电路 研究在输入电压研究在输入电压ur r(t)作用下，电容上作用下，电容上 电压电压uc c(t)的变化。的变化。RLCur(t)uc(t)i(t)依据：电学中的基尔霍夫定律依据：电学中的基尔霍夫定律 由（由（2）代入（）代入（1）得：消去中间变量）得：消去中间变量i(t)（两边求导）（两边求导）RLC电路与机械平移系统的数学模型很相似，电路与机械平移系统的数学模型很相似，故可用电子线路来模拟机械平移系统，这也证故可用电子线路来模拟机械平移系统，这也证明了我们前面讲到的，明了我们前面讲到的，看似完全不同的系统，看似完全不同的系统，具有相同的运动规律，可用相同的数学模型来具有相同的运动规律，可用相同的数学模型来描述。描述。相似系统相似系统整理成规范形式整理成规范形式例例3.求下图所示运算放大器的微分方程。图中求下图所示运算放大器的微分方程。图中Rf是反馈电阻，是反馈电阻，Ri是输入电阻是输入电阻;ur 是输入电压是输入电压，uc是输出电压。是输出电压。u ur ru uc cRfRiRu u i i0 0irif-+运算放大器有同相运算放大器有同相(+)和反相和反相(-)两个输入端。两个输入端。带负号的输入端为反相输入，此输入所产带负号的输入端为反相输入，此输入所产生的输出与输入极性相反。带正号的输入生的输出与输入极性相反。带正号的输入为同相输入，它所产生的输出极性不变。为同相输入，它所产生的输出极性不变。两个输入有差分作用，即输出电压与两个两个输入有差分作用，即输出电压与两个输入端的电压差成正比，同相输入端与输入端的电压差成正比，同相输入端与ur r和和uc共地。运算放大器常用的是反相输入端，共地。运算放大器常用的是反相输入端，它利用负反馈原理，把一部分与输入信号反它利用负反馈原理，把一部分与输入信号反相的输出信号送回输入端。相的输出信号送回输入端。运算放大器具有高增益运算放大器具有高增益k=105109,而通常而通常uc小小于于10伏，因为伏，因为u=-uc/k,所以运算放大器的输入所以运算放大器的输入电压电压u近似等于近似等于0，这种反相输入端电位为，这种反相输入端电位为0的的现象，是运算放大器的共同特点，叫做现象，是运算放大器的共同特点，叫做“虚地虚地”，又因为运算放大器的输入阻抗很高，所以流，又因为运算放大器的输入阻抗很高，所以流入放大器的电流入放大器的电流i0也近似等于也近似等于0。这个现象叫做。这个现象叫做“虚断虚断”，ir=if 由此导出：由此导出：例例4.速度控制系统的数学模型速度控制系统的数学模型微分微分方程方程齿轮系齿轮系运算放运算放大器大器I功率功率放大器放大器直流直流电动机电动机测速发电机测速发电机u ui iu ut tu u1 1-w wmmu ua a运算放运算放大器大器IIu u2 2w w速度控制系统的方块图速度控制系统的方块图解：首先确定整个系统输入解：首先确定整个系统输入 ，输出，输出 1 1、运算放大器、运算放大器、运算放大器、运算放大器 输入量（即给定电压）与速度反馈输入量（即给定电压）与速度反馈输入量（即给定电压）与速度反馈输入量（即给定电压）与速度反馈电压在此合成产生偏差电压并经放大，即电压在此合成产生偏差电压并经放大，即电压在此合成产生偏差电压并经放大，即电压在此合成产生偏差电压并经放大，即 式中是运算放大器式中是运算放大器式中是运算放大器式中是运算放大器的比例系数。的比例系数。的比例系数。的比例系数。2 2、运算放大器、运算放大器、运算放大器、运算放大器 考虑校正网络，与之间的微分方程考虑校正网络，与之间的微分方程考虑校正网络，与之间的微分方程考虑校正网络，与之间的微分方程为为为为 式中是运算放大器式中是运算放大器式中是运算放大器式中是运算放大器的比例系数，是微分时间常数。的比例系数，是微分时间常数。的比例系数，是微分时间常数。的比例系数，是微分时间常数。3、功率放大器、功率放大器 本系统采用晶闸管整流装置，它包括触发本系统采用晶闸管整流装置，它包括触发电路和晶闸管主回路。忽略晶闸管控制电电路和晶闸管主回路。忽略晶闸管控制电路的时间迟后，其输入输出方程为路的时间迟后，其输入输出方程为 式中为式中为 比例系数。比例系数。4、直流电动机、直流电动机 直接引用例直接引用例2-9所求得的直流所求得的直流电动机的微分方程式：电动机的微分方程式：式中式中 、及及 均是考虑齿轮系和负载均是考虑齿轮系和负载后，折算到电动机轴上的等效值。