2024-2025-反比例函数综合题答案与评分标准

20242024 反比例函数综合题答案与评分标准一、解答题（共10小题）1、（2024义乌市）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点已知反比例函数y=kx（k0）的图象经过点A（2，m），过点A作ABx轴于点B，且AOB的面积为12（1）求k和m的值；（2）点C（x，y）在反比例函数y=kx的图象上，求当1x3时函数值y的取值范围；（3）过原点O的直线l与反比例函数y=kx的图象交于P、Q两点，试依据图象干脆写出线段PQ长度的最小值考点：反比例函数综合题。专题：综合题。分析：（1）依据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入y=kx，可求出k的值；（2）P，Q关于原点对称，则PQ=2OP，设P（a，1a），依据勾股定理得到OP=a2+（1a）2=（a1a）2+2，从而得到OP最小值为2，于是可得到线段PQ长度的最小值解答：解：（1）A（2，m），OB=2，AB=m，SAOB=12OBAB=122m=12，m=12；点A的坐标为（2，12），把A（2，12）代入y=kx，得12=k2k=1；（2）当x=1时，y=1；当x=3时，y=13，又反比例函数y=1x，在x0时，y随x的增大而减小，当1x3时，y的取值范围为13y1；（3）由图象可得，线段PQ长度的最小值为22点评：本题考查了点在图象上，点的横纵坐标满意图象的解析式；也考查了三角形的面积公式以及代数式的变形实力2、（2024莆田）如图，将一矩形OABC放在直角坐际系中，O为坐标原点点A在x轴正半轴上点E是边AB上的一个动点（不与点A、N重合），过点E的反比例函数y=kx（x0）的图象与边BC交于点F（1）若OAE、OCF的而积分别为S1、S2且S1+S2=2，求k的值；（2）若OA=2.0C=4问当点E运动到什么位置时四边形OAEF的面积最大其最大值为多少？考点：反比例函数综合题。专题：综合题。分析：（1）设E（x1，kx1），F（x2，kx2），x10，x20，依据三角形的面积公式得到S1=S2=12k，利用S1+S2=2即可求出k；（2）设E（k2，2），F（4，k4），利用S四边形OAEF=S矩形OABCSBEFSOCF=116（k4）2+5，依据二次函数的最值问题即可得到当k=4时，四边形OAEF的面积有最大值，S四边形OAEF=5，此时AE=2解答：解：（1）点E、F在函数y=kx（x0）的图象上，设E（x1，kx1），F（x2，kx2），x10，x20，S1=12x1kx1=k2，S2=12x2kx2=k2，S1+S2=2，k2+k2=2，k=2；（2）四边形OABC为矩形，OA=2，OC=4，设E（k2，2），F（4，k4），BE=4k2，BF=2k4，SBEF=12（4k2）（2k4）=116k2k+4，SOCF=124k4=k2，S矩形OABC=24=8，S四边形OAEF=S矩形OABCSBEFSOCF=8（116k2k+4）k2=116k2+k2+4，=116（k4）2+5，当k=4时，S四边形OAEF=5，AE=2当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5点评：本题考查了反比例函数y=kx（x0）的k几何含义和点在双曲线上，点的横纵坐标满意反比例的解析式也考查了二次的顶点式及其最值问题3、（2024南通）如图，已知直线l经过点A（1，0），与双曲线y=mx（x0）交于点B（2，1）过点P（p，p1）（p1）作x轴的平行线分别交双曲线y=mx（x0）和y=mx（x0）于点M、N（1）求m的值和直线l的解析式；（2）若点P在直线y=2上，求证：PMBPNA；（3）是否存在实数p，使得SAMN=4SAMP？若存在，恳求出全部满意条件的p的值；若不存在，请说明理由考点：反比例函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；相像三角形的判定与性质。专题：计算题。分析：（1）将点B的坐标代入即可得出m的值，设直线l的解析式为y=kx+b，再把点A、B的坐标代入，解方程组求得k和b即可得出直线l的解析式；（2）依据点P在直线y=2上，求出点P的坐标，再证明PMBPNA即可；（3）先假设存在，利用SAMN=4SAMP求得p的值，看是否符合要求解答：解：（1）B（2，1）在双曲线y=mx（x0）上，m=2，设直线l的解析式为y=kx+b，则&k+b=0&2k+b=1，解得&k=1&b=1，直线l的解析式为y=x1；（2）点P（p，p1）（p1），点P在直线y=2上，p1=2，解得p=3，P（3，2），PM=2，PN=4，PA=22，PB=2，BPM=APN，PM：PN=PB：PA=1：2，PMBPNA；（3）存在实数p，使得SAMN=4SAMPP（p，p1）（p1），点M、N的纵坐标都为p1，将y=p1代入y=2x和y=2x，得x=2p1和x=2p1，M、N的坐标分别为（2p1，p1），（2p1，p1），MN=4p1，PM=p2p1，SAMN=12MN（p1）=2，SAMP=12MP（p1）=12p212p1，SAMN=4SAMP，2=4（12p212p1），整理，得p2p3=0，解得p=1132，p大于1，p=1+132，存在实数p=1+132，使得SAMN=4SAMP点评：本题考查的学问点是反比例函数的综合题，以及用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，相像三角形的判定和性质4、（2024江汉区）如图，已知直线AB与x轴交于点C，与双曲线y=kx交于A（3，203）、B（5，a）两点ADx轴于点D，BEx轴且与y轴交于点E（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；（2）推断四边形CBED的形态，并说明理由考点：反比例函数综合题。专题：计算题；几何图形问题。分析：（1）依据反比例函数图象上点的坐标特征，将点A代入双曲线方程求得k值，即利用待定系数法求得双曲线方程；然后将B点代入其中，从而求得a值；设直线AB的解析式为y=mx+n，将A、B两点的坐标代入，利用待定系数法解答；（2）由点C、D的坐标、已知条件“BEx轴”及两点间的距离公式求得，CD=5，BE=5，且BECD，从而可以证明四边形CBED是平行四边形；然后在RtOED中依据勾股定理求得ED=5，所以ED=CD，从而证明四边形CBED是菱形解答：解：（1）双曲线y=kx过A（3，203），k=20把B（5，a）代入y=20x，得a=4点B的坐标是（5，4）（2分）设直线AB的解析式为y=mx+n，将A（3，203）、B（5，4）代入，得&203=3m+n&4=5m+n，解得：m=43，n=83直线AB的解析式为：y=43x+83；（4分）（2）四边形CBED是菱形理由如下：（5分）点D的坐标是（3，0），点C的坐标是（2，0）BEx轴，点E的坐标是（0，4）而CD=5，BE=5，且BECD四边形CBED是平行四边形（6分）在RtOED中，ED2=OE2+OD2，ED=32+42=5，ED=CD四边形CBED是菱形（8分）点评：本题考查了反比例函数综合题解答此题时，利用了反比例函数图象上点的坐标特征5、（2024衡阳）如图已知A、B两点的坐标分别为A（0，23），B（2，0）直线AB与反比例函数y=mx的图象交于点C和点D（1，a）（1）求直线AB和反比例函数的解析式（2）求ACO的度数（3）将OBC绕点O逆时针方向旋转角（为锐角），得到OBC，当为多少时，OCAB，并求此时线段AB的长考点：反比例函数综合题。专题：综合题。分析：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，把A（0，23），B（2，0）分别代入，得到a，b方程组，解出a，b，得到直线AB的解析式；把D点坐标代入直线AB的解析式，确定D点坐标，再代入反比例函数解析式确定m的值；（2）由y=3x+23和y=33x联立解方程组求出C点坐标（3，3），利用勾股定理计算出OC的长，得到OA=OC；在RtOAB中，利用勾股定理计算AB，得到OAB=30，从而得到ACO的度数；（3）由ACO=30，要OCAB，则COC=9030=60，即=60，得到BOB=60，而OBA=60，得到OBB为等边三角形，于是有B在AB上，BB=2，即可求出AB解答：解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，把A（0，23），B（2，0）分别代入，得&b=23&2k+b=0，解得k=3，b=23直线AB的解析式为：y=3x+23；点D（1，a）在直线AB上，a=3+23=33，即D点坐标为（1，33），又D点（1，33）在反比例函数y=mx的图象上，m=133=33，反比例函数的解析式为：y=33x；（2）由&y=3x+23&y=33x，解得&x=1&y=33或&x=3&y=3，C点坐标为（3，3），过C点作CEx轴于E，如图，OE=3，CE=3，OC=32+（3）2=23，而OA=23，OA=OB，又OB=2，AB=（23）2+22=4，OAB=30，ACO=30；（3）ACO=30，而要OCAB，COC=9030=60，即OBC绕点O逆时针方向旋转角（为锐角），得到OBC，当为60时，OCAB；如图，BOB=60，而OBA=60，OBB为等边三角形，B在AB上，BB=2，AB=42=2点评：本题考查了利用待定系数法求图象的解析式也考查了点在函数图象上，点的横纵坐标满意函数图象的解析式和旋转的性质以及含30度的直角三角形三边的关系6、（2024双流县）如图所示，直线y=kx+6与函数y=mx（x0，m0）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2）两点，且与x轴、y轴分别交于D、C两点又AEx轴于E，BFx轴于F已知COD的面积是AOB面积的3倍（1）求y1y2的值（2）求k与m之间的函数关系式，并画出该函数图象的草图（3）是否存在实数k和m，使梯形AEFB的面积为6？