资源描述
1第七章第七章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分1 数值微分数值微分2 NewtonCotes求积公式求积公式3 复化求积公式复化求积公式4 Romberg求积公式求积公式5 Gauss型求积公式型求积公式23 利用离散点上函数的信息求函数导数近似值利用离散点上函数的信息求函数导数近似值的方法的方法,称为称为数值微分数值微分.差商型求导公式差商型求导公式 插值型求导公式插值型求导公式1 数值微分数值微分4由导数定义由导数定义当当h很小时很小时,可用可用差商差商近似导数近似导数.5 差商型求导公式差商型求导公式(3)中心差商公式中心差商公式(1)向前差商公式向前差商公式(2)向后差商公式向后差商公式6 几何意义几何意义B点切线斜率点切线斜率 从几何直观看从几何直观看:中心差商效果最好中心差商效果最好7 截断误差截断误差其中其中由由Taylor公式可得公式可得8 二阶导数的中心差商公式二阶导数的中心差商公式 截断误差截断误差9101112数值积分数值积分一、数值积分的必要性一、数值积分的必要性本章主要讨论如下形式的一元函数积分本章主要讨论如下形式的一元函数积分在微积分里，按在微积分里，按Newton-Leibniz公式公式求定积分求定积分要求函数要求函数要求函数要求函数 的原函数的原函数的原函数的原函数 有解析表达式有解析表达式有解析表达式有解析表达式；为初等函数为初等函数为初等函数为初等函数13实际问题实际问题1.1.的原函数的原函数的原函数的原函数 不能用初等函数表示不能用初等函数表示不能用初等函数表示不能用初等函数表示 建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的整的铝板压制而成的整的铝板压制而成的整的铝板压制而成的.14假若要求波纹瓦长假若要求波纹瓦长假若要求波纹瓦长假若要求波纹瓦长4 4英尺英尺英尺英尺,每个波纹的高度每个波纹的高度每个波纹的高度每个波纹的高度(从中心线从中心线从中心线从中心线)为为为为1 1英寸英寸英寸英寸,且每个波纹以近似且每个波纹以近似且每个波纹以近似且每个波纹以近似 英寸为一个周期英寸为一个周期英寸为一个周期英寸为一个周期.求制做一块波纹瓦所需求制做一块波纹瓦所需求制做一块波纹瓦所需求制做一块波纹瓦所需铝板的长度铝板的长度铝板的长度铝板的长度L.L.从从从从 到到到到 英寸间的英寸间的英寸间的英寸间的弧长弧长弧长弧长L L.这个问题就是要求由函数这个问题就是要求由函数给定的曲线给定的曲线给定的曲线给定的曲线,15 由微积分学我们知道由微积分学我们知道由微积分学我们知道由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为所求的弧长可表示为所求的弧长可表示为所求的弧长可表示为:上述积分称为上述积分称为上述积分称为上述积分称为第二类椭圆积分第二类椭圆积分第二类椭圆积分第二类椭圆积分。16类似的，下列函数也不存在由初等函数表示的原函数类似的，下列函数也不存在由初等函数表示的原函数:172 2.有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示,但表达但表达但表达但表达式相当复杂式相当复杂式相当复杂式相当复杂,计算极不方便计算极不方便计算极不方便计算极不方便.例如函数例如函数例如函数例如函数:并不复杂并不复杂并不复杂并不复杂,但它的原函数却但它的原函数却但它的原函数却但它的原函数却十分复杂十分复杂十分复杂十分复杂:183.3.没有解析表达式，只有数表形式没有解析表达式，只有数表形式没有解析表达式，只有数表形式没有解析表达式，只有数表形式:1423454.5688.5原来通过原函数来计原来通过原函数来计算积分有它的局限性。算积分有它的局限性。那那怎么办呢？怎么办呢？呵呵呵呵这就需要积这就需要积分的数值方法来帮分的数值方法来帮忙啦。忙啦。