矩阵位移法--课件(讲课)

第九章第九章 矩阵位移法矩阵位移法1 9.1 概述概述 9.2 杆件单元的离散化杆件单元的离散化 9.3 单元刚度矩阵（局部坐标系）单元刚度矩阵（局部坐标系）9.4 单元刚度矩阵（整体坐标系）单元刚度矩阵（整体坐标系）9.5 连续梁的刚度矩阵连续梁的刚度矩阵 9.6 刚架的刚度矩阵刚架的刚度矩阵 9.7 等效结点荷载等效结点荷载 9.8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析第第第第9 9 9 9章章章章 矩阵位移法矩阵位移法矩阵位移法矩阵位移法2 矩阵位移法是以矩阵形式表达的位移法。它与矩阵位移法是以矩阵形式表达的位移法。它与位移法的基本原理总体上是相同的。即它们都是以位移法的基本原理总体上是相同的。即它们都是以结点位移为基本未知量，通过先结点位移为基本未知量，通过先“拆散拆散”、后、后“组组装装”，利用平衡方程求解，然后再计算结构内力的，利用平衡方程求解，然后再计算结构内力的方法。按照矩阵位移法的术语，主要有以下三个基方法。按照矩阵位移法的术语，主要有以下三个基本环节：本环节：结构的离散化结构的离散化 单元分析单元分析 整体分析整体分析9.19.1概述概述 简单概括为：简单概括为：“先分再合，拆了再搭先分再合，拆了再搭”3 将结构整体拆开，分解为有限个较小的单元将结构整体拆开，分解为有限个较小的单元各单元只在有限个结点处相连，这个过程称作各单元只在有限个结点处相连，这个过程称作离离散化。散化。对于杆件结构，一般以一根等截面直杆为对于杆件结构，一般以一根等截面直杆为一个单元。因此，整个结构可看作是有限个单元一个单元。因此，整个结构可看作是有限个单元的集合体，这一环节，相当于建立位移法的基本的集合体，这一环节，相当于建立位移法的基本结构。结构。矩阵位移法的三个基本环节矩阵位移法的三个基本环节4矩阵位移法的三个基本环节矩阵位移法的三个基本环节 单元分析的任务在于，分析杆单元分析的任务在于，分析杆单元的杆端内力与杆端位移之间单元的杆端内力与杆端位移之间的关系，以矩阵形式表示，建立的关系，以矩阵形式表示，建立单元刚度方程。这一环节，与位单元刚度方程。这一环节，与位移法中建立转角位移方程相对应。移法中建立转角位移方程相对应。5 整体分析整体分析把各杆单元集合成原来的结构。把各杆单元集合成原来的结构。整体分析的任务整体分析的任务将单元集合成整体，由单元刚度将单元集合成整体，由单元刚度矩阵按照刚度集成规则形成整体刚度矩阵，建立整个结构矩阵按照刚度集成规则形成整体刚度矩阵，建立整个结构的刚度方程，以求解原结构的结点位移。这一环节，与建的刚度方程，以求解原结构的结点位移。这一环节，与建立和求解位移法的基本方程相对应。据此，可进一步算出立和求解位移法的基本方程相对应。据此，可进一步算出各单元的杆端内力。各单元的杆端内力。矩阵位移法的三个基本环节矩阵位移法的三个基本环节 直接由单元刚度矩阵导出整体刚度矩阵的集成规则，直接由单元刚度矩阵导出整体刚度矩阵的集成规则，是矩阵位移法的核心内容。是矩阵位移法的核心内容。6 9 9.2.1.2.1单元与结点的划分和编号单元与结点的划分和编号单元与结点的划分和编号单元与结点的划分和编号结点：结点：将结构离散成单元的分割点。将结构离散成单元的分割点。构造结点构造结点:杆件转折点、汇交点、支承杆件转折点、汇交点、支承 点、截面突变点、自由端、点、截面突变点、自由端、材料交界点等。材料交界点等。非构造结点：非构造结点：集中荷载作用点。集中荷载作用点。单元：单元：结点间的杆件结点间的杆件1.1.单元与结点的划分单元与结点的划分123485761234567PP7整体整体(结构结构)坐标系，坐标系，用用x-yx-y表示，表示，其坐标原点可任意选取，从其坐标原点可任意选取，从x x轴轴正方向顺时针旋转正方向顺时针旋转9090度为度为y y轴正方向轴正方向杆件结构的离散化杆件结构的离散化2.2.单元与结点的编号单元与结点的编号 、单元编号：单元编号：结点编号：结点编号：1 1、2 2、3 3、编号顺序：编号顺序：原则上随意，考虑对计算机内存和计算时间的影响，原则上随意，考虑对计算机内存和计算时间的影响，通常应使每个单元两端结点号差值尽可能最小。通常应使每个单元两端结点号差值尽可能最小。9 9.2.2.2.2 两种直角坐标系两种直角坐标系两种直角坐标系两种直角坐标系局部局部(单元单元)坐标系，坐标系，用用 表示，表示，其坐标原点在单元的始端其坐标原点在单元的始端 点，从始端指向末端的为点，从始端指向末端的为 的正方向；的正方向；从从 轴的正方向顺时针旋转轴的正方向顺时针旋转9090度为度为 轴的正方向。