整数规划问题及分配问题教学课件

整数规划问题及分配问题整数规划问题及分配问题6、黄金时代是在我们的前面，而不在我们的后面。7、心急吃不了热汤圆。8、你可以很有个性，但某些时候请收敛。9、只为成功找方法，不为失败找借口(蹩脚的工人总是说工具不好)。10、只要下定决心克服恐惧，便几乎能克服任何恐惧。因为，请记住，除了在脑海中，恐惧无处藏身。-戴尔卡耐基。例例7-1某某厂厂生生产产和和两两种种产产品品，需需要要经经过过三三道道工工序序。单单件件工工时时和和利利润润以以及及各各工工序序每每周周工工时时限限额额见见表表7-1。问问工工厂应如何安排生产，才能使总利润最大？厂应如何安排生产，才能使总利润最大？表表7-1工序工序工时工时/件件产品产品利润（元利润（元/件）件）0.30.20.3250.70.10.540工时限制工时限制（h/周）周）250100150 二、整数规划的例子 解解设设工工厂厂每每周周生生产产产产品品件件，产产品品件件。则该问题的数学模型为则该问题的数学模型为 这是一个纯整数线性规划问题。这是一个纯整数线性规划问题。例例7-27-2某某服服务务部部门门各各时时段段（每每2 2小小时时为为一一时时段段）需需要要的的服服务务人人数数见见表表7-27-2。按按规规定定，服服务务员员连连续续工工作作8 8小小时时（即即四四个个时时段段）为为一一班班。现现要要求求安安排排服服务务员员的的工工作作时时间间，使使服服务务部部门门服服务务员员总数最少。总数最少。表表7-2时时段段12345678服务员最少服务员最少数目数目10891113853解解设设在在第第时时段段开开始始时时上上班班的的服服务务员员人人数数为为。由由于于第第时时段段开开始始时时上上班班的的服服务务员员人人数数将将在在第第时时段段结结束束时时下班，故决策变量只需要考虑下班，故决策变量只需要考虑。数学模型为。数学模型为:这也是一个纯整数线性规划问题。这也是一个纯整数线性规划问题。三、解的特点 松松驰驰问问题题作作为为一一个个线线性性规规划划问问题题，其其可可行行解解的的集集合合是一个凸集，任意两个可行解的凸组合仍为可行解。是一个凸集，任意两个可行解的凸组合仍为可行解。整整数数规规划划问问题题的的可可行行解解是是它它松松驰驰问问题题可可行行解解集集合合的的一一个个子子集集，任任意意两两个个可可行行解解的的凸凸组组合合不不一一定定满满足足整整数数约约束束条条件件，因因而而不不一一定定仍仍为为可可行行解解。由由于于整整数数规规划划问问题题的的可可行行解解一一定定也也是是它它的的松松驰驰问问题题的的可可行行解解（反反之之则则不不一一定定），所所以以，前前者者最最优优解解的的目目标标函函数数值值不不会会优优于于后后者者最最优优解解的的目目标标函函数数值值，即即松松弛弛问问题题的的最最优优解解是是整整数数规规划划问问题题最最优优解的解的上限上限。在在一一般般情情况况下下，松松驰驰问问题题的的最最优优解解不不会会刚刚好好满满足足变变量量的的整整数数约约束束条条件件，因因而而不不是是整整数数规规划划的的可可行行解解，自自然然就就不不是是整整数数规规划划的的最最优优解解。此此时时，若若对对松松驰驰问问题题的的这这个个最最优优解解中中不不符符合合整整数数要要求求的的分分量量简简单单地地取取整整，所所得得到到的的解解不不一一定定是是整整数数规规划划问问题题的的最最优优解解，甚甚至至也也不一定是整数规划问题的可行解。不一定是整数规划问题的可行解。