力学竞赛辅导课件

一一.质点运动学质点运动学二二.静力学静力学三三.牛顿运动定律牛顿运动定律四四.动量与能量动量与能量五五.角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律六六.万有引力与天体运动万有引力与天体运动七七.简谐振动简谐振动一.质点运动学力学竞赛辅导一.质点运动学1 1质点运动的一般描述质点运动的一般描述1.1 1.1 运动方程与轨道方程运动方程与轨道方程轨道方程轨道方程运动方程运动方程P(x,y)xOyxy1质点运动的一般描述1.1 运动方程与轨道方程轨道方程运动1.2 1.2 速度速度 反映质点运动的快慢和方向的物理量反映质点运动的快慢和方向的物理量 瞬时速度沿轨道切线方向瞬时速度沿轨道切线方向 1.2 速度 反映质点运动的快慢和方向的物理量 瞬时速度沿轨1.3 1.3 加速度加速度 反映速度（大小和方向）反映速度（大小和方向）变化快慢的物理量变化快慢的物理量 加速度与速度的方向一般不同。加速度与速度的方向一般不同。xOzyvA vvBABrArBvAvB(a)(b)1.3 加速度 反映速度（大小和方向）变化快 gyv0Ox2.2.抛体运动抛体运动 速度：速度：运动方程：运动方程：轨道方程：轨道方程：gyv0Ox2.抛体运动 速度：运动方程：轨道方程推论推论 gyv0Ox推论 gyv0Ox甲乙sh甲乙sh力学竞赛辅导课件3.1 3.1 圆周运动的加速度圆周运动的加速度RPxOP0s 0n0avaan3.3.圆周运动圆周运动3.1 圆周运动的加速度RPxOP0s0n0avaan33.2 3.2 圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述 角位置：角位置：=(t)角速度角速度:角加速度角加速度:3.3 3.3 角量和线量的关系角量和线量的关系 RPxO P0s3.2 圆周运动的角量描述 角位置：=(t)角速度:角xySOPrr04.4.相对运动相对运动4.1 4.1 运动描述与参照系：运动描述与参照系：对物体运动的描述与参照系对物体运动的描述与参照系有关有关位移、速度、加速度的测量与参照系有关。位移、速度、加速度的测量与参照系有关。4.2 4.2 不同参照系间位移、速度和加速度的变换不同参照系间位移、速度和加速度的变换 绝对速度绝对速度=牵连速度牵连速度+相对速度相对速度xySOPrr04.相对运动4.1 运动描述与参照系：对物体a ana1.1.一般曲线运动一般曲线运动1.1 1.1 一般曲线运动中的加速度一般曲线运动中的加速度aana1.一般曲线运动1.1 一般曲线运动中的加速度（1.2 1.2 曲率半径的物理求法曲率半径的物理求法椭圆的曲率半径：椭圆的曲率半径：AByxOab轨道方程：轨道方程：对应运动方程：对应运动方程：A点：点：同理：同理：1.2 曲率半径的物理求法椭圆的曲率半径：AByxOab轨道抛物线的曲率半径：抛物线的曲率半径：yxO轨道方程：轨道方程：对应运动方程：对应运动方程：其中：其中：抛物线的曲率半径：yxO轨道方程：对应运动方程：其中：2.2.连体运动问题连体运动问题解题方法一：解题方法一：运动的分解运动的分解情形情形1 1：两物体通过刚性细杆或不可伸长的绳子相连，两物体通过刚性细杆或不可伸长的绳子相连，他们在连线方向的位移、速度和加速度相等。他们在连线方向的位移、速度和加速度相等。v2v1情形情形2 2：两刚性物体接触点的速度沿法向分量相等。