求各棱面与截平面的交线→棱面法课件

第二章第二章 立体的投影立体的投影2-2 平面与平面立体表面相交平面与平面立体表面相交2-3 平面与回转体表面相交平面与回转体表面相交2-4 两回转体表面相交两回转体表面相交 2-1 立体及其表面的点和线立体及其表面的点和线第二章 立体的投影2-2 平面与平面立体表面相交2-12-1 2-1 立体及其表面上的点和线立体及其表面上的点和线 常见的基本几何体常见的基本几何体平面基本体平面基本体曲面基本体曲面基本体2-1 立体及其表面上的点和线 常见的基本几何体平面基本2平面立体的平面立体的投影实质投影实质是关于其表面上点、线、面投影的集合，是关于其表面上点、线、面投影的集合，且以棱边的投影为主要特征，且以棱边的投影为主要特征，对于可见的轮廓线，其投影以粗实线对于可见的轮廓线，其投影以粗实线表示，不可见的轮廓线，则以虚线表示。表示，不可见的轮廓线，则以虚线表示。在投影图中，在投影图中，当当多种图线多种图线发生重叠时，应以粗实线、虚线、点画线等顺序优先绘制发生重叠时，应以粗实线、虚线、点画线等顺序优先绘制。一、棱柱一、棱柱1、棱柱的组成棱柱的组成 由由两个底面和几个侧棱面两个底面和几个侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，叫侧棱线，侧棱线相互平行侧棱线相互平行。aaddeebbcca ab bdcdce eeeccddaabbA AD DC CE EB BX XZ ZY Y正六棱柱的投影正六棱柱的投影 如图如图,为一正六棱柱，其顶为一正六棱柱，其顶面、底面均为水平面，它们的面、底面均为水平面，它们的水平投影反映实形，正面及侧水平投影反映实形，正面及侧面投影积聚为一直线。面投影积聚为一直线。2.1.1 2.1.1 平面立体平面立体平面立体的投影实质是关于其表面上点、线、面投影的集合，且3adebcabdceecdabADCEBXZY正六棱柱的投影 棱柱有六个侧棱面，前后棱面为棱柱有六个侧棱面，前后棱面为正平面正平面，它，它们的正面投影反映实形，水平投影及侧面投影积们的正面投影反映实形，水平投影及侧面投影积聚为一条直线。聚为一条直线。adebcabdceecdabADCEB4adebcabdceecdabADCEBXZY正六棱柱的投影 棱柱的其它四个侧棱面均为棱柱的其它四个侧棱面均为棱柱的其它四个侧棱面均为棱柱的其它四个侧棱面均为铅垂面铅垂面铅垂面铅垂面，其水平投影，其水平投影，其水平投影，其水平投影均积聚为直线。正面投影和侧面投影均为类似形。均积聚为直线。正面投影和侧面投影均为类似形。均积聚为直线。正面投影和侧面投影均为类似形。均积聚为直线。正面投影和侧面投影均为类似形。adebcabdceecdabADCEB5adeb cabdceecdabADCEBXZY正六棱柱的投影图a(b)d(c)eabdcea”b”d”c”X XZ ZY YH HY YW W2、棱柱的三视图棱柱的三视图 作投影图时，先画出正六棱柱的水平投影正六边形，再作投影图时，先画出正六棱柱的水平投影正六边形，再根据其它投影规律画出其它的两个投影。如图根据其它投影规律画出其它的两个投影。如图3-23-2所示。所示。棱柱具有这样的棱柱具有这样的投影特投影特点：点：一个投影反映底面实一个投影反映底面实形，而其余两投影则为矩形，而其余两投影则为矩形或复合矩形。形或复合矩形。adebcabdceecdabADCEB6aaa3、棱柱表面上取点、棱柱表面上取点(b)b bC C C注意：从现在注意：从现在开始，投影图开始，投影图中将不画出投中将不画出投影轴。影轴。取点方法：取点方法：首先判断点在首先判断点在哪个棱面内。哪个棱面内。取点方法同在取点方法同在平面表面取点，平面表面取点，但要注意可见但要注意可见性的判别。性的判别。aaa3、棱柱表面上取点(b)b bC C C71、棱锥的组成棱锥的组成 由由一个底面和一个底面和几个侧棱面几个侧棱面组成。组成。侧棱线交于有限远侧棱线交于有限远的一点的一点锥顶锥顶。二、棱锥二、棱锥1、棱锥的组成 由一个底面和几个侧棱面组成。8SABCWVasbsabcbacsXYZ正三棱锥的投影 左图所示为一正三棱锥，锥顶为S，其底面为ABC，是水平面，水平投影abc反映实形。棱面SAB、SBC是一般位置平面，它们的各个投影均为类似形。