第3章复变函数的积分课件

山东大学数学院主讲：主讲：郑修才郑修才复变函数与积分变换复变函数与积分变换大学数学教程大学数学教程复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform第第3 3章章 复变函数的积分复变函数的积分3.1 复变函数积分的概念和性质3.2 柯西积分定理及其应用3.3 柯西积分公式和解析函数的高阶导数 3.4 解析函数与调和函数的关系复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复习、引入复习、引入复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform3.1 3.1 复变函数积分的概念和性质复变函数积分的概念和性质 一、定义-化整为零,取零为整 设在复平面C上有一条连接 及Z两点的简单曲线C。设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上连续的函数。其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部。把曲线C用分点 分成n个更小的弧，在这里分点 在曲线C上,按从 到Z的次序排列的。复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform如果 是 到 的弧上任意一点，那么下列和式的极限(对任意分法和 的取法都存在且相同),记 复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform与实函数中第二型线积分类比与实函数中第二型线积分类比C C的参数方程的参数方程线积分线积分dz复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复积分复积分一个复积分的实质是一个复积分的实质是两个实二型线积分两个实二型线积分复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform二、积分存在的条件及其计算方法 1)C为连续函数且是光滑(或按段光滑)曲线时，积分是一定存在的。3)化为参变量的定积分来计算。2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例1 计算 其中 为以 为圆心，为半径的正向圆周,为整数.复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform三、积分的性质复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例2 计算 的值，其中 为沿从（0，0）到（1，0）的线段与从（1，0）到（1，1）的线段所连结成的折线。解:复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例3 计算 的值，其中 为沿 从（0，0）到（1，1）的线段：解解 :复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例4 计算 其中 为从原点到点 的直线段。解 直线的方程可写成复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform 练习:对例4中的积分沿下列路径计算 (1)当C为从原点到(3,0),再从(3,0)到点(3,4)的折线;(2)当C为从原点到(0,3),再从(0,3)到点(3,4)的折线时,积分的结果又为何值呢?观察例观察例3 3、例、例4 4两个线积分的结果，分析两种两个线积分的结果，分析两种被积函数的特征，你会得出怎样的结论？被积函数的特征，你会得出怎样的结论？复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform3.2 柯西积分定理及其应用回顾回顾复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform一、一、柯西积分定理柯西积分定理复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform二、解析函数的原函数与等价定理n定理一 如果函数 在单连域内处处解析，那么积分 与连结从起点到终点的路径无关.n定理二 如果函数 在单连域B内处处解析，那末函数 必为B内的解析函数,且 ，其中F(z)称为f(z)的原函数.复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform 利用原函数的这个关系，推得与牛顿莱布尼兹公式类似的解析函数积分的计算公式。结论：的任何两个原函数相差一个常数.此时实函数积分的换元、分部积分法均可推广使用定理三定理三 如果函数f(z)在单连域单连域 B B内处处解析,G(z)为 的一个原函数,那么复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform解解:例5 计算 复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例 6 计算 解：复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例7 计算 解：复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform三、复合闭路定理三、复合闭路定理柯西定理在多连域的推广柯西定理在多连域的推广所围成的多连通区域，(互不包含且互不相交互不包含且互不相交)，定理四：定理四：复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform四、闭路变形原理四、闭路变形原理复合闭路定理的特例复合闭路定理的特例复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform证明：取这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作区域内作连续变形而改变它的值。连续变形而改变它的值。-闭路变形原理闭路变形原理复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例8试求 的值，C为包含0和1在内的任何一条正向简单闭曲线。解：闭路变形原理闭路变形原理复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform 3.3 3.3 柯西积分公式柯西积分公式若 f(z)在D内解析，则分析：分析：复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform一、柯西积分公式一、柯西积分公式(3.3.1)上述公式称为柯西积分公式.通过该公式可以把一个函数在C内部任何一点的值,用它在边界上的值表示出来。复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例9 计算 (沿圆周正向)解 由公式(3.3.1)得复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例例1010 解：复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform二、解析函数的高阶导数二、解析函数的高阶导数其中 为函数 的解析区域 内围绕 的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全含于 。一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各 阶导数.这一点与实变函数完全不同,关于解析函数的高阶导数我们有:定理:解析函数的导数仍为解析函数,它的 阶导数为:复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform二、解析函数的高阶导数二、解析函数的高阶导数其中 为函数 的解析区域 内围绕 的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全含于 。一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各 阶导数.这一点与实变函数完全不同,关于解析函数的高阶导数我们有:定理:解析函数的导数仍为解析函数,它的 阶导数为:复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例例11 11 求下列积分的值求下列积分的值,其中其中C C为正向圆周为正向圆周:|z|=r 1.复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform 高阶导数公式的作用高阶导数公式的作用,不在于通过积分来求导不在于通过积分来求导,而在于利用求导计算积分而在于利用求导计算积分.复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform3.4 3.4 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系定义定义1 1 若若(称此为调和方程或Laplace方程)复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform定理定理1 1：证明：同样可得 且u,v有任意阶连续偏导数复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform注：逆定理显然不成立，即 对区域D内的任意两个调和函数不一定是解析函数.例如：复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform定义定义2 2 定理定理2 2：在区域D内解析 解析函数的虚部必为实部的共轭调和数已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另一个，从而构成一个解析函数。复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例例1 1已知调和函数求一解析函数解：（法一）由 C-R 方程复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform于是复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform（法二）复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform(0,0)(x,y)(x,0)复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform（法三）复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例2 证明：函数 都是调和函数但 不是解析函数。证证 由于由于复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform所以故 是全平面上的调和函数，除原点外在全平面上调和。但 ,不满足C-R条件，所以 不是解析函数。复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例3 证明：若 为调和函数且不等于常数，则 不是调和函数。证 因为 为调和函数，所以又又同理同理复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例例4 4求形如求形如 的最一般的调和函数。的最一般的调和函数。并求其共轭调和函数及其对应的解析函数。并求其共轭调和函数及其对应的解析函数。令令复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform故故 即 的一般形式的调和函数为其中 为任意常数。因为因为复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform所以令 ，得即知即知于是于是复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例例5 5查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform查看原题查看原题查看原题查看原题复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform查看原题查看原题查看原题查看原题复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform查看原题查看原题查看原题查看原题复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform查看原题查看原题查看原题查看原题复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform查看原题查看原题查看原题查看原题复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform查看原题查看原题查看原题查看原题复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform查看原题查看原题查看原题查看原题复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例例6 6 设设 满足下列关系，求解析函数满足下列关系，求解析函数复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral TransformHow beautiful the sea is!