轴的正方向。每个单元一套坐标系。每个单元一套坐标系。xyyxoxx8刚架单元的每个端点有三个杆端力分量和相应的三个杆端位移分量（如图所示），则单元的杆端位移向量和杆端力向量分别为：9 9.2.3.2.3 单元杆端力和杆端位移的表示方法单元杆端力和杆端位移的表示方法单元杆端力和杆端位移的表示方法单元杆端力和杆端位移的表示方法yx1.1.表示方法表示方法排列顺序：先始端后末端排列顺序：先始端后末端2.2.符号规定符号规定1 1、杆端转角位移和杆端弯矩顺时针为正；、杆端转角位移和杆端弯矩顺时针为正；2 2、其他杆端位移和杆端内力与坐标轴正向一致为正。、其他杆端位移和杆端内力与坐标轴正向一致为正。局部码局部码局部码局部码结点位移在单元中的编码结点位移在单元中的编码99.3.1一般单元的单元刚度方程和单元刚度矩阵一般单元的单元刚度方程和单元刚度矩阵 一般杆单元一般杆单元两端刚结的杆单元（考虑材料两端刚结的杆单元（考虑材料的轴向的轴向 变形）。变形）。单元刚度方程单元刚度方程指单元杆端内力和杆端位移之间的转指单元杆端内力和杆端位移之间的转 换关系。它表示单元在任意给定位移时换关系。它表示单元在任意给定位移时 所产生的杆端力。单元坐标系中，单元所产生的杆端力。单元坐标系中，单元 刚度方程表示为刚度方程表示为 单元刚度矩阵单元刚度矩阵109 9 9 9.3.3.3.3 单元刚度矩阵（局部坐标系）单元刚度矩阵（局部坐标系）单元刚度矩阵（局部坐标系）单元刚度矩阵（局部坐标系）2112E,A,I,lY2X2M2Y1X1M1xy119 9 9 9.3.3.3.3 单元刚度矩阵（局部坐标系）单元刚度矩阵（局部坐标系）单元刚度矩阵（局部坐标系）单元刚度矩阵（局部坐标系）在线弹性小变形时，忽略在线弹性小变形时，忽略轴向变形与弯曲变形之间的轴向变形与弯曲变形之间的相互影响，根据杆件的拉压相互影响，根据杆件的拉压胡克定律和无荷载胡克定律和无荷载 作用时的作用时的转角位移方程，按照本章的转角位移方程，按照本章的正负号规则，写出刚度方程。正负号规则，写出刚度方程。2112E,A,I,lY2X2M2Y1X1M1xy引导学生引导学生引导学生引导学生自己推导自己推导自己推导自己推导12写成矩阵的形式写成矩阵的形式进一步:9 9 9 9.3.3.3.3 单元刚度矩阵（局部坐标系）单元刚度矩阵（局部坐标系）单元刚度矩阵（局部坐标系）单元刚度矩阵（局部坐标系）13其中，单元刚度矩阵为9 9 9 9.3.3.3.3 单元刚度矩阵（局部坐标系）单元刚度矩阵（局部坐标系）单元刚度矩阵（局部坐标系）单元刚度矩阵（局部坐标系）149.3.2、单元刚度矩阵的性质、单元刚度矩阵的性质1、单元刚度系数的意义单元刚度系数的意义刚度矩阵中的每个元素的意义刚度矩阵中的每个元素的意义e代表单元杆端代表单元杆端第第 j 个位移分量等于个位移分量等于 1（同时其他位移分量为（同时其他位移分量为0）时时所引起的第所引起的第 i 个杆端力分量个杆端力分量。e(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)159.3.2、单元刚度矩阵的性质、单元刚度矩阵的性质1、单元刚度系数的意义单元刚度系数的意义刚度矩阵中的每个元素的意义刚度矩阵中的每个元素的意义例如例如 代表单元杆端第代表单元杆端第2个位移分量个位移分量 时所引起的第时所引起的第5个杆个杆端力分量端力分量 的数值。的数值。eee(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)169.3.2、单元刚度矩阵的性质、单元刚度矩阵的性质2、单元刚度矩阵单元刚度矩阵 是是对称矩阵，对称矩阵，对称矩阵，对称矩阵，e即即。e(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)根据反力互等定理可以从理论上进行证明（略）根据反力互等定理可以从理论上进行证明（略）179.3.2、单元刚度矩阵的性质、单元刚度矩阵的性质3、一般单元一般单元的刚度矩阵的刚度矩阵 是是奇异矩阵；奇异矩阵；奇异矩阵；奇异矩阵；e从数学上可以证明一般单元的刚度矩阵从数学上可以证明一般单元的刚度矩阵e的行列式的行列式e=0故为奇异矩阵，其逆矩阵不存在！故为奇异矩阵，其逆矩阵不存在！