两刚性物体接触点的速度沿法向分量相等。v1v22.连体运动问题解题方法一：运动的分解情形1：两物体通过刚情形情形3：两直线相交点的运动等于各直线沿对方直两直线相交点的运动等于各直线沿对方直线方向运动的合运动：线方向运动的合运动：Pv1v2v1v2情形3：两直线相交点的运动等于各直线沿对方直线方向运动的合运hv0v0v|解：解：hv0v0v|解：Pv0vP例例1.2 如如图图示示，一一半半径径为为R的的半半圆圆柱柱体体沿沿水水平平方方向向以以速速度度v0作作匀匀速速运运动动。求求杆杆与与半半圆圆柱柱体体的的接接触触点点P的的角位置为角位置为 时竖直杆运动的速度。时竖直杆运动的速度。解：解：ROPv0vP例1.2 如图示，一半径为R的半圆柱体沿水平方例例1.3 水水平平直直杆杆AB在在半半径径为为R的的固固定定圆圆圈圈上上以以匀匀速速v0竖竖直直下下落落，如如图图所所示示，试试求求套套在在该该直直线线和和圆圆圈圈的的交点处小环交点处小环M的速度。的速度。OM Rv0v0v2v1v0解：解：例1.3 水平直杆AB在半径为R的固定圆圈上以匀速v0竖直A对对B：解题方法二：解题方法二：运动的合成（相对运动）运动的合成（相对运动）一个物体同时参与两种运动实质上是参照系的转换：一个物体同时参与两种运动实质上是参照系的转换：B对地：对地：A对地：对地：A对B：解题方法二：运动的合成（相对运动）一个物体同时参与两例例1.4 如如图图，缠缠在在线线轴轴上上的的绳绳子子一一头头搭搭在在墙墙上上的的光光滑滑钉钉子子A上上。今今以以恒恒定定速速度度v拉拉绳绳，当当绳绳与与竖竖直直方方向向夹夹角角为为 时时，求求线线轴轴中中心心O的的运运动动速速度度v。设设线线轴轴的的外外半半径径为为R，内内半半径径为为r，线线轴轴沿沿水水平平面面作作无无滑滑动动滚滚动。动。ABCrROv例1.4 如图，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子A上。解：解：情况情况1：线轴座逆时针方向转动。设转动角速度为线轴座逆时针方向转动。设转动角速度为。ABCrROvvOB点相对于地面的速度：点相对于地面的速度：B点相对点相对O的速度大小：的速度大小：vB沿绳子方向的分量与沿绳子方向的分量与v相等：相等：.（1）线轴与地面无滑动：线轴与地面无滑动：.（2）联立（立（1）、（）、（2）得）得:.（3）由式（由式（3）可知，情况）可知，情况1出出现的条件的条件为：解：情况1：线轴座逆时针方向转动。设转动角速度为。AB情况情况2：线轴座顺时针方向转动。同理可得：线轴座顺时针方向转动。同理可得：出出现情况情况2的条件的条件为：ABCrROvvO情况2：线轴座顺时针方向转动。同理可得：出现情况2的条件为：例例1.5 续例续例1.1，求重物上升的加速度。，求重物上升的加速度。hv0vv|O例1.5 续例1.1，求重物上升的加速度。hv0vv以地面为参照系，以地面为参照系，A的加速度的加速度以以O点为参照系，点为参照系，绳子末端绳子末端A作圆周运动，其加作圆周运动，其加速度沿绳子方向的分量，即向心加速度大小为速度沿绳子方向的分量，即向心加速度大小为解：解：以地面为参照系，A的加速度以O点为参照系，绳子末端A作圆周运例例1.6 续例续例1.2，求竖直杆运动的加速度。，求竖直杆运动的加速度。