若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由考点：反比例函数综合题。专题：综合题。分析：（1）由于A（x1，y1），B（x2，y2）在函数y=mx（x0，m0）的图象上，且x1x2，得y1y20；再依据SCOD=3SAOB利用三角形的面积公式得到OC=3（y1y2），求出C点坐标，即可得到y1y2=23；（2）由（1）知（y1y2）2=12，变形为（y1+y2）24y1y2=12，由y=kx+6与y=mx消去x得关于y的方程y26ykm=0，利用根与系数的关系得到y1+y2=6，y1y2=km，然后代入，得k与m之间的函数关系式；（3）把点A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入y=kx+6上，有x1=1k（y16），x2=1k（y26），得到EF=x2x1=1k（y1y2），利用S梯形AEFB=12（AE+BF）EF=12（y1+y2）1k（y1y2）=12k（y1y2）（y1+y2），然后把y1y2=23，y1+y2=6代入即可得到k的值，再把k的值代入（2）的结论中，可求出m的值解答：解：（1）A（x1，y1），B（x2，y2）在函数y=mx（x0，m0）的图象上，且x1x2，y1y20，而SCOD=3SAOB，SCOD=3（SAODSBOD），12OCOD=3（12ODy112ODy2），OC=3（y1y2），在y=kx+6中令x=0，得y=6，即C点坐标为（0，6），OC=6，y1y2=23；（2）由（1）知（y1y2）2=12，即（y1+y2）24y1y2=12，由y=mx可得x=my，代入y=kx+6并整理得：y26ykm=0，依题意，y1，y2是此方程的两根，y1+y2=6，y1y2=km，代入得：624（km）=12，解得k=6m，由图知，k0，而m0又方程的判别式=36+4km=120，所求的函数关系式为k=6m（m0），其草图如右图所示；（3）存在理由如下：设存在k，m使得S梯形AEFB=6，点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线y=kx+6上，所以有x1=1k（y16），x2=1k（y26），EF=x2x1=1k（y1y2），S梯形AEFB=12（AE+BF）EF=12（y1+y2）1k（y1y2）=12k（y1y2）（y1+y2），由（1）有y1y2=23，y1+y2=6代入上式得：S梯形AEFB=12k623=6，k=3，代入k=6m解得m=23故存在k=3，m=23满意条件点评：本题考查了点在图象上，点的横纵坐标满意图象的解析式；也考查了利用坐标表示线段的长和一元二次方程根与系数的关系以及利用规则的几何图形的面积的和差计算不规则的图形面积7、（2024泉州）我们简单发觉：反比例函数的图象是一个中心对称图形你可以利用这一结论解决问题如图，在同始终角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将x轴所在的直线围着原点O逆时针旋转度角后的图形若它与反比例函数y=3x的图象分别交于第一、三象限的点B，D，已知点A（m，O）、C（m，0）（1）干脆推断并填写：不论取何值，四边形ABCD的形态肯定是平行四边形；（2）当点B为（p，1）时，四边形ABCD是矩形，试求p，和m的值；视察猜想：对中的m值，能使四边形ABCD为矩形的点B共有几个？（不必说理）（3）摸索究：四边形ABCD能不能是菱形？若能，干脆写出B点的坐标，若不能，说明理由考点：反比例函数综合题；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；锐角三角函数的定义。专题：探究型。