e(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)实际上可以很明显看出该矩阵中某两行（列）之间存在线性关系，必为实际上可以很明显看出该矩阵中某两行（列）之间存在线性关系，必为奇异矩阵奇异矩阵189.3.2、单元刚度矩阵的性质、单元刚度矩阵的性质3、一般单元一般单元的刚度矩阵的刚度矩阵 是是奇异矩阵；奇异矩阵；奇异矩阵；奇异矩阵；e从数学上可以证明一般单元的刚度矩阵从数学上可以证明一般单元的刚度矩阵e的行列式的行列式e=0故为奇异矩阵，其逆矩阵不存在！故为奇异矩阵，其逆矩阵不存在！eee 由单元杆端位移，可以推求单元杆端力，且为唯一解。由单元杆端位移，可以推求单元杆端力，且为唯一解。这一性质说明：这一性质说明：但是由单元杆端力反推单元杆端位移，却不一定有唯一解！但是由单元杆端力反推单元杆端位移，却不一定有唯一解！199.3.3、特殊单元、特殊单元e以连续梁以连续梁为例：为例：12e1 12 26个杆端位移分量个杆端位移分量“一般一般”单元单元是指以上是指以上6个杆端位移分量均可指定为个杆端位移分量均可指定为任意值任意值，而不是预先确定。，而不是预先确定。若单元若单元6个杆端位移中有某一个或几个已知为零，则该单元称为个杆端位移中有某一个或几个已知为零，则该单元称为特殊单元，特殊单元，其刚度方程是其刚度方程是一般单元刚度方程的特例一般单元刚度方程的特例。取每跨梁作为一个单元，则只有两个杆端转角可以指定为任意值，取每跨梁作为一个单元，则只有两个杆端转角可以指定为任意值，其余四个分量均已知为零！其余四个分量均已知为零！209.3.3、特殊单元、特殊单元实际上，特殊单元的刚度矩阵可以由实际上，特殊单元的刚度矩阵可以由一般单元刚度矩阵作特殊处理得到一般单元刚度矩阵作特殊处理得到。12eeee已知第已知第已知第已知第1 1 1 1，2 2 2 2，4 4 4 4，5 5 5 5位移分量位移分量位移分量位移分量为零，则删去第为零，则删去第为零，则删去第为零，则删去第1 1 1 1，2 2 2 2，4 4 4 4，5 5 5 5行和列的相关元素即可。行和列的相关元素即可。行和列的相关元素即可。行和列的相关元素即可。2112eeeeeeeee 为了程序的标准化和通为了程序的标准化和通用性，不采用特殊单元，用性，不采用特殊单元，只用一般单元，如果结构只用一般单元，如果结构有特殊单元，可以通过程有特殊单元，可以通过程序由一般单元来形成。序由一般单元来形成。22轴力（桁架）单元轴力（桁架）单元写成矩阵的形式：写成矩阵的形式：exX1X2239-4 单元刚度矩阵单元刚度矩阵(整体坐标系整体坐标系整体坐标系整体坐标系)Px xy y1 12 23 3采用局部坐标系对每根杆件进行讨论，可以建立具有采用局部坐标系对每根杆件进行讨论，可以建立具有简单形式简单形式的单元刚度矩阵。的单元刚度矩阵。但最终形成整体刚度矩阵，进行整体分析时，但最终形成整体刚度矩阵，进行整体分析时，必须采用统一的公共坐标系。必须采用统一的公共坐标系。因此需要通过因此需要通过坐标转换坐标转换的方法将局部坐标系中的单元刚度矩阵转换为整体坐标的方法将局部坐标系中的单元刚度矩阵转换为整体坐标系中的刚度矩阵。系中的刚度矩阵。24 9-4 单元刚度矩阵单元刚度矩阵(整体坐标系整体坐标系整体坐标系整体坐标系)exyX1Y1X2Y2eeeeeeeeeeeeeeee单元杆端力的转换式？单元杆端力的转换式？一、单元坐标转换矩阵一、单元坐标转换矩阵从整体坐标系从整体坐标系 x 轴到局部坐标系轴到局部坐标系 x 轴的夹角轴的夹角a a 以以顺时针转向顺时针转向为正为正25 9-4 单元刚度矩阵单元刚度矩阵(整体坐标系整体坐标系整体坐标系整体坐标系)exyX1Y1X2Y2eeeeeeeeeeeeeeeeeeeee坐标转换矩阵坐标转换矩阵一、单元坐标转换矩阵一、单元坐标转换矩阵26正交矩阵正交矩阵正交矩阵正交矩阵 T T-1-1=T T T T或或 T T T T T T=T T T T T T=I I 于是根据于是根据 同理有同理有eeee正交矩阵的性质！正交矩阵的性质！正交矩阵的性质！正交矩阵的性质！ee自行推导，与杆端力转换式推导过程完全相同自行推导，与杆端力转换式推导过程完全相同自行推导，与杆端力转换式推导过程完全相同自行推导，与杆端力转换式推导过程完全相同27需要找出需要找出 与与k 的关系的关系ee局部坐标系中：局部坐标系中：eee整体坐标系中整体坐标系中(b)eeeF =k (a)二、整体坐标系中的单元刚度矩阵二、整体坐标系中的单元刚度矩阵k 称为在称为在整体坐标系中的单元刚度矩阵整体坐标系中的单元刚度矩阵e28eF =TTTee(d)kT F =eT(c)ekek =TT keTe(e)二、整体坐标系中的单元刚度矩阵二、整体坐标系中的单元刚度矩阵（b）式可转换为：）式可转换为：方程方程(c)两边前乘两边前乘TT显然整体坐标系中的单显然整体坐标系中的单元刚度矩阵为元刚度矩阵为eee局部坐标系中：局部坐标系中：eeee分别代入分别代入(b)eTT T F =TTTeek利用正交矩阵的性质利用正交矩阵的性质29k =TT keTe k k e e的性质与的性质与的性质与的性质与e ek k一样。