第八章数值积分与微分课件

第8章数值积分数值积分与与微微 分分返回前进第8章目录1 数值积分的基本概念数值积分的基本概念 1.1构造数值求积公式的基本思想构造数值求积公式的基本思想 1.2代数精度代数精度 1.3插值型求积公式插值型求积公式2 牛顿一柯特斯（牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式公式 2.1牛顿一柯特斯公式牛顿一柯特斯公式 2.2几种低价几种低价N-C求积公式的余项求积公式的余项 2.3牛顿一柯特斯公式的稳定性和收敛性牛顿一柯特斯公式的稳定性和收敛性3 复化求积公式复化求积公式 3.1复化梯形公式复化梯形公式 3.2复化复化Simpson公式与复化公式与复化Cotes公式公式返回前进第8章目录4 变步长方法（逐次分半算法）变步长方法（逐次分半算法）4.1 梯形公式的逐次分半算法梯形公式的逐次分半算法 4.2 Simpson公式的逐次分半算法公式的逐次分半算法5 龙贝格（龙贝格（Romberg）求积公式求积公式 5.1外推法外推法 5.2 Romberg求积公式求积公式6 高斯（高斯（Gauss）型求积公式型求积公式7 7 数值微分数值微分数值微分数值微分返回前进序(1)计算定积分计算定积分计算定积分计算定积分 的值是经常遇到的一个问题，的值是经常遇到的一个问题，的值是经常遇到的一个问题，的值是经常遇到的一个问题，由微积分理论知道：只要求出由微积分理论知道：只要求出由微积分理论知道：只要求出由微积分理论知道：只要求出f f(x x)的一个原函数的一个原函数的一个原函数的一个原函数F F(x x)，就可以利用牛顿就可以利用牛顿就可以利用牛顿就可以利用牛顿莱布尼慈（莱布尼慈（莱布尼慈（莱布尼慈（Newton-LeibnizNewton-Leibniz）公式公式公式公式出定积分值：出定积分值：出定积分值：出定积分值：但是，在工程技术领域，在实际使用上述求积分方法但是，在工程技术领域，在实际使用上述求积分方法但是，在工程技术领域，在实际使用上述求积分方法但是，在工程技术领域，在实际使用上述求积分方法时，往往会遇到下面情况：时，往往会遇到下面情况：时，往往会遇到下面情况：时，往往会遇到下面情况：1.1.函数函数函数函数f f(x x)没有具体的解析表达式，只有一些由实验没有具体的解析表达式，只有一些由实验没有具体的解析表达式，只有一些由实验没有具体的解析表达式，只有一些由实验 测试数据形成的表格或测试数据形成的表格或测试数据形成的表格或测试数据形成的表格或 图形。图形。图形。图形。返回前进序(2)3.3.f f(x x)的结构复杂，求原函数困难，即不定积分难求。的结构复杂，求原函数困难，即不定积分难求。的结构复杂，求原函数困难，即不定积分难求。的结构复杂，求原函数困难，即不定积分难求。2.2.f f(x x)的原函数无法用初等函数表示出来，如：的原函数无法用初等函数表示出来，如：的原函数无法用初等函数表示出来，如：的原函数无法用初等函数表示出来，如：由于以上种种原因，因此有必要研究积分的数值计算由于以上种种原因，因此有必要研究积分的数值计算由于以上种种原因，因此有必要研究积分的数值计算由于以上种种原因，因此有必要研究积分的数值计算方法，进而建立起上机计算定积分的算法，此外，数值积方法，进而建立起上机计算定积分的算法，此外，数值积方法，进而建立起上机计算定积分的算法，此外，数值积方法，进而建立起上机计算定积分的算法，此外，数值积分也是研究微分方程和积分方程的数值解法的基础。分也是研究微分方程和积分方程的数值解法的基础。分也是研究微分方程和积分方程的数值解法的基础。分也是研究微分方程和积分方程的数值解法的基础。同样，对函数同样，对函数同样，对函数同样，对函数f f(x x)求导，也有类似的问题，需要研究数求导，也有类似的问题，需要研究数求导，也有类似的问题，需要研究数求导，也有类似的问题，需要研究数值微分方法。值微分方法。值微分方法。值微分方法。返回前进1 数值积分的基本概念 1.1 构造数值求积公式的基本思想构造数值求积公式的基本思想 定积分定积分定积分定积分I I=a ab b f f(x x)dxdx在几何上为在几何上为在几何上为在几何上为x=a,x=bx=a,x=b,y=y=0 0和和和和y=f y=f(x x)所所所所围成的曲边梯形的面积。定积分计算之所以困难，就在于围成的曲边梯形的面积。定积分计算之所以困难，就在于围成的曲边梯形的面积。定积分计算之所以困难，就在于围成的曲边梯形的面积。定积分计算之所以困难，就在于这个曲边梯形中有一条边这个曲边梯形中有一条边这个曲边梯形中有一条边这个曲边梯形中有一条边y=f y=f(x x)是曲边，而不是规则图形。是曲边，而不是规则图形。是曲边，而不是规则图形。是曲边，而不是规则图形。由积分中值定理，对连续函数由积分中值定理，对连续函数由积分中值定理，对连续函数由积分中值定理，对连续函数f f(x x)，在区间在区间在区间在区间 a a,b b 内至内至内至内至少少少少存在一点存在一点存在一点存在一点 ，使：，使：，使：，使：也就是说，曲边梯形的面积也就是说，曲边梯形的面积也就是说，曲边梯形的面积也就是说，曲边梯形的面积I I 恰好恰好恰好恰好等于底为（等于底为（等于底为（等于底为（b b-a a），），），），高为高为高为高为f f()的规则图的规则图的规则图的规则图形形形形矩形的面积（图矩形的面积（图矩形的面积（图矩形的面积（图7-17-1），），），），f f()为曲为曲为曲为曲边梯形的平均高度，然而点边梯形的平均高度，然而点边梯形的平均高度，然而点边梯形的平均高度，然而点 的具体位置一般是不知道的，的具体位置一般是不知道的，的具体位置一般是不知道的，的具体位置一般是不知道的，因此难以准确地求出因此难以准确地求出因此难以准确地求出因此难以准确地求出f f()的值。但是，由此可以得到这的值。但是，由此可以得到这的值。但是，由此可以得到这的值。