19二、数值积分的基本思想二、数值积分的基本思想1、定积分的几何意义、定积分的几何意义202、数值积分的理论依据、数值积分的理论依据依据依据积分中值定理积分中值定理,对于连续函数对于连续函数 ,在在 内存在一点内存在一点 ,使得使得称称 为为 在区间在区间 上的平均高度上的平均高度.213、求积公式的构造、求积公式的构造 若简单选取区间端点或中点的函数值作为平均高度，则若简单选取区间端点或中点的函数值作为平均高度，则可得一点求积公式如下：可得一点求积公式如下：左矩形公式：左矩形公式：中矩形公式：中矩形公式：右矩形公式：右矩形公式：22左矩形公式：左矩形公式：23中矩形公式：中矩形公式：24右矩形公式：右矩形公式：25 若取若取 两点，并令两点，并令 ，则可得梯形公式，则可得梯形公式（两点求积公式）（两点求积公式）2627则可得则可得Simpson公式公式(三点求积公式三点求积公式)若取三点，若取三点，并令并令 28 一般地一般地，取区间，取区间 内内 个点个点处的高度处的高度通过通过加权平均加权平均的方法近似地得出平均高度的方法近似地得出平均高度这类求积方法称为这类求积方法称为机械求积机械求积:29 或写成或写成:数值积分公式数值积分公式求积系数求积系数 求积节点求积节点 30记记称称为数值为数值求积公式求积公式称为求积公称为求积公式余项式余项(误差误差).（1）（2）31构造或确定一个求积公式，要解决的问题包括构造或确定一个求积公式，要解决的问题包括:(i)确定求积系数确定求积系数 和求积节点和求积节点 (iii)求积公式的误差估计和收敛性分析求积公式的误差估计和收敛性分析.(ii)确定衡量求积公式好坏的标准；确定衡量求积公式好坏的标准；3233 依据积分中值定理依据积分中值定理 就是说，底为就是说，底为b a 而高为而高为 f()的矩形面积恰恰的矩形面积恰恰等于所求曲边梯形等于所求曲边梯形 f(x)的面积的面积.取取a,b内若干个节点内若干个节点xk 处的高度处的高度 f(xk),通过通过加权平均的方法生成平均高度加权平均的方法生成平均高度 f(),这类求积公这类求积公式称式称机械求积公式机械求积公式式中式中 xk 称为称为求积节点求积节点,Ak 称为称为求积系数求积系数,亦称伴亦称伴随节点的权随节点的权.数值积分基本思想数值积分基本思想342 Newton-Cotes 公式公式基本思想基本思想:利用利用插值多项插值多项式式其中其中Ln(x)是是n阶阶Lagrange插值多项式，用插值多项式，用Ln(x)的积分近似的积分近似 f(x)的积分，即的积分，即插值型求积公式插值型求积公式35由由 决定决定,与与 无关无关.节点节点 f(x)在在a,b上取上取 a x0 x1 0,使得使得则称该求积公式是则称该求积公式是稳定稳定的的.求积公式的稳定性求积公式的稳定性72 若求积公式是稳定的若求积公式是稳定的,则则 f(x)的观察值的较小的观察值的较小的误差引起的求积结果的误差也是较小的的误差引起的求积结果的误差也是较小的.求积公求积公式没有把式没有把 f(x)的误差的误差“放大放大”很多很多.73证明证明因此复化梯形公式是数值稳定的因此复化梯形公式是数值稳定的.当当 定理定理 复化梯形公式是复化梯形公式是数值稳定数值稳定的的.74x0 x2xf(x)x4hhxn 2hxn.hx3x1xn 1 复化复化Simpson公式公式分片二次多项式近似分片二次多项式近似75 将积分区间将积分区间a,b划分为划分为n=2m等分等分,步长步长 h=(b a)/n,分点分点 xk=a+kh (k=0,1,n).在每个在每个小区间小区间 x2k 2,x 2k (k=1,m)上用上用Simpson公公式：式：复化复化Simpson公式公式k=1,m76=Sn(f)复化复化Simpson公式公式77当当 f(x)在在a,b上具有四阶连续导数时上具有四阶连续导数时,故得故得 复化复化Simpson公式的截断误差公式的截断误差78 由复化由复化Simpson公式的截断误差知公式的截断误差知,误差阶为误差阶为 h4,收敛性是显然的收敛性是显然的,事实上事实上,只要只要 f(x)Ca,b则可得到则可得到收敛性收敛性,即即 由于求积系数均为正由于求积系数均为正,与复化梯形公式一样的与复化梯形公式一样的证法可得复化证法可得复化 