分析：（1）由于反比例函数的图象是一个中心对称图形，点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，所以点B与点D关于点O成中心对称，则OB=OD，又OA=OC，依据对角线相互平分的四边形是平行四边形，可得出四边形ABCD的形态；（2）把点B（p，1）代入y=3x，即可求出p的值；过B作BEx轴于E，在RtBOE中，依据正切函数的定义求出tan的值，得出的度数；要求m的值，首先解RtBOE，得出OB的长度，然后依据进行的对角线相等得出OA=OB=OC=OD，从而求出m的值；当m=2时，设B（x，3x），则x0，由OB=2，得出x2+3x2=4，解此方程，得x=1或3，满意条件的x的值有两个，故能使四边形ABCD为矩形的点B共有两个；（3）假设四边形ABCD为菱形，依据菱形的对角线垂直且相互平分，可知ACBD，且AC与BD相互平分，又AC在x轴上，所以BD应在y轴上，这与“点B、D分别在第一、三象限”冲突，所以四边形ABCD不行能为菱形解答：解：（1）平行四边形（3分）（2）点B（p，1）在y=3x的图象上，1=3p，p=3（4分）过B作BEx轴于E，则OE=3，BE=1在RtBOE中，tan=BEOE=13=33=30，（5分）OB=2又点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，点B、D关于原点O成中心对称，（6分）OB=OD=2四边形ABCD为矩形，且A（m，0），C（m，0）OA=OB=OC=OD=2（7分）m=2；（8分）能使四边形ABCD为矩形的点B共有2个；（9分）（3）四边形ABCD不能是菱形理由如下：（10分）若四边形ABCD为菱形，则对角线ACBD，且AC与BD相互平分，因为点A、C的坐标分别为（m，0）、（m，0），所以点A、C关于原点O对称，且AC在x轴上，（11分）所以BD应在y轴上，这与“点B、D分别在第一、三象限”冲突，所以四边形ABCD不行能为菱形（12分）点评：本题主要考查了平行四边形的判定，矩形、菱形的性质及三角函数的定义等学问，综合性较强，难度适中8、（2024柳州）如图，过点P（4，3）作x轴，y轴的垂线，分别交x轴，y轴于A、B两点，交双曲线y=kx（k2）于E、F两点（1）点E的坐标是（4，k4），点F的坐标是（k3，3）；（均用含k的式子表示）（2）推断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；（3）记S=SPEF=SOEF，S是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请你说明理由考点：反比例函数综合题。专题：计算题；压轴题。分析：（1）把x=4，y=3分别代入y=kx，求出对应的y值与x值，从而得出点E、点F的坐标；（2）依据三角函数的定义，在RtPAB中与RtPEF中，分别求出tanPAB与tanPEF的值，然后由平行线的判定定理，得出EF与AB的位置关系；（3）假如分别过点E、F作PF、PE的平行线，交点为P，则四边形PEPF是矩形所求面积S=SPEFSOEF=SPEFSOEF=SOME+S矩形OMPN+SONF，依据反比例函数比例系数k的几何意义，可用含k的代数式表示S，然后依据二次函数的性质及自变量的取值范围确定S的最小值解答：解：（1）E（4，k4），F（k3，3）；（2）结论EFAB理由如下：P（4，3），E（4，k4），F（k3，3），即得PE=3+k4，PF=k3+4，在RtPAB中，tanPAB=PBPA=43，在RtPEF中，tanPEF=PFPE=k3+43+k4=43，tanPAB=tanPEF，PAB=PEF，EFAB；（3）S有最小值理由如下：分别过点E、F作PF、PE的平行线，交点为P由（2）知P（k3，k4）四边形PEPF是矩形，SPEF=SPEF，S=SPEFSOEF=SPEFSOEF=SOME+S矩形OMPN+SONF=k2+k212+k2=k212+k=112（k+6）23，又k2，此时S的值随k值增大而增大，当k=2时，S最小=73S的最小值是73故答案为：（1）（4，k4），（k3，3）点评：本题主要考查了三角函数的定义，平行线的判定，反比例函数比例系数的几何意义及二次函数最小值的求法等学问点，综合性较强，难度较大9、（2024连云港）如图，直线y=kx+4与函数y=mx（x0，m0）的图象交于A、B两点，且与x、y轴分别交于C、D两点（1）若COD的面积是AOB的面积的2倍，求k与m之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，是否存在k和m，使得以AB为直径的圆经过点P（2，0）若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由考点：反比例函数综合题。专题：综合题；压轴题；函数思想；转化思想。