但是，由此可以得到这样的启发，只要能对平均高度样的启发，只要能对平均高度样的启发，只要能对平均高度样的启发，只要能对平均高度f f()提供一种近似算法，提供一种近似算法，提供一种近似算法，提供一种近似算法，便可以相应地得到一种数值求积公式。便可以相应地得到一种数值求积公式。便可以相应地得到一种数值求积公式。便可以相应地得到一种数值求积公式。图图图图7-1 7-1 a ab b 返回前进构造数值求积公式的基本思想（续）如，用两端点的函数值如，用两端点的函数值如，用两端点的函数值如，用两端点的函数值f f(a a)与与与与f f(b b)取算术平均值作为平均取算术平均值作为平均取算术平均值作为平均取算术平均值作为平均高度高度高度高度f f()的近似值，这样可导出求积公式：的近似值，这样可导出求积公式：的近似值，这样可导出求积公式：的近似值，这样可导出求积公式：更一般地，可以在区间更一般地，可以在区间更一般地，可以在区间更一般地，可以在区间 a a,b b 上适当选取某些点上适当选取某些点上适当选取某些点上适当选取某些点x xk k (k k=0,1,=0,1,n n)，然后用然后用然后用然后用f f(x xk k)的加权平均值近似地表示的加权平均值近似地表示的加权平均值近似地表示的加权平均值近似地表示f f()，这样得到一般的求积公式：这样得到一般的求积公式：这样得到一般的求积公式：这样得到一般的求积公式：其中，点其中，点其中，点其中，点x xk k 称为求积节点，系数称为求积节点，系数称为求积节点，系数称为求积节点，系数A Ak k 称为求积系数，称为求积系数，称为求积系数，称为求积系数，A Ak k 仅仅仅仅仅与节点仅与节点仅与节点仅与节点x xk k 的选取有关，而不依赖于被积函数的选取有关，而不依赖于被积函数的选取有关，而不依赖于被积函数的选取有关，而不依赖于被积函数f f(x x)的具体的具体的具体的具体形式，即形式，即形式，即形式，即x xk k决定了，决定了，决定了，决定了，A Ak k也就相应的决定了。也就相应的决定了。也就相应的决定了。也就相应的决定了。返回前进构造数值求积公式的基本思想回顾定积分的定义，积回顾定积分的定义，积回顾定积分的定义，积回顾定积分的定义，积分值分值分值分值I I 是和式的极限：是和式的极限：是和式的极限：是和式的极限：其中其中其中其中 x xk k是是是是 a a,b b 的每的每的每的每一个分割小区间的长度，它与一个分割小区间的长度，它与一个分割小区间的长度，它与一个分割小区间的长度，它与f f(x x)无关，去掉极限，由此无关，去掉极限，由此无关，去掉极限，由此无关，去掉极限，由此得到近似计算公式：得到近似计算公式：得到近似计算公式：得到近似计算公式：因此，式（因此，式（因此，式（因此，式（7-17-1）可作为一般的求积公式，其特点是将积）可作为一般的求积公式，其特点是将积）可作为一般的求积公式，其特点是将积）可作为一般的求积公式，其特点是将积分问题归结为函数值的计算，从而避开了使用牛顿一莱布分问题归结为函数值的计算，从而避开了使用牛顿一莱布分问题归结为函数值的计算，从而避开了使用牛顿一莱布分问题归结为函数值的计算，从而避开了使用牛顿一莱布尼慈公式需要求原函数的困难，适合于函数给出时计算积尼慈公式需要求原函数的困难，适合于函数给出时计算积尼慈公式需要求原函数的困难，适合于函数给出时计算积尼慈公式需要求原函数的困难，适合于函数给出时计算积分，也非常便于设计算法。便于上机计算。分，也非常便于设计算法。便于上机计算。分，也非常便于设计算法。便于上机计算。分，也非常便于设计算法。便于上机计算。求积公式（求积公式（求积公式（求积公式（7-17-1）的截断误差为：）的截断误差为：）的截断误差为：）的截断误差为：Rn也称为也称为积分余项积分余项。返回前进1.2 代数精度 数值积分是一种近似方法，但其中有的公式能对较多数值积分是一种近似方法，但其中有的公式能对较多数值积分是一种近似方法，但其中有的公式能对较多数值积分是一种近似方法，但其中有的公式能对较多的函数准确成立，而有的公式只对较少的函数准确成立。的函数准确成立，而有的公式只对较少的函数准确成立。的函数准确成立，而有的公式只对较少的函数准确成立。的函数准确成立，而有的公式只对较少的函数准确成立。为了反映数值积分公式在这方面的差别，引入代数精度的为了反映数值积分公式在这方面的差别，引入代数精度的为了反映数值积分公式在这方面的差别，引入代数精度的为了反映数值积分公式在这方面的差别，引入代数精度的概念。概念。概念。概念。定义定义定义定义1 1 如果某个求积公式对所有次数不大于如果某个求积公式对所有次数不大于如果某个求积公式对所有次数不大于如果某个求积公式对所有次数不大于mm的多项式都的多项式都的多项式都的多项式都精确成立，而至少对一个精确成立，而至少对一个精确成立，而至少对一个精确成立，而至少对一个m m+1+1次多项式不精确成次多项式不精确成次多项式不精确成次多项式不精确成，则称该公式具有，则称该公式具有，则称该公式具有，则称该公式具有mm次代数精度。次代数精度。次代数精度。次代数精度。一般来说，代数精度越高，求积公式越好。为了便于应一般来说，代数精度越高，求积公式越好。为了便于应一般来说，代数精度越高，求积公式越好。为了便于应一般来说，代数精度越高，求积公式越好。为了便于应用，由定义用，由定义用，由定义用，由定义1 1容易得到下面定理。容易得到下面定理。容易得到下面定理。容易得到下面定理。定理定理定理定理1 1 一个求积公式具有一个求积公式具有一个求积公式具有一个求积公式具有mm次代数精度的充分必要条件次代数精度的充分必要条件次代数精度的充分必要条件次代数精度的充分必要条件是该求积公式对是该求积公式对是该求积公式对是该求积公式对 1,x,x1,x,x2 2,x xmm 精确成立，而对精确成立，而对精确成立，而对精确成立，而对x xmm+1+1不精确成立。