椭圆型方程的有限差分法课件

第四章椭圆型方程的有限差分法1 1 差分逼近的基本概念差分逼近的基本概念2 2 一维差分格式一维差分格式3 3 矩形网的差分格式矩形网的差分格式4 4 三角网的差分格式三角网的差分格式5 5 极值原理极值原理第四章椭圆型方程的有限差分法第四章椭圆型方程的有限差分法1 差分逼近的基本概念第四111差分逼近的基本概念差分逼近的基本概念1差分逼近的基本概念2区间的剖分剖分1 1 区间的剖分区间的剖分区间的剖分1 区间的剖分31 微分方程离散微分方程离散(差分方程）差分方程）1 1 微分方程离散微分方程离散(差分方程）差分方程）1 微分方程离散(差分方程）1 微分方程离散(差分方程）4 5 6 7定义定义1.11.1定义1.18定义定义1.21.2定义1.29椭圆型方程的有限差分法课件10定义定义1.31.3定义1.311定理定理1.11.1（相容（相容+稳定稳定=收敛）收敛）定理1.1（相容+稳定=收敛）122 2 一维差分格式一维差分格式2 一维差分格式132.12.1直接差分化直接差分化2.1直接差分化14ab图1ab图115椭圆型方程的有限差分法课件16椭圆型方程的有限差分法课件17椭圆型方程的有限差分法课件18椭圆型方程的有限差分法课件192.2 2.2 积分插值法积分插值法2.2 积分插值法20 21 22 232.3 2.3 变分变分-差分法差分法数值计算中，数值计算中，我们学习过我们学习过Lagrange插值多项式插值多项式公式：公式：2.3 变分-差分法数值计算中，我们学习过Lagrange插24Lagrange插值多项式插值多项式 先从最简单的线性插值先从最简单的线性插值(n=1)开始。这时插值问题就是求一次多项开始。这时插值问题就是求一次多项式式P1(x)=a0+a1x 使它满足条件使它满足条件P1(x0)=y0,P1(x1)=y1,令令P1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1,由于由于l0(x0)=1,l0(x1)=0,l0(x0)=0,l1(x1)=1.这样这样l0(x)含有因子含有因子x-x1,令令 l0(x)=(x-x1),再利用再利用 l0(x0)=1确定其中的确定其中的系数，结果得到系数，结果得到x-x1 l0(x)=-,x0-x1类似的可得到类似的可得到 x-x0 l1(x)=-,x1-x0这样这样x-x1 x-x0P1(x)=-y0+-y1,x0-x1 x1-x0 l0(x),l1(x)称为以称为以x0,x1 为节点的为节点的插值基函数插值基函数。Lagrange插值多项式25 26 272.4 2.4 边值条件的处理边值条件的处理2.4 边值条件的处理28 29椭圆型方程的有限差分法课件303 3 矩形网的差分格式矩形网的差分格式3 矩形网的差分格式313.1 3.1 五点差分格式五点差分格式3.1 五点差分格式32椭圆型方程的有限差分法课件33椭圆型方程的有限差分法课件34(i,j)(I,j-1)(i,j+1)(i+1,j)(i-1,j)(i,j)(I,j-1)(i,j+1)(i+1,j)(i-135椭圆型方程的有限差分法课件36椭圆型方程的有限差分法课件37椭圆型方程的有限差分法课件38椭圆型方程的有限差分法课件39ABCDABCD40椭圆型方程的有限差分法课件41椭圆型方程的有限差分法课件423.2 3.2 边值条件的处理边值条件的处理3.2 边值条件的处理43椭圆型方程的有限差分法课件44椭圆型方程的有限差分法课件45椭圆型方程的有限差分法课件463.3 3.3 极坐标形式的差分格式极坐标形式的差分格式3.3 极坐标形式的差分格式47椭圆型方程的有限差分法课件48椭圆型方程的有限差分法课件49椭圆型方程的有限差分法课件503 3 三角网的差分格式三角网的差分格式3 三角网的差分格式51椭圆型方程的有限差分法课件52椭圆型方程的有限差分法课件53椭圆型方程的有限差分法课件54椭圆型方程的有限差分法课件55椭圆型方程的有限差分法课件56椭圆型方程的有限差分法课件57椭圆型方程的有限差分法课件58例子1,2例子1,259椭圆型方程的有限差分法课件60例子3例子3613 3 极值定理极值定理3 极值定理62椭圆型方程的有限差分法课件63椭圆型方程的有限差分法课件64椭圆型方程的有限差分法课件65椭圆型方程的有限差分法课件66椭圆型方程的有限差分法课件67椭圆型方程的有限差分法课件685.2 5.2 极值定理极值定理5.2 极值定理69椭圆型方程的有限差分法课件70椭圆型方程的有限差分法课件71椭圆型方程的有限差分法课件72椭圆型方程的有限差分法课件73椭圆型方程的有限差分法课件74椭圆型方程的有限差分法课件75.差分方程、相容条件、稳定性、差分方程、相容条件、稳定性、LAX等等价定理、先验估计、极值定理等概念；价定理、先验估计、极值定理等概念；.构造差分方程方法构造差分方程方法(直接差分化、积分插直接差分化、积分插值法和变分值法和变分-差分法差分法)，矩形网和三角网的差分格，矩形网和三角网的差分格式，边界条件的处理。式，边界条件的处理。（重点重点）.如何将偏微分方程构造成相应的差分方程、如何将偏微分方程构造成相应的差分方程、对该格式的敛速估计对该格式的敛速估计（难点难点）主要内容主要内容.差分方程、相容条件、稳定性、LAX等.构造差76重点：重点：LAX等价定理，构造矩形网和三角网等价定理，构造矩形网和三角网的各种差分格式。的各种差分格式。难点：难点：如何将偏微分方程构造成相应的差分方程、如何将偏微分方程构造成相应的差分方程、对该格式的敛速估计。对该格式的敛速估计。重点难点重点：LAX等价定理，构造矩形网和三角网的各种差分格式。难77