一样。一样。一样。二、整体坐标系中的单元刚度矩阵二、整体坐标系中的单元刚度矩阵元素元素元素元素k kij ij的意义的意义的意义的意义对称矩阵对称矩阵对称矩阵对称矩阵对于一般单元，是奇异矩阵对于一般单元，是奇异矩阵对于一般单元，是奇异矩阵对于一般单元，是奇异矩阵至此，可以得到至此，可以得到整体坐标系整体坐标系中的单元杆端力和杆端位移的关系中的单元杆端力和杆端位移的关系eeeF =k 其中整体坐标系中的单元刚度矩阵可以这样计算：其中整体坐标系中的单元刚度矩阵可以这样计算：30例例1.试求图示刚架中各单元在整体座标系中的刚度矩阵。试求图示刚架中各单元在整体座标系中的刚度矩阵。设设 1 和和 2 杆的杆长和截面尺寸相同。杆的杆长和截面尺寸相同。1l=5ml=5m2xyl=5m，b h=0.5m 1m,A=0.5m2,I=m4,1 24解解:(1)先求局部坐标系中的单元刚度矩阵先求局部坐标系中的单元刚度矩阵(2)整体坐标系中的单元刚度矩整体坐标系中的单元刚度矩阵阵ekke单元单元 1：=0，故坐标转换矩阵，故坐标转换矩阵T=Ik1=1kk=k31单元单元 2：=90，单元坐标转换矩阵为单元坐标转换矩阵为k=TT k T1l=5ml=5m2xy故单元故单元2在整体坐标系中的单元刚度矩阵为：在整体坐标系中的单元刚度矩阵为：32eeeeeeF =k 小结小结 局部坐标系单元刚度方程、矩阵局部坐标系单元刚度方程、矩阵整体坐标系单元刚度方程、矩阵整体坐标系单元刚度方程、矩阵单元分析单元分析坐标转换矩阵坐标转换矩阵坐标转换矩阵坐标转换矩阵整体分析整体分析将各单元集合成结构整体，将各单元集合成结构整体，形成整体刚度矩阵，形成整体刚度矩阵，建立整体刚度方程建立整体刚度方程339-5 连续梁的整体刚度矩阵连续梁的整体刚度矩阵按传统的位移法按传统的位移法先以简单的连续梁为例，讨论整体刚度矩阵、方程的建立方法先以简单的连续梁为例，讨论整体刚度矩阵、方程的建立方法i1i212123F1F2F3F3F=F1F2TD3D=D1D2T整体结构的结点位移向量整体结构的结点位移向量整体结构的结点力向量整体结构的结点力向量DF如何建立如何建立单元集成法（刚度集成法、直接刚单元集成法（刚度集成法、直接刚度法）度法）本章的核心内容本章的核心内容34若按传统的位移法若按传统的位移法建立整体刚度方程建立整体刚度方程 分别考虑每个结点转角独自分别考虑每个结点转角独自引起的结点力偶。引起的结点力偶。i1i21214i1 12i1 10i1i21222i1 22i2 2(4i1+4i2)2i1i212302i2 34i2 3每个结点位每个结点位每个结点位每个结点位移对移对移对移对 F F 的单的单的单的单独贡献独贡献独贡献独贡献F1F2F34 4i i1 12 2i i1 10 02 2i i1 14 4i i1 1+4+4i i2 22 2i i2 20 02 2i i2 24 4i i2 2 123=F=K 根据根据每个结点位移每个结点位移对附加约束上的约束对附加约束上的约束力力F的单独贡献的单独贡献进进行叠加行叠加而计算所得。而计算所得。传统位移法传统位移法35一、一、单元集成法的力学模型和基本概念单元集成法的力学模型和基本概念分别考虑分别考虑每个单元每个单元对对F的单独贡献，然后进行叠加的单独贡献，然后进行叠加9-5 连续梁的整体刚度矩阵连续梁的整体刚度矩阵（刚度集成法、直接刚度法）（刚度集成法、直接刚度法）“由单元直接集成由单元直接集成”整体刚度矩阵整体刚度矩阵i1i212123F1F2F336i1i212123F3F1=F11F211TF11F21F31可可令令 i2=0，则则F31=0k =4i12i14i12i11F11F21=4i12i14i12i112（a）（b）F11F21F31=4i12i14i12i1000001231K F =1 K K =14 4i i1 12 2i i1 14 4i i1 12 2i i1 10 00 00 00 00 0单元单元 1 的贡献矩阵的贡献矩阵表示单元表示单元表示单元表示单元 1 1 对结点力对结点力对结点力对结点力 F F 的单独贡献的单独贡献的单独贡献的单独贡献要略去其它单元的贡献。