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浙江大学电工电子教学中心电路原理教程(下)(PPT教学软件)2011.2第九章第九章拉普拉斯变换拉普拉斯变换、卷积积分卷积积分、状态方程状态方程主要内容主要内容:(1)拉氏变换的定义及基本性质拉氏变换的定义及基本性质;(2)拉氏反变换方法拉氏反变换方法(分解定理分解定理);(3)运算电路及初始条件的转换运算电路及初始条件的转换;(4)网络函数及零极点分析网络函数及零极点分析;(5)卷积积分卷积积分;(6)状态方程的建立状态方程的建立.1)直流激励源直流激励源,直流稳态解直流稳态解.2)正弦交流激励源正弦交流激励源,正弦交流稳态解正弦交流稳态解.(复数变换复数变换)稳态电路稳态电路:3)任意激励源任意激励源,电路全响应电路全响应(动态电路动态电路).动态电路动态电路:(时域解微分方程时域解微分方程)(拉氏变换拉氏变换)正弦交流电路正弦交流电路三角函数计算三角函数计算设设直接计算直接计算反变换反变换相量电路相量电路变换变换复数计算复数计算1）变换域求解电路问题的讨论）变换域求解电路问题的讨论:在正弦交流电路中，相量计算是在正弦交流电路中，相量计算是变换域求解的方法。变换域求解的方法。9.1拉氏变换及其应用概述拉氏变换及其应用概述利用变换域解电路问题是为了简化电路计算！利用变换域解电路问题是为了简化电路计算！电路微分方程电路微分方程时域时域（解微分方程）（解微分方程）拉氏正变换拉氏正变换拉氏逆变换拉氏逆变换S域象函数域象函数频域频域运算电路运算电路（解代数方程）（解代数方程）用拉氏变换解动态电路的三个要点：用拉氏变换解动态电路的三个要点：激励函数的变换（正变换）激励函数的变换（正变换）电路元件的变换（运算电路）电路元件的变换（运算电路）频域响应的逆变换（逆变换）频域响应的逆变换（逆变换）拉氏变换解动态电路的内容拉氏变换解动态电路的内容:(1)拉氏变换原函数和象函数的转换拉氏变换原函数和象函数的转换;(2)运算电路的建立及初始条件表示运算电路的建立及初始条件表示;(3)运算结果运算结果(象函数象函数)转换为时域表达式转换为时域表达式(分解定理分解定理).一个定义在一个定义在的函数的函数，为复数。为复数。其中其中拉氏正变换为拉氏正变换为:记记作作:9.2拉氏变换定义及基本性质拉氏变换定义及基本性质拉氏反变换为拉氏反变换为:记记作作:常见函数的拉氏变换：常见函数的拉氏变换：单位阶跃函数单位阶跃函数单位冲击函数单位冲击函数式中利用了式中利用了的筛分性质，即：的筛分性质，即：指数函数指数函数拉氏变换的主要性质拉氏变换的主要性质线性性质线性性质设设:则有则有例例9-2-1求求、和和的拉氏变换。的拉氏变换。同理：同理：证：证：(分分步步积分积分)微分定理微分定理设设则则高阶导数高阶导数的拉氏变换式：的拉氏变换式：例例9-2-2已知已知，求，求。解：由于解：由于，由，由微分定理微分定理得：得：同理：同理：由于由于得得例例9-2-3求斜坡函数求斜坡函数解：解：的的拉氏变换拉氏变换.积分定理积分定理设设则则例例9-2-4求图示函数的拉普拉斯变换式。求图示函数的拉普拉斯变换式。解：由图可知：解：由图可知：时域位移定理时域位移定理设设则：则：例：例：求求的拉氏变换的拉氏变换.解：由频域位移定理解：由频域位移定理频域位移定理频域位移定理设设则：则：卷积定理卷积定理设设则则卷积积分提供了二个象函数相乘的反变换公式。卷积积分提供了二个象函数相乘的反变换公式。卷积积分是信号处理中一个十分重要的公式卷积积分是信号处理中一个十分重要的公式.例：求例：求的原函数的原函数.解解:注意：当注意：当为周期函数时，终值定理不可用。为周期函数时，终值定理不可用。初值定理与终值定理初值定理与终值定理设设初值定理初值定理:终值定理终值定理:例例9-2-7设设，验证初值定理。，验证初值定理。解：解：又又得证得证常用拉氏变换表常用拉氏变换表 利用拉普拉斯反变换的定义式，将象函数代入式中利用拉普拉斯反变换的定义式，将象函数代入式中进行积分，即可求出相应的原函数进行积分，即可求出相应的原函数但实际计算时但实际计算时,直接利用直接利用拉普拉斯变换的公式拉普拉斯变换的公式.把象函数把象函数(频域响应频域响应)利用部分分式展开的方法，利用部分分式展开的方法，将之展开成简单分式之和。简单分式的反变换，可将之展开成简单分式之和。简单分式的反变换，可直接查表获得。直接查表获得。9.3拉氏逆变换的展开定理拉氏逆变换的展开定理(从频域到时域的从频域到时域的转换转换)实际计算时，分母多项式的因式分解是重要一环。实际计算时，分母多项式的因式分解是重要一环。对分母因式分解：对分母因式分解：设设有理分式函数有理分式函数:线性电路的频域响应结果一般为线性电路的频域响应结果一般为实系数多项式实系数多项式.求求系数系数时时,两边同乘两边同乘,得得:令令,得得:（1）当）当均为均为不等实根不等实根，原式可展开为：，原式可展开为：同理同理,可求得各系数可求得各系数:分解时系数计算公式分解时系数计算公式!逆变换式为：逆变换式为：求求的逆变换。的逆变换。解：原式解：原式(三个单实根三个单实根)例例9-3-1：原函数原函数:原式原式例例9-3-2求求的拉普拉斯反变换式。的拉普拉斯反变换式。解：解：的部分分式展开式为：的部分分式展开式为：同理可得：同理可得：于是：于是：(2)当当存在存在共轭复共轭复根根展开为：展开为：共轭复根共轭复根:系数计算系数计算:式中系数式中系数：共轭复根共轭复根:例例9-3-3：求求的原函数的原函数.解：解：共轭复根共轭复根得：得：另解：另解：则：则：上述方法可简化计算。上述方法可简化计算。利用利用频域位移定理频域位移定理:例例9-3-4求求的原函数。的原函数。解：解：原函数为：原函数为：（3）当）当中，中，存在存在重根重根（三重根）（三重根）展开为：展开为：设设:系数计算系数计算:反反变换为变换为:重根部分为重根部分为:例：例：,求原函数求原函数.解：解：得：得：例例9-3-6求求的原函数。的原函数。解解:的部分分式展开式为：的部分分式展开式为：于是于是的原函数的原函数为：为：
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