7-2 分支定界法 7.2.1 7.2.1 思路与解题步骤（思路与解题步骤（只解松弛问题）只解松弛问题）1 1、在全部可行性域上解松弛问题、在全部可行性域上解松弛问题若松弛问题最优解为整数解，则其也是整数规划的最优解若松弛问题最优解为整数解，则其也是整数规划的最优解2 2、分枝过程、分枝过程若松弛问题最优解中某个若松弛问题最优解中某个x xk k=b=bk k不是整数，令不是整数，令 b bk k 为为 b bk k的整数部分的整数部分构造两个新的约束条件构造两个新的约束条件 x xk k b bk k 和和 x xk k b bk k +1 1，分别加于原松，分别加于原松弛问题，形成两个新的整数规划弛问题，形成两个新的整数规划3 3、求解分枝的松弛问题、求解分枝的松弛问题 定界过程定界过程设两个分枝的松弛问题分别为问题设两个分枝的松弛问题分别为问题1 1和问题和问题2 2，它们的最优解有如下，它们的最优解有如下情况情况 表7.2.1 分枝问题解可能出现的情况情况情况 2,4,52,4,5 找到最优解找到最优解情况情况 3 3 在缩减的域上继续分枝定界法在缩减的域上继续分枝定界法情况情况 6 6 问题问题1 1的整数解作为的整数解作为界界被保留，用于以后与问题被保留，用于以后与问题2 2的后续分枝所的后续分枝所得到的解进行比较，结论如情况得到的解进行比较，结论如情况 4 4 或或 5 5计算过程可利用灵敏度分析（增加约束条件），简化问题的计算量计算过程可利用灵敏度分析（增加约束条件），简化问题的计算量序号序号问题问题问题问题说明说明无可行解无可行解无可行解无可行解整数规划无可行解整数规划无可行解无可行解无可行解整数解整数解问题的整数解为最优解问题的整数解为最优解无可行解无可行解非整数最优解非整数最优解对问题进行分支对问题进行分支整数解整数解整数解整数解较优解为最优解较优解为最优解整数解整数解，目标函，目标函数优于问题数优于问题非整数解非整数解问题的整数解为最优解问题的整数解为最优解整数解整数解非整数解，目标非整数解，目标函数优于问题函数优于问题对问题对问题剪枝剪枝，其整数解为界，其整数解为界，对问题继续分支对问题继续分支例例1：求解下述问题：求解下述问题：minz=-40 x1-90 x2s.t.9x1+7x2567x1+20 x270 xj0,整数，整数，j=1，2算例算例20 x1x21（4.814.81，1.821.82）234561347K K0 0(K(K0 0):X):X*=(4.81,1.82)=(4.81,1.82)T T Z*=-356=-356松弛问题的可行域和最优解松弛问题的可行域和最优解20 x1x21（4.814.81，1.821.82）234561347(K(K1 1)(K(K1 1):X):X1 1*=(4.00,2.10)=(4.00,2.10)T T Z Z1 1*=-349=-349(K(K2 2)(K(K2 2):X):X2 2*=(5.00,1.57)=(5.00,1.57)T T Z Z2 2*=-341=-34120 x1x21（4.814.81，1.821.82）234561347(K(K3 3)(K(K3 3):X):X3 3*=(4.00,2.00)=(4.00,2.00)T T Z Z3 3*=-340=-340(K(K2 2)(K(K4 4):X):X4 4*=(1.42,3.00)=(1.42,3.00)T T Z Z4 4*=-327=-327(K(K4 4)20 x1x21234561347(K(K3 3)(K(K5 5):X):X5 5*=(5.44,1.00)=(5.44,1.00)T T Z Z5 5*=-308=-308(K(K5 5)(K(K6 6):K):K6 6=(K(K4 4)（4.814.81，1.821.82）(K(K6 6)=例例2：求解下述（：求解下述（AIP）：）：maxz=3x1+2x2s.t.2x1+3x214x1+0.5x24.5xj0,整数，整数，j=1,2松弛问题的最优解为：松弛问题的最优解为：x*=(3.25,2.5)z*=14.75作业：作业：（试用分枝定界法求解下面整数规划问题的解试用分枝定界法求解下面整数规划问题的解）作业点评：解解：松弛问题的最优解为：松弛问题的最优解为 x x1 1=2.5,=2.5,x x2 2=2,=2,OBJOBJ=23=23 由由 x x1 1=2.5=2.5 得到两个分枝如下：得到两个分枝如下：分枝问题的松弛解问题问题II的解即原整数问题的最优解的解即原整数问题的最优解 