第1章-对称性和群论课件

1 1第一章 对称性和群论 1 1 1 1 对称操作对称操作对称操作对称操作 2 2 2 2 群论基本概念群论基本概念群论基本概念群论基本概念 3 3 3 3 分子的点群分子的点群分子的点群分子的点群 4 4 4 4 群的表示和特征标表群的表示和特征标表群的表示和特征标表群的表示和特征标表 5 5 5 5 波函数和对称性波函数和对称性波函数和对称性波函数和对称性 6 6 6 6 群论的应用群论的应用群论的应用群论的应用1第一章 对称性和群论 1 对称操作2 2 1 1 对称操作对称操作对称操作对称操作一、对称操作（一、对称操作（一、对称操作（一、对称操作（Symmetry OperationSymmetry Operation）如图如图a1a1，2 2，3 3，4 4，离开原点距，离开原点距离相同，旋转离相同，旋转9090 得到得到图图b,b,完全重合完全重合 旋转旋转9090，就是一个，就是一个对称操作对称操作对称操作对称操作。点点 1 1，2 2，3 3，4 4，通过旋转一定的角，通过旋转一定的角度可以完全重合，这些点称为度可以完全重合，这些点称为等价等价等价等价点点点点 (Equivalent Point(Equivalent Point)。与原始构型不可区分的构型就与原始构型不可区分的构型就称为称为等价构型等价构型等价构型等价构型 (Equivalent Equivalent ConfigurationConfiguration)。对称操作对称操作对称操作对称操作：是使物体作一种运动，完成这种运动之后，物体的每一点都是使物体作一种运动，完成这种运动之后，物体的每一点都与物体原始取向时的等价点相重合。与物体原始取向时的等价点相重合。是使得分子转变为等价构型的一种操作！是使得分子转变为等价构型的一种操作！是使得分子转变为等价构型的一种操作！是使得分子转变为等价构型的一种操作！2 1 对称操作一、对称操作（Symmetry Oper3 3 对于分子来说，对称操作就是使对于分子来说，对称操作就是使对于分子来说，对称操作就是使对于分子来说，对称操作就是使分子中的原子改变位置分子中的原子改变位置分子中的原子改变位置分子中的原子改变位置的操作。的操作。的操作。的操作。经过这种操作除了交换原子，分子的经过这种操作除了交换原子，分子的经过这种操作除了交换原子，分子的经过这种操作除了交换原子，分子的构型不变构型不变构型不变构型不变。在分子中常遇到的对称操作有：在分子中常遇到的对称操作有：在分子中常遇到的对称操作有：在分子中常遇到的对称操作有：转动、反映、反演转动、反映、反演转动、反映、反演转动、反映、反演和和和和非真转动非真转动非真转动非真转动。例如将例如将 H H2 2O O 分子放在分子放在 yz yz 平平面内，面内，z z 轴平分角轴平分角 HOHHOH。作绕。作绕 z z轴转轴转 180180的操作，结果氧原子的操作，结果氧原子不动，两个氢原子交换位置。不动，两个氢原子交换位置。因为氢原子完全等同，得到因为氢原子完全等同，得到的构型与原来构型没有区别，所的构型与原来构型没有区别，所以绕以绕 z z 轴转动轴转动 180180的操作使的操作使 H H2 2O O 分子达到它的分子达到它的等价构型等价构型等价构型等价构型，该，该操作即称为操作即称为对称操作对称操作对称操作对称操作。3 对于分子来说，对称操作就是使分子中的原子改变4 41 1 1 1、转动（、转动（、转动（、转动（RotationRotationRotationRotation）转转转转动动动动操操操操作作作作 是是是是将将将将分分分分子子子子围围围围绕绕绕绕一一一一个个个个轴轴轴轴转转转转动动动动 2 2 2 2 /n/n/n/n 弧弧弧弧度度度度产产产产生生生生它它它它的的的的等等等等价价价价构构构构型型型型，作作作作n n n n次这样的转动能与原来的构型相重合。这个轴称为次这样的转动能与原来的构型相重合。这个轴称为次这样的转动能与原来的构型相重合。这个轴称为次这样的转动能与原来的构型相重合。这个轴称为n n n n次转轴次转轴次转轴次转轴，用，用，用，用C C C Cn n n n表示表示表示表示 转转动动n n次次，复复原原，相相当当于于不不动动，不不动动也也是是一一种种操操作作，称称为为恒恒恒恒等等等等操操操操作作作作（IndentityIndentity），用用E E表表示示。任任何何分分子子都都有有恒恒等等操操作。作。C Cn n1 1,C Cn n2 2,C Cn n3 3 ，C Cn nn n=E EC Cn nn+1 n+1=C Cn n1 1,C Cn nn+2 n+2=C Cn n2 2 41、转动（Rotation）转动n次，复5 52 2 2 2、反映（、反映（、反映（、反映（ReflectionReflectionReflectionReflection）反反反反映映映映 操操操操作作作作是是是是将将将将分分分分子子子子中中中中的的的的原原原原子子子子对对对对通通通通过过过过分分分分子子子子的的的的某某某某个个个个平平平平面面面面作作作作垂垂垂垂线线线线，将将将将该该该该线线线线向向向向相相相相反反反反方方方方向向向向延延延延长长长长相相相相等等等等的的的的距距距距离离离离，得得得得到到到到该该该该原原原原子子子子的的的的等等等等价价价价点点点点。这这这这时时时时原原原原子子子子从从从从平平平平面面面面的的的的一一一一侧到了另一侧，但刚好与它等价的原子相重合侧到了另一侧，但刚好与它等价的原子相重合侧到了另一侧，但刚好与它等价的原子相重合侧到了另一侧，但刚好与它等价的原子相重合。