零阶保持器的传递函数为课件

北科大信息工程学院自动化12024/7/13采样控制系统采样控制系统（Sampled-DataControlSystems）第二章第二章 线性离散控制系统线性离散控制系统LinearDiscrete-TimeControlSystems北科大信息工程学院自动化12023/8/14采样控制系统北科大信息工程学院自动化22024/7/132.1 2.1 采样控制采样控制 2.2 2.2 采样过程和采样定理采样过程和采样定理 2.3 2.3 信号恢复信号恢复 2.4 Z2.4 Z变换理论及线性差分方程求解变换理论及线性差分方程求解 2.5 2.5 脉冲传递函数脉冲传递函数 2.6 2.6 采样系统的稳定性分析采样系统的稳定性分析 2.7 2.7 采样系统的稳态误差采样系统的稳态误差2.8 2.8 采样系统的暂态特性分析采样系统的暂态特性分析 2.9 2.9 离散系统的状态空间描述离散系统的状态空间描述北科大信息工程学院自动化22023/8/142.1北科大信息工程学院自动化32024/7/13n自动控制系统按信号形式划分可分为以自动控制系统按信号形式划分可分为以下三种类型：下三种类型：连续控制系统，见图（连续控制系统，见图（a a）采样控制系统，见图（采样控制系统，见图（b b）数字控制系统，见图（数字控制系统，见图（c c）图（图（a a）北科大信息工程学院自动化32023/8/14自动控制系统北科大信息工程学院自动化42024/7/13图（图（c c）图（图（b b）北科大信息工程学院自动化42023/8/14图（c）图（北科大信息工程学院自动化52024/7/13n采样系统的特点采样系统的特点在连续系统中的一处或几处设置采样开关，在连续系统中的一处或几处设置采样开关，对被控对象进行断续控制；对被控对象进行断续控制；通常采样周期远小于被控对象的时间常数；通常采样周期远小于被控对象的时间常数；采样开关合上的时间远小于断开的时间；采样开关合上的时间远小于断开的时间；采样周期通常是相同的。采样周期通常是相同的。北科大信息工程学院自动化52023/8/14采样系统的特北科大信息工程学院自动化62024/7/132.1 2.1 采样控制采样控制一个典型的采样控制系统如图：e是连续的误差信号，经采样开关后，变成一组脉冲序列脉冲序列，脉冲控制器对进行某种运算，产生控制信号脉冲序列，保持器将采样信号变成模拟信号u，作用于被控对象。图图2-1采样控制系统采样控制系统北科大信息工程学院自动化62023/8/142.1采样北科大信息工程学院自动化72024/7/13模拟信号模拟信号在时间上连续，且在幅值上连续（导数连续）的在时间上连续，且在幅值上连续（导数连续）的信号。信号。采样信号采样信号又称离散信号，按一定的时间间隔对模拟信号进又称离散信号，按一定的时间间隔对模拟信号进行采样得到的在时间上离散的一系列脉冲。行采样得到的在时间上离散的一系列脉冲。采样控制系统和连续控制系统的区别：采样控制系统和连续控制系统的区别：在连续系统中，各处的在连续系统中，各处的信号都是模拟信号；在采样系统中，一处或数处的信号是采样信号都是模拟信号；在采样系统中，一处或数处的信号是采样信号。信号。采样系统的个性采样系统的个性采样过程和采样信号保持采样过程和采样信号保持采样系统和连续系统的共性采样系统和连续系统的共性（1 1）闭环控制；（）闭环控制；（2 2）需分析）需分析稳定性、暂态性能和稳态性能；（稳定性、暂态性能和稳态性能；（3 3）需进行校正。）需进行校正。北科大信息工程学院自动化72023/8/14模拟信号北科大信息工程学院自动化82024/7/132.2 2.2 采样过程和采样定理采样过程和采样定理一、采样过程一、采样过程二、采样过程的数学表达式二、采样过程的数学表达式北科大信息工程学院自动化82023/8/142.2采样北科大信息工程学院自动化92024/7/13一、采样过程一、采样过程按一定的时间间隔对连续信号采样，将连续信号转换为脉按一定的时间间隔对连续信号采样，将连续信号转换为脉冲序列的过程，称为采样过程。采样开关是用来实现采样过程冲序列的过程，称为采样过程。采样开关是用来实现采样过程的装置。的装置。采样开关按周期采样开关按周期T闭合，闭合，T称为采样周期。每次闭合时间为称为采样周期。每次闭合时间为，由于在实际中总有，由于在实际中总有，且，且远小于远小于中的中的时间常数，可近似认为时间常数，可近似认为。北科大信息工程学院自动化92023/8/14一、采样过程北科大信息工程学院自动化102024/7/13采样过程可用图表示采样过程可用图表示采样信号采样信号 是是 和和 的乘积，其中载波信号的乘积，其中载波信号 决定采样时刻，它是周期为决定采样时刻，它是周期为T T的单位脉冲序列，采样信号的单位脉冲序列，采样信号在在nT(n=0,1,2nT(n=0,1,2)时刻的值由时刻的值由 决定。决定。载波器载波器脉冲调制器脉冲调制器载波信号载波信号图图2-2采样过程示意图采样过程示意图北科大信息工程学院自动化102023/8/14采样过程可北科大信息工程学院自动化112024/7/13经采样得到的离散信号有可能无失真地恢复到原来的连续信号的条件是单位脉冲序列采样信号为采样信号的拉氏变换二、采样过程的数学表达式二、采样过程的数学表达式三、采样定理三、采样定理其中采样定理给出了选择采样定理给出了选择采样周期采样周期T的依据。的依据。北科大信息工程学院自动化112023/8/14北科大信息工程学院自动化122024/7/13因为因为 是周期函数，因此，可将其展开成是周期函数，因此，可将其展开成傅里叶级数。傅里叶级数。式中式中 称为系统的采样频率。称为系统的采样频率。