不精确成立。不精确成立。不精确成立。返回前进代数精度(续1）试验证梯形公式具有一次代数精度。试验证梯形公式具有一次代数精度。试验证梯形公式具有一次代数精度。试验证梯形公式具有一次代数精度。例例例例1 1同理可证明矩形公式的同理可证明矩形公式的同理可证明矩形公式的同理可证明矩形公式的代数精度也是一次的代数精度也是一次的代数精度也是一次的代数精度也是一次的 返回前进代数精度（续2）上述过程表明，可以从代数精度的角度出发来构造求积公上述过程表明，可以从代数精度的角度出发来构造求积公上述过程表明，可以从代数精度的角度出发来构造求积公上述过程表明，可以从代数精度的角度出发来构造求积公式。式。式。式。例如，对于求积公式（例如，对于求积公式（例如，对于求积公式（例如，对于求积公式（7-17-1），若事先选定一组求积），若事先选定一组求积），若事先选定一组求积），若事先选定一组求积节点节点节点节点x xk k (k k=0,1,=0,1,n,n,)，x xk k可以选为等距点，也可以选为非可以选为等距点，也可以选为非可以选为等距点，也可以选为非可以选为等距点，也可以选为非等距点，等距点，等距点，等距点，则可令公式对则可令公式对则可令公式对则可令公式对f f(x x)=1,)=1,x x,x xn n 精确成立，即得：精确成立，即得：精确成立，即得：精确成立，即得：这是关于这是关于这是关于这是关于A A0 0、A A1 1、A An n的线性方程组，系数行列式的线性方程组，系数行列式的线性方程组，系数行列式的线性方程组，系数行列式为范德蒙行列式，其值不等于零，故方程组存在唯一的一为范德蒙行列式，其值不等于零，故方程组存在唯一的一为范德蒙行列式，其值不等于零，故方程组存在唯一的一为范德蒙行列式，其值不等于零，故方程组存在唯一的一组解。求解该方程组即可确定求积系数组解。求解该方程组即可确定求积系数组解。求解该方程组即可确定求积系数组解。求解该方程组即可确定求积系数A Ak k，所得到的求积所得到的求积所得到的求积所得到的求积公式（公式（公式（公式（7-17-1）至少具有）至少具有）至少具有）至少具有n n次代数精度。次代数精度。次代数精度。次代数精度。返回前进例例2 确定求确定求确定求确定求积公式积公式积公式积公式 使其具有尽可能高的代数精度。使其具有尽可能高的代数精度。使其具有尽可能高的代数精度。使其具有尽可能高的代数精度。解解求积公式中含有三个待定参数，可假定近似式（求积公式中含有三个待定参数，可假定近似式（求积公式中含有三个待定参数，可假定近似式（求积公式中含有三个待定参数，可假定近似式（7-7-3 3）的代数精度为）的代数精度为）的代数精度为）的代数精度为m m=2=2，则当则当则当则当f f(x x)=1)=1，x x，x x2 2时，式（时，式（时，式（时，式（7-37-3）应）应）应）应准确成立，即有：准确成立，即有：准确成立，即有：准确成立，即有：代回去可得：代回去可得：代回去可得：代回去可得：返回前进 公式（公式（公式（公式（7-47-4）不仅对特殊的次数不高于）不仅对特殊的次数不高于）不仅对特殊的次数不高于）不仅对特殊的次数不高于3 3次的多项式次的多项式次的多项式次的多项式f f(x x)=1,=1,x x,x x2 2,x x3 3准确成立，而且对任意次数不高于准确成立，而且对任意次数不高于准确成立，而且对任意次数不高于准确成立，而且对任意次数不高于3 3次的多项次的多项次的多项次的多项式，式，式，式，a a0 0+a a1 1x x+a a2 2x x2 2+a a2 2x x3 3（f f(x x)=1,)=1,x x,x x2 2,x x3 3的线性组合）也的线性组合）也的线性组合）也的线性组合）也准确成立，事实上，令准确成立，事实上，令准确成立，事实上，令准确成立，事实上，令R R(f f)表式（表式（表式（表式（7-47-4）的截断误差：）的截断误差：）的截断误差：）的截断误差：检检查查（7-4）对对 m=3 是是否否成成立立，为为此此，令令 f(x)=x3 代入（代入（7-4），此时左边），此时左边 。再检查（再检查（7-4）对）对m=4是否成立，令是否成立，令f(x)=x4代入（代入（7-），），此时此时:因此近似式（因此近似式（7-4）的代数精度为）的代数精度为m=3.返回前进由于对任意的常数由于对任意的常数,和函数和函数f(x)，g(x)成立成立:这表明，误差对这表明，误差对f(x)=1,x,x2,x3准确成立，则准确成立，则对它们的任意线性组合对它们的任意线性组合a0+a1x+a2x2+a3x3也准确也准确成立，所以通常检查一个求积公式是否具有成立，所以通常检查一个求积公式是否具有m次代次代数精度，只需检查对数精度，只需检查对f(x)=1,x,xm 是否准确成立是否准确成立即可。即可。上述方法称为上述方法称为待定系数法！待定系数法！返回前进待定系数法注释 注注1：由待定系数法确定的求积公式没有确：由待定系数法确定的求积公式没有确切的误差估计式，只能从其所具有的代数精切的误差估计式，只能从其所具有的代数精度去判定求积公式的准确程度。度去判定求积公式的准确程度。注注2：因此，希望由待定系数法确定的求积：因此，希望由待定系数法确定的求积公式的代数精度越高越好，通常的方法是要公式的代数精度越高越好，通常的方法是要确定确定n+1个待定系数。可设求积公式具有个待定系数。可设求积公式具有n次次代数精度，去建立代数精度，去建立n+1个方程求解，否则的个方程求解，否则的话，只设其具有话，只设其具有0次代数精度，建立次代数精度，建立1个方程个方程也可以求出也可以求出n+1个待定参数个待定参数.上述方法称为待定系数法，在具有尽可能高的上述方法称为待定系数法，在具有尽可能高的上述方法称为待定系数法，在具有尽可能高的上述方法称为待定系数法，在具有尽可能高的代数精度的要求下，利用它可以得出各种求积公式。代数精度的要求下，利用它可以得出各种求积公式。