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第一章第一章 有理数有理数义务教育教科书义务教育教科书 数学数学 七年级七年级 上册上册1.负数 2.有理数 3.数轴4.互为相反数5.互为倒数6.有理数的绝对值7.有理数大小的比较8.科学记数法、近似数一、有理数的基本概念二、有理数的运算 加、减、乘、除、乘方运算正数和负数正数和负数1.1.正数正数大于大于0的数叫做正数的数叫做正数根据需要有时在正数前面也加上根据需要有时在正数前面也加上“+”号号2.2.负数负数在正数前面加在正数前面加“”的数叫做负数的数叫做负数0既不是正数，也不是负数既不是正数，也不是负数判断：判断：1 1）a a一定是正数；一定是正数；2 2）a a一定是负数；一定是负数；3 3）（）（a a）一定大于）一定大于0 0；4 4）0 0是正整数。是正整数。温度下降温度下降9水位下降水位下降5m0m3正数和负数正数和负数1.如果水位升高如果水位升高8m记作记作8m，那么水位不升不降，那么水位不升不降 记作记作_，5m表示表示_2.温度上升温度上升9的实际意义是的实际意义是_3.如果全班某次数学测试的平均成绩为如果全班某次数学测试的平均成绩为8383分，某同学考了分，某同学考了8585分，分，记作记作+2+2分，则得分，则得8080分应记作分应记作_3、具有相反意义的量、具有相反意义的量有理数有理数1.有理数的意义有理数的意义：_统称整数整数。_统称分数分数。_统称有理数有理数。正整数、零、负整数正整数、零、负整数正分数、负分数正分数、负分数整数、分数整数、分数2.有理数的分类：有理数的分类：有有理理数数整数整数分数分数正整数正整数负整数负整数0负分数负分数正分数正分数自然数有理数的另一种分类有理数的另一种分类有有理理数数正有理数正有理数负有理数负有理数正整数正整数负整数负整数0负分数负分数正分数正分数说明：说明：分类的标准不同，结果也不同；分类的标准不同，结果也不同；分类分类 的结果应无遗漏、无重复；的结果应无遗漏、无重复；零是整数，但零既零是整数，但零既不是正数，也不是负数不是正数，也不是负数.有理数有理数把下列各数分别填在相应的集合里：把下列各数分别填在相应的集合里：10，6，|5|，40，8，(3),0，14，负数集合：负数集合：10，8,14,，规定了规定了原点、正方向和单位长度原点、正方向和单位长度的直线的直线.1)1)在数轴上表示的两个数，在数轴上表示的两个数，右边右边的数总比的数总比左边左边的数大；的数大；2 2）正数都大于）正数都大于0,0,负数都小于负数都小于0 0；正数大于一切负数；正数大于一切负数；3 3 2 2 1 0 1 2 3 41 0 1 2 3 43 3）所有有理数都可以用数轴上的点表示。）所有有理数都可以用数轴上的点表示。4)4)4)4)数轴上数轴上两点之间的距离两点之间的距离等于这两点所表示的等于这两点所表示的两数的两数的 差的绝对值。差的绝对值。数数 轴轴数数 轴轴3 3 2 2 1 1 0 1 2 3 40 1 2 3 41 1.+3表示的点与表示的点与2表示的点距离是表示的点距离是_个单位。个单位。52.与原点的距离为与原点的距离为3个单位的点有个单位的点有_个，他个，他们表示的有理数分别是们表示的有理数分别是_和和_。+3+33 33 3.与与+5表示的点距离表示的点距离2010个单位的点有个单位的点有_个，个，他们分别表示的有理数是他们分别表示的有理数是_ 和和_。20152005.a0b 有理数有理数a、b在数轴上的位置如图如图所示在数轴上的位置如图如图所示1.1.指出指出a a、b b的符号的符号2.2.比较比较a a、b b、a a、b b的大小，并用大于号连接。的大小，并用大于号连接。.b.a数数 轴轴解：解：1.1.a a的符号为的符号为“”、b b的符号为的符号为“”2.2.b ba aa ab b只有只有符号不同符号不同的两个数，其中一个是另一个的的两个数，其中一个是另一个的相反数相反数。1 1）数数a a的相反数是的相反数是a a2 2）相反数是它本身的数是相反数是它本身的数是相反数是它本身的数是相反数是它本身的数是 0，一个数乘以，一个数乘以，一个数乘以，一个数乘以1 1 1 1就就就就 变为原数的相反数变为原数的相反数变为原数的相反数变为原数的相反数3 3）若若a a、b b互为相反数，则互为相反数，则 a+b=0.