棱面SAC为侧垂面，其侧面投影s”a”c”为一直线。2、棱锥的三视图投影棱锥的三视图投影SABCWVasbsabcbacsXYZ正三棱9 作三视图时，先画出底面ABC的各个投影，再作出锥顶S的各个投影，然后连接各棱线，即得正三棱锥的三面投影。ssabcacba”(b”)c”s”正三棱锥的三面投影图X XY YH HZ ZY YW WO OSABCWVasbsabcbacsXYZ 作三视图时，先画出底面ABC的各个投影，再作出10方法一：连接sm并延长，与ac交于2，2m2 在投影ac上求出点的水平投影2。连接s2，即求出直线S的水平投影。根据在直线上的点的投影规律，求出M点的水平投影m。再根据知二求三的方法，求出m”。m”asbc正三棱锥的三面投影图sacba”(b”)c”s”mX XY Y H HZ ZY YW W3、三棱锥表面上取点、三棱锥表面上取点M方法一：连接sm并延长，与ac交于211方法二：方法二：11m 过m作m1 ac，交sa于1。求出点的水平投影1。过1作1m ac，再根据点在直线上的几何条件，求出m。再根据知二求三的方法，求出m”。（具体步骤略)scb正三棱锥的三面投影图sabcaa”(b”)c”s”m方法二：11m 过m作m1 ac，交12nnnN三棱锥表面上取点三棱锥表面上取点NnnnN三棱锥表面上取点N13K（k）三棱锥表面上取点三棱锥表面上取点KkkK（k）三棱锥表面上取点Kkk142.1.2 2.1.2 回转体回转体回转体（面）的形成回转体（面）的形成 工程中常见的曲面立体是工程中常见的曲面立体是回转体回转体，其中圆柱、圆锥、，其中圆柱、圆锥、球、环等为基本回转体。回转体是一动线（直线、圆弧球、环等为基本回转体。回转体是一动线（直线、圆弧或其它曲线）绕一定线（直线）回转一周形成的曲面。或其它曲线）绕一定线（直线）回转一周形成的曲面。动线称为动线称为母线母线，曲面上任意位置的母线称为，曲面上任意位置的母线称为素线素线。2.1.2 回转体回转体（面）的形成 工程中常见的曲面15 回转面用回转面用转向轮廓线转向轮廓线表示。表示。转向轮廓线是与曲面相切的投转向轮廓线是与曲面相切的投射线与投影面的交点所组成的射线与投影面的交点所组成的线段，它是回转体判断可见性线段，它是回转体判断可见性的分界线。的分界线。在在投投影影图图上上表表示示回回转转体体，就就是是把把组组成成立立体体的的回回转转面面或或平平面面表表示示出出来来，然然后后判判断断可可见见性性。如如图图所所示示。转向轮廓线转向轮廓线 回转面用转向轮廓线表示。转向轮廓线是与曲面相切的投射161 1、圆柱的形成、圆柱的形成 圆柱表面由圆柱表面由圆柱面圆柱面和和顶面、底面顶面、底面所组成。圆柱面是所组成。圆柱面是由一直母线绕与之平行的轴线回转而成。由一直母线绕与之平行的轴线回转而成。一、圆柱一、圆柱1、圆柱的形成 圆柱表面由圆柱面和顶面、底面所组成。圆柱17XZY圆柱的三面投影图HVWaabcdcdacdbAACDBCd”c”d”c”a”b”a”b”2 2、圆柱的投影、圆柱的投影 如图所示，圆柱的如图所示，圆柱的轴线垂直于轴线垂直于H H面，其上面，其上下底圆为下底圆为水平面水平面，水，水平投影反映实形，其平投影反映实形，其正面和侧面投影重影正面和侧面投影重影为一直线。而圆柱面为一直线。而圆柱面则用曲面投影的则用曲面投影的转向转向轮廓线轮廓线表示。表示。一个投影为圆，其余二投影一个投影为圆，其余二投影均为矩形。规定：回转体对均为矩形。规定：回转体对某投影面的某投影面的转向轮廓线转向轮廓线，只，只能在该投影面上画出，而在能在该投影面上画出，而在其它投影面上则不再画出。其它投影面上则不再画出。XZY圆柱的三面投影图HVWaabcdcdac18XZYHWaabcdcdacdbAACDBCd”c”d”c”a”b”a”b”Vabaabba”(b”)a”(b”)c(d)c(d)cdddcc圆柱的投影3、圆柱投影图的绘制、圆柱投影图的绘制（1）先绘出圆柱的对称线、回转轴线。（2）绘出圆柱的顶面和底面。（3）画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线。