北科大信息工程学院自动化122023/8/14因为北科大信息工程学院自动化132024/7/13将上述式子代入式将上述式子代入式 有有:对上式取拉氏变换，运用拉氏变换的复位移定理，对上式取拉氏变换，运用拉氏变换的复位移定理，我们得到我们得到 E*(s):E*(s):上上式式在在描描述述采采样样过过程程的的复复频频域域特特征征是是极极其其重重要要的的。一一般般连连续续信信号号e e（t t）的的频频谱谱是是单单一一的的连连续续频频谱谱，如如图图2-32-3所示。所示。北科大信息工程学院自动化132023/8/14将上述式子北科大信息工程学院自动化142024/7/13 图图2-3(a)2-3(a)连续信号连续信号e e（t t）的频谱）的频谱图图2-3(b)2-3(b)离散信号离散信号 的频谱的频谱 北科大信息工程学院自动化142023/8/14图北科大信息工程学院自动化152024/7/13 为了使信号得到很好的复现，采样频率应大为了使信号得到很好的复现，采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍，即于等于原始信号最大频率的二倍，即n香农（香农（Shannon）采样定理）采样定理北科大信息工程学院自动化152023/8/14北科大信息工程学院自动化162024/7/13设设e(t)=1(t)e(t)=1(t)，试求，试求e*(t)e*(t)的拉氏变换。的拉氏变换。解：解：由由例例2-1得得北科大信息工程学院自动化162023/8/14设e(t)北科大信息工程学院自动化172024/7/13C.Shannon(1916-2001)C.Shannon(1916-2001)，毕业于，毕业于麻省理工学院数学系，贝尔实验室麻省理工学院数学系，贝尔实验室研究员及麻省理工学院电机系教授。研究员及麻省理工学院电机系教授。早市曾跟随早市曾跟随 V.Bush V.Bush 参与模拟计参与模拟计算机的研究并提出续电器路逻辑自算机的研究并提出续电器路逻辑自动化理动化理(1938)(1938)。二战期间在参加。二战期间在参加Bode Bode 领导的火炮控制系统研究过领导的火炮控制系统研究过程中发表了著名程中发表了著名通信的数字理论通信的数字理论，从而奠定了信息的基础，从而奠定了信息的基础(1948)(1948)，被誉为信息论之父。，被誉为信息论之父。19561956年回到年回到MITMIT任职电子工程系教授。任职电子工程系教授。北科大信息工程学院自动化172023/8/14C.Sh北科大信息工程学院自动化182024/7/13理想滤波器的滤波特性为理想滤波器的滤波特性为 ：10其频率特性如图其频率特性如图2-42-4 图图2-4 2-4 理想滤波器的频率特性理想滤波器的频率特性北科大信息工程学院自动化182023/8/14理想滤波器北科大信息工程学院自动化192024/7/13从时域性能指标来看，随动系统的采样角频率可近从时域性能指标来看，随动系统的采样角频率可近似取为似取为:由于由于 ，所以采样周期可按下式选取：，所以采样周期可按下式选取：采采样样周周期期T T可可通通过过单单位位接接跃跃响响应应的的上上升升时时间间t tr r或或调调节节时间时间t ts s按下列经验公式选取：按下列经验公式选取：或者或者北科大信息工程学院自动化192023/8/14从时域性能北科大信息工程学院自动化202024/7/132.3 2.3 采样信号保持器采样信号保持器一、零阶保持器一、零阶保持器二、一阶保持器二、一阶保持器北科大信息工程学院自动化202023/8/142.3采北科大信息工程学院自动化212024/7/13一、零阶保持器一、零阶保持器图图2-5 2-5 零阶保持器作用示意零阶保持器作用示意采样开关采样开关保持器保持器 零阶保持器是采用恒值外推规律的保持器，是一种最零阶保持器是采用恒值外推规律的保持器，是一种最常用的保持器。它把采样时刻的采样值恒定不变地保持常用的保持器。它把采样时刻的采样值恒定不变地保持（或外推）到下一采样时刻（或外推）到下一采样时刻:1）零阶保持器）零阶保持器北科大信息工程学院自动化212023/8/14一、零阶保北科大信息工程学院自动化222024/7/132）零阶保持器的传递函数）零阶保持器的传递函数根据零阶保持器的单位脉冲响应，推出其传递函数。根据零阶保持器的单位脉冲响应，推出其传递函数。零阶保持器的单位脉冲响应是一个矩形，零阶保持器的单位脉冲响应是一个矩形，宽度为宽度为T T，高为，高为1 1，它可表示成以下二个，它可表示成以下二个单位阶跃信号的迭加。单位阶跃信号的迭加。单位脉冲响应的拉氏变换就是零阶保持单位脉冲响应的拉氏变换就是零阶保持器的传递函数。器的传递函数。图图2-6 2-6 零阶保持信号分解零阶保持信号分解北科大信息工程学院自动化222023/8/142）零阶保北科大信息工程学院自动化232024/7/133）零阶保持器的频谱分析）零阶保持器的频谱分析零阶保持器的传递函数为：零阶保持器的传递函数为：零阶保持器的频率特性为零阶保持器的频率特性为 ：北科大信息工程学院自动化232023/8/143）零阶保北科大信息工程学院自动化242024/7/13其幅频特性和相频特性如图其幅频特性和相频特性如图2-72-7所示所示 图图2-7 2-7 零阶保持器的频率特性零阶保持器的频率特性北科大信息工程学院自动化242023/8/14其幅频特性北科大信息工程学院自动化252024/7/13 一一阶阶保保持持器器以以两两个个采采样样时时刻刻的的值值为为基基础础实实行行外外推推，它它的的外外推输出式如图推输出式如图2-82-8所示。所示。