要略去其它单元的贡献。首先考虑单元首先考虑单元首先考虑单元首先考虑单元 1 1 对结点力对结点力对结点力对结点力 F F 的单独贡献的单独贡献的单独贡献的单独贡献单元单元单元单元1 1的刚度矩阵的刚度矩阵的刚度矩阵的刚度矩阵37i1i212123F12F22F32k =4i22i24i22i22F12F22F32=4i22i24i22i2000001232K F =2设设 i1=0，则则F12=0 K K =2 24 4i i2 22 2i i2 24 4i i2 22 2i i2 20 00 00 00 00 0单元单元单元单元 的贡献矩阵的贡献矩阵的贡献矩阵的贡献矩阵F3F2=F12F222T表示单元表示单元表示单元表示单元对结点力对结点力对结点力对结点力 F F 的单独贡献的单独贡献的单独贡献的单独贡献要略去单元要略去单元的贡献。的贡献。再来考虑单元再来考虑单元再来考虑单元再来考虑单元 2 2 对结点力对结点力对结点力对结点力 F F 的单独贡献的单独贡献的单独贡献的单独贡献381K F =1 K K =1 14 4i i1 12 2i i1 14 4i i1 12 2i i1 10 00 00 00 00 02K F =2 K K =2 24 4i i2 22 2i i2 24 4i i2 22 2i i2 20 00 00 00 00 0i1i2121212K=（K +K ）=12eeF=F+F=（K+K）故整体刚度矩阵为：故整体刚度矩阵为：根据单元根据单元和单元和单元分别对结点力分别对结点力F的贡献，可得整体刚度方程：的贡献，可得整体刚度方程：K=4i12i14(i1+i2)2i102i202i24i2与传统位移法的结果与传统位移法的结果完全一致完全一致391K F =1 K K =1 14 4i i1 12 2i i1 14 4i i1 12 2i i1 10 00 00 00 00 02K F =2 K K =2 24 4i i2 22 2i i2 24 4i i2 22 2i i2 20 00 00 00 00 0i1i2121212K=（K +K ）=12eek K K e ee eF=F+F=（K+K）故整体刚度矩阵为：故整体刚度矩阵为：单元集成法求整体单元集成法求整体刚度矩阵步骤：刚度矩阵步骤：根据单元根据单元和单元和单元分别对结点力分别对结点力F的贡献，可得整体刚度方程：的贡献，可得整体刚度方程：k e e40k =4i12i14i12i11K =14i12i14i12i100000k =4i22i24i22i22K =24i22i24i22i2000004i12i14i12i1000002i22i24i2K=4i12i14(i1+i2)2i102i202i24i24i1+4i2k K K e ee ek e e在单元分析在单元分析在单元分析在单元分析中已经解决中已经解决中已经解决中已经解决核心步骤！核心步骤！核心步骤！核心步骤！各单元贡献矩各单元贡献矩各单元贡献矩各单元贡献矩阵简单叠加阵简单叠加阵简单叠加阵简单叠加可通过引入“单元定位向量”来协助完成这一步41二、按照单元定位向量由二、按照单元定位向量由k 求求 eKe(1)在在整体分析整体分析整体分析整体分析中按中按结构的结点位移结构的结点位移统一编码，称为统一编码，称为总码总码。(2)在在单元分析单元分析单元分析单元分析中按中按单元两端结点位移单元两端结点位移单独编码，称为单独编码，称为局部码局部码。以连续以连续梁为例梁为例121231(1(1)(2(2)2(1(1)(2(2)在整体中位移统在整体中位移统一编码，一编码，总码总码在单元中位移单在单元中位移单独编码，独编码，局部码局部码k =4i22i24i22i22K =24i22i24i22i200000上例中：上例中：建立如下建立如下两种编码：两种编码：实质是确定实质是确定中的元素在中的元素在中的位置。中的位置。