（a a是任意一个有理数）；是任意一个有理数）；相反数相反数相反数相反数1、5的相反数是 ；8的相反数 是 ；0的相反数是 ；2、(1)如果a13，那么a_；(2)如果x6，那么x_；3、a+2的相反数是_；a2的相反数是_；5 58 80 06 61313a a2 2a a2 2乘积是1的两个数互为倒数.1）a的倒数是 （a0）；3）若a与b互为倒数，则ab=1.2）0没有倒数；倒数8，1，+(8)，1，例：下列各数，哪两个数互为倒数？绝对值绝对值 一个数一个数a a的绝对值的绝对值就是数轴上表示数就是数轴上表示数a a的点与的点与原点的原点的距离距离。1 1）数）数a a的绝对值记作的绝对值记作a a;2 2）正数的绝对值是它本身）正数的绝对值是它本身;负数的绝对值等于它的相反数；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于的绝对值等于0.3)3)对任何有理数对任何有理数a,a,总有总有a a0.0.绝对值绝对值ab0ab1 1、0 0绝对值是绝对值是_。2 2、1 1绝对值是绝对值是_。3 3、绝对值最小的有理数是、绝对值最小的有理数是_。4 4、绝对值是、绝对值是5 5的有理数是的有理数是_。5 5、绝对值、绝对值不大于不大于不大于不大于3 3的整数是的整数是_。05或或50，1，2，36、数轴上点、数轴上点A表示表示4，距离点，距离点A 5个单位的数是个单位的数是_。7、点、点A表示表示6，把它先向左移动，把它先向左移动7个单位，再向右移动个单位，再向右移动 3个单位后，点个单位后，点A最后的位置所表示的数是最后的位置所表示的数是_。9或或1210绝对值绝对值2、填空题。、填空题。若若|a|3，则，则a_；|a+1|0，则，则a_。|a+1|3，则，则a_。若若|a5|+|b+3|0，则，则a_，b_。若若|x+2|+|y2|0，则，则x_，y_若若(x+2)2+|y2|0呢？呢？315322绝对值绝对值2或或4x2y2关于化简绝对值关于化简绝对值如何化简绝对值符号如何化简绝对值符号例：例：a、b、c 在数轴上的位置如图在数轴上的位置如图化简化简|c b|a c|b c|c 0 b a cb 是负数，是负数，|cb|（cb）ac 是正数，是正数，|ac|ac bc 是负数，是负数，|bc|（bc）原式原式=（cb）（）（ac）（bc）a+bc1）在数轴上，右边的数总比左边的数大；2）正数都大于0，负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小。有理数大小的比较有理数大小的比较比较有理数的大小：比较有理数的大小：1.1.把一个大于把一个大于1010的数记成的数记成a10a10n n的形式，其中的形式，其中a a是整数是整数数位只有一位的数，这种记数法叫做数位只有一位的数，这种记数法叫做科学记数法科学记数法 .科学记数法、近似数科学记数法、近似数3 3.精确度精确度:一个近似数四舍五入到哪一位一个近似数四舍五入到哪一位,就称这个数就称这个数精确到哪一位精确到哪一位.2.2.与实际完全符合的数是与实际完全符合的数是准确数准确数，接近实际但又与实际，接近实际但又与实际数值有差别的数叫数值有差别的数叫近似数近似数。1.1.用科学记数法表示用科学记数法表示:605000,605000,50302,50302,科学记数法、近似数科学记数法、近似数解：解：6050006050006.05106.05105 5,50302503025.03105.03104 4,65.342（精确到十分位）1.3999（精确到百分位）65.31.40 同号两数相加同号两数相加,取相同的符号取相同的符号,并把绝对值相加；并把绝对值相加；一个数同一个数同0 0相加相加,仍得这个数。仍得这个数。有理数的加减法有理数的加减法1.1.加法法则加法法则 异号两数相加异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号取绝对值较大的加数的符号,并用较大并用较大 的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加 得得0 0；先定符号，再算绝对值。先定符号，再算绝对值。有理数的加减法有理数的加减法2.2.加法练习加法练习先定符号，再算绝对值。先定符号，再算绝对值。同号相加：同号相加：异号相加异号相加与与0 0相加相加b+(b+(b)=b)=0 0 0 0a a a a（5）+（3）(+5)+(+3)(+5)+(+3)5+（3）5+（+3）a+0=a+0=+(5+3)+(5+3)=8 8=(5+3）=8=+（5 3）=2=（53）=2（1）同号结合相加：）同号结合相加：3、加法运算技巧：、加法运算技巧：有理数的加减法有理数的加减法（2）相反数结合相加：）相反数结合相加：(+7)+(+7)+(15)+(15)+(12)+(+7)12)+(+7)(+17)+(+17)+(150)+(150)+(12)+(+150)12)+(+150)（3）凑整相加：）凑整相加：5.6+0.9+4.4+8.1+(5.6+0.9+4.4+8.1+(1)1)（4）整数、分数、小数分别结合）整数、分数、小数分别结合；有理数加减法有理数加减法减去一个数，等于加上这个数的相反数.