可能存在两个分枝都是非整数解的情况，则需要两边同可能存在两个分枝都是非整数解的情况，则需要两边同时继续分枝，直到有整数解出现，就可以进行定界过程时继续分枝，直到有整数解出现，就可以进行定界过程 7-3 7-3 0-10-1型整数规划型整数规划 0-10-1型整数规划是整数规划中的特殊情形型整数规划是整数规划中的特殊情形,变量变量x xi i仅取仅取值为值为0 0或或1,x1,xi i称为称为0-10-1变量或称二进制变量变量或称二进制变量,具体实际问题具体实际问题常见关系常见关系:1 1、投资场所的选定、投资场所的选定-相互排斥的计划相互排斥的计划例1：某公司拟在市东、西和南三区建立门市部，拟议有7个位置Ai（i=1、2.7）可供选择，规定：在东区A1、A2、A3中至多选择两个；在西区A4、A5中至少选择一个；在东区A6、A7中至少选择一个如选择在Ai，设备投资估计为bi，每年可获利润为ci，投资总额不能超过B，应选择哪几个点可使得利润最大（建模）例例7-37-3现有资金总额为B，可供选择的投资项目有 个，项目 所需投资额和预期收益分别为 和 此外，由于种种原因，有三个附加条件：若选择项目1，就必须同时选择项目2，反之，则不一定；项目3和4中至少选择一个；项目5，6和7中恰好选择两个。应当怎样选择投资项目，才能使总预期收益最大？解解 每一个投资项目都有选择和不被选择两种可能，为此令 这样，问题可表示为这这是是一一个个0-1型型整整数数线线性性规规划划问问题题。其其中中，中中间间三三个约束条件分别对应三个附加条件。个约束条件分别对应三个附加条件。2 2、相互排斥的约束条件、相互排斥的约束条件问题满足两个约束条件中的一个如果上述问题中一个或两个约束条件方程是“”型，应两边同乘“-1”变为“”型，再用上述方法进行调整。在p个约束条件中至少要满足k个约束条件令yi为0-1变量，如果第i个约束条件是k个约束条件中的一个，就令yi=1，否则取0；对p个约束条件中的每一个约束条件都增加yi，变为：3 3、关于固定费用的问题、关于固定费用的问题引例引例1 1：今有今有4 4辆装载不同货物的待卸车，派班员要分派给辆装载不同货物的待卸车，派班员要分派给4 4个个装卸班组，每个班组卸装卸班组，每个班组卸1 1辆。由于各个班组的技术特长不同，辆。由于各个班组的技术特长不同，各个班组卸不同车辆所需时间如下表。问：派班员应如何分各个班组卸不同车辆所需时间如下表。问：派班员应如何分配卸车任务，可以使卸车所花费的总车辆小时最小？配卸车任务，可以使卸车所花费的总车辆小时最小？i i j j P1 P2 P3 P4 P1 P2 P3 P4 甲甲 4 3 4 14 3 4 1 乙乙 2 3 6 52 3 6 5 丙丙 4 3 5 44 3 5 4 丁丁 3 2 6 63 2 6 6一、指派问题及其模型特征一、指派问题及其模型特征7-7-4 4 指派问题指派问题引例引例2 2：一份中文说明书需要译成英、日、德、俄四种文字：一份中文说明书需要译成英、日、德、俄四种文字（E E，J J，G G，R R），现有甲、乙、丙、丁四人可以完成上述任），现有甲、乙、丙、丁四人可以完成上述任务，他们将说明书翻译成不同语种的文字所需时间如下表，务，他们将说明书翻译成不同语种的文字所需时间如下表，且一项任务只能由一人去完成，每人只能完成一项任务。问：且一项任务只能由一人去完成，每人只能完成一项任务。问：指派何人完成何工作，可使总花费时间最少？指派何人完成何工作，可使总花费时间最少？i i j j E J G R E J G R 甲甲 2 15 13 42 15 13 4 乙乙 10 4 14 1510 4 14 15 丙丙 9 14 16 139 14 16 13 丁丁 7 8 11 97 8 11 9 （1 1）n n项工作怎样分配给项工作怎样分配给n n个工作人员去完成，个工作人员去完成，可以使总花费时间最省；可以使总花费时间最省；（2 2）n n项加工任务怎样分配给项加工任务怎样分配给n n台机床去完成，台机床去完成，可以使总费用最低；可以使总费用最低；（3 3）n n条航线，怎样指定条航线，怎样指定n n艘班轮去完成航行任艘班轮去完成航行任 务，可以使总运输费用最低；务，可以使总运输费用最低；。