k eKe可见由可见由k 求求 eKe42二、按照单元定位向量由二、按照单元定位向量由k 求求 eKe以连续以连续梁为例梁为例121231(1(1)(2(2)2(1(1)(2(2)在整体中位移统在整体中位移统一编码，一编码，总码总码单元单元1 12 2对应关系对应关系局部码局部码总码总码“单元定位向量单元定位向量”e(1)(1)1(2)(2)21=(1)(1)2(2)(2)32=在单元中位移单在单元中位移单独编码，独编码，局部码局部码由单元对应的结由单元对应的结点位移点位移总码总码组成组成的向量的向量单元定位向量单元定位向量描述了单元两种编码（总码、局部码）之间的对应关系，也称为描述了单元两种编码（总码、局部码）之间的对应关系，也称为“单元换码向量单元换码向量”43考察单元刚度矩阵考察单元刚度矩阵k eKe和单元贡献矩阵和单元贡献矩阵中中元素的对应关系元素的对应关系单元单元k =4i12i14i12i11(1)(2)(1)(2)1=123123元素按局部码排列元素按局部码排列元素按总码排列元素按总码排列单元定位向量单元定位向量123121(1(1)(2(2)单元贡献矩阵可以由单元刚度矩阵利用单元贡献矩阵可以由单元刚度矩阵利用“单元定位向量单元定位向量”进行进行“换码重排座换码重排座”得到。得到。K =14i12i14i12i10000044考察单元刚度矩阵考察单元刚度矩阵k eKe和单元贡献矩阵和单元贡献矩阵中中元素的对应关系元素的对应关系单元单元k =4i22i24i22i22(1)(2)(1)(2)2=123123元素按局部码排列元素按局部码排列元素按总码排列元素按总码排列单元定位向量单元定位向量121232(1(1)(2(2)K =24i22i24i22i200000单元贡献矩阵可以由单元刚度矩阵利用单元贡献矩阵可以由单元刚度矩阵利用“单元定位向量单元定位向量”进行进行“换码重排座换码重排座”得到。得到。单元刚度矩阵中的元素在单元贡献矩阵中的新位置根据单元定位向量中的号码来确定！45三、三、单元集成法的实际操作方案单元集成法的实际操作方案K123123000000000k 110000000004i12i12i14i1123123k 224i12i14i12i1000002i22i24i24i1+4i2123123（1）将）将K置零，得置零，得K=0；（2）将）将k的元素在的元素在K中按中按 定位，得定位，得K=K；（3）将）将k的元素在的元素在K中按中按 定位定位并进行累加并进行累加，得，得K=K+K；按此作法对所有单元循环一遍，最后即得整体刚度矩阵按此作法对所有单元循环一遍，最后即得整体刚度矩阵K。基于基于基于基于“换码重排座换码重排座换码重排座换码重排座”的原则，集成整体刚度矩阵可以如下进行：的原则，集成整体刚度矩阵可以如下进行：的原则，集成整体刚度矩阵可以如下进行：的原则，集成整体刚度矩阵可以如下进行：边边边边“定位定位定位定位”、边、边、边、边“累加累加累加累加”两步合并为一步进行！两步合并为一步进行！两步合并为一步进行！两步合并为一步进行！4612i1i2i3312301230=0（1）结点位移）结点位移分量总码分量总码（2）单元定位向）单元定位向量量1=2=3=例例.求连续梁的整求连续梁的整 体刚度矩阵。体刚度矩阵。规定：凡给定为零值的结点位移分量，其总码均编为0 （边界条件的先处理方法）4712i1i2i3312301230=0（1）结点位移）结点位移分量总码分量总码（2）单元定位向）单元定位向量量1=2=3=（3）单元集成过程）单元集成过程k =4i12i14i12i111221k =4i22i24i22i222332k =4i32i34i32i330330K=1231230000000004i12i12i12i22i24i24i14i2+4i34i1+4i2例例.求连续梁的整求连续梁的整 体刚度矩阵。体刚度矩阵。单元刚度矩阵处根据单元定位向单元刚度矩阵处根据单元定位向单元刚度矩阵处根据单元定位向单元刚度矩阵处根据单元定位向量标注整体码，可方便后续量标注整体码，可方便后续量标注整体码，可方便后续量标注整体码，可方便后续“定定定定位位位位”、“累加累加累加累加”操作操作操作操作此处将来如何此处将来如何此处将来如何此处将来如何处理处理处理处理“定位定位定位定位”操作？操作？操作？操作？4812i1i2i3312341234=0（1）结点位移）结点位移分量总码分量总码（2）单元定位向）单元定位向量量1=2=3=（3）单元集成过程）单元集成过程k =4i12i14i12i111221k =4i22i24i22i222332k =4i32i34i32i334334K=1231230000000004i12i12i12i22i24i24i14i2+4i34i1+4i2例例.求连续梁的整求连续梁的整 体刚度矩阵。体刚度矩阵。先先先先处理方法：处理方法：处理方法：处理方法：零编码对应的零编码对应的零编码对应的零编码对应的行（列）元素行（列）元素行（列）元素行（列）元素在整体刚度矩在整体刚度矩在整体刚度矩在整体刚度矩阵中阵中阵中阵中舍弃！舍弃！舍弃！舍弃！