Simpson公式是公式是数值稳定数值稳定的的.79例：例：计算计算解：解：其中其中=3.138988494其中其中=3.141592502运算量运算量基本相同基本相同 显然用复化显然用复化Simpson公式计算精度较高公式计算精度较高,这与它们这与它们的误差阶的结论是相符的的误差阶的结论是相符的.80例例 对于函数对于函数给出给出n=8的函数表的函数表,试用试用复化梯形公式及复化复化梯形公式及复化Simpson公式计算积分公式计算积分解解0.00.1250.250.3750.50.6250.750.8751.01.00.99739780.98961580.97672670.95885100.93615560.90885160.84147090.8771925应用复化梯形公式求得应用复化梯形公式求得T8=0.9456909应用复化应用复化Simpson公式求得公式求得S8=0.9460832准确值准确值 I=0.9460831两者运算量基本相同两者运算量基本相同8126.26.利用下面数据表，利用下面数据表，1.用复化梯形公式计算积分用复化梯形公式计算积分的近似值；的近似值；2.用复化用复化Simpson公式计算积分公式计算积分的近似值。的近似值。(要求计算结果保留到小数点后六位要求计算结果保留到小数点后六位).x1.82.02.22.42.6F(x)3.12014 4.42569 6.04241 8.03014 10.4667582trapz:复化梯形公式求积分复化梯形公式求积分.用法用法:trapz(X,Y),其中其中X,Y为相同维数的向量为相同维数的向量.例例:X=0.125:0.125:1.0;Y=sin(X)./X;X=0,X;Y=1,Y;trapz(X,Y)ans=0.94569086358270Matlab函数函数83例例 若用复化求积公式计算积分若用复化求积公式计算积分的近似值的近似值,若要求计算结果有若要求计算结果有4位有效数字位有效数字,n应取多大应取多大?解解复化梯形公式的误差复化梯形公式的误差若用复化梯形公式求积分若用复化梯形公式求积分,n取取41能达到精度要求能达到精度要求.84故应取故应取n=4.该例表明该例表明,为达到相同的精度为达到相同的精度,用复化用复化Simpson公式所需的计算量比复化梯形公式要少公式所需的计算量比复化梯形公式要少,这也说明这也说明了复化了复化Simpson公式的精度高公式的精度高.复化复化Simpson公式的误差公式的误差857.3.3 逐次分半算法逐次分半算法(变步长方法变步长方法)用复化求积公式用复化求积公式（定步长方法）（定步长方法）必必须要用误差估计式对于预先给定的精度须要用误差估计式对于预先给定的精度给出步长给出步长h或或n,但由于误差估计式中要估但由于误差估计式中要估计高阶导数，而这一点往往很困难，因计高阶导数，而这一点往往很困难，因此实际计算时，常采用此实际计算时，常采用变步长方法：变步长方法：逐逐步缩小步长，每次将步长缩小一半，或步缩小步长，每次将步长缩小一半，或者说逐次等分区间者说逐次等分区间,反复利用复化求积公反复利用复化求积公式，直到相邻两次计算结果相差不大为式，直到相邻两次计算结果相差不大为止或者满足给定精度为止。止或者满足给定精度为止。86 梯形法的梯形法的递推公式递推公式 87 复化复化梯形公式的逐次分半算法梯形公式的逐次分半算法将区间将区间a,b分成分成n=2m等分等分,记记88因此计算梯形序列因此计算梯形序列因此计算梯形序列因此计算梯形序列 T T2 2mm 可按：可按：可按：可按：梯形公式的逐次分半算法（续梯形公式的逐次分半算法（续1）89梯形公式的逐次分半算法梯形公式的逐次分半算法4 4设将区间设将区间设将区间设将区间 a a,b b n n等分，共有等分，共有等分，共有等分，共有n+1n+1个分点，个分点，个分点，个分点，如果将积分区间再等分一次，则分点增为如果将积分区间再等分一次，则分点增为如果将积分区间再等分一次，则分点增为如果将积分区间再等分一次，则分点增为2 2n+1n+1个，将个，将个，将个，将等分前后两个积分值联系起来加以考察：等分前后两个积分值联系起来加以考察：等分前后两个积分值联系起来加以考察：等分前后两个积分值联系起来加以考察：注意到每个子区间注意到每个子区间注意到每个子区间注意到每个子区间经过等分只增加了一个分点：经过等分只增加了一个分点：经过等分只增加了一个分点：经过等分只增加了一个分点：用复化梯形公式可求得用复化梯形公式可求得用复化梯形公式可求得用复化梯形公式可求得上的积分值为上的积分值为上的积分值为上的积分值为注意，这里注意，这里注意，这里注意，这里代表等分前的步长。