代数精度的要求下，利用它可以得出各种求积公式。代数精度的要求下，利用它可以得出各种求积公式。返回前进1.3 插值型求积公式 设给定一组节点设给定一组节点设给定一组节点设给定一组节点a a x x0 0 x x1 1 x xn n-1-1 x xn n b b，且已知且已知且已知且已知f f(x x)在这些节点上的函数值，则可求在这些节点上的函数值，则可求在这些节点上的函数值，则可求在这些节点上的函数值，则可求 得得得得f f(x x)的拉格朗日插值多项式：的拉格朗日插值多项式：的拉格朗日插值多项式：的拉格朗日插值多项式：其中其中其中其中l lk k(x x)为插值基函数。取为插值基函数。取为插值基函数。取为插值基函数。取f f(x x)L Ln n(x x)，则有：则有：则有：则有：记：记：记：记：则有：则有：则有：则有：返回前进插值型求积公式（续）这种求积系数由式（这种求积系数由式（7-5）所确定的求积公式称为）所确定的求积公式称为插值型求积公式。插值型求积公式。根据插值余项定理，插值型求积公式的求积余根据插值余项定理，插值型求积公式的求积余项为：项为：其中其中 a,b 且与且与x有关。在插值中，因有关。在插值中，因f(x)不不知道，所以无法估计插值误差。而在这里，知道，所以无法估计插值误差。而在这里，f(x)作为被积函数，式（作为被积函数，式（7-6）却可以用于估计积分的）却可以用于估计积分的误差误差。返回前进插值型求积公式代数精度定理关于插值型求积公式的代数精度，有如下定理。关于插值型求积公式的代数精度，有如下定理。关于插值型求积公式的代数精度，有如下定理。关于插值型求积公式的代数精度，有如下定理。具有具有具有具有n n+1+1个节点的数值求积公式（个节点的数值求积公式（个节点的数值求积公式（个节点的数值求积公式（7-17-1）是插值型求积）是插值型求积）是插值型求积）是插值型求积公式的充分必要条件是该公式至少具有公式的充分必要条件是该公式至少具有公式的充分必要条件是该公式至少具有公式的充分必要条件是该公式至少具有n n次代数精度。次代数精度。次代数精度。次代数精度。定定定定理理理理2 2证：证：证：证：(充分性充分性充分性充分性)设求积公式（设求积公式（设求积公式（设求积公式（7-17-1）至少具有）至少具有）至少具有）至少具有n n次代数精次代数精次代数精次代数精度，那么，由于插值基函数度，那么，由于插值基函数度，那么，由于插值基函数度，那么，由于插值基函数 l li i(x x)()(i i=0,1,=0,1,n n)均是次均是次均是次均是次数为数为数为数为n n的多项式，故式（的多项式，故式（的多项式，故式（的多项式，故式（7-17-1）对）对）对）对l li i(x x)精确成立，即精确成立，即精确成立，即精确成立，即:返回前进 (必要性必要性)设求积公式（设求积公式（7-1）是插值型的，则对）是插值型的，则对所有次数不大于所有次数不大于n的多项式的多项式f(x)，按（按（7-6）其求积）其求积余项余项Rn=0，即公式是精确成立的。由定义即公式是精确成立的。由定义1知求知求积公式至少具有积公式至少具有n次代数精度。（证毕）次代数精度。（证毕）定理定理2说明，当求积公式（说明，当求积公式（7-1）选定求积节点）选定求积节点xk后后，确定求积系数，确定求积系数Ak有两条可供选择的途径：求解有两条可供选择的途径：求解线性方程线性方程 组（组（7-2）或者计算积分（）或者计算积分（7-5）。由此得）。由此得到的求积公式都是插值型的，其代数精度均不小于到的求积公式都是插值型的，其代数精度均不小于n次。次。返回前进插值型求积公式举例例例3考察求积公式：考察求积公式：考察求积公式：考察求积公式：具有几次代数精度。具有几次代数精度。具有几次代数精度。具有几次代数精度。此例说明三个节点的求积公式不一定具有二次数精度，此例说明三个节点的求积公式不一定具有二次数精度，此例说明三个节点的求积公式不一定具有二次数精度，此例说明三个节点的求积公式不一定具有二次数精度，其原因是此求积公式不是插值型的。其原因是此求积公式不是插值型的。其原因是此求积公式不是插值型的。其原因是此求积公式不是插值型的。返回前进2 牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式 本节介绍求积节点等距分布时的插值型求积公式，本节介绍求积节点等距分布时的插值型求积公式，本节介绍求积节点等距分布时的插值型求积公式，本节介绍求积节点等距分布时的插值型求积公式，即牛顿一柯特斯（即牛顿一柯特斯（即牛顿一柯特斯（即牛顿一柯特斯（Newton-CotesNewton-Cotes）公式。公式。公式。公式。2.1 2.1 牛顿一柯特斯（牛顿一柯特斯（牛顿一柯特斯（牛顿一柯特斯（Newton-CotesNewton-Cotes）公式公式公式公式 设将积分区间设将积分区间设将积分区间设将积分区间 a a,b b 划分为划分为划分为划分为n n等分，步长等分，步长等分，步长等分，步长h h=(=(b-ab-a)/)/n n，求积求积求积求积节点取为节点取为节点取为节点取为x xk k=a a+khkh(k k=0,1,=0,1,n n)，由此构造插值型求积公式，由此构造插值型求积公式，由此构造插值型求积公式，由此构造插值型求积公式，则其求积系数为则其求积系数为则其求积系数为则其求积系数为:返回前进牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式（续）称之为称之为称之为称之为n n阶牛顿一柯特斯（阶牛顿一柯特斯（阶牛顿一柯特斯（阶牛顿一柯特斯（Newton-CotesNewton-Cotes）公式公式公式公式简记为简记为简记为简记为N N-C C公式公式公式公式，称为柯特斯系数。显然，柯特斯系数与被称为柯特斯系数。显然，柯特斯系数与被称为柯特斯系数。显然，柯特斯系数与被称为柯特斯系数。