第九章--导体和电介质中的静电场4课件

电介质中的静电场电介质中的静电场电介质中的静电场电介质中的静电场d1、平行板电容器充满均匀电介质时介质中的电场、平行板电容器充满均匀电介质时介质中的电场两极板间充满电介质后的电容：两极板间充满电介质后的电容：极化电荷面密度与极板上自极化电荷面密度与极板上自由电荷面密度的关系由电荷面密度的关系均匀介质球放入前电场为一均匀场均匀介质球放入前电场为一均匀场2、均匀介质球中的电场、均匀介质球中的电场均匀介质球放入后电力线发生弯曲均匀介质球放入后电力线发生弯曲+极化电荷在介质球极化电荷在介质球内的场强已经在例内的场强已经在例题中求出为题中求出为:与与方向相反方向相反靠近球的外部空间，上下靠近球的外部空间，上下区域，合场强减弱；左右区域，合场强减弱；左右区域，合场强增强。区域，合场强增强。+介质球内部为匀强电场介质球内部为匀强电场9-6 有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移（1）有电介质时，静电场的环路定理仍然成立。）有电介质时，静电场的环路定理仍然成立。（2）电介质中的高斯定理）电介质中的高斯定理1、有电介质时的高斯定理、有电介质时的高斯定理 电位移电位移电位移矢量电位移矢量单位：单位：C/m2电极化强电极化强度通量度通量有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理电位移通量电位移通量只与闭合曲面所包围的只与闭合曲面所包围的自由电荷自由电荷有关，有关，但但 本身与本身与自由电荷自由电荷和和极化电荷极化电荷都有关。都有关。介质中的介质中的高斯定理意义高斯定理意义：通过任一闭合曲面的通过任一闭合曲面的电电位位移移通量通量，等于该曲面内所包围的等于该曲面内所包围的自由电荷的代数和自由电荷的代数和。说明：说明：说明：说明：介质中的高斯定理不仅适用于介质，也适用于真空。介质中的高斯定理不仅适用于介质，也适用于真空。电位移矢量只是一个辅助物理量电位移矢量只是一个辅助物理量+电场线电场线电位移线电位移线从从自由正电荷自由正电荷或或束缚正电束缚正电荷荷出发，终止于负电荷出发，终止于负电荷。从从自由正电荷自由正电荷出发，出发，终止于终止于自由负电荷。自由负电荷。电位移线：电位移线：类似与电场线，线上每一点的类似与电场线，线上每一点的切线切线方向方向表示该点的表示该点的电位移矢量方向电位移矢量方向。（3）电位移线）电位移线 2.三矢量之间的关系三矢量之间的关系各向同性介质各向同性介质有电介质存在时的高斯定理的应用有电介质存在时的高斯定理的应用有电介质存在时的高斯定理的应用有电介质存在时的高斯定理的应用（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯 面面，求出电位移矢量求出电位移矢量；（2）根据电场与电位移矢量的关系，）根据电场与电位移矢量的关系，求出电场强度求出电场强度；（3）根据电极化强度与电场的关系，）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度求出电极化强度；（4）根据束缚电荷与电极化强度关系，）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷求出束缚电荷。求解步骤：求解步骤：例题例题9-6 一半径为一半径为R的金属球，带有电荷的金属球，带有电荷q0，浸埋在，浸埋在“无限大无限大”均匀电介质中（相对电容率为均匀电介质中（相对电容率为 r），求：），求：球外任一点球外任一点P的场强及极化电荷分布。的场强及极化电荷分布。解解:如图所示，过如图所示，过P点作一半径点作一半径 为为r并与金属球同心的闭合球并与金属球同心的闭合球 面面S，由高斯定理知：，由高斯定理知：rS,所以离球心所以离球心r 处处P点的场强为点的场强为因因Rq0 rP极化面电荷分布在与金属球交极化面电荷分布在与金属球交界处的电介质界面上（另一电界处的电介质界面上（另一电介质表面在无限远处），介质表面在无限远处），其其电电荷面密度为荷面密度为因为因为r 1，恒与恒与q0 反号，在交界面处，自由电荷反号，在交界面处，自由电荷和极化电荷的总电荷量为和极化电荷的总电荷量为离球心离球心r处场强减小到处场强减小到真空时的真空时的1/r倍的原倍的原因因RrSPq0例题例题9-7 平行板电容器两板极的面积为平行板电容器两板极的面积为S，如图所示，如图所示，两板极之间充有两层均匀电介质，电容率分别为两板极之间充有两层均匀电介质，电容率分别为 1 和和 2，厚度分别为，厚度分别为d1 和和d2，电容器两极板上自由电荷，电容器两极板上自由电荷面密度为面密度为。