即:两个变化：两个变化：（1 1）减号变为加号）减号变为加号（2 2）减数变为它的相反数）减数变为它的相反数4.4.减法法则减法法则aba=(b)+计算：计算：(3)(5)解：解：(3)(5)=(3)+(+5)减数变相反数减数变相反数减号变加号减号变加号=+(53)=2有理数加减法有理数加减法计算（1）18（3）（2）（）（3）18（3）0（3）（4）（3）（）（18）解解：（：（1）原式）原式=18 +（+3）=21（2）原式）原式=（3）+（18）=21（3）原式）原式=0 +（+3）=3（4）原式）原式=（3）+（+18）=15有理数加减法有理数加减法加减法可以统一成加法加减法可以统一成加法有理数加减法有理数加减法把下式写成省略加号的和的形式，并把它读出来把下式写成省略加号的和的形式，并把它读出来 （3）（8）（）（6）（7）解：原式解：原式=（3）（8）（6）（7）=3867读作读作“3，8，6，7的和的和或负或负3减减8加加6减减7（1212）（）（2525）18+18+（1010）计算：计算：有理数的加减法有理数的加减法练习：练习：解：（12）（25）18+（10）=12+251810=9=3728 计算：计算：解：解：有理数的加减法有理数的加减法练习：练习：有理数的乘除法有理数的乘除法 两数相乘，同号得正，异号得负，并两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同把绝对值相乘；任何数同0 0相乘，都得相乘，都得0.0.1.1.乘法法则乘法法则a0a0有理数乘法练习：有理数乘法练习：(口答）口答）2323(2)32)3(2)(2)(3)3)2(2(3 3）有理数的乘除法有理数的乘除法 几个不等于几个不等于0 0的数相乘，积的符号由的数相乘，积的符号由负因数的个数负因数的个数决定，当负因数有决定，当负因数有奇数奇数个时，个时，积为负积为负；当负因数有；当负因数有偶数偶数个时，个时，积为正积为正.几个数相乘，有一个因数为几个数相乘，有一个因数为0 0，积就为，积就为0 0.2.2.乘法的符号规律乘法的符号规律(2)(2)(3)(3)(4)4)=2424(2)3(2)3(4)4)=24=24除以一个数等于乘上这个数的倒数除以一个数等于乘上这个数的倒数;即即ab=a (b0)ab=a (b0)两数相除两数相除,同号同号得得正正,异号异号得得负负,并把绝对值相除并把绝对值相除;0 0除以任何一个不等于除以任何一个不等于0 0的数的数,都得都得0.0.有理数的乘除法有理数的乘除法3.3.除法法则除法法则求n个相同因数的积的运算,叫做乘方。正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.幂指数 底数 即aaa a=n 个有理数的乘方有理数的乘方 有理数的乘方有理数的乘方 1、计算：有理数的乘方有理数的乘方 当 x =3 3时，等于()A、B、解:所以选 A 因为 x x有理数的运算有理数的运算符号符号计算绝对值计算绝对值加法加法同号同号异号异号减法减法减去一个数等于减去一个数等于乘法乘法同号同号异号异号除法除法同号同号异号异号除以一个数等于除以一个数等于乘方乘方取相同的符号取相同的符号绝对值相加绝对值相加取绝对值大的符号取绝对值大的符号 较大绝对值减较小绝对值较大绝对值减较小绝对值得正得正得正得正得负得负得负得负绝对值相乘绝对值相乘绝对值相除绝对值相除加上这个数的相反数加上这个数的相反数乘以这个数的倒数乘以这个数的倒数（n个个a相乘）相乘）注意：注意：14=(1111)=1(1)4=(1)(1)(1)(1)=11.1.运算顺序运算顺序1 1）有括号，先算括号里面的；）有括号，先算括号里面的；2 2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；）先算乘方，再算乘除，最后算加减；3 3）同级运算，按照从左往右顺序进行。）同级运算，按照从左往右顺序进行。有理数的混合运算有理数的混合运算2.2.