该类问题是运输问题的特殊形式，称为该类问题是运输问题的特殊形式，称为 指派问题。指派问题。（一）指派问题（一）指派问题（二）指派问题的基本特征（二）指派问题的基本特征性质性质：特殊的运输问题、特殊：特殊的运输问题、特殊0-1规划问题。规划问题。特征特征：（：（1）决策变量为）决策变量为0-1变量；变量；(2)发点数发点数m=收点数收点数n；（3）ai=bj=1i,j=1,2,n;（三）指派问题的基本模型（三）指派问题的基本模型 运输问题是任务分配问题的松弛问题运输问题是任务分配问题的松弛问题 任务分配问题不但是整数规划，而且是任务分配问题不但是整数规划，而且是0 0 1 1规划规划 任务分配问题有任务分配问题有2 2m m个约束条件，但有且只有个约束条件，但有且只有m m个非零解，个非零解，是自然是自然高度退化高度退化的的任务分配是任务分配是匹配问题匹配问题，有著名的，有著名的匈牙利算法匈牙利算法任务分配问题模型特征：二、匈牙利法、基本思想、基本思想：（1 1）匈牙利法基于任务分配问题的标准型，应满足三个条匈牙利法基于任务分配问题的标准型，应满足三个条件件：目标函数要求目标函数要求minmin；效率矩阵效率矩阵a aijij为方阵为方阵;效率阵中所有元素效率阵中所有元素a aijij且为常数且为常数定理定理 1（构造等效矩阵）（构造等效矩阵）如果从效率矩阵如果从效率矩阵aijm m中每行元素分中每行元素分别减去一个常数别减去一个常数 ui，从每列元素分别减去一个常数，从每列元素分别减去一个常数 vj，所得所得新的效率矩阵新的效率矩阵bijm m的任务分配问题的最优解等价于原问题的任务分配问题的最优解等价于原问题的最优解。的最优解。证明：证明：定理定理 2 若方阵中一部分元素为零，一部分元素非零，则覆盖方若方阵中一部分元素为零，一部分元素非零，则覆盖方阵内所有零元素的最少直线数等于位于不同行、不同列的零阵内所有零元素的最少直线数等于位于不同行、不同列的零元素的最多个数。元素的最多个数。证明：略证明：略（）（）基本思路：基本思路：根据根据定理定理 1 变换效率矩阵，使矩阵中有足够多的零。若变换效率矩阵，使矩阵中有足够多的零。若矩阵中存在矩阵中存在 m 个不同行不同列的零，就找到了最优解个不同行不同列的零，就找到了最优解若覆盖变换后的效率矩阵零元素的直线少于若覆盖变换后的效率矩阵零元素的直线少于m 条，就尚条，就尚未找到最优解，设法进一步变换矩阵，增加新的零未找到最优解，设法进一步变换矩阵，增加新的零（）匈牙利定理引例：引例：有四个熟练工人，他们都是多面手，有四项任务要他有四个熟练工人，他们都是多面手，有四项任务要他们完成。若规定每人必须完成且只完成一项任务，而每们完成。若规定每人必须完成且只完成一项任务，而每人完成每项任务的工时耗费如下表，问如何分配任务使人完成每项任务的工时耗费如下表，问如何分配任务使完成四项任务的总工时耗费最少？完成四项任务的总工时耗费最少？、计算步骤第一步第一步建立等效矩阵建立等效矩阵(行变换和列变换行变换和列变换)使等效矩阵每一行和每一列都至少有使等效矩阵每一行和每一列都至少有1个个0第二步第二步（最优解检验）检查覆盖所有零元素的直线是否为最优解检验）检查覆盖所有零元素的直线是否为m条条划线规则划线规则（1）逐行检查）逐行检查，若该行只有一个未标记的零，对其加，若该行只有一个未标记的零，对其加()标记，将标记，将()标记标记元素同列上其它的零打上元素同列上其它的零打上*标记。若该行没有或有二个以上未标记的零，标记。若该行没有或有二个以上未标记的零，暂不标记，转下一行检查，直到所有行检查完；暂不标记，转下一行检查，直到所有行检查完；（2）逐）逐列检查，列检查，若该列只有一个未标记的零，对其加若该列只有一个未标记的零，对其加()标记，将标记，将()标记标记元素同行上其它的零打上元素同行上其它的零打上*标记。