后，折算到电动机轴上的等效值。5、齿轮系、齿轮系 设齿轮系的速比为设齿轮系的速比为 ，则电动机，则电动机转速转速 经齿轮系减速后变为经齿轮系减速后变为 ，故有，故有 6、测速发电机、测速发电机 测速发电机的输出电压测速发电机的输出电压 与与其转速其转速 成正比，即有成正比，即有式中是式中是 测速发电机比例系数。测速发电机比例系数。从上述各方程中消去中间变量，经整理后便从上述各方程中消去中间变量，经整理后便得到控制系统的微分方程得到控制系统的微分方程二二 线性系统的基本特性线性系统的基本特性1.定义：定义：用线性微分方程描述的系统称为线性用线性微分方程描述的系统称为线性系统。系统。线性微分方程线性微分方程：微分方程中所含的未知函数：微分方程中所含的未知函数及未知函数的导数都是一次的及未知函数的导数都是一次的。若线性微分方程的系数是常数称为若线性微分方程的系数是常数称为线性定常线性定常系统系统；系数是时间的函数叫；系数是时间的函数叫线性时变系统线性时变系统。2 重要特点重要特点 对线性系统可以应用对线性系统可以应用可加性和齐次性可加性和齐次性（叠加原理）（叠加原理），对研究带来了极大的方便。，对研究带来了极大的方便。假设系统输入假设系统输入为为r(t)、r1(t)、r2(t),对应的输出对应的输出为为c(t)、c1(t)、c2(t)如果如果r(t)=r1(t)+r2(t)时，时，c(t)=c1(t)+c2(t)满足可加性满足可加性如果如果r(t)=kr1(t)时（时（k为常数），为常数），c(t)=kc1(t)满足齐次性满足齐次性 可加性可加性的应用：欲求系统在几个输入信号和的应用：欲求系统在几个输入信号和干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几个外作用单独求响应，然后加起来就是总响个外作用单独求响应，然后加起来就是总响应。应。齐次性齐次性表明：当外作用的数值增大若干倍时，表明：当外作用的数值增大若干倍时，其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可以采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉以采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡等）对系统进行分析冲、单位斜坡等）对系统进行分析简化简化了问题。了问题。三三 非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化1.几种常几种常见的非的非线性特性性特性饱和饱和饱和饱和间隙间隙间隙间隙死区死区死区死区 非非线性微分方程的求解很困性微分方程的求解很困难。但在一定。但在一定条件下，可以近似地条件下，可以近似地转化化为线性微分方程，性微分方程，使系使系统的的动态特性的分析大特性的分析大为简化。化。实践践证明，明，这样做能做能够圆满地解决地解决许多工程多工程问题，有很大的，有很大的实际意意义。2.线性化的方法性化的方法 （1）忽忽略略弱弱非非线性性因因素素 如如果果元元件件的的非非线性性因因素素较弱弱或或者者不不在在系系统非非线性性工工作作范范围以以内内，则它它们对系系统的的影影响响很很小小，就就可可以以忽忽略。略。（2）小偏差法小偏差法（切（切线法，增量法，增量线性化法）性化法）小小偏偏差差法法基基于于一一种种假假设，就就是是在在控控制制系系统的的整整个个调节过程程中中，各各个个元元件件的的输入入量量和和输出出量量只只是是在在平平衡衡点点附附近近作作微微小小变化化。这一一假假设是是符符合合许多多控控制制系系统实际工工作作情情况况的的，因因为对闭环控控制制系系统而而言言，一一有有偏偏差差就就产生生控控制制作作用用，来来减减小小或或消消除除偏偏差差，所所以以各各元元件件只只能能工作在平衡点附近。工作在平衡点附近。