反映操作的凭借的几何平面称为反映操作的凭借的几何平面称为反映面反映面，用用 表示：表示：n n n n=E=E=E=E (当当n n为偶数时）为偶数时）n n n n=（当（当n n为奇数时）为奇数时）三种反映面：三种反映面：三种反映面：三种反映面：v v 反映面反映面(Vertical Vertical )通过通过C Cn n轴轴 h h 反映面反映面(HorizontalHorizontal)垂直于垂直于n n重主轴重主轴 d d 反映面反映面(DiheralDiheral )包含主轴并平分垂包含主轴并平分垂 直主轴的两个二重轴的夹角平面直主轴的两个二重轴的夹角平面52、反映（Reflection）反映操作的凭借的几6 6 直角坐标系中任意一点直角坐标系中任意一点直角坐标系中任意一点直角坐标系中任意一点 (x,y,z)(x,y,z)经过反映操作后有以下结果：经过反映操作后有以下结果：经过反映操作后有以下结果：经过反映操作后有以下结果：6 直角坐标系中任意一点(x,y,z)经过7 73 3、反演（、反演（、反演（、反演（InversionInversion）反反反反演演演演 分分分分子子子子中中中中所所所所有有有有的的的的原原原原子子子子通通通通过过过过一一一一个个个个点点点点反反反反映映映映的的的的操操操操作作作作称称称称为为为为反反反反演演演演，该该该该点点点点称称称称为为为为对称中心对称中心对称中心对称中心(Center of Symmetry)(Center of Symmetry)，用，用，用，用 i i 表示。表示。表示。表示。73、反演（Inversion）8 8具有对称中心的无机分子：具有对称中心的无机分子：具有对称中心的无机分子：具有对称中心的无机分子：i in n=E E (当当当当n n为偶数时）为偶数时）为偶数时）为偶数时）i in n=i i （当（当（当（当n n为奇数时）为奇数时）为奇数时）为奇数时）8具有对称中心的无机分子：in=E (当n为偶数时）9 94 4 4 4、非真转动（、非真转动（、非真转动（、非真转动（Improper RotationImproper RotationImproper RotationImproper Rotation）非非真真转转动动 是是首首先先转转动动然然后后通通过过垂垂直直于于转转动动轴轴的的平平面面反反映映的的一一种种操操作作，也可以先对垂直于转动轴的平面反映然后再转动。是一种复合的对称操作。也可以先对垂直于转动轴的平面反映然后再转动。是一种复合的对称操作。如如果果 C Cn n1 1 表表示示绕绕 n n 重重轴轴的的一一次次转转动动，h h1 1 表表示示垂垂直直于于转转动动轴轴的的平平面面反反映，则映，则 S Sn n1 1 表示绕表示绕 n n 次轴的一个非真转动。次轴的一个非真转动。S Sn n与与 C Cn n 和和 h h 操作的操作的顺序无关！顺序无关！94、非真转动（Improper Rotation）Sn与 1010101111S Sn n操作的操作的操作的操作的独立性独立性独立性独立性：S Sn n操作是一种复合操作，与转动或反映有重合。操作是一种复合操作，与转动或反映有重合。操作是一种复合操作，与转动或反映有重合。操作是一种复合操作，与转动或反映有重合。四重非真转动轴的操作：四重非真转动轴的操作：四重非真转动轴的操作：四重非真转动轴的操作：五重非真转动轴的操作：五重非真转动轴的操作：五重非真转动轴的操作：五重非真转动轴的操作：11Sn操作的独立性：四重非真转动轴的操作：五重非真转动轴的1212对称元素对称元素对称元素对称元素对称操作对称操作对称操作对称操作符号符号符号符号1.1.平面平面平面平面平面中的反映平面中的反映平面中的反映平面中的反映 2.2.对称中心对称中心对称中心对称中心通过对称中心的反演通过对称中心的反演通过对称中心的反演通过对称中心的反演i i 3.3.真轴真轴真轴真轴绕轴的一次或多次转动绕轴的一次或多次转动绕轴的一次或多次转动绕轴的一次或多次转动C Cn n4.4.非真轴非真轴非真轴非真轴转动之后在垂直于转动轴的平面转动之后在垂直于转动轴的平面转动之后在垂直于转动轴的平面转动之后在垂直于转动轴的平面中反映（或其相反操作）中反映（或其相反操作）中反映（或其相反操作）中反映（或其相反操作）S Sn n小小 结结12对称元素对称操作符号1.平面平面中的反映2.对称中心通13131 1、定义：对称操作的连续作用就称为、定义：对称操作的连续作用就称为、定义：对称操作的连续作用就称为、定义：对称操作的连续作用就称为对称操作的乘积对称操作的乘积对称操作的乘积对称操作的乘积 2 2、对称操作的组合、对称操作的组合、对称操作的组合、对称操作的组合 绕同绕同CnCn轴的两个转动操作的乘积轴的两个转动操作的乘积 仍是一个转动操作。仍是一个转动操作。二、对称操作的乘积二、对称操作的乘积二、对称操作的乘积二、对称操作的乘积与先后次序无关。与先后次序无关。与先后次序无关。与先后次序无关。NH NH3 3分子分子分子分子例例131、定义：对称操作的连续作用就称为对称操作的乘积二、对称1414 两个反映操作的乘积两个反映操作的乘积两个反映操作的乘积两个反映操作的乘积 两个夹角为两个夹角为 的反映面的反映操作乘积等同于绕着平面交线为轴的的反映面的反映操作乘积等同于绕着平面交线为轴的旋转夹角为旋转夹角为2 2 的转动操作。的转动操作。14 两个反映操作的乘积1515 转动操作和反映操作的乘积转动操作和反映操作的乘积转动操作和反映操作的乘积转动操作和反映操作的乘积 对对于于有有n n 重重转转轴轴 C Cn n 和和 v v 平平面面的的分分子子，C Cn n 和和 v v 两两种种操操作作的的乘乘积积相相当当于于另另一一个个 v v 平平面面的的反反映映操操作作。因因此此由由一一个个 C Cn n 轴轴和和一一个个 v v 平平面面可以产生可以产生 n n 个这样的个这样的 v v 平面。平面。当当 n n 为奇数时这些为奇数时这些 v v 平面之间的夹角等于平面之间的夹角等于 2 2 /n/n。如下图：。