PRO以圆心以圆心O为参照系，为参照系，P点作圆周运动，点作圆周运动，其速度大小为：其速度大小为：P点相当于地面的加速度：点相当于地面的加速度：向心加速度：向心加速度：vP例1.6 续例1.2，求竖直杆运动的加速度。PRO以圆心关键：关键：找出各物体间位移间的关系，进而得到速找出各物体间位移间的关系，进而得到速度度、加速度之间的关系。加速度之间的关系。解题方法三：解题方法三：微积分微积分关键：找出各物体间位移间的关系，进而得到速度、加速度之间的关yh xv0yh xv0解：解：解：Pv0vP例例1.8 如如图图示示，一一半半径径为为R的的半半圆圆柱柱体体沿沿水水平平方方向向以以速速度度v0作作匀匀速速运运动动。求求杆杆与与半半圆圆柱柱体体的的接接触触点点P的的角位置为角位置为 时竖直杆运动的速度和加速度。时竖直杆运动的速度和加速度。yRxOAPv0vP例1.8 如图示，一半径为R的半圆柱体沿水平方向解：解：解：例例1.9 水水平平直直杆杆AB在在半半径径为为R的的固固定定圆圆圈圈上上以以匀匀速速v0竖竖直直下下落落，如如图图所所示示，试试求求套套在在该该直直线线和和圆圆圈圈的的交点处小环交点处小环M的速度和加速度。的速度和加速度。OMRv0v0 xy例1.9 水平直杆AB在半径为R的固定圆圈上以匀速v0竖直解：解：解：1.两辆汽车的挡风玻璃与水平方向的夹角分别两辆汽车的挡风玻璃与水平方向的夹角分别为为 。冰雹竖。冰雹竖直下落，打在玻璃上，两司机都看到冰雹从玻直下落，打在玻璃上，两司机都看到冰雹从玻璃上反弹后竖直向上运动，求两车速率之比。璃上反弹后竖直向上运动，求两车速率之比。（假设碰撞前后相对速度遵循反射定律）（假设碰撞前后相对速度遵循反射定律）1.两辆汽车的挡风玻璃与水平方向的夹角分别为 2.如图所示，一串相同的汽车以等速如图所示，一串相同的汽车以等速v沿宽度为沿宽度为c的的直公路行驶，每车宽为直公路行驶，每车宽为b，头尾间距为，头尾间距为a，则人能以，则人能以最小速率沿一直线穿过马路所用时间为多少？最小速率沿一直线穿过马路所用时间为多少？vV-vu相对速度：相对速度：V牵连速度：牵连速度：v绝对速度：绝对速度：u2.如图所示，一串相同的汽车以等速v沿宽度为c的直公路行驶13 在掷铅球时，铅球出手时距地面的高度在掷铅球时，铅球出手时距地面的高度为为h，若出手时速度为，若出手时速度为v0，求以何角度掷球时，求以何角度掷球时，水平射程最远？最远射程为多少？水平射程最远？最远射程为多少？gyv0Oxh(-h,x)13 在掷铅球时，铅球出手时距地面的高度为h，若出手时速度vtvy=gtv0vtvy=gtv0ABCvABCO14A、B、C三只三只猎犬站立的位置构成一个犬站立的位置构成一个边长为a的正三角形，每只的正三角形，每只猎犬追捕犬追捕猎物的速度均物的速度均为v，A犬想追捕犬想追捕B犬，犬，B犬想追捕犬想追捕C犬，犬，C犬想追捕犬想追捕A犬，犬，为追捕到追捕到猎物，物，猎犬不断犬不断调整方向，速度方向整方向，速度方向始始终“盯”住住对方，它方，它们同同时起起动，经多多长时间可捕可捕捉到捉到猎物？物？ABCvABCO14A、B、C三只猎犬站立的位置构成一个ABCvvv解法二：在解法二：在AB连线上，相对距离为连线上，相对距离为a，相对速度为，相对速度为vA对对B。解法三解法三：设在一个极短的时间设在一个极短的时间t内，内，猎犬做匀速直线运动，正三角形边猎犬做匀速直线运动，正三角形边长依次变为长依次变为a1、a2、a3、an。