非线性特性的线性化非线性特性的线性化 A(xA(x0 0,y,y0 0)平衡点，函数在平衡点处连续可微，则可平衡点，函数在平衡点处连续可微，则可平衡点，函数在平衡点处连续可微，则可平衡点，函数在平衡点处连续可微，则可将函数在平衡点附近展开成台劳级数将函数在平衡点附近展开成台劳级数将函数在平衡点附近展开成台劳级数将函数在平衡点附近展开成台劳级数 忽略二次以上的各忽略二次以上的各忽略二次以上的各忽略二次以上的各项项，上式可以写成，上式可以写成，上式可以写成，上式可以写成 略去增量符号，略去增量符号，略去增量符号，略去增量符号，就是非线性元件的线性化就是非线性元件的线性化就是非线性元件的线性化就是非线性元件的线性化数学模型数学模型数学模型数学模型 注意：注意：线性化方法只适用于一些非性化方法只适用于一些非线性程性程度度较低的系低的系统，对于某些于某些严重的非重的非线性，性，如如 不能作不能作线性化性化处理，一般用相平面法及描理，一般用相平面法及描述函数法述函数法进行分析。行分析。继电特性继电特性建立了系统的微分方程后，要对系统进行分析建立了系统的微分方程后，要对系统进行分析就要求解微分方程，而：就要求解微分方程，而：（1）高阶微分方程难于求解）高阶微分方程难于求解（2）微分方程的解与其系数没有明确的对应关）微分方程的解与其系数没有明确的对应关系，系统设计麻烦系，系统设计麻烦引入拉普拉斯变换：引入拉普拉斯变换：（1）变微分方程为代数方程，并引入了积分常）变微分方程为代数方程，并引入了积分常数，很容易求解数，很容易求解（2）可得到系统复域数学模型传递函数）可得到系统复域数学模型传递函数一、一、Fourier变换与变换与Laplace变换变换周期函数满足周期函数满足狄里赫莱狄里赫莱条件：条件：1）在一个周期内只有有限个不连续点；）在一个周期内只有有限个不连续点；2）在一个周期内只有有限个极大值和极小值；）在一个周期内只有有限个极大值和极小值；3）积分）积分 存在。存在。即可展开为即可展开为傅氏级数傅氏级数其中其中 ，2-3 拉普拉斯变换拉普拉斯变换非周期函数，非周期函数，T趋于无穷大，有傅里叶积分：趋于无穷大，有傅里叶积分：令令则则称为称为的傅氏变换；的傅氏变换；的傅氏反变换。的傅氏反变换。称为称为对于有些函数对于有些函数，随着时间，随着时间t趋于无穷趋于无穷 衰减的衰减的太慢太慢,不满足狄里赫莱第三条件不满足狄里赫莱第三条件将将 乘以乘以 进行傅氏变换，并进行傅氏变换，并令令 则傅氏变换成为则傅氏变换成为Laplace变换。变换。对自动控制系统，我们只考虑单边拉氏变换。对自动控制系统，我们只考虑单边拉氏变换。如单位阶跃函数如单位阶跃函数1(t)，其傅氏变换，其傅氏变换不存在不存在引入衰减因子引入衰减因子 ，则其傅氏变换，则其傅氏变换存在存在二、拉氏变换二、拉氏变换1.定义：定义：设函数设函数f(t)当当t=0时有定义，而且时有定义，而且积分积分 存在，则称存在，则称F(s)是是f(t)的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换(s为复变量为复变量)，简称拉氏变换。记为，简称拉氏变换。记为 f(t)称为称为 F(s)的拉氏反变换。记为：的拉氏反变换。记为：2.常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换 例例例例1.1.求阶跃函数求阶跃函数求阶跃函数求阶跃函数f(t)=Af(t)=A1(t)1(t)的拉氏的拉氏的拉氏的拉氏变换变换变换变换。单位阶跃函数单位阶跃函数单位阶跃函数单位阶跃函数f(t)=1(t)f(t)=1(t)的拉氏变换为的拉氏变换为的拉氏变换为的拉氏变换为 。例例例例2.2.求单位脉冲函数求单位脉冲函数求单位脉冲函数求单位脉冲函数f(t)=f(t)=(t)(t)的拉氏变换。的拉氏变换。的拉氏变换。的拉氏变换。例例3.求指数函数求指数函数f(t)=f(t)=的拉氏变换的拉氏变换几个重要的拉氏变换几个重要的拉氏变换 t t coswt coswt 1/s1/s 1(t)1(t)sin wt sin wt 1 1 (t)(t)F(s)F(s)f(t)f(t)F(s)F(s)f(t)f(t)3.拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质(1)线性性质线性性质 =aF1(s)+bF2(s)原函数和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变原函数和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。