分析：（1）依据直线的解析式求得点C，D的坐标，从而表示出COD的面积；依据两个函数的解析式联立解方程组求得点A，B的坐标，从而依据AOD的面积减去BOD的面积表示出AOB的面积，再依据两个三角形之间的面积关系表示出k与m之间的函数关系式；（2）假设存在，依据直径所对的圆周角是直角，得到APBP，从而得到RtMAPRtNPB再依据相像三角形的对应边的比相等，得到关于k，m的关系式，结合（1）中的结论进行求解解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2）（其中x1x2，y1y2），SCOD=2SAOB，SCOD=2（SAODSBOD）12OCOD=2（12ODy112ODy2），OC=2（y1y2），（2分）又OC=4，（y1y2）2=8，即（y1+y2）24y1y2=8，（3分）由y=mx可得x=my，代入y=kx+4可得：y24ykm=0y1+y2=4，y1y2=km，16+4km=8，即k=2m又方程的判别式=16+4km=80，所求的函数关系式为k=2m（m0）；（5分）（2）假设存在k，m，使得以AB为直径的圆经过点P（2，0）则APBP，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、NMAP与BPN都与APM互余，MAP=BPN（6分）RtMAPRtNPB，AMPN=MPNBy1x22=2x1y2，（x12）（x22）+y1y2=0，（my12）（my22）+y1y2=0，即m22m（y1+y2）+4y1y2+（y1y2）2=0（8分）由（1）知：y1+y2=4，y1y2=2，代入得：m28m+12=0，m=2或6，又k=2m，&m=2&k=1或&m=6&k=13，存在k，m，使得以AB为直径的圆经过点P（2，0），且&m=2&k=1或&m=6&k=13（10分）点评：能够依据直线的解析式求得与坐标轴的交点的坐标；能够把不规则三角形的面积进行转换10、（2024浙江）已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形（1）若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的全部伴侣正方形的边长；（2）若某函数是反比例函数y=kx（k0），他的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式；（3）若某函数是二次函数y=ax2+c（a0），它的图象的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标，写出符合题意的其中一条抛物线解析式，并推断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数考点：二次函数综合题。专题：压轴题；新定义。分析：此题较为新奇，特殊要留意审题和分析题意，耐性把题读完，知A、B为坐标轴上两点，C、D为函数图象上的两点：（1）先正确地画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长，留意思维的严密性（2）因为ABCD为正方形，所以可作垂线得到等腰直角三角形，利用点D（2，m）的坐标表示出点C的坐标从而求解（3）留意思维的严密性，抛物线开口既可能向上，也可能向下当抛物线开口向上时，正方形的另一个顶点也是在抛物线上，这个点既可能在点（3，4）的左边，也可能在点（3，4）的右边，过点（3，4）向x轴作垂线，利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标；当抛物线开口向下时也是一样地分为两种状况来探讨解答：解：（1）如图1，当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时，OC=0D=1，正方形ABCD的边长CD=2；当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，设正方形的边长为a，易得3a=CD=2解得a=23，所以正方形边长为132，一次函数y=x+1图象的伴侣正方形的边长为2或23；（2）如图2，作DE，CF分别垂直于x、y轴，易知ADEBAOCBF此时，m2，DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2m，OF=BF+OB=2，C点坐标为（2m，2），2m=2（2m）解得m=1反比例函数的解析式为y=2x（3）二次函数y=ax2+c它的图象的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）代入二次函数y=ax2+c它的图象，得抛物线上另外一个顶点为：（1，3）；（7，3）；（4，7）；（4，1）对应的抛物线分别为：y=18x2+238；y=740x2+22340；y=37x2+17；y=37x2+557由抛物线的伴侣正方形的定义知，一条抛物线有两个伴侣正方形，是成对出现的，所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数点评：此题是一道新定义题，题比较困难，先要正确理解伴侣正方形的意义，特殊要留意的是正方形的顶点所处的位置，因为涉及到相关点的坐标，所以过某一点作坐标轴的垂线是必不行少的，再利用正方形的性质和全等三角形的学问确定相关点的坐标即可求解