代表等分前的步长。代表等分前的步长。代表等分前的步长。90梯形公式的逐次分半算法（续梯形公式的逐次分半算法（续2）此为此为此为此为复化梯形公式的递推公式复化梯形公式的递推公式 将每个子区间上的积分值相加得：将每个子区间上的积分值相加得：将每个子区间上的积分值相加得：将每个子区间上的积分值相加得：91所有新增加节点的函数值之和所有新增加节点的函数值之和其中其中 复化复化梯形公式的逐次分半算法梯形公式的逐次分半算法92以以n=8,m=3为例为例.记记 fk=f(xk)x0 x2x4x6x3x1x5x7x8所有新增加节点的函数值之和所有新增加节点的函数值之和.93 复化梯形公式余项的后验估计复化梯形公式余项的后验估计f (1),f (2)分别是分别是 f (x)在在a,b上的上的n个点与个点与 2n 个点处的算术平均值个点处的算术平均值(每个小区间上取一个点每个小区间上取一个点).当当n较大时较大时,有有94因此因此,若事先给定误差限若事先给定误差限 ,则当则当时时,就可停止计算就可停止计算,并认为并认为 T2n是满足精度要求的近是满足精度要求的近似值似值.95 复化复化Simpson公式的逐次分半算法公式的逐次分半算法将区间将区间a,b分成分成 n=2m 等分等分,记记称称 为为Simpson序列序列.96因此因此,若事先给定误差限若事先给定误差限 ,则当则当时可停止计算时可停止计算,取取 S2n为满足精度要求的近似值为满足精度要求的近似值.复化复化Simpson公式余项的后验估计公式余项的后验估计9722、已知函数f(x)在若干点处的值：试计算积分 的梯形值 以及Simpson值 。X-1-0.500.51F(x)02.12532.1250 7.4 7.4 龙贝格算法龙贝格算法事后估计法利用计算结果来估计误差的方法利用计算结果来估计误差的方法龙贝格算法龙贝格算法 当当n=1=1 时时,我们计算上式右端我们计算上式右端这恰好是辛普森公式的结果，即有这恰好是辛普森公式的结果，即有比梯形公式有比梯形公式有更好的精确度更好的精确度龙贝格算法龙贝格算法类似地可验证：类似地可验证：即即龙贝格算法龙贝格算法龙贝格算法龙贝格算法可以验证可以验证事实上事实上 C1=(42S2-S1)/(42-1)=16S2/15-S1/15=(7y0+32y1+12y2+32y3+7y4)/90 恰为柯斯特公式。恰为柯斯特公式。同理，同理，C2=(42S4-S2)/(42-1)，.龙贝格算法龙贝格算法 即即,R,R1 1=(4=(43 3C C2 2-C-C1 1)/(4)/(43 3-1),-1),R R2 2=(4=(43 3C C4 4-C-C2 2)/(4)/(43 3-1),.-1),.Rn=(4 Rn=(43 3 C2n-Cn)/(4C2n-Cn)/(43 3-1);-1);上式即为龙贝格公式，得龙贝格值序列上式即为龙贝格公式，得龙贝格值序列龙贝格算法龙贝格算法1054 Romberg求积公式求积公式启示启示:是否用是否用 复化梯形公式余项的后验估计表明复化梯形公式余项的后验估计表明逼近逼近 I(f)比用比用 T2n要好要好.事实上有事实上有即梯形值序列的巧妙线性组合得到即梯形值序列的巧妙线性组合得到Simpson序列序列!106以以n=4为例加以说明为例加以说明.记记 fk=f(xk),107逼近逼近 I(f)比用比用 S2n要好要好.回答回答:是的是的,记记则它恰为复化则它恰为复化Cotes公式公式;且有如下误差估计式且有如下误差估计式 复化复化Simpson公式余项的后验估计表明公式余项的后验估计表明 问题问题:是否用是否用108类似地可以得到类似地可以得到其中其中被称为被称为Romberg序列序列.