换之和。(2)微分性质微分性质 若若 ，则有，则有f(0)为原函数为原函数f(t)在在t=0时的初始值。时的初始值。原函数二阶导数的拉氏变换原函数二阶导数的拉氏变换依次类推，可以得到原函数依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏阶导数的拉氏变换变换若若f(t)及其各阶导数的初始值都为零，则及其各阶导数的初始值都为零，则(3)(3)积分性质积分性质 若若 初始条件为零，则初始条件为零，则 若原函数若原函数f(t)及其各重积分初始值都等于及其各重积分初始值都等于0则有则有（4）终值定理）终值定理 注：注：若若 时时f(t)极限极限 不存不存在，则不能用终值定理。如对正弦函数和在，则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。余弦函数就不能应用终值定理。（5）初值定理）初值定理（6）位移定理）位移定理 a.实域实域中的位移定理中的位移定理 若原函数在时间若原函数在时间 上延迟上延迟 ，则其象函数应乘以，则其象函数应乘以b.复域复域中的位移定理中的位移定理 若象函数的自变若象函数的自变量延迟量延迟a，原函数应乘以，原函数应乘以三、拉氏反变换三、拉氏反变换 1.定义：定义：由象函数由象函数F(s)求原函数求原函数f(t)的运算称的运算称为拉氏反变换。记为为拉氏反变换。记为 。则。则 直接按上式求原函数直接按上式求原函数太复杂太复杂，一般都用，一般都用查拉查拉氏变换表氏变换表的方法求拉氏反变换；的方法求拉氏反变换；但但F(s)必须是一种能直接查到原函数的形式。必须是一种能直接查到原函数的形式。若若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展开成若干展开成若干部分分式之和部分分式之和，而这些部分分，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。式的拉氏变换在表中可以查到。例例1：求求 的的拉氏反变换拉氏反变换2.拉氏反变换的部分分式展开法拉氏反变换的部分分式展开法 的根的根 称为称为F(s)的的极点极点。只要只要F(s)分子的次数分子的次数m小于分母次数小于分母次数n，且分母，且分母没有共轭复根，都可以分解成部分分式的分子没有共轭复根，都可以分解成部分分式的分子是常数的形式是常数的形式。例例1：为常数，为常数，（1）F(s)有有不同实数极点不同实数极点（2）F(s)有共轭复数极点有共轭复数极点例例2：求拉氏反变换求拉氏反变换查表得查表得（3）F(s)有重实数极点有重实数极点假若假若F(s)有有L重极点重极点 ,而其余极点均不相而其余极点均不相同，那么同，那么其中其中是是 的互异根。的互异根。仍按仍按（1）的方法计算，即的方法计算，即例例3：则原函数则原函数3.用拉氏变换法求解微分方程用拉氏变换法求解微分方程步骤：步骤：（1）对微分方程进行拉氏变换；对微分方程进行拉氏变换；（2）根据得出的代数方程求出根据得出的代数方程求出输出输出 的拉氏变换表达式；的拉氏变换表达式；（3）将输出将输出的拉氏变换表达式的拉氏变换表达式展开展开 成部分分式，求出各项系数；成部分分式，求出各项系数；（4）查拉氏变换表，求得原函数。查拉氏变换表，求得原函数。例例4 求解微分方程求解微分方程解：解：将方程中变量取拉氏变换得：将方程中变量取拉氏变换得：例例5 求解微分方程求解微分方程解：将方程中变量取拉氏变换得解：将方程中变量取拉氏变换得补充充习题一、根据定一、根据定义求下列各式的拉氏求下列各式的拉氏变换 2 2、二、求下列函数的原函数二、求下列函数的原函数2 2、3 3、1 1、1 1、三、求原函数三、求原函数的的终值2 2、四、用拉氏四、用拉氏变换法求解微分方程法求解微分方程2 2、1 1、1 1、2-4 传递函数传递函数传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一，本书主要内容均以其为基础。一，本书主要内容均以其为基础。