如下图：15 转动操作和反映操作的乘积 对于有n 重转轴 Cn1616 当当当当 n n为为为为 偶偶偶偶 数数数数 时时时时，v v 平平平平 面面面面 的的的的 夹夹夹夹 角角角角 为为为为2 2 /2n/2n。产生。产生。产生。产生 n/2 n/2 个个个个 v v 平面。平面。平面。平面。原因：原因：若按若按 2 2/n/n 产生产生 2n2n个反映面，每两组重个反映面，每两组重复。复。举例：举例：n n 4 4 v1 v1 平面转动平面转动/4/4，产生，产生 v2v2,v3v3,v4 v4。v1 v1 和和 v3v3，v2 v2 和和 v4v4 重合。重合。由由 C C4 4 和和 v v 操作的乘积可产生一个新的操作的乘积可产生一个新的操作，操作，d d，转动转动/4/4产生另一个产生另一个 d d。四个平面分两组：四个平面分两组：四个平面分两组：四个平面分两组：2 2 2 2个个个个 v v v v 平面平面平面平面 2 2 2 2个个个个 d d d d 平面平面平面平面16 当n为偶数时，v 平面的夹角为2/1717 A A B B B B A A的情况的情况的情况的情况一般来说，一般来说，相乘的次序不能任意交换！相乘的次序不能任意交换！分子四种对称操作的乘积大部分可交换；分子四种对称操作的乘积大部分可交换；转动和任意反映面的反映操作不能交换。转动和任意反映面的反映操作不能交换。17 A B B A的情况一般来说，分子四种对称1818 2 群的基本概念群的基本概念C C2v2vE EC C2 2 xzxz yzyzE EE EC C2 2 xzxz yzyzC C2 2C C2 2E E yzyz xzxz xzxz xzxz yzyzE EC C2 2 yzyz yzyz xzxzC C2 2E E一、群的定义一、群的定义一、群的定义一、群的定义水分子中的对称操作关系水分子中的对称操作关系水分子中的对称操作关系水分子中的对称操作关系：水分子对称操作的乘法表水分子对称操作的乘法表水分子对称操作的乘法表水分子对称操作的乘法表：18 2 群的基本概念C2vEC2xzyzEEC21919该乘法表具有以下性质：该乘法表具有以下性质：该乘法表具有以下性质：该乘法表具有以下性质：(1)(1)封闭性封闭性:即任意两个对称操作的乘积仍属于E，C2，xz，yz四种对称操作。(2)乘乘法法结结合合律律:即将任意三个对称操作A、B、C 相乘，可以按照任意的方式组合，即不管先将B、C 相乘，得到的积再与A 相乘；还是先将A、B 相乘，得到的积再与C相乘，两种方法得到完全相同的结果。ABC A(BC)=(AB)C19该乘法表具有以下性质：2020(3)(3)存在恒等操作存在恒等操作存在恒等操作存在恒等操作E E:任何一个其它操作与任何一个其它操作与E E 相乘该操作不变。相乘该操作不变。由乘法表可见，由乘法表可见，E E C C2 2=C C2 2 E E=C C2 2 等。等。(4)(4)每个对称操作存在一个逆操作每个对称操作存在一个逆操作每个对称操作存在一个逆操作每个对称操作存在一个逆操作:与一对称操作相乘等于恒等与一对称操作相乘等于恒等 操作操作E E 的操作称为的操作称为该操作的逆操作该操作的逆操作(Reciprocal Operation)(Reciprocal Operation)。C C2 2 ，xzxz，yzyz以及以及E E 的逆操作就是它们本身。的逆操作就是它们本身。20(3)存在恒等操作E:任何一个其它操作与E 相乘该操2121群群(Group):(Group):是一种特殊的集合。是一种特殊的集合。群的定义：群的定义：在数学上当一组元素的集合在数学上当一组元素的集合 G G a a，b b，c c，dd 可以定义一种可以定义一种“乘法乘法”运算，运算，它满足以下条件：它满足以下条件：(1)(1)封闭性，即封闭性，即 G G 中任何两个元素的乘积仍属于集合中任何两个元素的乘积仍属于集合G G。(2)(2)满足乘法结合律，即满足乘法结合律，即 G G 中任意元素中任意元素a a，b b，c c 相乘，满足相乘，满足 (ab)c=a(bc)(ab)c=a(bc)(3)(3)有有单位元素单位元素E E，单位元素左乘或右乘集合，单位元素左乘或右乘集合 G G 中任意一个元素仍为该元素本身。中任意一个元素仍为该元素本身。(4)(4)有逆元素，即集合有逆元素，即集合 G G 中任意一个元素和它本身的逆元素相乘等于单位元素。中任意一个元素和它本身的逆元素相乘等于单位元素。则该集合则该集合 G G a a，b b，c c，dd 构成一个群，构成一个群，a a，b b，c c，d d等称为群元素。等称为群元素。如果任意元素有如果任意元素有 abba，具有这样性质的群称为具有这样性质的群称为Abel群群。21群(Group):是一种特殊的集合。如果任意元素有 a2222二、群的例子二、群的例子二、群的例子二、群的例子 例例1 1 所有整数的加法运算构成一个群。所有整数的加法运算构成一个群。规定作加法运算。规定作加法运算。封闭性：封闭性：整数相加仍是整数；整数相加仍是整数；结合律：结合律：加法与次序无关；加法与次序无关；单位元素：单位元素：0 0；逆元素：逆元素：整数整数n n的逆元素为的逆元素为 n n。所以构成群。所以构成群。整数构成的群有无限多个群元素，这样的群称为整数构成的群有无限多个群元素，这样的群称为无限群无限群无限群无限群 (Infinite Group)(Infinite Group)。包含有限多个群元的称为包含有限多个群元的称为有限群有限群有限群有限群 (Finite Group)(Finite Group)，有限群中元素的数目称为，有限群中元素的数目称为群群的阶的阶 (Order)(Order)，用符号，用符号h h 表示。表示。22二、群的例子例1 所有整数的加法运算构成一个群。