有理数的运算律有理数的运算律1)1)加法交换律加法交换律a+b=b+aa+b=b+a2)2)加法结合律加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c)3)3)乘法交换律乘法交换律ab=baab=ba4)4)乘法结合律乘法结合律(ab)c=a(bc)(ab)c=a(bc)5)5)分分 配配 律律a(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+ac有理数的混合运算有理数的混合运算解解 题题 技技 能能加法四结合加法四结合1.凑整结合法凑整结合法 2.同号结合法同号结合法3.两个相反数结合法两个相反数结合法4.同分母或易通分的分数结合法同分母或易通分的分数结合法A A、5.6+(5.6+(0.9)+4.4+(0.9)+4.4+(8.1)+(8.1)+(1)1)C C、(+7)(+7)(15)+(15)+(12)12)(+7)(+7)D D、1 14+74+710+1310+1316+1916+192222解解 题题 技技 能能乘法三结合乘法三结合1、积为整数结合、积为整数结合 2、两个倒数结合、两个倒数结合3、能约分的结合、能约分的结合分配律分配律反着用291 1）绝对值小于）绝对值小于2的整数有的整数有_。2）绝对值等于它本身的数有）绝对值等于它本身的数有_。3）绝对值不大于）绝对值不大于3的负整数有的负整数有_。4)数数a和和b的绝对值分别为的绝对值分别为2和和5，且在数轴上，且在数轴上表示表示a的点在表示的点在表示b的点左侧，则的点左侧，则b的值为的值为 .0，1零和正数1,2,351 1、一个数的绝对值是、一个数的绝对值是 6,6,这个数是。这个数是。2 2、绝对值小于、绝对值小于3 3的整数有个。的整数有个。3 3、的相反数的倒数是。、的相反数的倒数是。4 4、计算：、计算：。5 5、如果、如果,那么那么 a=a=。6 6、如果规定上升、如果规定上升8 8米记作米记作8 8米，那么米，那么7 7米表示米表示 _。7 7、最小的正整数是、最小的正整数是_,_,最大的负整数是最大的负整数是_,_,绝对值最小的有理数是绝对值最小的有理数是_下降下降7 7米米110大显身手大显身手 计算：计算：1.2+31.2+34 40.8=_.0.8=_.某运动员在东西走向的公路上练习跑步某运动员在东西走向的公路上练习跑步,跑跑步情况记录如下步情况记录如下:(:(向东为正向东为正,单位单位:米米)1000 1000，12001200，11001100，800800，14001400 该运动员共跑的路程为（该运动员共跑的路程为（）A.1500A.1500米米 B.5500B.5500米米 C.4500C.4500米米 D.3700D.3700米米大显身手大显身手大显身手大显身手3B五个有理数的积为负数，则五个数中五个有理数的积为负数，则五个数中负数的个数是（负数的个数是（）A.1 B.3 C.5 D.1A.1 B.3 C.5 D.1或或3 3或或5 5一个数的立方等于它本身，这个数是一个数的立方等于它本身，这个数是（）A.0 B.1 A.0 B.1 C.C.1 1，1 D.1 D.1 1，1 1，0 0DD 一杯饮料一杯饮料,第一次喝了一半第一次喝了一半,第二次第二次喝了剩下的一半喝了剩下的一半,如此喝下去如此喝下去,第第五次喝后剩下的饮料是原来的几分五次喝后剩下的饮料是原来的几分之几之几?在数轴上在数轴上,原点两旁与原点等距离的两点所原点两旁与原点等距离的两点所表示的数的关系是表示的数的关系是().().A A、相等、相等 B B、互为相反数、互为相反数 C C、互为倒数、互为倒数 D D、不能确定、不能确定如果一个数的相反数比它本身大，如果一个数的相反数比它本身大，那么这个数为那么这个数为().().A A、正数、正数 B B、负数、负数 C C、非负数、非负数 D D、不等于零的有理数、不等于零的有理数BB计算：计算：32(3)2+3(6)解：原式解：原式=9 9+3(9 9+3(6)6)=1+(1+(18)18)=1919延展练习 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是绝对值最小的数，求代数式50写在最后写在最后成功的基础在于好的学习习惯成功的基础在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habits谢谢大家荣幸这一路，与你同行ItS An Honor To Walk With You All The Way讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
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