利用传递函数，可以：利用传递函数，可以：不必求解微分方程就可以研究零初始条件下不必求解微分方程就可以研究零初始条件下系统在输入作用下的动态过程；系统在输入作用下的动态过程；了解系统参数或结构变化时对系统动态过程了解系统参数或结构变化时对系统动态过程的影响；的影响；可以对系统性能的要求转化为对传递函数的可以对系统性能的要求转化为对传递函数的要求。要求。使系统的分析和设计大为简化使系统的分析和设计大为简化一、传递函数的定义一、传递函数的定义 1、定义：、定义：零初始条件零初始条件下，系统输出量的拉氏下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比叫该系统的传递变换与输入量拉氏变换的比叫该系统的传递函数。函数。零初始条件零初始条件是指：在零时刻，系统的输入、是指：在零时刻，系统的输入、输出及其各阶导数均为零。因为线性化后系输出及其各阶导数均为零。因为线性化后系统的微分方程是相对平衡点的增量方程，输统的微分方程是相对平衡点的增量方程，输入量作用于系统之前，系统处于稳定的工作入量作用于系统之前，系统处于稳定的工作状态，所以零初始条件是符合工程实际的。状态，所以零初始条件是符合工程实际的。输入经过传递函数的传递得到系统输出输入经过传递函数的传递得到系统输出例例1 RC电路如图所示，求其传递函数。电路如图所示，求其传递函数。根据基尔霍夫定律根据基尔霍夫定律 消去中间变量消去中间变量 可用方块图表示可用方块图表示对上式在零初始条件下进行拉氏变换得：对上式在零初始条件下进行拉氏变换得：则微分方程为：则微分方程为：c(t)为系统的输出，为系统的输出，r(t)为系统输入，则零初为系统输入，则零初始条件始条件(c(t)和和r(t)及其各阶导数在及其各阶导数在t=0时刻时刻的值均为零的值均为零)下，对上式两边取拉氏变换，下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为：得到系统传递函数为：设线性定常系统（元件）的微分方程是设线性定常系统（元件）的微分方程是2、表示形式、表示形式 称为系统的特征方程称为系统的特征方程,N(s)中中s的的最高阶次最高阶次n称为称为系统的阶次系统的阶次。（。（mn）式中式中系统传递函数还可记为系统传递函数还可记为 为为M(s)=0的根，称为传递函的根，称为传递函数的数的零点零点。为为N(s)=0的根，称的根，称为传递函数的为传递函数的极点极点。记记K*=b0/a0称为称为根轨迹增益根轨迹增益。这种记法。这种记法在在根轨迹法根轨迹法中使用。中使用。一次因子对应于系统实数零极点，二次因子对一次因子对应于系统实数零极点，二次因子对应于共轭复数零极点。记应于共轭复数零极点。记K=bm/an称为称为增益增益。这种记法在计算系统这种记法在计算系统稳态误差和频率法稳态误差和频率法中使用。中使用。传递函数的另外一种表示形式传递函数的另外一种表示形式二、性质二、性质（1）传递函数与微分方程对应；）传递函数与微分方程对应；（2）传递函数表征了系统本身的动态特性。传）传递函数表征了系统本身的动态特性。传 递函数只取决于系统本身的结构和参数，而递函数只取决于系统本身的结构和参数，而 与输入和初始条件等外部因素无关；与输入和初始条件等外部因素无关；（3）实际系统）实际系统m n（第五章详细解释第五章详细解释）,分子分子 分母多项式的系数均为实数；分母多项式的系数均为实数；（4）有确定的零、极点分布图与传递函数对应）有确定的零、极点分布图与传递函数对应 （第四章根轨迹法就是根据系统的零、极第四章根轨迹法就是根据系统的零、极 点分布研究系统动态特性点分布研究系统动态特性）局限性：局限性：（1）只能描述线性定常，单输入单输出系统；）只能描述线性定常，单输入单输出系统；（2）不能反映中间变量的变化情况；）不能反映中间变量的变化情况；（3）只能反映零初始条件下输入信号引起的输）只能反映零初始条件下输入信号引起的输 出，不能反映非零初始条件下引起的输出。出，不能反映非零初始条件下引起的输出。三、系统传递函数的求法三、系统传递函数的求法 （1）根据各个元部件的微分方程求出各个根据各个元部件的微分方程求出各个 元部件的传递函数；元部件的传递函数；（2）消去中间变量，得到系统的传递函数消去中间变量，得到系统的传递函数例例2：求下图所示运算放大器的传递函数。其求下图所示运算放大器的传递函数。其中中ur 是输入电压是输入电压，uc是输出电压。