ABCvvv解法二：在AB连线上，相对距离为a，相对速度为v15一只狐狸以不一只狐狸以不变的速度的速度v1沿着直沿着直线AB逃跑，一逃跑，一只只猎犬以不犬以不变的速率的速率v2追追击，其运，其运动方向始方向始终对准狐准狐狸。某狸。某时刻狐狸在刻狐狸在F处，猎犬在犬在D处，FD AB，且，且FD=L，如，如图所示，求所示，求猎犬的加速度的大小。犬的加速度的大小。15一只狐狸以不变的速度v1沿着直线AB逃跑，一只猎犬以不二.静力学1.1.摩擦角摩擦角1 1）全全反反力力:接接触触面面上上弹弹力力和和摩摩擦擦力力的的合合力力称称为为全全反反力，也叫约束反力。力，也叫约束反力。NRf2）摩擦角：全反力与界面法线方向所成的最大夹）摩擦角：全反力与界面法线方向所成的最大夹角叫摩擦角。角叫摩擦角。GRR1.摩擦角1）全反力:接触面上弹力和摩擦力的合力称为全反力，2.2.刚体平衡条件（一般物体的平衡条件）刚体平衡条件（一般物体的平衡条件）1 1）物体受力的矢量和为零：）物体受力的矢量和为零：2 2）对矩心的合力矩为零）对矩心的合力矩为零重要推论：重要推论：刚刚体体受受三三个个非非平平行行力力作作用用而而平平衡衡时时，此此三三个个力力的的合合力力为为零零，而而且且这这三三个个力力的的力力线线（含含延延长长线线）相相交于一点。交于一点。2.刚体平衡条件（一般物体的平衡条件）1）物体受力的矢量和为3.3.刚体平衡的稳定性刚体平衡的稳定性 满满足足平平衡衡条条件件的的刚刚体体，若若受受到到扰扰动动，便便离离开开平平衡衡位位置置。若若它它会会自自动动回回到到平平衡衡位位置置，则则称称为为稳稳定定平平衡衡；若若它它会会更更远远离离平平衡衡位位置置，则则称称为为不不稳稳定定平平衡衡；若若平平衡衡位位置置的的周周围围仍仍是是平平衡衡位位置置，则则称称为为随遇平衡随遇平衡。稳定平衡稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡随遇平衡随遇平衡3.刚体平衡的稳定性 满足平衡条件的刚体，若受到扰动，yxCO4.4.质心质心 yxCO4.质心 5 5质心运动定理质心运动定理 系统质心加速度的大小与于所受的合外力大小系统质心加速度的大小与于所受的合外力大小成正比，与系统的总质量成反比，加速度的方向沿成正比，与系统的总质量成反比，加速度的方向沿合外力的方向。合外力的方向。内力不影响系统质心的运动。内力不影响系统质心的运动。5质心运动定理 系统质心加速度的大小与于所力学竞赛辅导课件力学竞赛辅导课件例例2.1 匀匀质质杆杆OA重重P1，长长为为l1，能能在在竖竖直直平平面面内内绕绕固固定定铰铰链链O转转动动，此此杆杆的的A端端用用铰铰链链连连另另一一重重为为P2、长长为为l2的的均均匀匀杆杆AB，在在AB杆杆的的B端端加加一一水水平平力力F。求求平平衡衡时时此此两两杆杆与与水水平平线线所所成成的的角角度度 与与 的的大大小小，以及以及OA与与AB间的作用力。间的作用力。P1P2FOAB例2.1 匀质杆OA重P1，长为l1，能在竖直平面内绕固定铰解：解：以以AB为研究研究对象，有象，有（1）以以OA+AB为研究研究对象，有象，有P1P2FOAB解：以AB为研究对象，有（1）以OA+AB为研究对象，有P1以以AB为研究研究对象，其所受的合力象，其所受的合力为零，因此零，因此（2）P2FABNN 的方向与水平的方向与水平线的的夹角角 满足：足：以AB为研究对象，其所受的合力为零，因此（2）P2FABN力学竞赛辅导课件PiPi-1Bi-1Ai-1AiP1P6mgB6A6A1C解：解：设任一小突起任一小突起Ai对其的其的压力力为Pi，则（i=2 6）考考虑薄片薄片A6B6，根据力矩平衡条件可得，根据力矩平衡条件可得PiPi-1Bi-1Ai-1AiP1P6mgB6A6A1C解例例2.3 用用20块块质质量量均均匀匀分分布布的的相相同同光光滑滑积积木木块块，在在光光滑滑水水平平面面上上一一块块叠叠一一块块地地搭搭成成单单孔孔桥桥，如如图图所所示示。