显然，柯特斯系数与被积函数积函数积函数积函数f f(x x)和积分区间和积分区间和积分区间和积分区间 a a,b b 无关，且为多项式积分，其值无关，且为多项式积分，其值无关，且为多项式积分，其值无关，且为多项式积分，其值可以事先求出备用。表可以事先求出备用。表可以事先求出备用。表可以事先求出备用。表7-17-1中给了了部分柯特斯系数。中给了了部分柯特斯系数。中给了了部分柯特斯系数。中给了了部分柯特斯系数。记：记：记：记：返回前进柯特斯系数柯特斯系数 表表7-1 989 5888 -928 10496 -4540 10496 -928 5888 9891/283508751 3577 1323 2989 2989 1323 3577 7511/172807 41 216 27 272 27 216 411/8406 19 75 50 50 75 191/2885 7 32 12 32 71/904 1 3 3 11/83 1 4 11/62 1 11/21nA AB Bk k返回前进牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式（续1）经计算或查表得到柯特斯系数后，便可以写出对应的经计算或查表得到柯特斯系数后，便可以写出对应的经计算或查表得到柯特斯系数后，便可以写出对应的经计算或查表得到柯特斯系数后，便可以写出对应的牛顿一柯特斯（牛顿一柯特斯（牛顿一柯特斯（牛顿一柯特斯（Newton-CotesNewton-Cotes）公式。公式。公式。公式。当当当当n n=1=1时，按公式（时，按公式（时，按公式（时，按公式（7-77-7）有：）有：）有：）有：得求积公式：得求积公式：得求积公式：得求积公式：即为即为即为即为梯形公式梯形公式梯形公式梯形公式 相应的求积公式：相应的求积公式：相应的求积公式：相应的求积公式：称为称为称为称为辛卜生辛卜生辛卜生辛卜生（SimpsonSimpson）公式公式公式公式。返回前进牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式所以柯特斯公式是：所以柯特斯公式是：所以柯特斯公式是：所以柯特斯公式是：当当当当n=n=4 4时，所得的公式称作时，所得的公式称作时，所得的公式称作时，所得的公式称作柯特斯公式柯特斯公式柯特斯公式柯特斯公式，它有五个节点，它有五个节点，它有五个节点，它有五个节点，其系数：，其系数：，其系数：，其系数：返回前进柯特斯系数的性质1 1、与积分区间无关与积分区间无关与积分区间无关与积分区间无关：当：当：当：当n n确定后，其系数和确定后，其系数和确定后，其系数和确定后，其系数和 都等于都等于都等于都等于1 1，即：，即：，即：，即：2、对称性对称性：此特性由表此特性由表此特性由表此特性由表7-17-1很容易看出，现就一般情况证明之。很容易看出，现就一般情况证明之。很容易看出，现就一般情况证明之。很容易看出，现就一般情况证明之。返回前进 3、柯特斯系数并不永远都是正的柯特斯系数并不永远都是正的。从表从表从表从表7-17-1可以看出当可以看出当可以看出当可以看出当n n=8=8时，出现了负系数，在实际时，出现了负系数，在实际时，出现了负系数，在实际时，出现了负系数，在实际计算中将使舍入误差增大，并且往往难以估计，从而牛顿计算中将使舍入误差增大，并且往往难以估计，从而牛顿计算中将使舍入误差增大，并且往往难以估计，从而牛顿计算中将使舍入误差增大，并且往往难以估计，从而牛顿一柯特斯公式的收敛性和稳定性得不到保证，因此实际计一柯特斯公式的收敛性和稳定性得不到保证，因此实际计一柯特斯公式的收敛性和稳定性得不到保证，因此实际计一柯特斯公式的收敛性和稳定性得不到保证，因此实际计算中不用高阶的牛顿一柯特斯公式。算中不用高阶的牛顿一柯特斯公式。算中不用高阶的牛顿一柯特斯公式。算中不用高阶的牛顿一柯特斯公式。2n阶阶Newton-Cotes公式至少具有公式至少具有2n+1次代数精度。次代数精度。一般地，由一般地，由一般地，由一般地，由n n次插值多项式导出的次插值多项式导出的次插值多项式导出的次插值多项式导出的n n次牛顿一柯特斯公次牛顿一柯特斯公次牛顿一柯特斯公次牛顿一柯特斯公式至少具有式至少具有式至少具有式至少具有n n次代数精度，更进一步有以下结论：次代数精度，更进一步有以下结论：次代数精度，更进一步有以下结论：次代数精度，更进一步有以下结论：定理定理3（证明见下屏）证明见下屏）证明见下屏）证明见下屏）返回前进N为偶时的牛柯公式的代数精度证明 上式中被积函数是奇函数，积分区间关于原点对称，上式中被积函数是奇函数，积分区间关于原点对称，上式中被积函数是奇函数，积分区间关于原点对称，上式中被积函数是奇函数，积分区间关于原点对称，故积分值为故积分值为故积分值为故积分值为0 0，即：，即：，即：，即：所以所以所以所以2 2n n阶阶阶阶N-CN-C公式至少具有公式至少具有公式至少具有公式至少具有2 2n n+1+1次代数精度。次代数精度。次代数精度。次代数精度。返回前进N-C公式应用举例例例4 验证辛卜生验证辛卜生验证辛卜生验证辛卜生（SimpsonSimpson）公式公式公式公式:具有三次代数精度。具有三次代数精度。具有三次代数精度。具有三次代数精度。解解：由定理：由定理：由定理：由定理2,2,辛卜生公式至少具有二次代数精度辛卜生公式至少具有二次代数精度辛卜生公式至少具有二次代数精度辛卜生公式至少具有二次代数精度,因此只需因此只需因此只需因此只需检查对检查对检查对检查对f f(x x)=)=x x3 3成立否。当成立否。当成立否。当成立否。当f f(x x)=)=x x3 3时：时：时：时：所以所以所以所以I I=S S，表明辛卜生公式对于次数不超过三次的多项表明辛卜生公式对于次数不超过三次的多项表明辛卜生公式对于次数不超过三次的多项表明辛卜生公式对于次数不超过三次的多项式准确成立，用同样的方法可以验证对于式准确成立，用同样的方法可以验证对于式准确成立，用同样的方法可以验证对于式准确成立，用同样的方法可以验证对于f f(x x)=)=x x4 4，辛卜辛卜辛卜辛卜生公式不成立，因此辛卜生公式的代数精度可以达到三次。