是输出电压。urucR-+C由：由：则图示运算放大器的传递函数为则图示运算放大器的传递函数为 结论：结论：运算放大器的传递函数等于反馈复阻抗运算放大器的传递函数等于反馈复阻抗与输入复阻抗之比与输入复阻抗之比。复数阻抗复数阻抗：电阻的复数阻抗为电阻的复数阻抗为R，电容，电容C的复的复数阻抗为数阻抗为1/Cs，电感，电感L的复数阻抗为的复数阻抗为Ls。例例3：求两级求两级RC网络的传递函数网络的传递函数注意：要考虑负载效应注意：要考虑负载效应由由r(t)和和 G(s)求输出响应求输出响应c(t)1.初始条件为零初始条件为零例例 已知系统传递函数为已知系统传递函数为 ，c(0)=0,求求 系统单位阶跃响应和单位脉冲响应。系统单位阶跃响应和单位脉冲响应。解：单位阶跃输入时有解：单位阶跃输入时有 ，由定义得，由定义得 所以单位阶跃响应：所以单位阶跃响应：另单位脉冲响应：另单位脉冲响应：系统的单位脉冲响应等于系统传递函数的系统的单位脉冲响应等于系统传递函数的拉氏反变换拉氏反变换。2.初始条件不为零初始条件不为零例例 已知系统传递函数为已知系统传递函数为 初始条件初始条件 求系统在单位阶跃作用下的输出求系统在单位阶跃作用下的输出c(t)。解：解：系统微分方程为：系统微分方程为：对微分方程两边进行拉氏变换，得：对微分方程两边进行拉氏变换，得：思路思路：整理得：整理得：将将R(s)=1/s 带入并整理得带入并整理得用部分分式法求得：用部分分式法求得：a=0.5,b=2,c=-1.5。则则 零状态响应零状态响应 零输入响应零输入响应一一 结构图的概念和组成结构图的概念和组成1.概念概念 可清楚地看到构成系统的元部件，但不能直接可清楚地看到构成系统的元部件，但不能直接进行进行定量定量分析。分析。齿轮系齿轮系运算放运算放大器大器I功率功率放大器放大器直流直流电动机电动机测速发电机测速发电机u ui iu ut tu u1 1-w wmmu ua a运算放运算放大器大器IIu u2 2w w速度控制系统的方块图速度控制系统的方块图2-5 结构图和信号流图结构图和信号流图 将方块图中各时间域中的变量用其拉氏变换代替，将方块图中各时间域中的变量用其拉氏变换代替，将方块图中各时间域中的变量用其拉氏变换代替，将方块图中各时间域中的变量用其拉氏变换代替，各方框中元件的名称换成各元件的传递函数，这各方框中元件的名称换成各元件的传递函数，这各方框中元件的名称换成各元件的传递函数，这各方框中元件的名称换成各元件的传递函数，这时方块图就变成了时方块图就变成了时方块图就变成了时方块图就变成了结构图结构图结构图结构图。速度控制系统的结构图速度控制系统的结构图速度控制系统的结构图速度控制系统的结构图 结构图已经结构图已经结构图已经结构图已经脱离了具体的物理结构脱离了具体的物理结构脱离了具体的物理结构脱离了具体的物理结构，不同的系统，不同的系统，不同的系统，不同的系统可能有相同的结构图；同一系统选择不同的中间可能有相同的结构图；同一系统选择不同的中间可能有相同的结构图；同一系统选择不同的中间可能有相同的结构图；同一系统选择不同的中间变量，结构图也不同。变量，结构图也不同。变量，结构图也不同。变量，结构图也不同。1/iK1K3Ktu ui iu ut tu u1 1-w wmmu ua au u2 2w w2.组成组成 (1)信号线：信号线：带有箭头的直线。箭头表示信带有箭头的直线。箭头表示信号的流向，在直线旁标记所传递的信号。号的流向，在直线旁标记所传递的信号。(2)函数方框：函数方框：表示对信号进行的数学变换，表示对信号进行的数学变换，方框内的函数为方框的方框内的函数为方框的输入到输出的传递输入到输出的传递函数函数。G(s)X(s)Y(s)(3)比较点：比较点：也称综合点也称综合点 加号常省略加号常省略 负号必须标出负号必须标出 (4)引出点：引出点：一条信号线上的信号处处相等一条信号线上的信号处处相等，引出点的，引出点的信号与原信号相等。信号与原信号相等。二、二、结构图的绘制结构图的绘制（1）列写元件微分方程，注意负载效应；列写元件微分方程，注意负载效应；（2）令初始条件为零，对微分方程进行拉氏令初始条件为零，对微分方程进行拉氏变换，根据元件拉氏变换方程，绘出每变换，根据元件拉氏变换方程，绘出每个元件的单元结构图；个元件的单元结构图；（3）输入置于最左端，输出置于最右端，按输入置于最左端，输出置于最右端，按信号流向，把信号连接起来，就是系统信号流向，把信号连接起来，就是系统的结构图。