已已知知每每一一积积木木块块的的长长度度为为l，横横截截面面是是边边长长为为hl/4的的正正方方形形。要要求求此此桥桥具具有有最最大大跨跨度度（即即桥桥孔孔底宽）。试计算跨度与桥孔高度的比值。底宽）。试计算跨度与桥孔高度的比值。HhlL例2.3 用20块质量均匀分布的相同光滑积木块，在光滑水平123410解：解：123410解：例例2.4 有有一一半半径径为为R的的圆圆柱柱A，静静止止在在水水平平地地面面上上，并并与与竖竖直直墙墙面面相相接接触触。现现有有另另一一质质量量与与A相相同同，半半径径为为r的的较较细细圆圆柱柱B，用用手手扶扶着着圆圆柱柱A，将将B放放在在A的的上上面面，并并使使之之与与墙墙面面相相接接触触，如如图图所所示示，然然后后放放手手。己己知知圆圆柱柱A与与地地面面的的静静摩摩擦擦系系数数为为0.20，两两圆圆柱柱之之间间的的静静摩摩擦擦系系数数为为0.30。若若放放手手后后，两两圆圆柱柱体体能能保保持持图图示示的的平平衡衡，问问圆圆柱柱B与与墙墙面面间间的的静静摩摩擦擦系系数数和和圆圆柱柱B的的半半径径的的值值各各应满足什么条件？应满足什么条件？BArR例2.4 有一半径为R的圆柱A，静止在水平地面上，并与竖直墙 对A球：球：对B球：球：解：解：联立（立（1）（6）解得：）解得：（1）（2）（3）（4）（5）（6）对A球：对B球：解：联立（1）（6）解得：（1）（4）圆柱柱B与与墙面的接触点不面的接触点不发生滑生滑动：圆柱柱A在地面上不在地面上不发生滑生滑动：两两圆柱的接触点不柱的接触点不发生滑生滑动：综合上述合上述结果，可得到果，可得到r满足的条件：足的条件：圆柱B与墙面的接触点不发生滑动：圆柱A在地面上不发生滑动：两三.牛顿运动定律（一）基本知识第一定律：第一定律：定性反映了物体的运动与其受力之间定性反映了物体的运动与其受力之间的关系，引入惯性参照系的概念。的关系，引入惯性参照系的概念。第二定律：第二定律：定量性反映了物体的运动规律与其受定量性反映了物体的运动规律与其受力之间的关系：力之间的关系：第三定律：第三定律：反映了力的来源：力来自物体间的相反映了力的来源：力来自物体间的相互作用。互作用。正是由于物体间的相互作用使得物体的运动状正是由于物体间的相互作用使得物体的运动状态不断发生改变，使得自然界不断地变化发展。态不断发生改变，使得自然界不断地变化发展。1牛顿运动定律牛顿运动定律第一定律：定性反映了物体的运动与其受力之间的关系，引入惯性参2自然界中的力自然界中的力2.1 2.1 万有引力万有引力mMFr 任何物体之间都存在的相互吸引力：任何物体之间都存在的相互吸引力：2自然界中的力2.1 万有引力mMFr 任何2.2 2.2 重力：重力：使物体产生重力加速度的力。使物体产生重力加速度的力。重力来源于地球对物体的引力，若忽略地球的重力来源于地球对物体的引力，若忽略地球的惯性离心力，则惯性离心力，则重力加速度与物体质量无关重力加速度与物体质量无关2.2 重力：使物体产生重力加速度的力。