生公式不成立，因此辛卜生公式的代数精度可以达到三次。生公式不成立，因此辛卜生公式的代数精度可以达到三次。生公式不成立，因此辛卜生公式的代数精度可以达到三次。在几种低阶在几种低阶在几种低阶在几种低阶N-CN-C公式中，感兴趣的是梯形公式（最简单，公式中，感兴趣的是梯形公式（最简单，公式中，感兴趣的是梯形公式（最简单，公式中，感兴趣的是梯形公式（最简单，最基本）、辛卜生公式和柯特斯公式最基本）、辛卜生公式和柯特斯公式最基本）、辛卜生公式和柯特斯公式最基本）、辛卜生公式和柯特斯公式。返回前进例例5解解：由：由：由：由梯形公式梯形公式梯形公式梯形公式（7-97-9）得：得：得：得：由由由由辛卜生公式辛卜生公式辛卜生公式辛卜生公式（7-107-10）得：得：得：得：由由由由柯特斯公式（柯特斯公式（7-11）得：得：得：得：事实上，积事实上，积事实上，积事实上，积分的分的分的分的精确值精确值：与之相比可以看到，柯特斯公式的结果最好，具有七与之相比可以看到，柯特斯公式的结果最好，具有七与之相比可以看到，柯特斯公式的结果最好，具有七与之相比可以看到，柯特斯公式的结果最好，具有七位有效数字；辛卜生公式的结果次之，具有四位有效数字；位有效数字；辛卜生公式的结果次之，具有四位有效数字；位有效数字；辛卜生公式的结果次之，具有四位有效数字；位有效数字；辛卜生公式的结果次之，具有四位有效数字；而梯形公式的结果最差，只有两位有效数字。而梯形公式的结果最差，只有两位有效数字。而梯形公式的结果最差，只有两位有效数字。而梯形公式的结果最差，只有两位有效数字。分别用梯型公式、辛卜生公式分别用梯型公式、辛卜生公式和柯特斯公式计算积分：和柯特斯公式计算积分：返回前进2.2 几种低价N-C求积公式的余项 1.考察梯形公式，按余项公式（考察梯形公式，按余项公式（考察梯形公式，按余项公式（考察梯形公式，按余项公式（7-67-6），梯形公式（），梯形公式（），梯形公式（），梯形公式（7-97-9）2.的余项为：的余项为：的余项为：的余项为：这里被积函数中的因子这里被积函数中的因子这里被积函数中的因子这里被积函数中的因子(x xa a)()(x xb b)在区间在区间在区间在区间 a a,b b 上上上上不变号（非正），故由积分中值定理，在不变号（非正），故由积分中值定理，在不变号（非正），故由积分中值定理，在不变号（非正），故由积分中值定理，在 a a,b b 内至少存内至少存内至少存内至少存在一点在一点在一点在一点 ，使：，使：，使：，使：2.对于辛卜生公式，为得到其误差估计式，在对于辛卜生公式，为得到其误差估计式，在a,b 区间上构造三次多项式区间上构造三次多项式H(x)，让，让H(x)满足插值条满足插值条 件（带导数插值）：件（带导数插值）：（紧接下屏）紧接下屏）紧接下屏）紧接下屏）返回前进辛卜生公式误差估计式的 推导而辛卜生公式至少具有三次代数精度，因此对上述三次多而辛卜生公式至少具有三次代数精度，因此对上述三次多而辛卜生公式至少具有三次代数精度，因此对上述三次多而辛卜生公式至少具有三次代数精度，因此对上述三次多项式项式项式项式HH(x x)应准确成立，即有：应准确成立，即有：应准确成立，即有：应准确成立，即有：其插值其插值其插值其插值余项为：余项为：余项为：余项为：因此，辛卜生公式的误差就是对上述误差公式的积分：因此，辛卜生公式的误差就是对上述误差公式的积分：因此，辛卜生公式的误差就是对上述误差公式的积分：因此，辛卜生公式的误差就是对上述误差公式的积分：返回前进3.柯特斯公式（柯特斯公式（6-10）的余项为：）的余项为：辛卜生公式误差估计式的返回前进2.3 牛顿一柯特斯公式的稳定性和收敛 根据定理根据定理根据定理根据定理2 2，牛顿一柯特斯公式（，牛顿一柯特斯公式（，牛顿一柯特斯公式（，牛顿一柯特斯公式（6-76-7）对）对）对）对f f(x x)=1)=1精确精确精确精确成立，即：成立，即：成立，即：成立，即：由此可得：由此可得：由此可得：由此可得：下面来分析下面来分析下面来分析下面来分析f f(x xk k)的误差对数值求积结果的影响。的误差对数值求积结果的影响。的误差对数值求积结果的影响。的误差对数值求积结果的影响。设设设设f f(x xk k)有误差有误差有误差有误差 k k，并设并设并设并设 ，则由此引起的计算误差为：则由此引起的计算误差为：返回前进 关于收敛性可以证明，并非对一切连续函数关于收敛性可以证明，并非对一切连续函数f(x)，都有：都有：，也就是说牛顿也就是说牛顿柯特斯公式的收敛性没有保证。柯特斯公式的收敛性没有保证。因此，在实际计算中，一般不采用高阶因此，在实际计算中，一般不采用高阶(n 8)的的牛顿牛顿柯特斯公式。柯特斯公式。返回前进 在实验计算中常用的就是以上三种低阶的在实验计算中常用的就是以上三种低阶的N-C公式，但若积分区间比较大，直接使用这公式，但若积分区间比较大，直接使用这些求积公式，则精度难以保证；若增加节点，些求积公式，则精度难以保证；若增加节点，就要使用高阶的就要使用高阶的N-C公式，然而前面已指出，公式，然而前面已指出，当当n 8时，由于时，由于N-C公式的收敛性和稳定性得公式的收敛性和稳定性得不到保证，因此不能采用高阶的公式，事实上，不到保证，因此不能采用高阶的公式，事实上，增加节点，从插值的角度出发，必然会提高插增加节点，从插值的角度出发，必然会提高插值多项式的次数，值多项式的次数，Runge现象表明，一般不采用现象表明，一般不采用高次插值，亦即不用高阶高次插值，亦即不用高阶N-C公式，为提高精度，公式，为提高精度，当增加求积节点时，考虑对被积函数用分段低当增加求积节点时，考虑对被积函数用分段低次多项式近似，由此导出复化求积公式。次多项式近似，由此导出复化求积公式。