49四、整体刚度矩阵四、整体刚度矩阵 K 的性的性质质（1）整体刚度系数的意义整体刚度系数的意义整体刚度矩阵中每个元素的意义整体刚度矩阵中每个元素的意义（2）K是是对称矩对称矩阵阵（3）对）对几何不变体系几何不变体系，K是是可逆矩阵可逆矩阵，如连续梁。，如连续梁。i1i2123F1F2F3F=K =K-1F Kij代表代表 j=1(其余结点位移均为其余结点位移均为0)时产生的第时产生的第 i 个结点力个结点力Fi502i3四、整体刚度矩阵四、整体刚度矩阵 K 的性的性质质（4）K是是稀疏矩阵稀疏矩阵和和带状矩阵带状矩阵，如连续，如连续梁梁123F1F2F3123nnFnn+1Fn+14i12i12i12i22i24i2+4i34i1+4i24in2i32in2in.稀疏矩阵稀疏矩阵:矩阵中存在大量的零元素矩阵中存在大量的零元素带状矩阵：非零元素集中在主对角线附近带状矩阵：非零元素集中在主对角线附近00519-6 刚架的整体刚度矩阵刚架的整体刚度矩阵（1）整体刚度矩阵由各单元刚度矩阵集成；）整体刚度矩阵由各单元刚度矩阵集成；ek（2）集成是通过将）集成是通过将 中的元素在中的元素在K中进行定位、累加中进行定位、累加(1)一般要考虑各单元的轴向变形；（忽略杆件轴向变形作为特例处理）一般要考虑各单元的轴向变形；（忽略杆件轴向变形作为特例处理）(2)每个刚结点有三个位移分量；每个刚结点有三个位移分量；(3)对于存在多个不同方向的杆件时，需要采用整体坐标进行分析；对于存在多个不同方向的杆件时，需要采用整体坐标进行分析；(4)要处理结构中非刚结点的特殊情况。要处理结构中非刚结点的特殊情况。讨论对象讨论对象：一般平面刚架：一般平面刚架与连续梁相比，基本思路相同：与连续梁相比，基本思路相同：但要处理更复杂的情况：但要处理更复杂的情况：e（3）“定位定位”是依据单元定位向量是依据单元定位向量 进行的。进行的。529-6 刚架的整体刚度矩阵刚架的整体刚度矩阵一、结点位移分量的统一编码一、结点位移分量的统一编码总码总码ABCxy123004000结点位移总码结点位移总码 =1 2 3 4 T规定：规定：对于已知为零的结点位移分对于已知为零的结点位移分量，其总码均编为零。量，其总码均编为零。（以后均采用（以后均采用先先处理方法）处理方法）=uA vA A C T整体结构的结点位移向量为：整体结构的结点位移向量为：相应地结点力向量为：相应地结点力向量为：=XA YA MA MC TF=F1 F2 F3 F4 T53x(1)(2)(3)(5)(6)x(2)(3)(5)(6)单元结点位单元结点位移分量移分量局部码局部码二、单元定位向量二、单元定位向量单元单元单元单元局部码局部码总码总码局部码局部码总码总码（1）1（2）2（3）3（4）0（5）0（6）4（1）1（2）2（3）3（4）0（5）0（6）0三、单元集成过程三、单元集成过程ABCxy12300400结点位移总码结点位移总码0(4)(1)(4)541ABC2xy123004000121234K=123400000000000000001k=00000000000000000000000000000000000011 12 13 14 15 1621 22 23 24 25 2631 32 33 34 35 3641 42 43 44 45 4651 52 53 54 55 5661 62 63 64 65 66123004123004111213212223313233616263661626361112132122233132332k12300012300011 12 13 14 15 1621 22 23 24 25 2631 32 33 34 35 3641 42 43 44 45 4651 52 53 54 55 5661 62 63 64 65 66=55四、铰结点的处理四、铰结点的处理K 求单元常数求单元常数T整体坐标系下整体坐标系下单元刚度矩阵单元刚度矩阵k程序设计框图（局部：集成整体刚度矩阵）程序设计框图（局部：集成整体刚度矩阵）1122刚结点刚结点：完全变形连续，：完全变形连续，截面截面1和截面和截面2具有具有相同的相同的结点位移。结点位移。铰结点铰结点：部分变形连续，：部分变形连续，截面截面1和截面和截面2具有具有相同的结点相同的结点线位移线位移；而其；而其角位移不相等角位移不相等。