若该标记。若该列没有或有二个以上未标记的零，列没有或有二个以上未标记的零，暂不标记，转下一列检查，直到所有列检查完；暂不标记，转下一列检查，直到所有列检查完；（3 3）重复）重复1 1、2 2后，可能出现三种情况：后，可能出现三种情况：a a、每行都有一个每行都有一个 (0)(0)，显然已找到最优解，令对应，显然已找到最优解，令对应(0)(0)位置的位置的 x xijij=1=1；b b、仍有零元素未标记，此时，一定存在某些行和列同、仍有零元素未标记，此时，一定存在某些行和列同时有多个零，称为时有多个零，称为僵局状态僵局状态（m m较大时可能出现）较大时可能出现），因，因为无法采用为无法采用 1 1、2 2 中的方法继续标记。中的方法继续标记。c c、所有零都已标记所有零都已标记，但标有，但标有()()的零的个数少于的零的个数少于m m；（4 4）打破僵局。）打破僵局。令未标记零对应的同行同列上其它未标记令未标记零对应的同行同列上其它未标记零的个数为该零的零的个数为该零的指数指数，选，选指数最小指数最小的先标记的先标记()()，划去，划去同行同列其他同行同列其他0 0元素（标注元素（标注*）；采用这种方法直至所有零）；采用这种方法直至所有零都被标记，或出现都被标记，或出现 情况情况 a a，或，或 情况情况 c c 。（5 5）出现）出现c c情况的处理方法（划线过程）情况的处理方法（划线过程）行表示人，列表示任务行表示人，列表示任务对没有标记对没有标记()()的行打的行打(没有安排任务没有安排任务)对打对打 行上所有其它零元素行上所有其它零元素0*0*对应的列打对应的列打 (任务被安排任务被安排)再对打再对打 列上有列上有()()标记的零元素对应的行打标记的零元素对应的行打 重复上面重复上面2 2、3 3步骤，直至无法继续步骤，直至无法继续对没有打对没有打 的行划横线的行划横线(已经安排任务已经安排任务)，对所有，对所有打打 的列的列划垂线划垂线(任务已经被安排任务已经被安排)划线后会出现两种情况：划线后会出现两种情况：(1)(1)标记标记()()的零少于的零少于m m个，但划有个，但划有 m m条直线，说明矩阵中已存在条直线，说明矩阵中已存在 m m 个不同个不同行不同列的零，但打破僵局时选择不行不同列的零，但打破僵局时选择不合理，没能找到。回到合理，没能找到。回到 b b 重新标记；重新标记；(2)(2)少于少于m m条直线，到条直线，到第三步第三步；打破僵局时选择不当的结果：打破僵局时选择不当的结果：结果仅出现结果仅出现 3 3 个标记个标记()()，但却划出，但却划出 4 4 条线，条线，说明什么？！说明什么？！第三步：进一步变换（继续构造第三步：进一步变换（继续构造0 0元素）元素）在未划线的元素中找在未划线的元素中找最小者最小者，设为，设为 对未被直线覆盖的各元素减去对未被直线覆盖的各元素减去 对两条直线交叉点覆盖的元素加上对两条直线交叉点覆盖的元素加上 只有一条直线覆盖的元素保持不变只有一条直线覆盖的元素保持不变以上步骤实际上仍是利用以上步骤实际上仍是利用 定理定理 1 1第四步：抹除所有标记，回到第二步，重新标记第四步：抹除所有标记，回到第二步，重新标记；所有未画横线的行都减去这所有未画横线的行都减去这个最小元素个最小元素所有画竖线的列都加上这个所有画竖线的列都加上这个最小元素最小元素基本步骤：答：最优分配方案为答：最优分配方案为x13=x21=x34=x42=1，其余为，其余为0，即甲即甲C，乙，乙A，丙，丙D，丁，丁B，OBJ=20课堂练习：课堂练习：某商业公司设计开办五家新闻商店 。为了尽早建成营业，商业公司通知了 五个建筑公司，以便让每家新商店由一个建筑公司承建。建筑公司对新商店 的建造费用的投标为 均见表7-9。商业公司应当对五家建筑公司怎样分配建造任务，才能使总建造费用最少？