正面转向轮廓线侧面转向轮廓线XZYHWaabcdcdacdbAACDBCd19在圆柱表面上取点在圆柱表面上取点 已知圆柱表面上的点已知圆柱表面上的点A A、B B、M M及及N N正面投影正面投影aa、bb、mm和和nn，求它们的其余两投影。，求它们的其余两投影。4 4、圆柱表面上取点、圆柱表面上取点 a a”a b(b”)b在圆柱表面上取点 已知圆柱表面上的点A、B、M及N正面投201、圆锥的形成、圆锥的形成二、圆锥二、圆锥 圆锥表面由圆锥表面由圆锥面圆锥面和和底圆底圆组成。它是一母线绕与它相交组成。它是一母线绕与它相交的轴线回转而成。的轴线回转而成。1、圆锥的形成二、圆锥 圆锥表面由圆锥面和底圆组成。它是21XZY图3-11 圆锥的三面投影图HVWacdbACBSabcdss”c”d”a”(b”)2 2、圆锥的投影圆锥的投影如图所示，圆锥轴线垂如图所示，圆锥轴线垂直直H H面，面，底面底面为水平面，为水平面，它的水平投影反映实形，它的水平投影反映实形，正面和侧面投影重影为正面和侧面投影重影为一直线。一直线。对于对于圆锥面圆锥面，要，要分别画出正面和侧面分别画出正面和侧面投影的转向轮廓线。投影的转向轮廓线。正面转向轮廓线侧面转向轮廓线XZY图3-11 圆锥的三面投影图HVWacdbACBS22圆锥投影图的绘制圆锥投影图的绘制sabsabcdc”d”c(d)s”a(b)（1）先绘出圆锥的对称线、回转轴线。（2）在水平投影面上绘出圆锥底圆，正面投影和侧面投影积聚为直线。(3)作出锥顶的正面投影和侧面投影并画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线。圆锥的投影XZYHVWacdbACBSabcdss”c”d”a”(b”)圆锥投影图的绘制sabsabcdc”d”c(d)s233 3、圆锥表面上取点、圆锥表面上取点 在圆锥表面上求点，有两种方法：即在圆锥表面上求点，有两种方法：即素线法素线法和和纬圆法纬圆法。方法一：素线法方法一：素线法 过过M M点及锥顶点及锥顶S S作作一条素线一条素线S,S,先求先求出素线出素线SS的投影的投影,再求出素线上的再求出素线上的M M点。点。XZY圆锥的三面投影图HVWacdbACBSabcdss”c”d”a”(b”)mmm”M3、圆锥表面上取点 在圆锥表面上求点，有两种方法：即素24 已知圆锥表面的点M的正面投影m,求出M点的其它投影。过ms作圆锥表面上的素线，延长交底圆为1。111”mm”a(b)图3-14 圆锥的投影及表面上的点ss”abcdc”d”sabc(d)m 求出素线的水平投影s1及侧面投影s”1”。求出M点的水平投影和侧面投影。已知圆锥表面的点M的正面投影m,求出M点的其它25XZY圆锥的三面投影图HVWacdbabcdss”c”d”a”(b”)ACBS方法二：纬圆法方法二：纬圆法 过过M M点作一平行于底点作一平行于底面的水平辅助圆，该圆面的水平辅助圆，该圆的正面投影为过的正面投影为过mm且平且平行于行于abab的直线的直线2323，它们的水平投，它们的水平投影为一直径等于影为一直径等于2323的圆，的圆，m m在圆周上，由此在圆周上，由此求出求出m m及及m”m”。mMmm”XZY圆锥的三面投影图HVWacdbabcdss”26mmmnn()n()已知圆锥表面上点已知圆锥表面上点M M及及N N的正面投影的正面投影mm和和nn，求它们的其余两投影。求它们的其余两投影。在圆锥表面上取点在圆锥表面上取点 a a(a”)mmmnn()n()已知圆锥表面上点M及N的正面投影m和n27 球的表面是球面。球面是一条圆母线绕过圆心且在同一球的表面是球面。球面是一条圆母线绕过圆心且在同一平面上的轴线回转而形成的。平面上的轴线回转而形成的。1、圆球的形成圆球的形成回车继续回车继续三、圆球三、圆球 球的表面是球面。球面是一条圆母线绕过圆心且在同一平面28 球的三个投影均球的三个投影均为圆，其直径与球直为圆，其直径与球直径相等，但三个投影径相等，但三个投影面上的圆是不同的转面上的圆是不同的转向轮廓线。向轮廓线。回车继续回车继续2 2、球的投影、球的投影 球的三个投影均为圆，其直径与球直径相等，但三个投影面上29圆球的画法及投影特点圆球的画法及投影特点圆球的画法及投影特点303、圆球表面上取点、圆球表面上取点3、圆球表面上取点311 1、圆环的形成、圆环的形成、圆环的形成、圆环的形成 圆环面是由一个完整的圆环面是由一个完整的圆圆绕轴线回转一周而形成，绕轴线回转一周而形成，轴线与圆母线在同一平面内，但不与圆母线相交。