图图2-8 2-8 应用一阶保持器恢复信号应用一阶保持器恢复信号二、一阶保持器二、一阶保持器1）一阶保持器）一阶保持器北科大信息工程学院自动化252023/8/14北科大信息工程学院自动化262024/7/13一阶保持器的脉冲响应函数应该如图一阶保持器的脉冲响应函数应该如图2-92-9所示。所示。单位阶跃单位阶跃单位斜坡单位斜坡2单位阶跃单位阶跃2单位阶跃单位阶跃单位阶跃单位阶跃单位斜坡单位斜坡图图2-9 2-9 一阶保持器的脉冲响应函数一阶保持器的脉冲响应函数2 2）一阶保持器的传递函数）一阶保持器的传递函数北科大信息工程学院自动化262023/8/14一阶保持器北科大信息工程学院自动化272024/7/13根据一阶保持器脉冲响应函数的分解，可得其传递函数：根据一阶保持器脉冲响应函数的分解，可得其传递函数：3）一阶保持器的频谱分析）一阶保持器的频谱分析实线是一阶保持器幅频特性；虚线为零阶保持器频率特性实线是一阶保持器幅频特性；虚线为零阶保持器频率特性 。图图2-10 2-10 保持器的频率特性保持器的频率特性北科大信息工程学院自动化272023/8/14根据一阶保北科大信息工程学院自动化282024/7/132.4 z2.4 z变换理论及线性差分方程求解变换理论及线性差分方程求解一、定义一、定义二、二、z变换的性质变换的性质三、三、z变换方法变换方法四、四、z反变换方法反变换方法五、线性差分方程及其求解五、线性差分方程及其求解北科大信息工程学院自动化282023/8/142.4z北科大信息工程学院自动化292024/7/13其中其中 是连续函数是连续函数 的采样信号，的采样信号，一、定义一、定义采样函数采样函数 对应的对应的Z Z 变换是唯一的。变换是唯一的。Z Z 变换只适用于变换只适用于离散函数，因为它只表征了连续函数在采样时刻的特性。离散函数，因为它只表征了连续函数在采样时刻的特性。Z Z反变换表示为反变换表示为:用查表方法可得到函数用查表方法可得到函数 的的Z Z变换。变换。北科大信息工程学院自动化292023/8/14其中北科大信息工程学院自动化302024/7/131 1）线性定理）线性定理 式中式中a a1 1,a,a2 2,为常数。为常数。2)2)实平移定理实平移定理二、二、z变换的性质变换的性质当当k0k0时，有时，有 成立，则有：成立，则有：北科大信息工程学院自动化302023/8/141）线性定北科大信息工程学院自动化312024/7/134)4)复平移定理复平移定理5)5)复域微分定理复域微分定理6)6)初值定理初值定理设函数设函数 的的Z Z变换为变换为 ，而且，而且 在在Z Z平面上以平面上以原点为圆心在单位圆上或圆外没有极点，则原点为圆心在单位圆上或圆外没有极点，则3 3）终值定理）终值定理北科大信息工程学院自动化312023/8/144)复平移北科大信息工程学院自动化322024/7/13例例2-32-3三、三、z变换方法变换方法1 1、级数求和法、级数求和法的的z z变换。变换。解：解：北科大信息工程学院自动化322023/8/14例2-3三北科大信息工程学院自动化332024/7/13例例2-42-4的的z z变换。变换。解：解：北科大信息工程学院自动化332023/8/14例2-4的北科大信息工程学院自动化342024/7/132 2、部分分式法、部分分式法 部分分式就是要利用最常见的几种函数的部分分式就是要利用最常见的几种函数的z z变变换形式，将一般的换形式，将一般的X(s)X(s)分解成这些典型环节，进分解成这些典型环节，进而求而求X(z)X(z)。常用函数常用函数常用函数常用函数z z z z变换表：变换表：变换表：变换表：北科大信息工程学院自动化342023/8/142、部分分北科大信息工程学院自动化352024/7/13常用函数常用函数常用函数常用函数z z z z变换表：变换表：变换表：变换表：北科大信息工程学院自动化352023/8/14常用函数z北科大信息工程学院自动化362024/7/13例例2-52-5解：解：例例2-62-6解：解：北科大信息工程学院自动化362023/8/14例2-5解北科大信息工程学院自动化372024/7/13(1)(1)幂级数法幂级数法(长除法长除法)实际的物理系统满足实际的物理系统满足 nm,nm,则用综合除法有：则用综合除法有：由由Z Z变换的定义式可知变换的定义式可知:即为即为X(z)X(z)的原函数。的原函数。通常通常Z Z变换表达式有如下形式：变换表达式有如下形式：四、四、z反变换方法反变换方法北科大信息工程学院自动化372023/8/14幂级数法(北科大信息工程学院自动化382024/7/13已知 ，求x（k）。例例2-710z解解：北科大信息工程学院自动化382023/8/14已知北科大信息工程学院自动化392024/7/13（3 3）部分分式法）部分分式法 部分分式法又称查表法。它的基本思想是部分分式法又称查表法。它的基本思想是将将 展开成部分分式展开成部分分式 ：然然后后，查查Z Z变变换换表表，即即可可求求取取X X（Z Z）的的原原函函数数x(kT)x(kT)。北科大信息工程学院自动化392023/8/14（3）部分北科大信息工程学院自动化402024/7/13已知已知 求求 X(kT)X(kT)解解：例例2-8查查Z Z变换表有变换表有：x(kT)=1e-akT北科大信息工程学院自动化402023/8/14已知北科大信息工程学院自动化412024/7/13线性定常离散系统可以用后向差分方程来描述：y(k)+a1y(k-1)+any(k-n)=b0r(k)+b1r(k-1)+r(k-m)也可用前向差分方程来描述线性定常离散控制系统。