48715127917141069128767146106912106对各行元素分别减去本行的最小元素，对各列也如此，得对各行元素分别减去本行的最小元素，对各列也如此，得 利用匈牙利法求得最优解为：利用匈牙利法求得最优解为：总的建设费用最少为总的建设费用最少为3434万元万元3、不规范形式的转化要求所有要求所有a aij ij 0 0若某些若某些 a aij ij 00 ，则利用定理，则利用定理 1 1 进行变换，使所进行变换，使所有有 b bij ij 0 0目标函数为目标函数为minmin型型对于对于maxmax型目标函数，将效率矩阵中所有型目标函数，将效率矩阵中所有 a aij ij 反号，反号，则等效于求则等效于求minmin型问题；再利用定理型问题；再利用定理 1 1 进行变换，进行变换，使所有使所有 b bij ij 0 0，则可采用上述算法，则可采用上述算法三、三、一般的指派问题一般的指派问题 1 1、最大化指派问题、最大化指派问题设设最最大大化化指指派派问问题题系系数数矩矩阵阵，其其中中最最大大元元素素为为。令令矩矩阵阵，则则以以B为为系系数数矩矩阵阵的的最最小小指指派派问问题题和和以以A为为系系数数矩矩阵阵的的原原最最大大化化指指派派问问题题有有相相同最优解。同最优解。例例7-11矩阵矩阵的最大元素为的最大元素为，取，取，求出，求出B矩阵矩阵 则则以以B B为为系系数数矩矩阵阵的的最最小小化化指指派派问问题题和和以以A A为为系系数数矩矩阵的最大化指派问题有相同最优解。阵的最大化指派问题有相同最优解。当当系系数数矩矩阵阵为为利利润润矩矩阵阵、产产量量矩矩阵阵等等时时，就就产产生生最最大化指派问题。大化指派问题。2、人数和事数不等的指派问题 若若人人少少事事多多，则则添添上上一一些些虚虚拟拟的的“人人”。这这些些虚虚拟拟的的“人人”做做各各事事的的费费用用系系数数可可取取0 0（理理解解为为这这些些费费用用实实际际上上不不会会发发生生），也也可可取取足足够够的的数数M M（理理解解为为指指派派这这些些虚虚拟拟的的“人人”去做那些事，则那些事实际上没人去做）。去做那些事，则那些事实际上没人去做）。若若人人多多事事少少，则则添添上上一一些些虚虚拟拟的的“事事”，这这些些“事事”被各人做的费用系数同样可取被各人做的费用系数同样可取0 0，也可取足够大的数，也可取足够大的数M M。3、一个人可做几件事的指派问题 m m若某事一定不能由某人做，则可将相应的费用系数取若某事一定不能由某人做，则可将相应的费用系数取作足够大的数作足够大的数M M。若某人可做几件事，则可将该人化作相同的几个若某人可做几件事，则可将该人化作相同的几个“人人”来接受指派，这几个来接受指派，这几个“人人”做同一件事的费用系数当做同一件事的费用系数当然都一样。然都一样。4 4、某事一定不能由某人做的指派问题、某事一定不能由某人做的指派问题例例7-127-12 对于课堂练习的指派问题，为了加快建造速度，经研究决定，舍弃建筑公司 和 ，而让技术力量较强的建筑公司 和 来承建。根据实际情况，可以允许每家建筑公司承建一个或两个商店。求使总费用最少的指派方案。反映投标费用的系数矩阵为 由由于于每每家家建建筑筑公公司司最最多多可可承承建建两两个个新新商商店店，因因此此，把把每每家家建建筑筑公公司司化化作作相相同同的的两两家家（和和）。这这样样系数矩阵为：系数矩阵为：现在，用匈牙利解法求最优指派方案如下：现在，用匈牙利解法求最优指派方案如下：从最后的矩阵已能确定最优解。从表面看，似乎有6个最优解，但根据问题的特殊性，它们都是相同的，即 所以，最优指派方案是总的建造费用最省，是4+7+9+8+7=35万元。31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。黑格尔32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。普列姆昌德33、希望是人生的乳母。科策布34、形成天才的决定因素应该是勤奋。郭沫若35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。洛克