3 复化求积公式 返回前进3.1 复化梯形公式复化梯形公式 用用用用分段线性插值函数近似被积函数，等于把积分区分段线性插值函数近似被积函数，等于把积分区分段线性插值函数近似被积函数，等于把积分区分段线性插值函数近似被积函数，等于把积分区间分成若干小区间，在每个小区间上以梯形面积近似曲边间分成若干小区间，在每个小区间上以梯形面积近似曲边间分成若干小区间，在每个小区间上以梯形面积近似曲边间分成若干小区间，在每个小区间上以梯形面积近似曲边梯形面积，即用梯形公式求小区间上积分的近似值。如图梯形面积，即用梯形公式求小区间上积分的近似值。如图梯形面积，即用梯形公式求小区间上积分的近似值。如图梯形面积，即用梯形公式求小区间上积分的近似值。如图7-27-2所示，这样求得的近似值显然比用梯形公式计算高。所示，这样求得的近似值显然比用梯形公式计算高。所示，这样求得的近似值显然比用梯形公式计算高。所示，这样求得的近似值显然比用梯形公式计算高。定积分存在定理表明，只要被积函数连续，当小区间长度定积分存在定理表明，只要被积函数连续，当小区间长度定积分存在定理表明，只要被积函数连续，当小区间长度定积分存在定理表明，只要被积函数连续，当小区间长度趋于零时，小梯形面积之和趋于曲边梯形面积的准确值，趋于零时，小梯形面积之和趋于曲边梯形面积的准确值，趋于零时，小梯形面积之和趋于曲边梯形面积的准确值，趋于零时，小梯形面积之和趋于曲边梯形面积的准确值，即定积分的准确值。即定积分的准确值。即定积分的准确值。即定积分的准确值。返回前进复化梯形公式 它实际上就是用定积分它实际上就是用定积分它实际上就是用定积分它实际上就是用定积分定义计算积分，经等分区定义计算积分，经等分区定义计算积分，经等分区定义计算积分，经等分区间，在每个小区间上以直间，在每个小区间上以直间，在每个小区间上以直间，在每个小区间上以直线近似替代曲顶（线）然线近似替代曲顶（线）然线近似替代曲顶（线）然线近似替代曲顶（线）然后求知，略掉无限细分区后求知，略掉无限细分区后求知，略掉无限细分区后求知，略掉无限细分区间（求极限）这一步而得间（求极限）这一步而得间（求极限）这一步而得间（求极限）这一步而得到的近似值。到的近似值。到的近似值。到的近似值。图图图图7-2 7-2 o oa ab bX XY Y式（式（7-15）称为）称为复化梯形公式复化梯形公式。返回前进复化梯形公式的截断误差 因为因为f (x)在在a,b 连续，由介值定理，存在连续，由介值定理，存在(a,b)，使得：使得：从而有：从而有：这就是这就是复化梯形公式的截断误差复化梯形公式的截断误差。返回前进复化梯形公式的数值稳定性讨论 下面简单讨论复化梯形公式的数值稳定性。设下面简单讨论复化梯形公式的数值稳定性。设计算函数值计算函数值f(xk)时产生误差为时产生误差为 k(k=0,1,n)，则则用式（用式（7-15）计算结果的误差为：）计算结果的误差为：因此，无论因此，无论n为多大，复化梯形公式是数值稳为多大，复化梯形公式是数值稳定的。定的。返回前进3.2 复化Simpson公式和复化Cotes公式 如果用分段二次插值函数近似被积函数，即在小区间上用如果用分段二次插值函数近似被积函数，即在小区间上用如果用分段二次插值函数近似被积函数，即在小区间上用如果用分段二次插值函数近似被积函数，即在小区间上用SimpsonSimpson公式计算积分近似值，就导出复化公式计算积分近似值，就导出复化公式计算积分近似值，就导出复化公式计算积分近似值，就导出复化SimpsonSimpson公式。公式。公式。公式。整理后得到：整理后得到：整理后得到：整理后得到：式（式（式（式（7-177-17）称为）称为）称为）称为复化复化复化复化SimpsonSimpson公式公式公式公式。（紧接下屏）紧接下屏）紧接下屏）紧接下屏）返回前进复化Simpson公式的截断误差 如果如果如果如果f f(x x)C C(4)(4)a a,b b，由式（由式（由式（由式（7-137-13）可得复化）可得复化）可得复化）可得复化SimpsonSimpson公式的截断误差为：公式的截断误差为：公式的截断误差为：公式的截断误差为：因为因为因为因为f f(4)(4)(x x)连续，故存在连续，故存在连续，故存在连续，故存在 (a a,b b)，使使使使得：得：得：得：式（式（式（式（7-187-18）表明，步长）表明，步长）表明，步长）表明，步长h h越小，截断误差越小。与复化越小，截断误差越小。与复化越小，截断误差越小。与复化越小，截断误差越小。与复化梯形公式的分析相类似，可以证明，当梯形公式的分析相类似，可以证明，当梯形公式的分析相类似，可以证明，当梯形公式的分析相类似，可以证明，当n n 时，用复化时，用复化时，用复化时，用复化SimpsonSimpson公式所求得的近似值收敛于积分值，而且算法具公式所求得的近似值收敛于积分值，而且算法具公式所求得的近似值收敛于积分值，而且算法具公式所求得的近似值收敛于积分值，而且算法具有数值稳定性。有数值稳定性。有数值稳定性。有数值稳定性。返回前进复化Cotes公式 将区间将区间将区间将区间 a a,b b 分成分成分成分成n n 等分，分点为：等分，分点为：等分，分点为：等分，分点为：在每个小区间：在每个小区间：在每个小区间：在每个小区间：上，共五个点：上，共五个点：上，共五个点：上，共五个点：用用用用CotesCotes公式得到公式得到公式得到公式得到复化复化复化复化CotesCotes公式公式公式公式 ：复化复化复化复化CotesCotes公式的公式的公式的公式的截断误差截断误差截断误差截断误差为：为：为：为：返回前进根据函数表根据函数表 例例6解解：（1 1）由复化梯形公式）由复化梯形公式）由复化梯形公式）由复化梯形公式,n n=8=8,h,h=1/8=1/8：k k x xk k f f(x xk k)=)=Sin Sin x xk k/x xk k k k x xk k f f(x