y(k+n)+a1y(k+n-1)+an-1y(k+1)+any(k)=b0r(k+m)+b1r(k+m-1)+bm-1r(k+1)+bmr(k)五、线性差分方程及其求解五、线性差分方程及其求解北科大信息工程学院自动化412023/8/14线性定常离北科大信息工程学院自动化422024/7/13 若若已已知知差差分分方方程程，并并且且给给定定输输出出序序列列初初值值，可可利利用用差差分分方方程程的的递递推推关关系系，(在在计计算算机机上上)一一步步一一步步计算出输出序列。计算出输出序列。求解差分方程常用的有迭代法和求解差分方程常用的有迭代法和Z Z变换法。变换法。1 1）迭代法）迭代法 若若已已知知线线性性定定常常离离散散控控制制系系统统的的差差分分方方程程，对对差差分分方方程程两两边边取取Z Z变变换换，再再根根据据初初始始条条件件及及给给定定输输入入控控制制信信号号的的Z Z变变换换表表达达式式，可可求求系系统统输输出出的的Z Z变变换换表表达式，再求达式，再求Z Z反变换，即可求得反变换，即可求得Y(K)Y(K)。2 2）Z Z变换法变换法北科大信息工程学院自动化422023/8/14若已北科大信息工程学院自动化432024/7/13 已知离散系统的差分方程为已知离散系统的差分方程为Y(0)=-1,Y(0)=-1,求差分方程的解。求差分方程的解。解：对差分方程取解：对差分方程取Z Z变换，得变换，得例例2-9又又 查查Z Z变换表，有变换表，有北科大信息工程学院自动化432023/8/14已北科大信息工程学院自动化442024/7/13用变换解差分方程，已知用变换解差分方程，已知例例2-10其中其中解：解：北科大信息工程学院自动化442023/8/14用变换解北科大信息工程学院自动化452024/7/132.5 2.5 脉冲传递函数脉冲传递函数一、基本概念一、基本概念二、采样系统的开环脉冲传递函数二、采样系统的开环脉冲传递函数三、闭环脉冲传递函数三、闭环脉冲传递函数北科大信息工程学院自动化452023/8/142.5脉北科大信息工程学院自动化462024/7/13一、基本概念一、基本概念定义定义：线性离散系统中，在零初始条件下，系统输出采样信线性离散系统中，在零初始条件下，系统输出采样信号的号的Z Z变换与输入采样信号变换与输入采样信号Z Z变换之比，称为系统的脉冲传递变换之比，称为系统的脉冲传递函数。函数。G(s)r*(t)r(t)c*(t)c(t)图图2-10 2-10 开环离散控制系统开环离散控制系统北科大信息工程学院自动化462023/8/14一、基本概北科大信息工程学院自动化472024/7/13采样脉冲函数的物理意义采样脉冲函数的物理意义 采样系统的脉冲传递函数是系统单位脉冲响应 经采样后的采样信号 的Z变换。北科大信息工程学院自动化472023/8/14采样脉冲函北科大信息工程学院自动化482024/7/13 假假定定动动态态环环节节的的单单位位脉脉冲冲过过渡渡函函数数为为h(t)h(t)。该该环环节节的的输入为输入为r*(t)r*(t)利利用用线线性性环环节节满满足足叠叠加加原原理理，无无穷穷多多个个脉脉冲冲作作用用在在线线性性环环节节G(s)G(s)上，其输出上，其输出C(t)C(t)为为将输出信号离散化，得到将输出信号离散化，得到北科大信息工程学院自动化482023/8/14假北科大信息工程学院自动化492024/7/13上式两边用乘以上式两边用乘以 ，并求和，得到：，并求和，得到：考虑到前面的给定，当考虑到前面的给定，当t t 0 0 时时 ，故有，故有同理有：同理有：北科大信息工程学院自动化492023/8/14上式两边用北科大信息工程学院自动化502024/7/13所以所以采样周期与所用时间变量文字描述无关，则上式可改写为：采样周期与所用时间变量文字描述无关，则上式可改写为：即即式中式中若令式中若令式中 ,则可知则可知又因又因北科大信息工程学院自动化502023/8/14所以采样周北科大信息工程学院自动化512024/7/13已知开环离散控制系统如图已知开环离散控制系统如图r*(t)r(t)C*(t)C(t)求脉冲传递函数。求脉冲传递函数。解解 ：由式由式 可知：可知：例例7-11北科大信息工程学院自动化512023/8/14已知开环北科大信息工程学院自动化522024/7/13二、采样系统的开环脉冲传递函数二、采样系统的开环脉冲传递函数1、两个串联环节之间有采样开关隔开、两个串联环节之间有采样开关隔开 将采样开关分隔的二个线性环节串联，脉冲传递函数是两个串联环节脉冲传递函数之积。结论可推广到n个环节串联，各相邻环节之间都有采样开关隔开的情况。北科大信息工程学院自动化522023/8/14二、采样系北科大信息工程学院自动化532024/7/132 2、两个串联环节之间无采样开关隔开、两个串联环节之间无采样开关隔开 无采样开关隔开的两个线性环节串联，脉冲传递函数是两个无采样开关隔开的两个线性环节串联，脉冲传递函数是两个环节经采样后的单位脉冲响应环节经采样后的单位脉冲响应 和和 的乘积的的乘积的Z Z变换。变换。结论可推广到结论可推广到n n个环节直接串联的情况。个环节直接串联的情况。北科大信息工程学院自动化532023/8/142、两个串北科大信息工程学院自动化542024/7/13由由解：解：例例2-121）北科大信息工程学院自动化542023/8/14由解：例2北科大信息工程学院自动化552024/7/132）解：解：北科大信息工程学院自动化552023/8/142）解：北科大信息工程学院自动化562024/7/133.带零阶保持器的开环系统的脉冲传递函数带零阶保持器的开环系统的脉冲传递函数G1(s)r*(t)r(t)y*(t)y(t)由脉冲传递函数的定义有：由脉冲传递函数的定义有：即即北科大信息工程学院自动化562023/8/143.