的结构图。例：绘制两级例：绘制两级RC网络的结构图网络的结构图画图时画图时G(s)R(s)C(s)从左向右列方程组从左向右列方程组绘图：绘图：Ur(s)为输入，画在最左边。为输入，画在最左边。这个例子不是由微分方程组这个例子不是由微分方程组 代数方程组代数方程组 结构图，而是直接由电路列写结构图，而是直接由电路列写S域中的代数方域中的代数方程，画出了结构图。程，画出了结构图。1/R11/sC11/R21/sC2UC(s)Ur(s)U1(s)I1(s)-U1(s)-UC(s)I I2 2(s)(s)若重新选择一组中间变量若重新选择一组中间变量:I,I1,I2列写方程组：列写方程组：这个结构与前一个不一样，这个结构与前一个不一样，所以选择不同的所以选择不同的中间变量中间变量，结构图也不一样，但是，结构图也不一样，但是整个系统整个系统的输入输出关系是不会变的的输入输出关系是不会变的。绘图绘图三、结构图的等效变换三、结构图的等效变换即在结构图上进行数学方程的运算：即在结构图上进行数学方程的运算：结构图结构图是按照元件的拉氏变换方程组建立的，所以是按照元件的拉氏变换方程组建立的，所以方程组的消元就对应于结构图的简化；但结方程组的消元就对应于结构图的简化；但结构图简化比用方程组消元简便得多。构图简化比用方程组消元简便得多。原则：原则：结构图变换部分的输入和输出在变换结构图变换部分的输入和输出在变换前后保持不变。前后保持不变。G(s)X(s)Y(s)X1(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)方框的合并方框的合并 (1)串联串联(2)并联并联G(s)X(s)Y(s)X(s)G2(s)G1(s)Y1(s)Y2(s)Y(S)(3)反馈反馈C(s)G(s)H(s)E(s)R(s)R(s)C(s)负反馈负反馈负反馈负反馈 时，推导：时，推导：时，推导：时，推导：B(s)前向通路传递函数：前向通路传递函数：G(s)反馈通路传递函数：反馈通路传递函数：H(s)开环传递函数：开环传递函数：G(s)H(s)闭环传递函数：闭环传递函数：G(s)/1+G(s)H(s)，一般用，一般用(s)表示。表示。闭环传递函数：闭环传递函数：正反馈正反馈 时：时：H(s)=1时为单位负反馈，这时闭环传递函数为：时为单位负反馈，这时闭环传递函数为：例：例：求四种闭环传递函数求四种闭环传递函数（a a）（b b）-(c)-1（d d）当系统在输入信号和干扰信号同时作用下当系统在输入信号和干扰信号同时作用下的偏差为：的偏差为：从上面看出，当系统在输入信号和干扰信从上面看出，当系统在输入信号和干扰信号同时作用下的输出为号同时作用下的输出为v从从上面四种传递函数中可看出，它们的上面四种传递函数中可看出，它们的分母相同，都等于加上开环传递函数，分母相同，都等于加上开环传递函数，称为称为系统的特征式系统的特征式。比较点和引出点的移动比较点和引出点的移动四、信号流图的概念和组成四、信号流图的概念和组成信号流图源于梅森用图示法描述一个或一组线信号流图源于梅森用图示法描述一个或一组线性代数方程式。信号流图和结构图一样，是控性代数方程式。信号流图和结构图一样，是控制系统中各变量间数学关系的一种图解表示制系统中各变量间数学关系的一种图解表示法，利用信号流图可以法，利用信号流图可以更方便更方便的求出系统的传的求出系统的传递函数。递函数。1.节点：节点：表示系统中的信号，用表示系统中的信号，用“”表示，同表示，同时具有叠加的作用。时具有叠加的作用。2.支路：支路：连结两个节点的有向线段，表示了一连结两个节点的有向线段，表示了一个信号对另一个信号的函数关系，用增益个信号对另一个信号的函数关系，用增益或传递函数表示。若增益为负数，标上或传递函数表示。若增益为负数，标上“”，为正则略。支路是有方向性的。，为正则略。支路是有方向性的。组成组成节点：节点：系统中的变量（信号）系统中的变量（信号）支路：支路：连接节点，标上支路增益连接节点，标上支路增益方程组方程组fdcghbae用信号流图表示：用信号流图表示：注：所有支路必须标出方向及增益注：所有支路必须标出方向及增益五、信号流图中的常用术语五、信号流图中的常用术语1.