求（。求（1）在各层电介质的电位移和场强；）在各层电介质的电位移和场强；（2）电容器的电容。）电容器的电容。+-+-解解（1）先在两层电介质先在两层电介质交界面处作一高斯闭合面交界面处作一高斯闭合面S，在此高斯面内的自由，在此高斯面内的自由电荷为零。由电介质时的电荷为零。由电介质时的高斯定理得高斯定理得S可见在这两层电介质中可见在这两层电介质中场强并场强并不相等不相等，而是，而是和电容率率和电容率率（或（或相对电容率相对电容率）成反比成反比。为了求出电介质中电位移和场强的大小，可另作为了求出电介质中电位移和场强的大小，可另作一个高斯闭合面一个高斯闭合面S，这一闭合面内的自由电荷等于正，这一闭合面内的自由电荷等于正极板上的电荷，由电介质时的高斯定理，得极板上的电荷，由电介质时的高斯定理，得匀强电场匀强电场-+-+S（2）正、负两极板）正、负两极板A、B间间 的电势差为的电势差为q=S是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为电容的大小与电介电容的大小与电介质的放置次序无关质的放置次序无关+-+-S9-8 电荷间的相互作用能电荷间的相互作用能 静电场的能量静电场的能量一一、点电荷间的相互作用能、点电荷间的相互作用能 电荷系在原来状态电荷系在原来状态A的静电势能的静电势能（相互作用能）（相互作用能）AA1）将各电荷从状态将各电荷从状态A A彼此分散到无限远时，静电力所彼此分散到无限远时，静电力所做的功；做的功；2）把各电荷从无限远离的状态聚合到状态把各电荷从无限远离的状态聚合到状态A A的过程的过程中，外力克服静电力作的功；中，外力克服静电力作的功；1 1、两个点电荷两个点电荷假设假设q1、q2 从相距无穷远移至相距为从相距无穷远移至相距为r。先把先把q1 从无限远移至从无限远移至A 点，因点，因q2与与A 点相距仍点相距仍然为无限远，然为无限远，外力做功等于零。外力做功等于零。再把再把 q q2 2 从无限远移至从无限远移至B B 点点V2是是q1在在B点点激激发的的电势，V是是q1在无限在无限远处的的电势。外力要克服外力要克服 q1的电场力做功，其大小等于系统电势的电场力做功，其大小等于系统电势能的增量。能的增量。同理，先把同理，先把 q q2 2 从无限远移从无限远移B B 点，再把点，再把 q q1 1 移到移到A A点，外点，外力做功为力做功为V V1 1 是是 q q2 2 在在 A A 点产生的电势。点产生的电势。两种不同的迁移过程，外力做功相等。两种不同的迁移过程，外力做功相等。根据功能原理，外力做功等于系统的相互作用能根据功能原理，外力做功等于系统的相互作用能W W。可改写为可改写为两个点电荷组成的系统的相互作用能（电势能）等两个点电荷组成的系统的相互作用能（电势能）等于每个电荷在另外的电荷所产生的电场中的电势能于每个电荷在另外的电荷所产生的电场中的电势能的代数和的一半。的代数和的一半。V1V22 2 三个点电荷三个点电荷依次把依次把 q q1 1 、q q2 2、q q3 3 从无限远移至所在的位置。从无限远移至所在的位置。先把先把 q q1 1 移至移至A A点，外力做功点，外力做功再把再把 q q2 2 移至移至B B点，外力做功点，外力做功最后把最后把 q q3 3 移至移至C C点，外力做功点，外力做功三个点电荷组成的系统的相三个点电荷组成的系统的相互作用能量（电势能）：互作用能量（电势能）：可改写为可改写为V1 是是 q2 和和 q3 在在 q1 所在处产生的电势，其余类推。所在处产生的电势，其余类推。三个点电荷组成的系统的相互作用能（电势能）等三个点电荷组成的系统的相互作用能（电势能）等于每个电荷在另外的两个电荷所产生的电场中的电于每个电荷在另外的两个电荷所产生的电场中的电势能的代数和的一半。势能的代数和的一半。3 3 多个点电荷多个点电荷推广至由推广至由n n个点电荷组成的系统，其相互作用能（电个点电荷组成的系统，其相互作用能（电势能）为势能）为Vi 是除是除 qi 外的其它所有外的其它所有电荷荷在在 qi 所在所在处产生的生的电势。多个点电荷组成的系统的相互作用能（电势能）等多个点电荷组成的系统的相互作用能（电势能）等于每个电荷在其余的所有电荷所产生的电场中的电于每个电荷在其余的所有电荷所产生的电场中的电势能的代数和的一半。势能的代数和的一半。当有介当有介质存在存在时，qi仍是自由仍是自由电荷，荷，Vi为有介有介质时的的电势。二二二二.