带北科大信息工程学院自动化572024/7/13三、闭环脉冲传递函数三、闭环脉冲传递函数1、有一个采样开关的采样系统、有一个采样开关的采样系统2、有数字校正装置的采样系统、有数字校正装置的采样系统北科大信息工程学院自动化572023/8/14三、闭环脉北科大信息工程学院自动化582024/7/133.有干扰作用的脉冲传递函数有干扰作用的脉冲传递函数-假定假定d(t)=0,d(t)=0,得到如下的结构图得到如下的结构图G1(s)G2(s)H(s)r(t)r(t)e*(t)e*(t)c*(t)c*(t)c(t)c(t)北科大信息工程学院自动化582023/8/143.有北科大信息工程学院自动化592024/7/13根据脉冲传递函数的定义可知根据脉冲传递函数的定义可知整理可得到：整理可得到：于是得到：于是得到：北科大信息工程学院自动化592023/8/14根据脉冲传北科大信息工程学院自动化602024/7/13输出的输出的Z Z变换响应为：变换响应为：于是得到闭环系统的脉冲传递函数于是得到闭环系统的脉冲传递函数GB(z)为为:定义误差脉冲传递函数定义误差脉冲传递函数Ge(z)为为北科大信息工程学院自动化602023/8/14输出的Z变北科大信息工程学院自动化612024/7/13已已知知采采样样系系统统结结构构如如下下图图所所示示，求求系系统统的的输输出出脉脉冲响应冲响应y(z)。b*(t)G(s)H(s)r(t)y*(t)y(t)例例2-13解解：由由脉脉冲冲传传递递函函数数定定义义及及串串连连环环节节的的连连接接方方式式，可可列列写写出如下式子出如下式子所以，所以，将将B(z)B(z)代入代入Y(z)Y(z)中，有中，有北科大信息工程学院自动化612023/8/14已知采北科大信息工程学院自动化622024/7/13结论：结论：结论：结论：(1)(1)有时闭环脉冲传递函数是写不出来的，当对输入信号有时闭环脉冲传递函数是写不出来的，当对输入信号 或偏差处没有采样时；或偏差处没有采样时；(2)(2)开关个数不同时得到的开关个数不同时得到的 不同，位置不同得到的不同，位置不同得到的 也不同；也不同；(3)(3)推导过程中不能在任意地方取采样的拉氏变换，必须推导过程中不能在任意地方取采样的拉氏变换，必须在真正有采样的地方才能做采样信号的拉氏变换。在真正有采样的地方才能做采样信号的拉氏变换。(4)(4)输入和输出地方，加的是虚拟采样，不是真的采样，输入和输出地方，加的是虚拟采样，不是真的采样，只有对于单独的输入输出信号（不与其它信号有相乘只有对于单独的输入输出信号（不与其它信号有相乘或叠加关系），虚拟采样才有作用。或叠加关系），虚拟采样才有作用。北科大信息工程学院自动化622023/8/14结论：北科大信息工程学院自动化632024/7/132.6 2.6 采样系统的稳定性分析采样系统的稳定性分析一、一、S域到域到Z域的映射域的映射二、线性采样系统二、线性采样系统Z平面稳定的充要条件平面稳定的充要条件三、三、Z域到域到W域的映射域的映射四、用劳斯判据判定采样系统的稳定性四、用劳斯判据判定采样系统的稳定性北科大信息工程学院自动化632023/8/142.6采北科大信息工程学院自动化642024/7/13一、一、S域到域到Z域的映射域的映射在在Z Z平面上，上式表示单位圆平面上，上式表示单位圆可见可见S S平面上的虚平面上的虚轴，映射到轴，映射到Z Z平面，平面，是以原点为圆心的是以原点为圆心的单位圆，且左半单位圆，且左半S S平面对应单位圆内平面对应单位圆内的区域。的区域。当当=0=0，即，即s s平面的虚轴平面的虚轴,对应对应Z Z平面的单位圆。平面的单位圆。当当00，即，即s s左半平面对应左半平面对应Z Z平面的单位圆内。平面的单位圆内。根据根据Z Z变换定义，有变换定义，有 ，假定在假定在s s平面上任有一点平面上任有一点 ，则通过，则通过Z Z变换，映射到变换，映射到Z Z平面为平面为北科大信息工程学院自动化642023/8/14一、S域到北科大信息工程学院自动化652024/7/13二、线性采样系统二、线性采样系统Z平面稳定的充要条件平面稳定的充要条件设采样系统的闭环脉冲传递函数为设采样系统的闭环脉冲传递函数为系统特征方程为系统特征方程为线性采样系统线性采样系统Z平面平面稳定的稳定的充要条件充要条件是，闭环系统是，闭环系统的全部特征根均位于的全部特征根均位于Z平面的单位圆内，即满足平面的单位圆内，即满足北科大信息工程学院自动化652023/8/14二、线性采北科大信息工程学院自动化662024/7/13已已知知离离散散控控制制系系统统结结构构如如下下图图所所示示，采采样样周期周期T=1T=1秒，分析系统的稳定性。秒，分析系统的稳定性。解：解：闭环特征方程闭环特征方程 1+G(z)=0z2+4.952z+0.368=0z1=-0.076z2=-4.876例例2-14 系系统统闭闭环环特特征征方方程程的的根根有有一一个个在在单单位位圆圆外，该系统不稳定。外，该系统不稳定。r(t)c*(t)c(t)T北科大信息工程学院自动化662023/8/14已知离散控北科大信息工程学院自动化672024/7/13在离散系统中，引进双线性映射。在离散系统中，引进双线性映射。令令或或其中其中z z和和w w可写为可写为于是有于是有三、三、Z域到域到W域的映射域的映射北科大信息工程学院自动化672023/8/14在离散系统北科大信息工程学院自动化682024/7/13 当当x x2 2+y+y2 2=1=1即对应即对应Z Z平面上的单位圆平面上的单位圆;u=0 u=0 即即W W平面上的虚轴平面上的虚轴;当当x x2 2 +y+y2 21 1 即即Z Z平平面面上上单单位位圆圆内内的的部部分分，也也即即稳定域稳定域;u0 u1 1 即即Z Z平平面面上上单单位位圆圆内内外外的的部部分分，也也即不稳定域；即不稳定域；u0 u0 即右半即右半W W平面对应不稳定域。