空间向量及其运(理)课件

第六节 空间向量及其运算（理）一、空间向量的概念一、空间向量的概念名称名称定定义空空间向量向量在空在空间中，具有中，具有 和和 的量叫做空的量叫做空间向量，其大小叫做向量的向量，其大小叫做向量的 或或单位向量位向量长度或模度或模为 的向量的向量零向量零向量 的向量的向量相等向量相等向量方向方向 且模且模 的向量的向量大小大小 方向方向1模模为0相同相同 相等相等长度长度 模模相反向量相反向量 相反且相反且 相等的向量相等的向量方向方向模模名称名称定定义共共线向量向量如果表示空如果表示空间向量的有向向量的有向线段所在的直段所在的直线或或 ，则称称这些向量叫做共些向量叫做共线向量向量 ，a平行于平行于b记作作 共面共面向量向量平行于同一平行于同一 的向量叫做共面向量的向量叫做共面向量互相平行互相平行重合重合平行向量平行向量平面平面a b二、空间向量中的有关定理二、空间向量中的有关定理定理定理内容内容共共线向量向量定理定理定定理理对于空于空间任意两个向量任意两个向量a，b(b0)，a b的充的充 要条件是存在要条件是存在实数数，使，使 .推推论如图所示，点如图所示，点P在在l上的充要条件上的充要条件是：是：其中其中a叫做直线叫做直线l的方向向量，的方向向量，t R，在，在l上取上取 a，则，则可可化为化为 或或 (1t)a abb定理定理内容内容共面共面向量向量定理定理定定理理如果两个向量如果两个向量a、b ，则向量，则向量p与向量与向量a、b共共面的充要条件是存在实数对面的充要条件是存在实数对x、y，使，使 推推论空空间一点一点P位于平面位于平面MAB内的充要条件是存在有序内的充要条件是存在有序实数数对x、y，使，使或或对空空间任一定点任一定点O，有，有不共线不共线px ay b定理定理内容内容空空间向量向量基本基本定理定理定定理理如如果果三三个个向向量量a、b、c ，那那么么对对任任一一向向量量p，存在一个唯一的有序实数组，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，.我我们们把把a，b，c叫叫做做空空间间的的一一个个 ，a、b、c都叫做都叫做 推推论设O、A、B、C是不共面的四点，是不共面的四点，则对空空间任一任一点点P，都存在唯一的三个有序，都存在唯一的三个有序实数数x、y、z，使，使 .不共面不共面基底基底基向量基向量px ay bzc三、向量的运算三、向量的运算1空间向量的加法和减法空间向量的加法和减法 类似于平面向量，我们可以定义空间向量的加法和减法类似于平面向量，我们可以定义空间向量的加法和减法 运算运算(如图如图)：2空间向量的数乘空间向量的数乘 实数实数与空间向量与空间向量a的乘积的乘积 仍然是一个向量，称为仍然是一个向量，称为 当当0时，时，a与与a方向方向 ；当；当0时，时，a与与a方方 向向 ；a的长度是的长度是a的长度的的长度的|倍倍数乘数乘相同相同相反相反 a四、空间向量的数量积四、空间向量的数量积1空间向量空间向量a、b的数量积的数量积ab|a|b|cosa，b同向同向反向反向a b2空间向量空间向量a、b的夹角的夹角a，b的取值范围是的取值范围是0，其其 中当中当a，b0时，时，a和和b ；当；当a，b时，时，a 和和b ；当；当a，b 时，时，.3空间向量数量积的性质空间向量数量积的性质 (1)|a|；(2)a b ；(3)cosa，b ab0abbaa(bc)abac(ab)(a)ba(b)(R)4空间向量数量积的运算律空间向量数量积的运算律 (1)交换律：交换律：；(2)分配律：分配律：；(3)结合律：结合律：如何利用数量积证明如何利用数量积证明a b.提示：提示：ab=|a|b|1已知空间四边形已知空间四边形OABC中，中，点，点M 在在OA上，且上，且OM2MA.N为为BC中点，则中点，则 ()解析：解析：显然显然答案：答案：B2与向量与向量a(1，3,2)平行的一个向量的坐标是平行的一个向量的坐标是()解析：解析：可知性可知性 ，选，选C.答案：答案：CB.（-1，-3，2）3如图所示，在平行六面体如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，中，M为为AC与与 BD的交点，若的交点，若 ，则下列向量，则下列向量 与与 相等的向量是相等的向量是 ()答案：答案：A解析：解析：4已知已知A(1，2,6)，B(1,2，6)，O为坐标原点，则向量为坐标原点，则向量 与与 的夹角是的夹角是_解析：解析：由由cos1知知.