电荷连续分布时的静电能电荷连续分布时的静电能电荷连续分布时的静电能电荷连续分布时的静电能 以体电荷分布为例，设想分割成许多小电荷元以体电荷分布为例，设想分割成许多小电荷元Vi，不断把体电荷元，不断把体电荷元从无穷远处迁移到物体上，从无穷远处迁移到物体上，则则 i 体电荷元处的电势体电荷元处的电势 式各个带电体元之间的式各个带电体元之间的相互作用能，相互作用能，式计算出来的能量还包括式计算出来的能量还包括带电体元内部各部分电荷带电体元内部各部分电荷间的相互作用能（间的相互作用能（称为称为固有能），固有能），称为称为静电能静电能.包括电荷元在内的整个包括电荷元在内的整个电荷在该处激发的电势电荷在该处激发的电势三三三三.静电场的能量静电场的能量静电场的能量静电场的能量以平行平板电容器为例以平行平板电容器为例设电容器的电容是C，某时刻两极板分别带q和q的电荷，板间的电势差为qC，则这时将dq电荷由B板移到A板外力作的功为：在极板带电从在极板带电从0Q0Q整个过程中，外力作的功为：整个过程中，外力作的功为：电容器所具有的能：电容器所具有的能：平板电容器的能量平板电容器的能量表明：电能贮藏在电场中表明：电能贮藏在电场中推广：任一带电体系的总能量：推广：任一带电体系的总能量：静电场的能量静电场能量的体密度静电场能量的体密度例题例题9-8如图所示，在一边长为如图所示，在一边长为d的立方体的每个的立方体的每个顶点上放有一个点电荷顶点上放有一个点电荷-e，立方体中心放有一个点，立方体中心放有一个点电荷电荷+2e。求此带电系统的相互作用能量。求此带电系统的相互作用能量。+2e-e-e-e-e-e-e-e-ed解解:任一顶点处的电势为任一顶点处的电势为 在体心处的电势为在体心处的电势为根据公式可得这个点电荷系的总相互作用能为根据公式可得这个点电荷系的总相互作用能为+2e-e-e-e-e-e-e-e-ed例例9-9 求半径为求半径为R 带电量为带电量为Q 的均匀带电球的静电能。的均匀带电球的静电能。r 处电场处电场解：利用解：利用 来计算来计算RrOQ球外为真空球外为真空例题例题9-10一平行板空气电容器的板极面积为一平行板空气电容器的板极面积为S，间，间距为距为d，用电源充电后两极板上带电分别为，用电源充电后两极板上带电分别为 Q。断。断开电源后再把两极板的距离拉开到开电源后再把两极板的距离拉开到2d。求（。求（1）外力）外力克服两极板相互吸引力所作的功；（克服两极板相互吸引力所作的功；（2）两极板之间）两极板之间的相互吸引力。（空气的电容率取为的相互吸引力。（空气的电容率取为0）。）。板极上带电板极上带电Q 时所储的电能为时所储的电能为解：（解：（1）两极板的间距为）两极板的间距为d 和和2d 时，平行板电容器时，平行板电容器 的电容分别为的电容分别为（2）设两极板之间的相互吸引力为）设两极板之间的相互吸引力为F，拉开两极板，拉开两极板 时所加外力应等于时所加外力应等于F，外力所作的功，外力所作的功A=Fd，所以所以故故两两极极板板的的间间距距拉拉开开到到2 2d d后后电电容容器器中中电电场场能能量量的的增量为增量为例例9-11 平平行行板板空空气气电电容容器器每每极极板板的的面面积积S=310-2m2，极极板板间间的的距距离离d=310-3m。今今以以厚厚度度为为d =110-3m的的铜铜板板平平行行地地插插入入电电容器内。容器内。（1）计计算算此此时时电电容容器器的的电电容容；（2）铜铜板板离离极极板板的的距距离离对对上上述述结果是否有影响？结果是否有影响？（3）使使电电容容器器充充电电到到两两极极板板的的电电势势差差为为300V后后与与电电源源断断开开，再再把把铜铜板板从从电电容容器器中中抽抽出出，外外界界需作功多少功？需作功多少功？d1d2dd+-C1C2AB 设设平平行行板板电电容容器器两两板板极极上上带带有有电电荷荷q,铜铜板板的的两两表表面面上上将将分分别别产产生生感感应应电电荷荷，面面密密度度也也为为，此此时时空空气气中中场场强强不不变变，铜铜板板中中场场强强为为零零。两两极极板板A、B的电势差为的电势差为所以铜板插入后的电容所以铜板插入后的电容C 为为（2）由上式可见，）由上式可见，C 的值与的值与d1和和d2无关（无关（d1增大增大 时，时，d2减小。减小。d1+d2=d d 不变），所以铜不变），所以铜 板离极板的距离不影响板离极板的距离不影响C 的值。的值。解：（解：（1）铜板未插入前的电容为）铜板未插入前的电容为（3）铜板未抽出时，电容器被充电到）铜板未抽出时，电容器被充电到U=300V，此，此 时所带电荷量时所带电荷量Q=C U，电容器中所储静电能为，电容器中所储静电能为能量的增量能量的增量W-W 应等于外力所需作的功，即应等于外力所需作的功，即当当电电容容器器与与电电源源切切断断后后再再抽抽出出铜铜板板，电电容容器器所所储储的的静电能为静电能为代入已知数据，可算得代入已知数据，可算得作业：9-30;9-32;9-42