平面对应不稳定域。北科大信息工程学院自动化682023/8/14当x2北科大信息工程学院自动化692024/7/13图图2-24 Z2-24 Z平面到平面到W W平面映射平面映射 线线性性离离散散控控制制系系统统稳稳定定的的充充分分必必要要条条件件是是：线线性性离离散散闭闭环环控控制制系系统统特特征征方方程程的的根根的的模模小小于于1 1；或或者者其其W W变换的特征根全部位于变换的特征根全部位于W W平面的左半平面。平面的左半平面。北科大信息工程学院自动化692023/8/14图2-24北科大信息工程学院自动化702024/7/13四、用劳斯判据判定采样系统的稳定性四、用劳斯判据判定采样系统的稳定性如图如图7-247-24所示，在所示，在W W平面中，离平面中，离散系统的稳定范围已经变为散系统的稳定范围已经变为W W平面的平面的左半平面，因此可以应用劳斯判据左半平面，因此可以应用劳斯判据判断稳定性。判断稳定性。求使系统稳定的求使系统稳定的K K值范围。值范围。例例2-15北科大信息工程学院自动化702023/8/14四、用劳斯北科大信息工程学院自动化712024/7/13解：解：1 1、求系统的开环脉冲传递函数、求系统的开环脉冲传递函数查表得：查表得：2 2、特征方程为：、特征方程为：3 3、对特征方程进行双线性变换，代入、对特征方程进行双线性变换，代入T=0.25sT=0.25s北科大信息工程学院自动化712023/8/14解：1、求北科大信息工程学院自动化722024/7/13整理得整理得：4 4、应用劳斯判据，劳斯表为：、应用劳斯判据，劳斯表为：根据劳斯判据，为使采样系统稳定，应有根据劳斯判据，为使采样系统稳定，应有2.736-0.15802.736-0.1580，得，得使系统稳定的使系统稳定的K K值范围是值范围是0K17.30K0K0。对于二阶线性采样系统，当对于二阶线性采样系统，当K K大于某一值，系统将不稳定，可大于某一值，系统将不稳定，可见，加入采样开关，对系统的稳定性不利，如果提高采样频见，加入采样开关，对系统的稳定性不利，如果提高采样频率，稳定性将得到改善率，稳定性将得到改善。北科大信息工程学院自动化722023/8/14整理得：4北科大信息工程学院自动化732024/7/132.7 2.7 采样系统的稳态误差采样系统的稳态误差一、采样系统的类型一、采样系统的类型二、应用终值定理求给定稳态误差终值二、应用终值定理求给定稳态误差终值三、用静态误差系数求给定稳态误差终值三、用静态误差系数求给定稳态误差终值北科大信息工程学院自动化732023/8/142.7采北科大信息工程学院自动化742024/7/13一、采样系统的类型一、采样系统的类型 设采样系统的开环脉冲函数为设采样系统的开环脉冲函数为G(z)G(z)，当，当G(z)G(z)具有具有0 0个，个，1 1个，个，2 2个个z z1 1的极点时，系统分别为的极点时，系统分别为0 0型，型，I I型，型，IIII型系统。型系统。二、应用终值定理求给定稳态误差终值二、应用终值定理求给定稳态误差终值 设采样系统是单位设采样系统是单位负反馈系统，则给定误负反馈系统，则给定误差脉冲传递函数为：差脉冲传递函数为：北科大信息工程学院自动化742023/8/14一、采样系北科大信息工程学院自动化752024/7/13根据终值定理，给定稳态误差终值为：根据终值定理，给定稳态误差终值为：系统的稳态误差取决于系统的稳态误差取决于G(G(z z)和输入信号和输入信号R(R(z z)。三、用静态误差系数求给定稳态误差终值三、用静态误差系数求给定稳态误差终值1 1、静态位置误差系数、静态位置误差系数2 2、静态速度误差系数、静态速度误差系数北科大信息工程学院自动化752023/8/14根据终值定北科大信息工程学院自动化762024/7/133 3、静态加速度误差系数、静态加速度误差系数单位阶跃输入时，采样系统的稳态误差终值为单位阶跃输入时，采样系统的稳态误差终值为单位斜坡输入时，采样系统的稳态误差终值为单位斜坡输入时，采样系统的稳态误差终值为T T为采样周期为采样周期单位加速度输入时，采样系统的稳态误差终值为单位加速度输入时，采样系统的稳态误差终值为北科大信息工程学院自动化762023/8/143、静态加北科大信息工程学院自动化772024/7/13采样系统如图，零阶保持器的传递函数为采样系统如图，零阶保持器的传递函数为 ，被控对象的传递函数，被控对象的传递函数 ，采，采样周期样周期T=0.25sT=0.25s，确定系统的类型，并求出斜坡输入作用下，确定系统的类型，并求出斜坡输入作用下的稳态误差。的稳态误差。例例2-16北科大信息工程学院自动化772023/8/14采样系统如北科大信息工程学院自动化782024/7/13查表得与上式对应的查表得与上式对应的Z Z变换。系统的开环脉冲传递函数变换。系统的开环脉冲传递函数解：解：1 1、求系统的开环脉冲传递函数求系统的开环脉冲传递函数根据系统的开环脉冲传递函数，系统有一个根据系统的开环脉冲传递函数，系统有一个Z=1Z=1的极点的极点，所以为，所以为I I型系统。型系统。北科大信息工程学院自动化782023/8/14查表得与上北科大信息工程学院自动化792024/7/132 2、求出斜坡输入作用下的稳态误差求出斜坡输入作用下的稳态误差由终值定理可得到：由终值定理可得到：北科大信息工程学院自动化792023/8/142、求出斜北科大信息工程学院自动化802024/7/132.8 2.8 采样系统的暂态特性分析采样系统的暂态特性分析1.1.1.1.