xk k)=)=Sin Sin x xk k/x xk k 0 0 1.000000 5 0.625 0.9361560 0 1.000000 5 0.625 0.9361561 0.125 0.997398 6 0.75 0.9088521 0.125 0.997398 6 0.75 0.9088522 0.25 0.989616 7 0.825 0.8771932 0.25 0.989616 7 0.825 0.8771933 0.375 0.976727 8 1 0.8414713 0.375 0.976727 8 1 0.8414714 0.5 0.958851 4 0.5 0.958851 返回前进（2 2）由复化）由复化）由复化）由复化SimpsonSimpson公式公式公式公式,n n=4,=4,h h=1/4=1/4：与准确值与准确值与准确值与准确值I=0.9460831I=0.9460831比较，显然用复化比较，显然用复化比较，显然用复化比较，显然用复化SimpsonSimpson公式公式公式公式计算精度较高。计算精度较高。计算精度较高。计算精度较高。事实上，由误差公式（事实上，由误差公式（事实上，由误差公式（事实上，由误差公式（7-167-16）与（）与（）与（）与（7-187-18）有）有）有）有R RT T(f f)=)=O O(h h2 2),),R RS S(f f)=)=O O(h h4 4)，故当故当故当故当h h比较小时，用复比较小时，用复比较小时，用复比较小时，用复化化化化SimpsonSimpson公式计算误差较小。公式计算误差较小。公式计算误差较小。公式计算误差较小。由误差估计公式不仅可以计算所求近似值的误差，反由误差估计公式不仅可以计算所求近似值的误差，反由误差估计公式不仅可以计算所求近似值的误差，反由误差估计公式不仅可以计算所求近似值的误差，反之，亦可由给定的精度估计应取多大步长。之，亦可由给定的精度估计应取多大步长。之，亦可由给定的精度估计应取多大步长。之，亦可由给定的精度估计应取多大步长。返回前进要求计算结果有四位有效数字，即要求误差不超过要求计算结果有四位有效数字，即要求误差不超过要求计算结果有四位有效数字，即要求误差不超过要求计算结果有四位有效数字，即要求误差不超过1010-4-4/2/2。又因为又因为又因为又因为:若用复化求积若用复化求积若用复化求积若用复化求积公式计算积分公式计算积分公式计算积分公式计算积分:的近似值，要求计算结果有的近似值，要求计算结果有的近似值，要求计算结果有的近似值，要求计算结果有四位有效数字，四位有效数字，四位有效数字，四位有效数字，n n应取多大？应取多大？应取多大？应取多大？例例7 解解解解 因为当因为当因为当因为当00 x x11时有时有时有时有0.3e0.3 0 0，GaussGauss型求积公式系数的非负性。型求积公式系数的非负性。型求积公式系数的非负性。型求积公式系数的非负性。（证明略）（证明略）（证明略）（证明略）对于对于对于对于3 3 特别有证明：特别有证明：特别有证明：特别有证明：返回前进求积公式系数Ak 0的证明：返回前进6.3 常用的Gauss型求积公式 对不同的权函数，利用上面的求系数对不同的权函数，利用上面的求系数对不同的权函数，利用上面的求系数对不同的权函数，利用上面的求系数A Ak k的公式，的公式，的公式，的公式，对不同的正交多项式，以其零点作插值节点对不同的正交多项式，以其零点作插值节点对不同的正交多项式，以其零点作插值节点对不同的正交多项式，以其零点作插值节点x xk k，并计并计并计并计算出对应的算出对应的算出对应的算出对应的A Ak k，则可得不同的则可得不同的则可得不同的则可得不同的GaussGauss型求积公式。型求积公式。型求积公式。型求积公式。GaussLegendreGaussLegendre （勒让德）求积公式勒让德）求积公式勒让德）求积公式勒让德）求积公式 前面已介绍过：定义在前面已介绍过：定义在前面已介绍过：定义在前面已介绍过：定义在 1,11,1上，权函数上，权函数上，权函数上，权函数 (x x)1 1的的的的正交多项式（首项系数不为正交多项式（首项系数不为正交多项式（首项系数不为正交多项式（首项系数不为1 1）：）：）：）：按定理按定理按定理按定理7.47.4，x xk k为为为为GaussGauss点点点点的充要条件是：的充要条件是：的充要条件是：的充要条件是：即即即即 n n(x x)与与与与p pn n(x x)正正正正交，交，交，交，返回前进n个Gauss点xk可取作pn(x)的零点返回前进下面求具体的零点下面求具体的零点下面求具体的零点下面求具体的零点(GaussGauss点点点点)及对应的系数及对应的系数及对应的系数及对应的系数 ,由它们即可构成由它们即可构成由它们即可构成由它们即可构成求积分的求积分的求积分的求积分的GauusGauus型公式型公式型公式型公式:三次代数精度三次代数精度三次代数精度三次代数精度返回前进上面是在上面是在上面是在上面是在 1,11,1上，对任意区间上，对任意区间上，对任意区间上，对任意区间 a a,b b 可作变量代换：可作变量代换：可作变量代换：可作变量代换：点点点点t tk k为为为为n n次次次次LegenderLegender多项式多项式多项式多项式p pn n (t t)的零点，的零点，的零点，的零点，A Ak k同前一样。同前一样。同前一样。同前一样。返回前进 给出了部分给出了部分给出了部分给出了部分Gauss-LegendreGauss-Legendre求积公式的节点与求积公式的节点与求积公式的节点与求积公式的节点与求积系数值，以便查用。求积系数值，以便查用。求积系数值，以便查用。求积系数值，以便查用。n nx xk kA Ak kn nx xk kA Ak k1 10 02 25 50.90617980.90617980.53846930.5384693