2323 例例2 2 在在xy xy 平面内的一个向量绕坐标轴平面内的一个向量绕坐标轴 z z 旋转旋转 角的变换矩阵构成二维旋转角的变换矩阵构成二维旋转群群 (0(0 /2)2)。新坐标与老坐标的关系如下：新坐标与老坐标的关系如下：新坐标与老坐标的关系如下：新坐标与老坐标的关系如下：x x=x xcoscos y ysinsin y y=x xsinsin +y ycoscos 用矩阵表示：用矩阵表示：用矩阵表示：用矩阵表示：封闭性封闭性封闭性封闭性23例2 在xy 平面内的一个向量绕坐标轴 z 旋转2424 结合律结合律结合律结合律 单位元素单位元素单位元素单位元素对应于对应于对应于对应于 0 0 0 0 逆元素逆元素逆元素逆元素互为逆元素互为逆元素互为逆元素互为逆元素24 结合律 单位元素对应于0 逆元素互为逆元素2525 例例例例3 3 将等边三角形将等边三角形将等边三角形将等边三角形3 3 个顶点交换位置的操作构成一个置换群。个顶点交换位置的操作构成一个置换群。个顶点交换位置的操作构成一个置换群。个顶点交换位置的操作构成一个置换群。乘法具有封闭性；乘法具有封闭性；乘法具有封闭性；乘法具有封闭性；满足结合律满足结合律满足结合律满足结合律 ；单位元素：单位元素：单位元素：单位元素：E E ；逆元素：逆元素：逆元素：逆元素：A A与与与与B .B .P3群群 转换群，转换群，Abel群群25例3 将等边三角形3 个顶点交换位置的操作构成一个置2626三、子群和类三、子群和类三、子群和类三、子群和类P P3 3E EA AB BC CD DF FE EE EA AB BC CD DF FA AA AB BE ED DF FC CB BB BE EA AF FC CD DC CC CF FD DE EB BA AD DD DC CF FA AE EB BF FF FD DC CB BA AE EP P P P3 3 3 3群的乘法表群的乘法表群的乘法表群的乘法表 虚线区域虚线区域虚线区域虚线区域E E，A A，B B 三个群元素，满足群的四条性质，构成一个群三个群元素，满足群的四条性质，构成一个群三个群元素，满足群的四条性质，构成一个群三个群元素，满足群的四条性质，构成一个群 E E，A A，B B。称为。称为。称为。称为P P3 3的子群的子群的子群的子群。P P3 3群的子群：群的子群：群的子群：群的子群：三阶子群：三阶子群：三阶子群：三阶子群：E E，A A，B B 二阶子群：二阶子群：二阶子群：二阶子群：E E，C C，E E，D D，E E，F F。一阶子群：一阶子群：一阶子群：一阶子群：E E 子群的阶子群的阶等于群阶除以某个正整数：等于群阶除以某个正整数：h=h=g g/k kh h:子群的阶，子群的阶，g g：主群的阶，：主群的阶，k k：正整数：正整数26三、子群和类P3EABCDFEEABCDFAABEDFC2727类的概念类的概念类的概念类的概念P P3 3E EA AB BC CD DF FE EE EA AB BC CD DF FA AA AB BE ED DF FC CB BB BE EA AF FC CD DC CC CF FD DE EB BA AD DD DC CF FA AE EB BF FF FD DC CB BA AE EP P P P3 3 3 3群的乘法表群的乘法表群的乘法表群的乘法表P P P P3 3 3 3群的乘法表群的乘法表群的乘法表群的乘法表 若若A A，B B，X X 是群是群G G 中的元素，中的元素，X X-1-1 是是X X 的逆元素，对的逆元素，对A A 进行右乘进行右乘X X 和同时左乘和同时左乘X X-1-1的操作，得到另一个群元素的操作，得到另一个群元素B B，X X-1-1AXAXB B 则则这这样样的的操操作作叫叫做做相相相相似似似似变变变变换换换换 (Similarity(Similarity Transformation)Transformation)，A A 和和B B 称称为为共共轭轭元元素素 (Conjugate Elements)(Conjugate Elements)，由共轭元素组成的完整集合称为，由共轭元素组成的完整集合称为类类 (Class)(Class)。27类的概念P3EABCDFEEABCDFAABEDFCBB2828P P3 3E EA AB BC CD DF FE EE EA AB BC CD DF FA AA AB BE ED DF FC CB BB BE EA AF FC CD DC CC CF FD DE EB BA AD DD DC CF FA AE EB BF FF FD DC CB BA AE EP P P P3 3 3 3 群的相似变换：群的相似变换：群的相似变换：群的相似变换：P P P P3 3 3 3 群的类：群的类：群的类：群的类：EEEE；AAAA，BBBB；CCCC，D D D D，FFFF。类在进行群的数学处理上有许多好处。类在进行群的数学处理上有许多好处。类在进行群的数学处理上有许多好处。类在进行群的数学处理上有许多好处。28P3EABCDFEEABCDFAABEDFCBBEAFC2929 3 3 3 3 分子点群分子点群分子点群分子点群分子点群：分子点群：分子的对称操作组成一类特殊的群，分子的对称操作组成一类特殊的群，分子点群分子点群分子点群分子点群(Point Group)(Point Group)。分子的几何形状和对称性，使得分子中所有的对称轴、反映面或对称分子的几何形状和对称性，使得分子中所有的对称轴、反映面或对称中心都相交于一点，任何对称操作都不能使该点移动。中心都相交于一点，任何对称操作都不能使该点移动。分子点群的分类：分子点群的分类：特殊群：特殊群：高度对称性群，多个高度对称性群，多个C Cn n轴、无穷轴群。轴、无穷轴群。C Cn n轴群：轴群：1 1个主个主C Cn n轴。轴。无轴群：无轴群：只有反映面，对称中心和无对称性群。