时域的瞬态响应分析方法时域的瞬态响应分析方法时域的瞬态响应分析方法时域的瞬态响应分析方法2.2.2.2.闭环极点对系统瞬态响应的影响闭环极点对系统瞬态响应的影响闭环极点对系统瞬态响应的影响闭环极点对系统瞬态响应的影响3.Z3.Z3.Z3.Z平面的根轨迹法平面的根轨迹法平面的根轨迹法平面的根轨迹法北科大信息工程学院自动化802023/8/142.8采北科大信息工程学院自动化812024/7/131.1.1.1.时域的瞬态响应分析方法时域的瞬态响应分析方法时域的瞬态响应分析方法时域的瞬态响应分析方法 通通常常离离散散控控制制系系统统的的闭闭环环脉脉冲冲传传递递函函数数可可表表示示为为如如下下形形式式(为简单起见，假设没有重根为简单起见，假设没有重根)：当系统输入为单位阶跃时，其系统输出当系统输入为单位阶跃时，其系统输出Y(z)Y(z)为：为：北科大信息工程学院自动化812023/8/141.时北科大信息工程学院自动化822024/7/13展开成部分分式，有展开成部分分式，有式中式中于是可以通过于是可以通过Z Z反变换得到反变换得到y(k)y(k)，即得到时域解，并以此进，即得到时域解，并以此进行采样系统的时域分析行采样系统的时域分析北科大信息工程学院自动化822023/8/14展开成部分北科大信息工程学院自动化832024/7/132.2.2.2.闭环极点对系统瞬态响应的影响闭环极点对系统瞬态响应的影响闭环极点对系统瞬态响应的影响闭环极点对系统瞬态响应的影响北科大信息工程学院自动化832023/8/142.闭环极北科大信息工程学院自动化842024/7/13振荡周期为：振荡周期为：即经过次采样后输即经过次采样后输出振荡一个周期，或出振荡一个周期，或者说是输出在一个振者说是输出在一个振荡周期内采样了次。荡周期内采样了次。图图2-25 2-25 闭环实极点分布与瞬态响应闭环实极点分布与瞬态响应复平面上的极点全为共轭：复平面上的极点全为共轭：北科大信息工程学院自动化842023/8/14振荡周期为北科大信息工程学院自动化852024/7/13北科大信息工程学院自动化852023/8/14北科大信息工程学院自动化862024/7/13例例2-18采样系统如图，零阶保持器的传递函数为采样系统如图，零阶保持器的传递函数为 ，被控对象的传递函数，被控对象的传递函数 ，采，采样周期样周期T=0.25sT=0.25s，确定系统的时域性能指标。，确定系统的时域性能指标。北科大信息工程学院自动化862023/8/14例2-18北科大信息工程学院自动化872024/7/13解：解：1 1、求系统的开环脉冲传递函数求系统的开环脉冲传递函数2 2、求采样系统的闭环输出响应求采样系统的闭环输出响应北科大信息工程学院自动化872023/8/14解：1、求北科大信息工程学院自动化882024/7/13超调量：超调量：72.9%上升时间：上升时间：1.5T峰值时间：峰值时间：2T调节时间：调节时间：28Tty(kT)13 3、长除法或反变换发求时域输出响应长除法或反变换发求时域输出响应y(kT)北科大信息工程学院自动化882023/8/14超调量：7北科大信息工程学院自动化892024/7/133.Z3.Z3.Z3.Z平面的根轨迹法平面的根轨迹法平面的根轨迹法平面的根轨迹法设采样系统的闭环脉冲传递函数为设采样系统的闭环脉冲传递函数为则系统特征方程为则系统特征方程为注意到平面也是一个复平面，则有平面的幅值条件如下：注意到平面也是一个复平面，则有平面的幅值条件如下：平面的相角条件：平面的相角条件：平面的幅值条件和相角条件与前面介绍的平面根轨迹平面的幅值条件和相角条件与前面介绍的平面根轨迹毫无两样，因此在规则和画法上是完全一致的。毫无两样，因此在规则和画法上是完全一致的。北科大信息工程学院自动化892023/8/143.Z平面北科大信息工程学院自动化902024/7/13 已知采样系统的开环脉冲传递函数为已知采样系统的开环脉冲传递函数为 试绘制该采样系统的根轨迹图。试绘制该采样系统的根轨迹图。解：解：极点极点Z=0Z=0，Z=-1Z=-1，分离点：分离点：d=-0.5d=-0.5 渐近线：渐近线：=90=900 0 =-0.5=-0.5 根轨迹图如右图示。根轨迹图如右图示。例例2-19K=0.25K=0K=0KK-1jZ北科大信息工程学院自动化902023/8/14北科大信息工程学院自动化912024/7/13n连续系统离散化的三个条件采样方式为以常数T为周期的等间隔采样，采样时间T采样周期T满足香农采样定理保持器为零阶保持器连续系统保持器计算机采样器D/AA/Du(t)u(k)y(t)y(k)2.9 2.9 离散系统的状态空间描述离散系统的状态空间描述2.9.1 2.9.1 连续系统的离散化连续系统的离散化北科大信息工程学院自动化912023/8/14连续系统离北科大信息工程学院自动化922024/7/13近似离散化近似离散化当当T T很小时，有很小时，有整理可得：整理可得：北科大信息工程学院自动化922023/8/14近似离散化北科大信息工程学院自动化932024/7/13由状态方程的解可知：由状态方程的解可知：令并注意到此时比较此式与离散化后的离散状态方程不难得到：比较此式与离散化后的离散状态方程不难得到：(令：当当时，时，t=T当当 时，时，t=0)离散化方法离散化方法-定常系统定常系统北科大信息工程学院自动化932023/8/14由状态方程北科大信息工程学院自动化942024/7/13试将下列状态方程离散化试将下列状态方程离散化解：解：(1)(1)用状态方程的解离散化用状态方程的解离散化例例2-202-20北科大信息工程学院自动化942023/8/14试将下列状北科大信息工程学院自动化952024/7/13(2)(2)近似离散：近似离散：T