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2024/7/61第五章第五章 矩阵特征值和特征矩阵特征值和特征 向量的算法向量的算法2023/8/121第五章 矩阵特征值和特征 计算方法第五章矩阵特征值和特征 向量的算法 5.1 矩阵相似变换与范数矩阵相似变换与范数 5.2 幂法与反幂法幂法与反幂法 5.3 雅可比（雅可比（Jacobi）方法）方法 5.4 QR方法方法2024/7/62第五章矩阵特征值和特征 5.1 矩阵相似变换与矩阵的基本术语及运算的基本性质矩阵的基本术语及运算的基本性质1.矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法2024/7/63矩阵的基本术语及运算的基本性质1.矩阵的加法和减法2023/2.矩阵的乘法矩阵的乘法2024/7/642.矩阵的乘法2023/8/1243.矩阵的除法没有意义矩阵的除法没有意义4.矩阵的转置矩阵的转置5.几种特殊矩阵几种特殊矩阵2024/7/653.矩阵的除法没有意义4.矩阵的转置5.几种特殊矩阵20235.1.1 相似矩阵与相似变换的概念相似矩阵与相似变换的概念2024/7/665.1.1 相似矩阵与相似变换的概念 5.1矩阵相似变化5.1.2 相似矩阵与相似变换的性质相似矩阵与相似变换的性质2024/7/675.1.2 相似矩阵与相似变换的性质2023/8/127证明2024/7/68推论推论 若 阶方阵A与对角阵证明2023/8/128推论 若 阶方阵A与对角阵1.等价关系2024/7/691.等价关系2023/8/129利用对角矩阵计算矩阵多项式利用对角矩阵计算矩阵多项式k个2024/7/610利用对角矩阵计算矩阵多项式k个2023/8/1210利用上述结论可以很方便地计算矩阵A的多项式2024/7/611利用上述结论2023/8/1211证明证明2024/7/6125.1.3 利用相似变换将方阵对角化利用相似变换将方阵对角化证明2023/8/12125.1.3 利用相似变换将方阵对角2024/7/6132023/8/1213命题得证2024/7/614命题得证2023/8/1214推论 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等，则 与对角阵相似说明如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，还是能对角化2024/7/615推论 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等，说明如果例例1 1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？解解2024/7/616例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？解2023/8/1解之得基础解系解之得基础解系2024/7/617解之得基础解系2023/8/1217求得基础解系求得基础解系2024/7/618求得基础解系2023/8/1218解之得基础解系解之得基础解系故故 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.2024/7/619解之得基础解系故 不能化为对角矩阵.2023/8/121A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角例例2 2解解2024/7/620A能否对角化？若能对角例2解2023/8/1220解之得基础解系解之得基础解系2024/7/621解之得基础解系2023/8/1221所以所以 可对角化可对角化.2024/7/622所以 可对角化.2023/8/1222注意注意即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应2024/7/623注意即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置2023相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：2024/7/6245.1.4 相似变换的特点相似变换的特点相似矩阵2023/8/12245.1.4 相似变换的特点相似变换与相似变换矩阵相似变换与相似变换矩阵这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算相似变换是对方阵进行的一种运算，它把 A A变成，而可逆矩阵 称为进行这一变换的相似变换矩阵2024/7/625相似变换与相似变换矩阵这种变换的重要意义在于简化对矩思考题2024/7/626思考题2023/8/1226范数是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维和三维向量长度概念的一种推广线性空间:可简化为向量的集合,对向量的加法和数量乘法封闭,二维向量和三维向量都可以度量其大小和长度高维向量的长度能否定义呢?也称为向量空间2024/7/6275.1.5 向量范数向量范数范数是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维线性空间:可简-(1)-(2)-(3)2024/7/628-(1)-(2)-显然并且由于-(4)2024/7/629显然并且由于-(4)2023/8/12292024/7/6302023/8/12302024/7/6312023/8/1231例1.求下列向量的各种常用范数解:2024/7/632例1.求下列向量的各种常用范数解:2023/8/1232许多问题中，需要对向量进行某种线性变换：2024/7/6335.1.6 矩阵范数矩阵范数矩阵范数许多问题中，需要对向量进行某种线性变换：2023/8/123定义2.2024/7/634定义2.2023/8/1234定义4.-(9)2024/7/635向量和矩阵的范数虽然可以分别独立地规定，但在对向量x进行矩阵变换时，要满足相容性条件。定义4.-(9)2023/8/1235 向量和矩根据向量的常用范数可以得到常用的矩阵范数-(10)-(11)-(12)2024/7/636根据向量的常用范数可以得到常用的矩阵范数-(1例4.求矩阵A的各种常用范数解:由于2024/7/637例4.求矩阵A的各种常用范数解:由于2023/8/1237特征方程为2024/7/638特征方程为2023/8/1238容易计算计算较复杂对矩阵元素的变化比较敏感不是从属范数较少使用使用最广泛性质较好2024/7/639容易计算计算较复杂对矩阵元素的不是从属范数较少使用使用最广泛定义5.而因此-(13)显然2024/7/640定义5.而因此-(13)显然2023/8/12即所以定理1.-(14)证明略2024/7/641即所以定理1.-(14)证明略2023/8/1
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