答案：答案：5已知空间四边形已知空间四边形OABC，其对角线为，其对角线为OB、AC，M、N分别是分别是 对边对边OA、BC的中点，点的中点，点G在线段在线段MN上，且上，且 ，现，现 用基底用基底 表示向量表示向量 则则x、y、z的值分别为的值分别为_解析：解析：答案：答案：用已知向量表示未知向量，一定要结合图形可从以下用已知向量表示未知向量，一定要结合图形可从以下角度入手：角度入手：1要有基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来要有基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来2把要表示的向量标在封闭图形中，表示为其他向量的和把要表示的向量标在封闭图形中，表示为其他向量的和 差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系3用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底 的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法，的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘 如图所示，在平行六面体如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，中，设设 M、N、P分别是分别是AA1、BC、C1D1的中点，试用的中点，试用a，b，c表示以下各向量：表示以下各向量：将所表示向量置于三角形或多边形中利用三将所表示向量置于三角形或多边形中利用三角形法则或多边形法则可求角形法则或多边形法则可求.【解解】（1）P是是C1D1的中点，的中点，(2)N是是BC的中点，的中点，(3)M是是AA1的中点，的中点，又又1在例在例1的条件下，若的条件下，若 2 ，试用，试用a，b，c表示表示解：解：如图：连接如图：连接AF由已知由已知ABCD是平行四边形，是平行四边形，由已知：由已知：故故 =a+c,-a+c.又又（a+ca+c），），应用共线向量定理、共面向量定理，可以证明点共线、应用共线向量定理、共面向量定理，可以证明点共线、点共面、线共面点共面、线共面1证明空间任意三点共线的方法证明空间任意三点共线的方法 对空间三点对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点可通过证明下列结论成立来证明三点 共线共线（2）对空间任一点）对空间任一点O，（3）对空间任一点）对空间任一点O，2证明空间四点共面的方法证明空间四点共面的方法 对空间四点对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四可通过证明下列结论成立来证明四 点共面点共面（2）对空间任一点）对空间任一点O（3）对空间任一点）对空间任一点O，或或 或或 如图所示，已知如图所示，已知ABCD是平行四边形，是平行四边形，P点是点是ABCD所在平面外一点，连接所在平面外一点，连接PA、PB、PC、PD.设点设点E、F、G、H分别为分别为 PAB、PBC、PCD、PDA的重心的重心(1)试用向量方法证明试用向量方法证明E、F、G、H四点共面；四点共面；(2)试判断平面试判断平面EFGH与平面与平面ABCD的位置关系，并用向量方法的位置关系，并用向量方法证明你的判断证明你的判断(1)可构造证明可构造证明(2)只需证明只需证明EG 平面平面ABC，EF 平面平面ABC.【解解】(1)证明：分别延长证明：分别延长PE、PF、PG、PH交对边于交对边于M、N、Q、R点点因为因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心分别是所在三角形的重心所以所以M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连接为所在边的中点，顺次连接M、N、Q、R得到的四边形为平行四边形，且有：得到的四边形为平行四边形，且有：因为因为MNQR是一个平行四边形，所以是一个平行四边形，所以由共面向量定理知由共面向量定理知E、F、G、四点共面、四点共面.又又所以所以(2)由由(1)得得又因为又因为EG 平面平面ABC，所以，所以EG 平面平面ABC.因为因为所以所以MN EF，又因为又因为EF 平面平面ABC，所以，所以EF 平面平面ABC.由于由于EG与与EF交于交于E点，点，所以平面所以平面EFGH与平面与平面ABCD是平行平面是平行平面所以所以2在以下命题中，不正确的命题个数为在以下命题中，不正确的命题个数为 ()(1)已知已知A、B、C、D是空间任意四点，且是空间任意四点，且 0.(2)|a|b|ab|是是a、b共线的充要条件共线的充要条件 (3)若若a与与b共线，则共线，则a与与b所在直线平行所在直线平行 .