T的大小对近似算法精度的影响见的大小对近似算法精度的影响见P75P75中的表中的表2-12-1北科大信息工程学院自动化952023/8/14(2)近似北科大信息工程学院自动化962024/7/13离散时间系统状态方程的两种解法：递推法迭代法Z变换法只能用于求解定常系统一、递推法一、递推法(迭代法迭代法)线性离散时间系统的状态空间表达式为：线性离散时间系统的状态空间表达式为：2.9.22.9.2离散状态方程的解离散状态方程的解 北科大信息工程学院自动化962023/8/14离散时间系北科大信息工程学院自动化972024/7/13这个一阶差分方程组的解为：这个一阶差分方程组的解为：证：证：用迭代法解矩阵差分方程：用迭代法解矩阵差分方程：北科大信息工程学院自动化972023/8/14这个一阶差北科大信息工程学院自动化982024/7/13k=0：k=1：k=2：k=k-1：这就是前面的通式这就是前面的通式北科大信息工程学院自动化982023/8/14k=0北科大信息工程学院自动化992024/7/13整理成矩阵表达式：整理成矩阵表达式：容易记忆容易记忆北科大信息工程学院自动化992023/8/14整理成矩阵北科大信息工程学院自动化1002024/7/13二、二、Z Z变换法变换法北科大信息工程学院自动化1002023/8/14二、Z变北科大信息工程学院自动化1012024/7/13几点说明：1)1)离散方程的求解在形式上与连续系统的类似是：离散方程的求解在形式上与连续系统的类似是：离散方程的解离散方程的解 =通解通解 +特解特解 其次方程解其次方程解与输入与输入u u有关的部分有关的部分2)2)离散方程的解在时间上是离散的，不像连续状态离散方程的解在时间上是离散的，不像连续状态方程其解是时间连续的。方程其解是时间连续的。3)3)由输入引起的响应由输入引起的响应 ：k k时刻的状态只与在此采样时刻的状态只与在此采样时刻以前的输入采样值有关，而与该时刻的输入采样时刻以前的输入采样值有关，而与该时刻的输入采样无关。无关。北科大信息工程学院自动化1012023/8/14几点说明北科大信息工程学院自动化1022024/7/13三、离散系统的状态转移阵：三、离散系统的状态转移阵：由离散系统状态方程的解，比较连续系统可知有：由离散系统状态方程的解，比较连续系统可知有：北科大信息工程学院自动化1022023/8/14三、离散北科大信息工程学院自动化1032024/7/13离散系统状态转移矩阵的计算：离散系统状态转移矩阵的计算：例例2-212-21北科大信息工程学院自动化1032023/8/14离散系统北科大信息工程学院自动化1042024/7/13北科大信息工程学院自动化1042023/8/14北科大信息工程学院自动化1052024/7/13例例2-222-22北科大信息工程学院自动化1052023/8/14例2-2北科大信息工程学院自动化1062024/7/13作业：作业：p772-3,2-4,2-5,2-6北科大信息工程学院自动化1062023/8/14作业：p北科大信息工程学院自动化1072024/7/13一、Z变换：处理离散系统的基本数学工具。1、Z变换定义：2、Z变换性质 3、Z变换表:(反变换)长除 部分分式展开 留数法（反演积分法）本章小结本章小结北科大信息工程学院自动化1072023/8/14一、Z变北科大信息工程学院自动化1082024/7/13二、采样过程和采样定理:1、理解采样过程；2、熟练掌握采样定理.三、零阶保持器实现信号恢复的物理实现方法和理论分析 方法，了解这种信号恢复的优势和不足。四、脉冲传递函数及其应用 1、s平面与z平面的对应关系；2、脉冲传递函数的概念和获得方法；3、差分方程的求解；4、熟练求出典型离散系统的闭环脉冲传递函数.5、常见的离散系统框图能推导出z变换表达式.北科大信息工程学院自动化1082023/8/14二、采样北科大信息工程学院自动化1092024/7/13五、采样系统的分析:1、稳定判据、参数对稳定性的影响；(W变换)2、稳态误差的计算方法；3、暂态特性的计算，闭环极点在Z平面上的位置与暂 态特性的关系。六、离散状态空间 1、连续系统的离散化方法；2、离散系统的状态转移阵及其求解；北科大信息工程学院自动化1092023/8/14五、采样北科大信息工程学院自动化1102024/7/13本章结束，谢谢大家！本章结束，谢谢大家！北科大信息工程学院自动化1102023/8/14本章结束北科大信息工程学院自动化1112024/7/13前提条件：没有连续信号与离散的直接加减。前提条件：没有连续信号与离散的直接加减。第一步，写出连续系统的第一步，写出连续系统的Y(s)Y(s)；第二步，根据开关的位置来写出第二步，根据开关的位置来写出(z)(z)。求求求求(z)(z)的一般方法：的一般方法：的一般方法：的一般方法：例例1-补充补充已已知知采采样样系系统统结结构构如如下下图图所所示示，求求系系统统的的输输出脉冲响应出脉冲响应Xc(z)。北科大信息工程学院自动化1112023/8/14前提条件北科大信息工程学院自动化1122024/7/13解：解：北科大信息工程学院自动化1122023/8/14解：北科大信息工程学院自动化1132024/7/13例例2-补充补充已已知知采采样样系系统统结结构构如如下下图图所所示示，求求系系统统的的输输出脉冲响应出脉冲响应Xc(z)。解：解：北科大信息工程学院自动化1132023/8/14例2-补北科大信息工程学院自动化1142024/7/13北科大信息工程学院自动化1142023/8/14