只有反映面，对称中心和无对称性群。29 3 分子点群分子点群：3030分子点群分子点群1个个Cn轴群轴群直线分子：直线分子：C v,D h四面体：四面体：T,Td,Th八面体八面体:O,Oh二十面体：二十面体：I，Ih对称面：对称面：Cs 对称中心：对称中心：Ci无对称无对称:C1n个垂直的个垂直的C2轴轴无无C2轴轴象转轴象转轴DndDnhDnCnvCnhCnSn特殊群特殊群无轴群无轴群无对称面无对称面 h平平面面 d平平面面无对称面无对称面 v平平面面 h平平面面分子点群分类分子点群分类分子点群分类分子点群分类30分子点群1个Cn轴群直线分子：Cv,Dh对称面：C3131一、分子点群分类一、分子点群分类一、分子点群分类一、分子点群分类 1 1、C Cn n 群群群群 分子中只存在一个分子中只存在一个C Cn n 轴，则由它产生的轴，则由它产生的 n n 个绕个绕 C Cn n 轴转动的操作构轴转动的操作构成了成了 C Cn n 群，即纯转动群。该群的阶等于群，即纯转动群。该群的阶等于 n n，群元素为：，群元素为：C Cn n=E E,C Cn n1 1,C Cn n2 2,C Cn nn-1n-1 群的阶：群的阶：n n，每个群元素自成一类每个群元素自成一类非平面构型的非平面构型的非平面构型的非平面构型的HH2 2OO2 2 AbelAbel群群群群31一、分子点群分类 1、Cn 群群的阶：n，每个群32322 2、S S2n2n 群群群群 存在一个非真转动轴存在一个非真转动轴 S S2n2n S S2n2n=E=SE=S2n2n2n2n,S S2n2n1 1,S S2n2n2 2,S S2n2n2n-12n-1 群的阶：群的阶：2n2n S S2n2nm m =C C2n2nmm mmC C2n2nmm （有（有1 1个个C Cn n轴）轴）C C2n2nmm h h为什么没有为什么没有S S2n+12n+1群？群？S S5 55 5C C5 55 5 h h5 5 h h，单单独独存存在在 h h 和和 C Cn n，归归入入 C Cnh nh 群群系系列。列。当当当当mm为偶数时为偶数时为偶数时为偶数时当当当当mm为奇数时为奇数时为奇数时为奇数时322、S2n 群C2nm （有1个Cn轴）为什么没33333 3、C Cnhnh 群群群群 分子中含有分子中含有 C Cn n 轴以及垂直于它的轴以及垂直于它的 h h平面，则由这两个对称元素产生平面，则由这两个对称元素产生 2n 2n 个个对称操作对称操作:C Cnhnh=E E,C Cn n1 1,C,Cn n2 2,C Cn nn-1n-1,h h,h hC Cn n1 1,h hC Cn n2 2,h hC Cn nn-1n-1 群的阶：群的阶：2n2n 平面构型平面构型平面构型平面构型 HH2 2OO2 2：C C2h2h h h333、Cnh 群平面构型 H2O2：C2h h34344 4、C Cnvnv 群群群群 分分子子中中除除C Cn n 轴轴外外还还有有n n 个个 v v平平面面，则则该该分分子子属属于于C Cnvnv 群群。它它的的对对称称操操作作有有n n 个绕个绕 C Cn n 轴的转动以及轴的转动以及n n个对于个对于 v v 平面的反映，共有平面的反映，共有 2n 2n 个群元素。个群元素。C Cnvnv=E E,C Cn n1 1,C,Cn n2 2,C Cn nn-1n-1,v1v1,v2v2,vnvn 群的阶：群的阶：2n2n HH2 2O O 分子属于分子属于分子属于分子属于C C2v2v 群，群，群，群，C C2v2v=E E,C C2 2,v v,vv 4 4阶阶阶阶4 4类类类类NHNH3 3 分子属于分子属于分子属于分子属于C C3v3v 群群群群,C C3v3v=E E,C C3 3,C C3 32 2,v v,vv,v“v“6 6类类类类3 3阶阶阶阶344、Cnv 群H2O 分子属于C2v 群，35355 5、D Dn n 群群群群 若若分分子子中中除除了了C Cn n 轴轴外外还还有有n n个个垂垂直直于于它它的的二二重重轴轴，则则该该分分子子属属于于D Dn n 群群，共有共有2n2n个操作，即个操作，即n n个绕个绕C Cn n轴的转动以及轴的转动以及n n个绕个绕C C2 2()轴的转动。轴的转动。D Dn n=E E,C Cn n1 1,C,Cn n2 2,C Cn nn-1n-1,C C2(1)2(1),C C2(2)2(2),C C2(n)2(n)群的阶：群的阶：2n2n三乙二胺合钴三乙二胺合钴三乙二胺合钴三乙二胺合钴()()离子离子离子离子D D3 3=E E,2,2C C3 3,3C,3C2 2 6 6阶阶3 3类类355、Dn 群三乙二胺合钴()离子D3=E,236366 6、D Dnhnh 群群群群 在在D D 类类型型的的群群中中加加上上一一个个垂垂直直于于C Cn n 轴轴的的反反映映面面 h h ，即即生生成成 D Dnhnh 群群。该该群群有有4n 4n 个个群群元元素素，包包括括n n 个个转转动动操操作作；n n 个个垂垂直直于于C Cn n 轴轴的的 C C2 2 操操作作；以以及及由由C Cn n 和和 h h 的的乘乘积积产产生生的的n n-1-1 个个S Sn n 操操作作(注注意意这这种种非非真真转转动动总总是是包包含含 h h ，所所以以C C3 3 h h表表示示为为S S3 31 1 ，而而C C3 32 2 h h应应表表示示为为S S3 35 5 )；还还有有n n 个个群群元元素素是是由由垂垂直直的的C C2 2轴轴和和 C Cn n轴轴产产生生的的n n个个 v v操作。操作。