理论力学第13章课件

理论力学 河南科技大学土木工程学院工程力学系河南科技大学土木工程学院工程力学系 任课教师：张耀强任课教师：张耀强第13章 达朗贝尔原理达朗贝尔生平达朗贝尔生平达朗贝尔（达朗贝尔（J.dAlembert，17171783，法国）。达朗贝尔是法国著名的法国）。达朗贝尔是法国著名的物理学家物理学家、数数学家学家和和天文学家天文学家，他一生研究了大量课题，完，他一生研究了大量课题，完成了涉及多个科学领域的论文和专著，其中最成了涉及多个科学领域的论文和专著，其中最著名的有著名的有8卷巨著卷巨著数学手册数学手册、力学专著、力学专著动力学动力学、23卷的卷的文集文集、百科全书百科全书的序言等等。他的很多研究成果记载于的序言等等。他的很多研究成果记载于宇宙宇宙体系的几个要点研究体系的几个要点研究中。达朗贝尔生前为人中。达朗贝尔生前为人类的进步与文明做出了巨大的贡献，也得到了类的进步与文明做出了巨大的贡献，也得到了许多荣誉。但在他临终时，却因为教会的阻挠许多荣誉。但在他临终时，却因为教会的阻挠而没有举行任何形式的葬礼。而没有举行任何形式的葬礼。达达朗朗贝贝尔尔原原理理为为解解决决动动力力学学问问题题提提供供了了另另一一种种求求解解的的方方法法。这这种种方方法法的的特特点点是是：用用静静力力学学研研究究平平衡衡问问题题的的方方法法来来研研究究动动力力学学的的不不平平衡衡问题，问题，因此这种方法也叫因此这种方法也叫动静法动静法。由由于于静静力力学学研研究究平平衡衡问问题题的的方方法法比比较较简简单单，也也易易于于掌掌握握，因因此此动动静法在工程中被广泛使用。静法在工程中被广泛使用。引引言言设设一一质质点点质质量量为为m,加加速速度度为为a,作作用用于于质质点点的的主主动力为动力为F,约束力为约束力为FN。由牛顿第二定律，有。由牛顿第二定律，有将上式改写成将上式改写成令令13.1.1质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理FI具具有有力力的的量量纲纲，且且与与质质点点的的质质量量有有关关，称称其其为为质质点点的的惯惯性性力力。它它的的大大小小等等于于质质点点的的质质量量与与加加速度的乘积，方向与质点加速度方向相反。速度的乘积，方向与质点加速度方向相反。FImFFNa13.1 达朗贝尔原理达朗贝尔原理即：在质点运动的任一瞬时，作用在质点即：在质点运动的任一瞬时，作用在质点上的上的主动力主动力、约束力约束力和和假想加在质点上的假想加在质点上的惯性力惯性力构成了构成了形式上形式上的平衡力系。这就是的平衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理。则有则有应应该该强强调调指指出出，质质点点并并非非处处于于平平衡衡状状态态，这这样样做做的的目目的的是是将将动动力力学学问问题题转转化化为为静静力力学学问问题题求求解解。达达朗朗贝贝尔尔原原理理与与虚位移原理构成了分析力学的基础虚位移原理构成了分析力学的基础。球球磨磨机机的的滚滚筒筒以以匀匀角角速速度度w w绕绕水水平平轴轴O转转动动，内内装装钢钢球球和和需需要要粉粉碎碎的的物物料料，钢钢球球被被筒筒壁壁带带到到一一定定高高度度脱脱离离筒筒壁壁，然然后后沿沿抛抛物物线线轨轨迹迹自自由由落落下下，从从而而击击碎碎物物料，如图。设滚筒内壁半径为料，如图。设滚筒内壁半径为r，试求钢球的脱离角，试求钢球的脱离角。解解：以以某某一一尚尚未未脱脱离离筒筒壁壁的的钢钢球球为为研研究究对对象象,受受力力如图。如图。惯性力的大小为惯性力的大小为OMrw wq qFsFNmgFI钢钢球球未未脱脱离离筒筒壁壁前前,作作圆圆周周运运动动，其加速度为其加速度为例例加上惯性力后，由达朗贝尔原理加上惯性力后，由达朗贝尔原理这这就就是是钢钢球球在在任任一一位位置置q q 时时所所受受的的法法向向反反力力，显显然然当当钢钢球球脱脱离离筒筒壁壁时时，FN0，由由此此可可求求出出其脱离角其脱离角为为OMrw wq qFsFNmgFI该式表明该式表明:质点系中质点系中每个质点每个质点上作用的主动力、上作用的主动力、约束力和惯性力在形式上构成平衡力系。这就约束力和惯性力在形式上构成平衡力系。这就是是质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理(形式形式1)。