铰接点处对于不同杆件铰接点处对于不同杆件铰接点处对于不同杆件铰接点处对于不同杆件的的的的“角位移角位移角位移角位移”分量，采分量，采分量，采分量，采用不同的编码用不同的编码用不同的编码用不同的编码56123ABDxy000123456C1C2457000123结点位移分量总码结点位移分量总码结点结点C1 4 5 6 结点结点C2 4 5 7 单元定位向量单元定位向量1k=1234562k=1230001230001234565700000000000000000000000000000000000000000000000001231k=1234561234562k=1230001230003k=457000457000K=12345671234567589-7 等效结点荷载等效结点荷载F=K (1)结构体系刚度方程：结构体系刚度方程：一、位移法基本方程一、位移法基本方程k11 1+k12 2+k1n n+F1P=0 k21 1+k22 2+k2n n+F2P=0 kn1 1+kn2 2+knn n+FnP=0 K K +F FP P=0.(2)=0.(2)F+FP=0.(3)将将(1)式代入式代入(2)式：式：表示表示结点位移结点位移 和和结点力结点力F之间的关系，反映了结构的之间的关系，反映了结构的刚度性质刚度性质，而，而不涉及原结构上作用的实际荷载，不涉及原结构上作用的实际荷载，并不是原结构的位移法基本方程。并不是原结构的位移法基本方程。基本体系在基本体系在荷载荷载单独作用下单独作用下产生的结点约束力产生的结点约束力。基本体系在基本体系在结点位移结点位移单独作单独作用下产生的结点约束力用下产生的结点约束力。59二、二、等效结点荷载的概念等效结点荷载的概念结点约束力结点约束力FP结点约束力结点约束力FP等效结点荷载等效结点荷载P原荷载原荷载?显然显然 P=FP解决了计算解决了计算等效结点荷载的问题等效结点荷载的问题等效原则等效原则是两种荷载在基本体系中产生相同的结点约束力是两种荷载在基本体系中产生相同的结点约束力K =FFP+=+=060三、按单元集成法求整体结构的等效结点荷载三、按单元集成法求整体结构的等效结点荷载P(1)局部座标局部座标单元的等效结点荷载单元的等效结点荷载PexeePee(2)整体座标整体座标单元的等效结点荷载单元的等效结点荷载Peee(3)结构的等效结点荷载结构的等效结点荷载Pxy611112xy12348kN4.8kN/mABC5m2.5m2.5m单元单元1:单元单元2:121210-10+4+0-51222262例例.求图示刚架的内力。设各杆为矩形截面，横梁求图示刚架的内力。设各杆为矩形截面，横梁b2h2=0.5m 1.26m，立柱立柱b1 h1=0.5m 1m。（1）原始数据、局部码、总码（设）原始数据、局部码、总码（设E=1）12m6mABCDq=1kN/mABCD123xy13452600柱柱梁梁63（2）形成局部座标系中的单元刚度矩阵）形成局部座标系中的单元刚度矩阵ke单元单元1和和3=10-3=10-3单元单元2（3）计算整体座标系中的单元刚度矩阵）计算整体座标系中的单元刚度矩阵ekk =TT keTe2k1k=3k65 单元单元1和和3的座标转换的座标转换矩阵矩阵 （=900）1k=10-3k =TT k1T3单元单元2（=0）2kk2=10-366(4)用单元集成法形成整体刚度矩阵用单元集成法形成整体刚度矩阵KABCD123xy1345260021367（5）求等效结点荷载）求等效结点荷载P12m6mABCDq=1kN/mABCD123xy134526001单单元元固固端端约约束束力力 单元单元1 （=90）111按按单单元元定定位位向向量量168（6）解基本方程）解基本方程求得结点位移求得结点位移:（7）求各单元杆端力）求各单元杆端力e111111单元单元1：先求：先求F 然后求然后求 691111=10-31123同样可得出：同样可得出：70（8）绘制内力图）绘制内力图12312eABCD8.492.093.044.38M图图(kNm)4.761.240.431.24Q图图(kN)N图图(kN)0.430.431.2471k3k2k19-8 忽略忽略轴向变形轴向变形轴向变形轴向变形时矩形时矩形刚架的整体分析刚架的整体分析123ABDxy000102103C1C2104000123单元定位向量单元定位向量123456123456102103102103123456123456123456123456102000102000104000104000721234K=12340000000000000000k3k2k112345612345610210310210312345612345612345612345610200010200010400010400073