(4)对空间任意一点对空间任意一点O和不共线的三点和不共线的三点A、B、C，若，若 (其中其中x、y、z R)，则，则P、A、B、C 四点共面四点共面A1B2C3 D4解析：解析：(1)正确；若正确；若a，b同向共线，则同向共线，则|a|b|ab|，故，故(2)错；由向量平行知错；由向量平行知(3)不正确由空间向量共面知不正确由空间向量共面知(4)不正不正确，故共有三个命题不正确确，故共有三个命题不正确答案：答案：C1方法方法 应用数量积解决问题时一般有两种方法：一是取空间向量应用数量积解决问题时一般有两种方法：一是取空间向量 的一组基底，一般来讲该基底最好已知相互之间的夹角及的一组基底，一般来讲该基底最好已知相互之间的夹角及 各向量的模；二是建立空间直角坐标系利用坐标系运算来各向量的模；二是建立空间直角坐标系利用坐标系运算来 解决后者更为简捷解决后者更为简捷2应用类型应用类型 (1)证明线线垂直，转化为证证明线线垂直，转化为证a bab0，若，若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则转化为计算，则转化为计算a1b1a2b2a3b30；(2)在求立体几何中线段的长度时，转化为求在求立体几何中线段的长度时，转化为求aa|a|2，或利用空间两点间的距离公式或利用空间两点间的距离公式 如图，在棱长为如图，在棱长为a的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中，中，G为为 BC1D的重心的重心(1)试证试证A1、G、C三点共线；三点共线；(2)试证试证A1C 平面平面BC1D；(3)求点求点C到平面到平面BC1D的距离的距离(1)即证即证 .(2)可证可证 0，0.(3)利用利用 可求可求.【解解】（1）证明：）证明：即即A1、G、C三点共线三点共线.(2)证明：设证明：设 则则|a|b|c|a，且且abbcca0.又又BDBC1B因此因此A1C 平面平面BC1D.(3)由由(2)知，知，A1C 平面平面BC1D，则，则C到平面到平面BC1D的距离为的距离为|CG|，由（由（1）知）知3已知一个已知一个 60的二面角的棱上有两点的二面角的棱上有两点A、B，AC、BD分别分别 是在这两个面内且垂直于是在这两个面内且垂直于AB的线段又知的线段又知AB4，AC6，BD8，求：求：(1)CD长；长；(2)AB与与CD成的角的余弦值成的角的余弦值 空间向量及其运算空间向量及其运算.高考中很少单独命题，常以工具高考中很少单独命题，常以工具性知识与方法在解答题中考查位置关系的证明、判断及空性知识与方法在解答题中考查位置关系的证明、判断及空间角的计算间角的计算.对解决一些探索性问题更有独到之处对解决一些探索性问题更有独到之处.2009年年全国卷全国卷中利用向量法求线段长（转化为坐标值）及线面中利用向量法求线段长（转化为坐标值）及线面用的大小突出了空间向量这一工具知识的作用用的大小突出了空间向量这一工具知识的作用.(2009全国卷全国卷)如图，直三棱柱如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，中，AB AC，D、E分别为分别为AA1、B1C的中点，的中点，DE 平面平面BCC1.(1)证明：证明：AB=AC；(2)设二面角设二面角A-BD-C为为60，求求B1C与平面与平面BCD所成的角的所成的角的大小大小解解(1)证明：以证明：以A为坐标原点，射线为坐标原点，射线AB为为x轴的正半轴，建轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系立如图所示的直角坐标系A-xyz.设设B(1,0,0)，C(0，b,0)，D(0,0，c)，则则B1(1,0,2c)，E()于是于是由由DE平面平面BCC1知知DEBC，0，求得求得b1，所以，所以ABAC.(2)设平面设平面BCD的法向量的法向量 (x，y，z)，令令x=1,则则y=1 又平面又平面ABD的法向量的法向量由二面角由二面角A-BD-C为为故故 cos60，求得，求得c于是于是 (1,1，)，(1，1，)，cos 60.所以所以B1C与平面与平面BCD所成的角为所成的角为30.利用向量坐标法证明平行、垂直或计算距离、空间角时，首先利用向量坐标法证明平行、垂直或计算距离、空间角时，首先要准确地建系并写出相关点的坐标，然后根据条件进行运算要准确地建系并写出相关点的坐标，然后根据条件进行运算在解题过程中，要注意向量的坐标运算，法向量的取法同学在解题过程中，要注意向量的坐标运算，法向量的取法同学们思考一下：在们思考一下：在(2)条件下能否求出二面角条件下能否求出二面角ACDB的大小的大小