截断误差截断误差:龙贝格龙贝格积分积分 /*Romberg Integration*/例：例：计算计算已知对于已知对于 =10 6 须将区间对分须将区间对分 9 次，得到次，得到 T512=3.14159202由由 来计算来计算 I 效果是否好些效果是否好些？考察考察=3.141592502=S4一般有：一般有：Romberg 序列序列 Romberg 算法：算法：?T1=)0(0T T8=)3(0T T4=)2(0T T2=)1(0T S1=)0(1T R1=)0(3T S2=)1(1T C1=)0(2T C2=)1(2T S4=)2(1T110停机准则停机准则:梯形值序列梯形值序列Simpson序列序列Cotes序列序列Romberg序列序列 Romberg求积公式求积公式 用若干个积分近似值推算出更为精确的积分近用若干个积分近似值推算出更为精确的积分近似值的方法，称为似值的方法，称为外推方法外推方法。龙贝格算法龙贝格算法计算过程见表：计算过程见表：龙贝格算法龙贝格算法T1T2 S1 T4 S2 C1T8 S4 C2 R1T16 S8 C4 R2T32 S16 C8 R4.上面是上面是RombergRomberg的计算表的计算表若若 则计算停止则计算停止龙贝格算法龙贝格算法解：解：用用RombergRomberg方法计算积分方法计算积分近似值近似值例例117例例 计算计算=0.9207355=0.9397933=0.9445135=0.9456909解解先求梯形值序列先求梯形值序列第二种写法11824180.92073550.93979330.94451350.94569090.94614590.95608690.94608330.94608300.94608310.9460831 利用只有两三位有效数字利用只有两三位有效数字的的T1,T8 经过三次外推经过三次外推得到得到7位有效数字位有效数字.可见加速可见加速的效果十分显著的效果十分显著.用用Romberg算法计算如下算法计算如下fx_:=Sinx/x;fx_:=Sinx/x;a=0;b=1;f0=1;f1=0.8414709;a=0;b=1;f0=1;f1=0.8414709;hk_:=(b-a)/2k;T0,0=(b-a)/2*(fa+fb);hk_:=(b-a)/2k;T0,0=(b-a)/2*(fa+fb);T0_,k_:=1/2*T0,k-1+hk*Sumfa+hk*(2i-T0_,k_:=1/2*T0,k-1+hk*Sumfa+hk*(2i-1),i,1,2(k-1);1),i,1,2(k-1);NTableT0,k,k,0,3,6;NTableT0,k,k,0,3,6;MatrixForm%MatrixForm%Tm_,k_:=(4m*Tm-1,k+1-Tm-1,k)/(4m-1);Tm_,k_:=(4m*Tm-1,k+1-Tm-1,k)/(4m-1);NTableTm,k,m,1,3,k,0,2,7;NTableTm,k,m,1,3,k,0,2,7;MatrixForm%;NTableT1,k,k,0,2,7;MatrixForm%;NTableT1,k,k,0,2,7;MatrixForm%;NTableT2,k,k,0,1,7;MatrixForm%;NTableT2,k,k,0,1,7;MatrixForm%;NT3,0,7MatrixForm%;NT3,0,7算算 法法将余项泰将余项泰勒展开勒展开 外推法的一般讨论外推法的一般讨论外推法外推法此处理方法称为理查森此处理方法称为理查森(Richardson)(Richardson)外推加速方法外推加速方法。外推法外推法123 理论依据理论依据:复化梯形公式的余项展开复化梯形公式的余项展开.