D Dnhnh=E E,C Cn n1 1,C,Cn n2 2,C Cn nn-1n-1,C C2(1)2(1),C C2(2)2(2),C C2(n)2(n),h h,C Cn n h h,C Cn nn-n-1 1 h h,v(1)v(1),v(2)v(2),v(n)v(n)群的阶：群的阶：群的阶：群的阶：4n4n366、Dnh 群Dnh=E,Cn1,Cn2,3737BFBF3 3:D D3h3h环戊二烯环戊二烯环戊二烯环戊二烯:D D5h5h苯苯苯苯:D D6h 6h 乙烯：乙烯：乙烯：乙烯：D D2h2hD D4h4h 对称性的对称性的对称性的对称性的PtClPtCl4 42-2-离子离子离子离子n n为偶数时，有为偶数时，有为偶数时，有为偶数时，有i i，v v分为分为分为分为2 2类类类类n n为级奇数时，无为级奇数时，无为级奇数时，无为级奇数时，无i i，v v分为分为分为分为1 1类类类类37BF3:D3hD4h 对称性的PtCl42-离子38387 7、D Dndnd 群群群群 若若将将一一些些对对称称平平面面 d d 加加到到 C Cn n 轴轴和和n n 个个 C C2 2()轴轴上上，它它们们平平分分相相邻邻一一对对 C C2 2 轴轴间间夹夹角角并并通通过过 C Cn n 轴轴，由由这这些些对对称称元元素素的的组组合合所所生生成成的的群群用用 D Dndnd 表表示示，D Dndnd 群和群和D Dnhnh 群的区别是前者没有群的区别是前者没有 h h 平面，后者有平面，后者有 h h 平面。平面。群的阶：群的阶：4 4n n。n n个转动操作，个转动操作，n n个个C C2 2（垂直于（垂直于C Cn n轴），轴），n n个个 d d，n n个个S S2n2n2k+12k+1。D D5 5d d中的非真转动操作：中的非真转动操作：S S10101 1,S S10102 2，S S10103 3,S S10105 5=i i,S S10107 7，S S10109 9387、Dnd 群D5d中的非真转动操作：39398 8、正四面体群（、正四面体群（、正四面体群（、正四面体群（T Td d）对称性高，含有对称性高，含有对称性高，含有对称性高，含有1 1个以上主转动轴。个以上主转动轴。个以上主转动轴。个以上主转动轴。CHCH4 4,CF,CF4 4,SiH,SiH4 4等。等。等。等。对称操作：对称操作：(i)(i)与与x,x,y,y,z z 轴轴重重合合的的3 3个个S S4 4 轴轴。其其中中每每个个都都生生成成操操作作,S S4 41 1,S S4 42 2=C C2 2,S S4 43 3。(ii)(ii)4 4 个个三三重重轴轴C C3 3。它它们们分分别别通通过过四四面面体体一一个个顶顶点点和和相相对对的的表表面面的的中中心心，它它们们每每个个产产生生C C3 3 和和C C2 23 3 操操作作,因因此此4 4 个个C C3 3轴轴共共产产生生8 8 个个转动操作。转动操作。(iii)(iii)6 6 个个对对称称面面 d d 。它它们们是是正正四四面面体体所所在在的的立立方方体体的的对对角角面面，或或是是通通过过四四面面体体两两个个顶顶点点和和平平分分另另两两个个顶顶点点的的连连线线的的平平面面，这这6 6 个个 d d平面各产生一个反映操作。平面各产生一个反映操作。总共有总共有33+8+6+1(33+8+6+1(操作操作E E)=24)=24 个对称操作，构成个对称操作，构成正四面体群，用正四面体群，用T Td d 表示。表示。398、正四面体群（Td）对称操作：总共有33+8+40409 9、正八面体群（、正八面体群（、正八面体群（、正八面体群（O Oh h）正八面体形状的分子和配离子如正八面体形状的分子和配离子如正八面体形状的分子和配离子如正八面体形状的分子和配离子如SFSF6 6，Co(NHCo(NH3 3)6 63-3-，IrClIrCl6 63-3-等。等。等。等。对称操作：对称操作：对称操作：对称操作：对称操作：对称操作：对称操作：对称操作：(i)(i)与与与与x x，y y，z z 轴重合的轴重合的轴重合的轴重合的3 3 个个个个S S4 4轴。分别通过正八面体的一对相对的顶点，每个轴。分别通过正八面体的一对相对的顶点，每个轴。分别通过正八面体的一对相对的顶点，每个轴。分别通过正八面体的一对相对的顶点，每个S S4 4轴生成操作轴生成操作轴生成操作轴生成操作S S4 41 1，C C2 21 1和和和和S S4 43 3，该，该，该，该S S4 4轴也就是轴也就是轴也就是轴也就是C C2 2 轴。轴。轴。轴。(ii)(ii)与与与与S4 S4 轴共线的轴共线的轴共线的轴共线的3 3 个个个个C C4 4轴。每个生成一组操作轴。每个生成一组操作轴。每个生成一组操作轴。每个生成一组操作C C4 41 1，C C2 21 1和和和和C C4 43 3,但但但但C C2 21 1已在已在已在已在S S4 4轴轴轴轴产生的操作中算过了，因此，这产生的操作中算过了，因此，这产生的操作中算过了，因此，这产生的操作中算过了，因此，这3 3个个个个C C4 4轴只生成轴只生成轴只生成轴只生成32=6 32=6 个新的操作。个新的操作。个新的操作。个新的操作。409、正八面体群（Oh）对称操作：4141(iii)6(iii)6 个个C C2 2轴。分别平分八面体相对的棱边，每个生成一个轴。分别平分八面体相对的棱边，每个生成一个C C2 2 操作操作(用用 与与C C2 2 轴产生轴产生的的C C2 2 操作相区别操作相区别)。(iv)4(iv)4 个个S S6 6 轴。分别通过一对相对的三角形表面中心。每个生成一组操作轴。分别通过一对相对的三角形表面中心。每个生成一组操作S S6 6 ，C C3 3，i i，C C3 32 2，C C6 65 5。对称中心。对称中心i i 仅有一个，因此仅有一个，因此4 4 个个S S6 6 轴产生的操作共有轴产生的操作共有45453=17 3=17 个。个。