重力来源于地球对物2.3 2.3 弹弹力力：物物体体由由于于形形变变而而对对引引起起形形变变的的物物体体产产生的作用力。生的作用力。2.4 2.4 摩摩擦擦力力：相相互互接接触触的的物物体体间间产产生生的的一一对对阻阻止止相相对运动或相对运动趋势的力。对运动或相对运动趋势的力。滑动摩擦力滑动摩擦力：摩擦力总是阻止摩擦力总是阻止相对运动。相对运动。（在弹性范围内）（在弹性范围内）弹簧：弹簧：2.3 弹力：物体由于形变而对引起形变的物体产生的作用力。2（二）拓展知识接触面接触面:沿法线方向沿法线方向N1关于弹力关于弹力1.1 1.1 弹力的大小弹力的大小微小形变微小形变 微小振动为简谐振动微小振动为简谐振动1.2 1.2 弹力的方向弹力的方向:弹力的方向总是与形变方向相反弹力的方向总是与形变方向相反.杆：杆：较复杂较复杂绳子：绳子：沿绳子方向沿绳子方向TFFnF 接触面:沿法线方向N1关于弹力1.1 弹力的大小微小形变 1.3 1.3 弹簧的串联与并联弹簧的串联与并联Fk1k2k1k2F 1.3 弹簧的串联与并联Fk1k2k1k2F2关于摩擦力关于摩擦力2.1 2.1 摩擦力的大小摩擦力的大小 两接触物体相对滑动的条件：两接触物体相对滑动的条件：fs=N无滑动：无滑动：决定于物体的运动和所受的其他力：决定于物体的运动和所受的其他力：有滑动：有滑动：摩擦力的方向总是沿接触面切线方向。摩擦力的方向总是沿接触面切线方向。2.2 2.2 摩擦力的方向摩擦力的方向Nf无滑动：无滑动：决定于物体的运动和所受的其他力：决定于物体的运动和所受的其他力：有滑动：有滑动：与与相对运动速度相对运动速度方向相反。方向相反。2关于摩擦力2.1 摩擦力的大小 两接触物体相对滑动的条件2.3 2.3 摩擦力的作用时间摩擦力的作用时间可能有两种情况：可能有两种情况：hvMmV0V0v0=02.3 摩擦力的作用时间可能有两种情况：hvMmV0V0v解：解：解：力学竞赛辅导课件解：解：解：hvMmV0 例例3.3 一一质量量为M的的平平板板沿沿光光滑滑水水平平面面以以速速度度V0运运动。质量量为m的的小小球球从从h处落落下下，与与平平板板发生生碰碰撞撞后后弹起起，已已知知小小球球弹起起时沿沿竖直直方方向向的的分分速速度度大大小小与与碰碰撞撞前前速速度度大大小小之之比比为e，球球与与平平板板间的的摩摩擦擦系系数数为。求小球碰撞后的速度与水平方向的。求小球碰撞后的速度与水平方向的夹角。角。hvMmV0 例3.3 一质量为M的平板沿光滑水平面以速解：解：情况情况1：tf=tN tf=tN的条件：的条件：vx V，即，即hvMmvxvyV解：情况1：tf=tNtf=tN的条件：vx情况情况2：tf tN tf tN的条件：的条件：hvMmvxvyV情况2：tf tNtf tN的条件：hvM3.3.非惯性参照系的动力学问题非惯性参照系的动力学问题惯性系惯性系:牛牛顿顿定定律律成成立立的的参参考考系系。一一切切相相对对于于惯惯性性系系作作匀速直线运动的参考系也是惯性系。匀速直线运动的参考系也是惯性系。非惯性系非惯性系:相相对对于于惯惯性性系系作作加加速速运运动动的的参参考考系系。在在非非惯惯性性系内牛顿定律不成立。系内牛顿定律不成立。3.1 3.1 惯性参照系与非惯性参照系惯性参照系与非惯性参照系 3.2 3.2 非惯性参照系中的牛顿第二定律非惯性参照系中的牛顿第二定律 3.非惯性参照系的动力学问题惯性系:牛顿定律成立的参考系。