记记定理定理 设设则则其中系数其中系数 k(k=0,1,)是与是与 h 无关的常数无关的常数.T(h)逼近逼近 I 的速度是的速度是 O(h2)阶阶.124 当区间当区间a,b 2n等分时等分时,则有则有在定理中以在定理中以 h/2 代替代替 h 得得上式乘以上式乘以4减去减去 T(h)再除以再除以3,记之为记之为 T1(h),得得T1(h)逼近逼近 I 的速度是的速度是 O(h4)阶阶,效果比效果比 T(h)好好,它不是别的它不是别的,就是就是Simpson序列序列.125 类似地类似地上式乘以上式乘以16减去减去 T1(h)再除以再除以15,记之为记之为 T2(h),得得T2(h)逼近逼近 I 的速度是的速度是 O(h6)阶阶,效果比效果比 T1(h)好好,它不是别的它不是别的,就是就是Cotes公式序列公式序列.126 对对Cotes公式序列进行同样处理得到公式序列进行同样处理得到Romberg公式序列公式序列.Richardson外推加速方法外推加速方法 也称为也称为Romberg求积算法求积算法 收敛性说明收敛性说明:如果如果 f(x)充分光滑充分光滑,那么梯形那么梯形公式序列公式序列,Simpson公式序列公式序列,Cotes公式序列公式序列,Romberg公式序列均收敛到所求的积分值公式序列均收敛到所求的积分值.对于对于 f(x)不充分光滑的函数也可用不充分光滑的函数也可用Romberg算法计算算法计算,只是收敛慢一些只是收敛慢一些.也可以直接使用复也可以直接使用复化化Simpson公式计算公式计算.127例例 用用Romberg算法计算积分算法计算积分解解在在0,1上仅是一次连续可微上仅是一次连续可微用用Romberg算法计算结果见下表算法计算结果见下表241816320.50.4267770.4070180.4018120.4004630.4001180.4023690.4004320.4000770.4000140.4000020.4003020.4000540.4000090.4000020.4000500.4000090.40000212823、用Romberg方法计算积分 的近似值，要求误差不超过1295 Gauss型求积公式型求积公式 基本思想基本思想 设计求积公式设计求积公式:在节点数在节点数 n 固定时固定时,适当地选取求积节点适当地选取求积节点 xk 与与求积系数求积系数 Ak,使求积公式具有使求积公式具有最高的代数精确最高的代数精确度度.130例例 确定确定x1,x2,A1,A2,使求积公式使求积公式具有最高次的代数精确度具有最高次的代数精确度.x2x11 选取选取(A1,A2,x1,x2)使该求积公式对使该求积公式对 f(x)=1,x,x2,x3 时等号成立时等号成立.1131 对对 f=1,x,x2,x3 积分精确成立积分精确成立 四个方程四个未知数四个方程四个未知数132梯形公式与梯形公式与Gauss求积公式的比较求积公式的比较 对对1,x求积公式精确求积公式精确成立成立(1(1次代数精确度次代数精确度)对对1,x,x2,x3求积公式求积公式精确成立精确成立(3 次代数精确度次代数精确度)133x3x11x2 1 选取选取(A1,A2,A3,x1,x2,x3)使该求积公式对使该求积公式对 f(x)=x0,x1,x2,x3,x4,x5 时等号成立时等号成立.区间区间 1,1上的上的Gauss求积公式求积公式134 对对 f=x0,x1,x2,x3,x4,x5 求积公式等号成立求积公式等号成立135 选取选取(A1,A2,An,x1,x2,xn)使该求积公使该求积公式对式对f(x)=x0,x1,x2,x2n 1时等号成立时等号成立.区间区间 1,1上的上的Gauss求积公式求积公式136 2n个方程个方程2n个未知数个未知数,非线性方程非线性方程,解是否存在解是否存在唯一？若存在唯一？若存在,如何求解？如何求解？对对 f=x0,x1,x2,x2n 1求积公式等号成立求积公式等号成立137研究最一般情形的带权积分研究最一般情形的带权积分:具有具有2n1次代数精确度次代数精确度,则称这组节点则称这组节点 xk为为 Gauss 点点,上述公式称为带权函数上述公式称为带权函数(x)的的Gauss型型求求积公式积公式.定义定义 如果一组节点如果一组节点x1,x2,xn a,b能使求积公式能使求积公式Gauss型型求积公式求积公式138由上述由上述 2n个方程确定全部个方程确定全部 的的2n个待定参数个待定参数 xk,Ak(k=1,n),使求积公式至少具有使求积公式至少具有 2n 1次代次代数精确度数精确度.但上述方程组是非线性方程组但上述方程组是非线性方程组,求解十求解十分困难分困难.