(v)4(v)4 个与个与S S6 6 轴共线的轴共线的C C3 3 轴。分别生成操作轴。分别生成操作C C3 31 1 和和C C3 32 2，但它们已被，但它们已被S S6 6 轴生成。轴生成。(vi)(vi)一个反演中心。生成操作一个反演中心。生成操作i i，它已被，它已被S S6 6轴生成。轴生成。(vii)3(vii)3个对称面个对称面 h h。分别通过八面体。分别通过八面体6 6 个顶点中的个顶点中的4 4 个，每个生成一个操作个，每个生成一个操作 h h。(viii)6(viii)6 个对称面个对称面 d d。它们分别通过两个顶点并平分相对的棱边，每个生成一个对称。它们分别通过两个顶点并平分相对的棱边，每个生成一个对称操作操作 d d。41(iii)6 个C2轴。分别平分八面体相对的棱边，每4242 总的对称操作：总的对称操作：总的对称操作：总的对称操作：l+33+6+6+17+3+6=48 l+33+6+6+17+3+6=48 个对称操作个对称操作个对称操作个对称操作称作称作称作称作O Oh h 群。群。群。群。立方体恰好具有与正八面体相同的对称操作集合，它也属于立方体恰好具有与正八面体相同的对称操作集合，它也属于O Oh h 群，上图正八面群，上图正八面体内接于立方体来表示它的对称元素。体内接于立方体来表示它的对称元素。只有对称轴，无对称面的立方体群属于只有对称轴，无对称面的立方体群属于O O 群和群和T T 群，属于群，属于O O群和群和T T 群群 (纯转动群纯转动群)的无机分子很少见。的无机分子很少见。42 总的对称操作：43431010、正十二面体和二十面体群（、正十二面体和二十面体群（、正十二面体和二十面体群（、正十二面体和二十面体群（I Ih h）正十二面体的表面由十二个正五边形组成，正十二面体的表面由十二个正五边形组成，正十二面体的表面由十二个正五边形组成，正十二面体的表面由十二个正五边形组成，有有有有20 20 个顶点和个顶点和个顶点和个顶点和30 30 条棱边；正二十面体表面有条棱边；正二十面体表面有条棱边；正二十面体表面有条棱边；正二十面体表面有2020个等边三角形，个等边三角形，个等边三角形，个等边三角形，12 12 个顶点，个顶点，个顶点，个顶点，30 30 条棱边。条棱边。条棱边。条棱边。4310、正十二面体和二十面体群（Ih）正十4444 具有具有具有具有I Ih h对称性的分子：对称性的分子：对称性的分子：对称性的分子：十二硼烷负离子十二硼烷负离子十二硼烷负离子十二硼烷负离子B B1212HH12122-2-属于正二十面体结构。属于正二十面体结构。属于正二十面体结构。属于正二十面体结构。C C6060属于正二十面体结构属于正二十面体结构属于正二十面体结构属于正二十面体结构B B1212HH12122-2-C C606044 具有Ih对称性的分子：B12H122-C6045451111、含有、含有、含有、含有 次转轴的分子的点群次转轴的分子的点群次转轴的分子的点群次转轴的分子的点群 直直直直线线线线型型型型分分分分子子子子：N N2 2，OO2 2，HClHCl，NONO等等等等，都都都都具具具具有有有有一一一一个个个个与与与与全全全全部部部部核核核核重重重重合合合合的的的的对对对对称称称称轴轴轴轴，绕绕绕绕这这这这个个个个对对对对称称称称轴轴轴轴转转转转动动动动任任任任意意意意角角角角度度度度都都都都得得得得到到到到分分分分子子子子的的的的等等等等价价价价构构构构型型型型，因因因因此此此此这这这这个个个个轴轴轴轴的的的的阶阶阶阶是是是是；任任任任何何何何包包包包含含含含分分分分子子子子的的的的平平平平面面面面都都都都是是是是对对对对称称称称面面面面，这这这这种种种种平平平平面面面面也也也也有有有有无无无无穷穷穷穷多多多多个个个个，它们全部沿分子轴相交。它们全部沿分子轴相交。它们全部沿分子轴相交。它们全部沿分子轴相交。两种情况：两种情况：(i)(i)分子由相等的两部分组成，分子由相等的两部分组成，OCOOCO，NCCNNCCN，有垂直的，有垂直的C C2 2和垂直的和垂直的 h h,定义为定义为D D h h 群群(ii)(ii)分子由不相等的两部分组成，分子由不相等的两部分组成，HClHCl，HCNHCN，有平行的，有平行的 v v，定义为定义为 C C v v4511、含有次转轴的分子的点群两种情况：4646不存在任何转动轴：不存在任何转动轴：不存在任何转动轴：不存在任何转动轴：C Cs s 群群群群：除除除除恒恒恒恒等等等等操操操操作作作作E E 外外外外只只只只有有有有一一一一种种种种反反反反映映映映操操操操作作作作 。F F2 2SOSO。C Ci i 群：除群：除群：除群：除E E 外只有一种反演操作外只有一种反演操作外只有一种反演操作外只有一种反演操作i i 。C C1 1 群：只有群：只有群：只有群：只有E E操作，即无对称性。操作，即无对称性。操作，即无对称性。操作，即无对称性。FClSOFClSO。F F2 2SOSOFClSOFClSO1212、无对称轴群、无对称轴群、无对称轴群、无对称轴群CsCs,CiCi,C C1 146F2SOFClSO12、无对称轴群Cs,Ci,C14747二、点群操作分类二、点群操作分类二、点群操作分类二、点群操作分类同类元素的性质：同类元素的性质：同类元素的性质：同类元素的性质：特征标相同，同类元素进行相同的处理，简化，特征标表特征标相同，同类元素进行相同的处理，简化，特征标表特征标相同，同类元素进行相同的处理，简化，特征标表特征标相同，同类元素进行相同的处理，简化，特征标表。(1)(1)操作操作E E 总是自成一类。总是自成一类。