设质点系由设质点系由n个质点组成，对每一个质点个质点组成，对每一个质点i，有，有13.1.2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理这样的方程共有这样的方程共有n个，代表个，代表n个平衡力系，个平衡力系，相加后仍然为一平衡力系。由静力学知，空间相加后仍然为一平衡力系。由静力学知，空间任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即对于任一点的主矩等于零，即由于质点系的内力总是成对存在，且等值、由于质点系的内力总是成对存在，且等值、反向、共线，因此上式中反向、共线，因此上式中不包含内力不包含内力。由此可得：由此可得：作用在质点系中所有的主动力、约束力和作用在质点系中所有的主动力、约束力和惯性力在形式上构成平衡力系。这就是惯性力在形式上构成平衡力系。这就是质点系质点系的达朗贝尔原理的达朗贝尔原理(形式形式2)。13.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化对于对于刚体这种特殊的质点系刚体这种特殊的质点系，每个质，每个质点均受到惯性力的作用，这些惯性力形成点均受到惯性力的作用，这些惯性力形成一个力系，如果先利用静力学的力系简化一个力系，如果先利用静力学的力系简化理论，求出惯性力系的主矢和主矩，会给理论，求出惯性力系的主矢和主矩，会给解题带来方便，这里分别讨论解题带来方便，这里分别讨论刚体平移刚体平移、定轴转动定轴转动和和平面运动平面运动时惯性力系的简化。时惯性力系的简化。13.2.1 刚体作平移刚体作平移故平移刚体的惯性力系可以简化为故平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心通过质心的合力的合力，其大小等于刚体质量与加速度的乘，其大小等于刚体质量与加速度的乘积，方向与加速度方向相反。积，方向与加速度方向相反。刚体作平移时，质心的加速度刚体作平移时，质心的加速度aC如图，如图，13.2.2 刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动w w 工程中绕定轴转动的刚体工程中绕定轴转动的刚体常常有质量对称平面常常有质量对称平面且该且该平面与转轴垂直。平面与转轴垂直。w w O当当刚刚体体有有质质量量对对称称平平面面且且绕绕垂垂直直于于此此对对称称面面的的轴轴作作定定轴轴转转动动时时，惯惯性性力力系系向向转转轴轴简简化化为为此此对对称称面面内内的的一一个个力力和和一一个个力力偶偶。这这个个力力等等于于刚刚体体质质量量与与质质心心加加速速度度的的乘乘积积，方方向向与与质质心心加加速度方向相反，速度方向相反，作用线通过转轴作用线通过转轴。这这个个力力偶偶的的矩矩等等于于刚刚体体对对转转轴轴的的转转动动惯惯量量与角加速度的乘积，转向与角加速度相反。与角加速度的乘积，转向与角加速度相反。aCOwaCFIRMIO三种特殊情况：三种特殊情况：1.当当转转轴轴通通过过质质心心C时时,aC0,FIR0,MIOJC。此时惯性力系简化为一惯性力偶。此时惯性力系简化为一惯性力偶。waCMIO2.当当刚刚体体作作匀匀速速转转动动时时,0，若若转转轴轴不不过过质质心心，惯惯性性力力系系简简化化为为一一惯惯性性力力FIR，且且FIRmaC，同时力的作用线通过转轴，同时力的作用线通过转轴O。aCOwCFIR3.当当刚刚体体作作匀匀速速转转动动且且转转轴轴通通过过质质心心C时时,FIR0，MIO0，惯性力系自成平衡力系。，惯性力系自成平衡力系。13.2.3 刚体作平面运动刚体作平面运动工工程程中中,作作平平面面运运动动的的刚刚体体常常常常有有质质量量对对称称平平面面,且且平平行行于于此此平平面面运运动动。当当刚刚体体作作平平面面运运动动时时,其其上上各各质质点点惯惯性性力力组组成成的的空空间间力力系系,可可简简化化为为在在质质量量对对称称平平面面内内的的平平面力系面力系。取取质质量量对对称称平平面面内内的的平平面面图图形形如如图图所所示示,取取质质心心C为为基基点点，设设质质心心的的加加速速度度为为aC,绕绕质质心心转转动动的的角角速速度度为为w w,角角加加速速度度为为,此此时时惯惯性性力力系系向向质质心心C简化的简化的结果结果为为FIRMICCaCw w 有有质质量量对对称称平平面面的的刚刚体体，平平行行于于此此平平面面运运动动时时,刚刚体体的的惯惯性性力力系系简简化化为为在在此此平平面面内内的的一一个个力力和和一一个个力力偶偶。