一般利用一般利用 正交多项式正交多项式来求出来求出Gauss点与求点与求积系数积系数.Gauss型型求积公式求积公式 对对 f=x0,x1,x2,x2n 1求积公式等号成立求积公式等号成立13921、试确定常数A，B，C 和 ，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度，试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？几种常用的几种常用的Gauss型型求积公式：求积公式：Gauss-Legendre 求积公式：求积公式：1)(x 定义在定义在 1,1上，上，满足：满足：，递推公式：，递推公式：其中，求积节点为其中，求积节点为 Pn+1 的根（求积系数通过解线性方程组的根（求积系数通过解线性方程组得到）。得到）。Legendre多项式：多项式：Gauss-Legendre 公式：公式：140区间区间a,b上的上的Gauss-Legendre 公式：公式：其中，其中，为为 n+1次次Legendre多项式多项式Pn+1 的根。的根。141 Gauss-Chebyshev 求积公式：求积公式：211)(xx=定义在定义在 1,1上，上，Tn+1 的根为：的根为：k=0,n以此为节点构造公式以此为节点构造公式称为称为 Gauss-Chebyshev 公式公式。注意到积分端点注意到积分端点 1 可能是积分可能是积分的的奇点奇点，用普通，用普通Newton-Cotes公式在端点会出问题。而公式在端点会出问题。而Gauss公式可能避免此问题的发生。公式可能避免此问题的发生。Chebyshev多项式：多项式：142(3)Gauss-Hermite 求积公式：求积公式：以以n+1次次Hermite 多项式的零点多项式的零点为求积节点构造的公式为求积节点构造的公式称为称为 Gauss-Hermite 求积求积公式公式。Hermite 多项式：多项式：143(4)Gauss-Laguerre 求积公式：求积公式：以以n+1次次Laguerre 多项式的零点多项式的零点为求积节点构造的公式为求积节点构造的公式称为称为 Gauss-Laguerre 求积求积公式公式。Laguerre多项式：多项式：144（5）第二类）第二类Gauss-Chebyshev求积公式：求积公式：以以Un+1 的零点作为求积节点构造的公式的零点作为求积节点构造的公式称为称为第二类第二类Gauss-Chebyshev 公式公式。第二类第二类Chebyshev多项式：多项式：区间区间-1,1上，带权上，带权145 Gauss 公式的余项：公式的余项：插值多项式插值多项式的余项的余项/*设设P为为f 的过的过x0 xn的插值多项式的插值多项式*/*只要只要P 的阶数不大于的阶数不大于2n+1，则下一步，则下一步等式成立等式成立*/146Hermite 多项式！多项式！什么样的什么样的插值多项式插值多项式在在 上有上有 阶？阶？147Hermite 多项式的插值条件为：多项式的插值条件为：Hermite插值余项为插值余项为其中，其中，与与有关。有关。148149定理定理 若若f(x)f(x)Ca,bCa,b,则则GaussGauss型求积公式所求积分型求积公式所求积分 值序列值序列 收敛收敛于积分值于积分值I(f),I(f),即即 Gauss型求积公式的收敛性型求积公式的收敛性150 Gauss 型求积型求积公式的公式的数值稳定性数值稳定性定理定理 GaussGauss型求积公式的求积系数都大于型求积公式的求积系数都大于零，从而零，从而GaussGauss型求积公式是型求积公式是数值稳定的。数值稳定的。151复化复化Gauss-Legendre求积公式求积公式其中，其中，为为 n+1次次Legendre多项式多项式Pn+1 的根。从而的根。从而152n=1n=1时，两点复化时，两点复化Gauss-Gauss-LegendreLegendre求积公式为求积公式为其中，其中，vn=2n=2时，三点复化时，三点复化Gauss-Gauss-LegendreLegendre求积公式为求积公式为153
展开阅读全文