轴线与圆母线在同一平面内，但不与圆母线相交。四四、圆环、圆环1、圆环的形成 圆环面是由一个完整的圆绕轴线回322、圆环的画法、圆环的画法2、圆环的画法333、圆环投影可见性的判别、圆环投影可见性的判别由前向后看，此部分可见由上向下看，此部分可见3、圆环投影可见性的判别由前向后看，此部分可见由上向下看，此34m124、圆环表面上取点、圆环表面上取点m（n）12m124、圆环表面上取点m（n）1235 2-22-2 平面与平面与平面立体相交平面立体相交1 1、平面截切的基本形式、平面截切的基本形式截交线与截断面截平面截交线截断面 2-2 平面与平面立体相交1、平面截切的基本形式截交线与36 平面立体的截交线是截平面和平面立体表面的共有线，平面立体的截交线是截平面和平面立体表面的共有线，其形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截其形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截切位置。切位置。平面立体的截交线通常是一个封闭的平面多边形，它的平面立体的截交线通常是一个封闭的平面多边形，它的顶点是平面立体的棱线或底边与截平面的交点。顶点是平面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线截交线的每条边是的每条边是截平面与棱面的交线截平面与棱面的交线，或是，或是截平面和截平面截平面和截平面的交线。的交线。求求截交线的实质是求两平面的交线截交线的实质是求两平面的交线截交线的性质：截交线的性质：共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。平面立体的截交线是截平面和平面立体表面的共有线，其形状取372 2、平面截切体的求法、平面截切体的求法 求截交线的两种方法：求截交线的两种方法：求各棱线与截平面的交点求各棱线与截平面的交点棱线法棱线法。求各棱面与截平面的交线求各棱面与截平面的交线棱面法棱面法。关键是正确地画出截交线的投影。关键是正确地画出截交线的投影。求截交线的步骤：求截交线的步骤：截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置确定截交线确定截交线的投影特性的投影特性确定截交确定截交线的形状线的形状 空间及投影分析空间及投影分析 画出截交线的投影画出截交线的投影分别求出截平面与棱面的交线，或截平面间分别求出截平面与棱面的交线，或截平面间的交线，连接成多边形，并判别可见性。的交线，连接成多边形，并判别可见性。2、平面截切体的求法 求截交线的两种方法：求各棱线与截38例例1 1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平投影和侧面投影。投影和侧面投影。图3-20 平面与三棱锥相交sabcc”a”b”sPvs”(1)求Pv与sa、sb、sc的交点1、2、3为截平面与各棱线的交点、的正面投影。123(2)根据线上取点的方法，求出1、2、3和1”、2”、3”。11”2”23(3)连接各点的同面投影即等截交线的三个投影。(4)补全棱线的投影。3”例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平投影和39123(4)1”3”4”1243 例例2 求做立体被截切后的投影求做立体被截切后的投影2”123(4)1”3”4”1243 例2 求做立体被截40例例 3:求八棱柱被平面求八棱柱被平面P截切后的俯视图。截切后的俯视图。P P 截交线的形状？截交线的形状？1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 8 8 7 7 6 6 截交线的投影截交线的投影特性？特性？2 2 3 3 6 6 7 7 1 1 8 8 4 4 5 5 求截交线求截交线1 15 54 47 76 63 32 28 8分析棱线的分析棱线的投影投影检查截交线检查截交线的投影的投影例 3:求八棱柱被平面P截切后的俯视图。P截交线的形状41求各棱面与截平面的交线棱面法课件42