mMmMmgN1xyYX解：解：mgN1xyYX解：例例3.5 在在光光滑滑的的水水平平桌桌面面上上有有质质量量为为m的的小小车车C，车车上上有有质质量量为为4m和和m的的立立方方块块A和和B，它它们们与与小小车车表表面面之之间间的的摩摩擦擦系系数数=0.5。今今用用一一恒恒力力F 沿沿水水平平方方向向作作用在滑轮上。求用在滑轮上。求A、B、C的加速度。的加速度。mm4mFABC 例3.5 在光滑的水平桌面上有质量为m的小车C，车上有质解：解：AF/2fABF/2fB第一种情况：第一种情况：A、B与小与小车间均无相均无相对滑滑动。A、B与小与小车间无相无相对滑滑动的条件：的条件：解：AF/2fABF/2fB第一种情况：A、B与小车间均无相BF/2fBmm4mFABCBF/2fBmm4mFABCmm4mFABCmm4mFABC结论：结论：结论：AOaAOaO解：解：无滑无滑动条件：条件：f NO解：无滑动条件：fN为使大、小使大、小环间始始终无滑无滑动，以上不等式，以上不等式对任意任意 都要成立。因此都要成立。因此令令为使大、小环间始终无滑动，以上不等式对任意 都要成立。因此mmv0M例例3.7 如如图图所所示示，长长为为2l的的轻轻绳绳，两两端端各各系系一一个个质质量量为为m的的小小球球，中中央央系系一一个个质质量量为为M的的小小球球，三三球球均均静静止止于于光光滑滑的的水水平平桌桌面面上上，绳绳处处于于拉拉直直状状态态，三三球球在在一一条条直直线线上上。今今给给小小球球M以以一一个个冲冲量量，使使它它获得水平速度获得水平速度v0，v0的方向与绳垂直。求：的方向与绳垂直。求：（1）M刚受冲量时绳上的张力；刚受冲量时绳上的张力；（2）在两端的小球发生碰撞前瞬间绳中的张力。）在两端的小球发生碰撞前瞬间绳中的张力。mmv0M例3.7 如图所示，长为2l的轻绳，两端各系一个解：解：（1）以以M为为参参照照系系，m绕绕M作作以以速速度度v0作作圆圆周周运运动动。M刚刚受受冲冲量量时时，绳绳子子对对M的的作作用用合合力力为为零零，M为为惯性参照系，因此惯性参照系，因此（2）mmv0MT1T1M解：（1）以M为参照系，m绕M作以速度v0作圆周运动。M刚受以以M为为参参照照系系，m绕绕M以以速速度度v 作作圆圆周周运运动动。此此时时M有有加加速度速度aM，为非惯性参照系。为非惯性参照系。MM以M为参照系，m绕M以速度v 作圆周运动。此时M有加速度a四:动量和能量一、动量与冲量1.动量：动量：动量是状态量；动量是状态量；动量是矢量：动量的方向就是速度的方向；动量是矢量：动量的方向就是速度的方向；动量与动能之间的互换式：动量与动能之间的互换式：2.冲量：冲量：冲量是过程量：反映力的时间积累效应；冲量是过程量：反映力的时间积累效应；冲量是矢量：冲量的方向由力的方向决定；冲量是矢量：冲量的方向由力的方向决定；一、动量与冲量1.动量：2.冲量：*.变力的冲量t0ttiti+titFO力对时间的平均值力对时间的平均值 *.变力的冲量t0ttiti+titFO力对时间的平均值二、动量定理二、动量定理1.1.内内容容：物物体体所所受受合合外外力力的的冲冲量量等等于于物物体体动动量量的的变变化量。研究对象可以是单个物体，也可以是系统。化量。研究对象可以是单个物体，也可以是系统。2.2.表达式：表达式：3.3.定性应用：定性应用：4.4.定量计算：选对象，定过程，列方程。定量计算：选对象，定过程，列方程。二、动量定理1.