源节点：源节点：只有输出支路的节点，一般是系统只有输出支路的节点，一般是系统的输入信号，也叫的输入信号，也叫输入节点输入节点。2.阱节点：阱节点：只有输入支路的节点，一般是系统只有输入支路的节点，一般是系统的输出信号，也叫的输出信号，也叫输出节点输出节点。注：注：输出变量不一定总是阱节点，可以变为阱输出变量不一定总是阱节点，可以变为阱 节点。节点。a ab bc cd de ef f3.混合节点：混合节点：既有输入支路也有输出支路，既有输入支路也有输出支路，通常是系统的中间变量。通常是系统的中间变量。4.前向通路及前向通路增益前向通路及前向通路增益前向通路：前向通路：从源节点开始到阱节点为止通过从源节点开始到阱节点为止通过任何节点不多于一次的通路；任何节点不多于一次的通路；前向通前向通路中各支路增益的乘积，叫路中各支路增益的乘积，叫前向通路前向通路增益增益。5.回路及回路增益回路及回路增益回路：回路：起点和终点在同一节点且通过其他节起点和终点在同一节点且通过其他节点不多于一次的闭合通路；回路中各支路增点不多于一次的闭合通路；回路中各支路增益的乘积叫益的乘积叫回路增益回路增益。6.不接触回路不接触回路相互间没有公共节点的回路。相互间没有公共节点的回路。不接触回路为不接触回路为回路增益分别为回路增益分别为a ab bc ce ef fg g六、信号流图的绘制六、信号流图的绘制根据系统微分方程组绘制根据系统微分方程组绘制由系统的结构图绘制由系统的结构图绘制1.根据微分方程组：根据微分方程组：微分方程组微分方程组 代数方程组代数方程组拉氏变换拉氏变换拉氏变换拉氏变换零初始条件零初始条件零初始条件零初始条件因果关系因果关系因果关系因果关系每个变量指定一个节点每个变量指定一个节点信号流图。信号流图。例例1.分别为系统输入和输出，分别为系统输入和输出，试绘制信号流图试绘制信号流图前向通路只有一条，增益：前向通路只有一条，增益：1 11 1回路有回路有3 条：条：先从输入变量着手画：先从输入变量着手画：不存在不接触回路。不存在不接触回路。2.由系统结构图绘制信号流图由系统结构图绘制信号流图 对应关系：对应关系：结构图结构图函数方框函数方框比较点比较点引出点引出点信号流图信号流图节点节点支路支路信号线信号线结构图结构图信号流图信号流图某系统中，放大器的输入是两电压信号之差，某系统中，放大器的输入是两电压信号之差，结构图为：结构图为：-1用信号流图表示为：用信号流图表示为：例例2.根据结构图绘制系统的信号流图：根据结构图绘制系统的信号流图：CRR 七、梅森公式七、梅森公式根据信号流图求出系统的传递函数根据信号流图求出系统的传递函数一般采用梅森公式：一般采用梅森公式：P:输入节点到输出节点的增益，即所要求的输入节点到输出节点的增益，即所要求的传递函数。传递函数。n:从输入节点到输出节点的前向通路总数。从输入节点到输出节点的前向通路总数。：从输入节点到输出节点第：从输入节点到输出节点第k条前向通路条前向通路的增益。的增益。：所有单独回路的增益之和。：所有单独回路的增益之和。：信号流图的特征式。：信号流图的特征式。：所有每两个互不接触回路增益乘积：所有每两个互不接触回路增益乘积之和。之和。：所有每三个互不接触回路增益乘：所有每三个互不接触回路增益乘积之和。积之和。：第第k条前向通路特征式的余因子，即把条前向通路特征式的余因子，即把与第与第k条前向通路相接触的回路除去以后条前向通路相接触的回路除去以后的值。的值。例例1.求求R Ra ab bc cd de ef fg gj jC Ch hi i代入后，得代入后，得例例2.求求解解:求求 :找回路找回路:b bd dk ke eR(s)R(s)C(s)C(s)g ga ach h f f（1）C(s)/R(s):例例3 求求 C(s)/R(s),E(s)/R(s),C(s)/N(s),C(s)两两互不接触回路有两两互不接触回路有L1 1L2 2（2）E(s)/R(s)：两两互不接触回路仍为两两互不接触回路仍为L1 1L2 2 无论输入输出是什么，回路是不变的，所以无论输入输出是什么，回路是不变的，所以不变不变(3)C(s)/N(s):(4)C(s):例例4.求所示系统的传递函数求所示系统的传递函数