这这个个力力通通过过质质心心，其其大大小小等等于于刚刚体体的的质质量量与与质质心心加加速速度度的的乘乘积积，其其方方向向与质心加速度的方向相反与质心加速度的方向相反;这这个个力力偶偶的的矩矩等等于于刚刚体体对对过过质质心心且且垂垂直直于于质质量量对对称称面面的的轴轴的的转转动动惯惯量量与与角角加加速速度度的的乘积，乘积，转向与角加速度相反。转向与角加速度相反。DBA如如图图所所示示，均均质质杆杆AB的的质质量量m40kg，长长l4m，点点A以以铰铰链链连连接接于于小小车车上上。不不计计摩摩擦擦，当当小小车车以以加加速速度度a15m/s2向向左左运运动动时时，求求杆杆AB中中点点D处处和和铰铰链链A处处的的约束力约束力(此时杆此时杆AB与与D处接触处接触)。解解：以以杆杆为为研研究究对对象象，受受力力如如图，建立如图坐标。图，建立如图坐标。杆杆作作平平移移,惯惯性性力力的的大大小小为为FIRma。假想地加上惯性力。假想地加上惯性力FIRA30DB1maaFDmgFAxFAyxy例例由质点系的达朗贝尔原理由质点系的达朗贝尔原理代入数据代入数据,解之得：解之得：DBAFIRaFDmgFAxFAyxy于是得于是得j jOxyCBA质质量量为为m,长长为为l的的均均质质直直杆杆AB的的一一端端A焊焊接接于于半半径径为为r的的圆圆盘盘边边缘缘上上,如如图图。今今圆圆盘盘以以角角加加速速度度 绕绕其其中中心心O转转动动。求求圆圆盘盘刚刚开始转动开始转动时，杆时，杆AB上焊接点上焊接点A处的约束力。处的约束力。解解:以杆为研究对象以杆为研究对象,受力如图。受力如图。将将惯惯性性力力系系向向转转轴轴O简简化，惯性力的大小为化，惯性力的大小为 OrABl mgaCFIRMIOFAxFAyMA例例圆盘圆盘刚开始转动时，刚开始转动时，=0=0 OrABlj jOxyCBA mgaCFIRMIOFAxFAyMA由质点系的达朗贝尔原理由质点系的达朗贝尔原理将已知数值代入以上三式，解之得将已知数值代入以上三式，解之得j jOxyCBA mgaCFIRMIOFAxFAyMABC均均质质杆杆AB长长l，重重W，B端端与与重重G、半半径径为为r的的均均质质圆圆轮轮铰铰接接。在在圆圆轮轮上上作作用用一一矩矩为为M的的力力偶偶，借借助助于于细细绳绳提提升升重重为为P的的重重物物C。试求重物试求重物C的加速度及固定端的加速度及固定端A处的约束力处的约束力。解解：先先以以轮轮和和重重物物为为研研究究对对象象,受受力力如图。假想地加上惯性力如图。假想地加上惯性力由质点系的由质点系的达朗达朗贝尔贝尔原理原理aMGFBxFByMIBPFI代入代入MIB 和和FI得得例例再以整体为研究对象，假想地加上全部惯性力再以整体为研究对象，假想地加上全部惯性力BCAaMGFAxFAyMIBPFIWMA A代入代入MIB 和和FI解得解得由质点系的由质点系的达朗达朗贝尔贝尔原理原理在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为均为均质物体，各重为P1和和P2，半径均为，半径均为R，绳子不，绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角可伸长，其质量不计，斜面倾角q q，如在鼓轮上作用，如在鼓轮上作用一常力偶矩一常力偶矩M，试求：，试求：(1)鼓轮的角加速度？鼓轮的角加速度？(2)绳子绳子的拉力？的拉力？(3)轴承轴承O处的约束力？处的约束力？(4)圆柱体与斜面间圆柱体与斜面间的摩擦力（的摩擦力（不计滚动摩阻不计滚动摩阻）？）？(用达朗贝尔原理求解用达朗贝尔原理求解)训练题训练题解：解：列出方程：列出方程：取轮取轮O为研究对象，虚加惯性力偶为研究对象，虚加惯性力偶取轮取轮A为研究对象，虚加惯性为研究对象，虚加惯性力力和惯性力偶和惯性力偶MIA如图示。如图示。列出方程：列出方程：运动学关系：运动学关系：将将MI，FI，MIA及运动学关系代入到及运动学关系代入到(1)和和(4)式并联立求解得：式并联立求解得：代入代入(2)、(3)、(5)式，得：式，得：本章结束本章结束谢谢！谢谢！