(2)(2)在在纯纯转转动动群群中中，每每个个转转动动操操作作C Cn n1 1,C Cn n2 2,C Cn nn n-1-1自自成成一一类类；在在其其他他点点群群中中，转转动动操操作作C Cn nmm和和C Cn nn-mn-m属属于于同同一一类类，但但若若群群中中只只有有 h h平平面面，没没有有 v v 平平面面或或垂垂直的直的C C2 2 轴，则轴，则C Cn nmm 和和C Cn nn-mn-m不属于同一类。不属于同一类。例例:D D5 5d d 群群中中C C5 51 1和和 C C5 54 4 为为一一类类(用用2 2C C5 5表表示示)；C C5 52 2 和和 C C5 53 3为为一一类类(用用2 2C C5 52 2 表表示示)。但是。但是C C4 4h h 群中的群中的C C4 41 1 和和C C4 43 3 ；C C3 3h h 群中的群中的C C3 31 1和和C C3 32 2 都不属于同一类。都不属于同一类。点群操作分类规则：点群操作分类规则：点群操作分类规则：点群操作分类规则：47二、点群操作分类同类元素的性质：(1)操作E 总是自4848(3)(3)非非真真转转动动与与转转动动操操作作按按同同样样方方法法分分类类，在在纯纯S S2 2n n群群中中，S S2 2n n1 1,S S2 2n n3 3,S S2 2n n2 2n n-1-1各各自自成成为为一一类类；D Dnhnh 群群中中S Sn nmm 和和S Sn nn-mn-m 为为一一类类；D Dndnd 中中S S2 2n nmm和和S S2 2n n2 2n-mn-m为为一一类类；C Cnhnh 群中群中S Sn n1 1，S Sn n3 3，操作各自为一类。操作各自为一类。(4)(4)反映操作若为反映操作若为 h h 则总是自成一类；若为则总是自成一类；若为 v v，则，则n n 为奇数时所有的为奇数时所有的 v v平面的平面的反映操作为一类；反映操作为一类；n n 为偶数时这些为偶数时这些 v v平面分为两类：平面分为两类：v v和和 d d，当，当n n=2 =2 时时C C2 2v v和和 D D2 2h h群中的群中的 v v 操作各自为一类。在操作各自为一类。在 D Dndnd 群中所有的群中所有的 d d平面为一类。平面为一类。(5)(5)反演操作反演操作i i 总是自成一类。总是自成一类。48(3)非真转动与转动操作按同样方法分类，在纯S2n群中49494950504 4 群的表示和特征标表群的表示和特征标表群的表示和特征标表群的表示和特征标表 一、同构和同态一、同构和同态一、同构和同态一、同构和同态 同构同构同构同构：两个群，阶相同，具有相同的乘法表两个群，阶相同，具有相同的乘法表 一、一对应的关系。一、一对应的关系。P P3 3E EA AB BC CD DF FE EE EA AB BC CD DF FA AA AB BE ED DF FC CB BB BE EA AF FC CD DC CC CF FD DE EB BA AD DD DC CF FA AE EB BF FF FD DC CB BA AE EC C3v3vE EC C3 31 1C C3 32 2 v v v v v v E EE EC C3 31 1C C3 32 2 v v v v v v C C3 31 1C C3 31 1C C3 32 2E E v v v v v vC C3 32 2C C3 32 2E EC C3 31 1 v v v v v v v v v v v v v v E EC C3 32 2C C3 31 1 v v v v v v v v C C3 31 1E EC C3 32 2 v v v v v v v vC C3 32 2C C3 31 1E E对应关系：对应关系：对应关系：对应关系：E E E E A A C C3 31 1 B B C C3 32 2 C C v v D D v v F F v v 504 群的表示和特征标表P3EABCDFEEABCD5151 如果在两群如果在两群G G和和G G 的元素之间能够建立起一一对应关系，使得若的元素之间能够建立起一一对应关系，使得若g gi i g gi i,g,gj j g gj j，在群，在群G G中有中有g gi ig gj j=g=gk k，则在，则在G G中必有中必有g gi i g gj j=g=gk k，反之亦然，则说，反之亦然，则说G G和和G G 同构记同构记作作GGGG。同态同态同态同态 如果群的一组元素如果群的一组元素 g gp p 对应于群对应于群G G 的一个元素的一个元素g gp p,g gi i g gi i，g gj j g gj j，在在G G中有中有g gi ig gj j=g=gk k，则，则G G 中有中有g gi i g gj j =g=gk k ，则则G G 与与G G同态，把同态，把g gi i 叫作叫作 g gi i 在在G G 中的中的映象映象GG1 1-1-1i i-i-i1 11 1-1-1i i-i-i-1-1-1-11 1-i-ii ii ii i-i-i-1-11 1-i-i-i-ii i1 1-1-1GG 1 11 1-1-1-1-11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1GG 1 1-1-11 11 1-1-1-1-1-1-11 1扩充扩充扩充扩充 G G 1,-1 1,-1 1 1 G G i,-i i,-i -1-1 同构是同态的一种特例，同构是同态的一种特例，同构是同态的一种特例，同构是同态的一种特例，GG与与与与GG 阶相同。阶相同。阶相同。阶相同。51 如果在两群G和G的元素之间能够建立起5252二、群对称操作矩阵二、群对称操作矩阵二、群对称操作矩阵二、群对称操作矩阵 C C3v3v为例，对称操作：为例，对称操作：E E C C3 31 1 C C3 32 2 V V VV VV 选取基向量选取基向量(x,y)(x,y)，分别用以上对称操作作用得到，分别用以上对称操作作用得到(x(x,y,