内容：物体所受合外力的冲量等于物体动量的变化三、动量守恒定律三、动量守恒定律 系统不受外力或者受外力的合力为系统不受外力或者受外力的合力为0 0，则系统动量守恒。，则系统动量守恒。系统受外力，但外力远小于内力（如系统受外力，但外力远小于内力（如碰撞等），则系统动量守恒。碰撞等），则系统动量守恒。若系统在某一方向所受的合力的冲量若系统在某一方向所受的合力的冲量为零，则该方向动量守恒。为零，则该方向动量守恒。三、动量守恒定律 系统不受外力或者受外力的合力为0，则系统动*.动量定理、定理守恒定律与参考系动量定理、定理守恒定律与参考系动动量量定定理理、动动量量守守恒恒定定律律只只适适用用于于惯惯性参照系。性参照系。在在非非惯惯性性参参照照系系中中使使用用动动量量定定理理，需需计入惯性力的冲量；计入惯性力的冲量；在在非非惯惯性性参参照照系系中中，动动量量守守恒恒定定律律的的适适用用条条件件为为外外力力与与惯惯性性力力的的合合力力为为零零.。*.动量定理、定理守恒定律与参考系动量定理、动量守恒定律只适四、碰撞四、碰撞四、碰撞（1 1）弹性碰撞：）弹性碰撞：e=1e=1,（2 2）完全非弹性碰撞：）完全非弹性碰撞：e=0,e=0,（1）弹性碰撞：e=1,（2）完全非弹性碰撞：e=0,力学竞赛辅导课件五、动能定理五、动能定理1.1.质点的动能定理：质点的动能定理：文字表述：文字表述：合外力对物体做的总功等于物体合外力对物体做的总功等于物体动能的变化量。动能的变化量。2 2质点组的动能定理质点组的动能定理文字表述：文字表述：外力做的功和内力做功之和等于外力做的功和内力做功之和等于质点组（系统）动能的变化量。质点组（系统）动能的变化量。五、动能定理1.质点的动能定理：文字表述：合外力对物体做六、势能六、势能1.1.保守力：保守力：做功只与物体的始、末位置有做功只与物体的始、末位置有关，而与物体的运动路径无关的力。关，而与物体的运动路径无关的力。3.特点：特点：系统共有，相对值，位置的函数系统共有，相对值，位置的函数重力势能重力势能:弹力势能弹力势能:引力势能引力势能:六、势能1.保守力：做功只与物体的始、末位置有关，而与物体的七、功能原理七、功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律1.1.功能原理功能原理2.2.机械能守恒定律机械能守恒定律封闭保守系统：封闭保守系统：七、功能原理 机械能守恒定律1.功能原理2.机械能守恒定律yxCO1.1.质心质心 八、质心运动定理八、质心运动定理yxCO1.质心 八、质心运动定理2 2质心运动定理质心运动定理 系统质心加速度的大小与于所受的合外力大小系统质心加速度的大小与于所受的合外力大小成正比，与系统的总质量成反比，加速度的方向沿成正比，与系统的总质量成反比，加速度的方向沿合外力的方向。合外力的方向。内力不影响系统质心的运动。内力不影响系统质心的运动。2质心运动定理 系统质心加速度的大小与于所九、柯尼希定理九、柯尼希定理质点系动能等于质心动能与体系相对于质心系的动质点系动能等于质心动能与体系相对于质心系的动能之和。此结论称为能之和。此结论称为柯尼希定理柯尼希定理。特别地：特别地：两质点构成的质点系统的总动能为两质点构成的质点系统的总动能为推论：推论：质心参照系中两质点构成的质点系统的总质心参照系中两质点构成的质点系统的总动能为动能为九、柯尼希定理质点系动能等于质心动能与体系相对于质心系的动能 例例4.1 如如图所所示示，四四个个相相等等质量量的的质点点由由三三根根不不可可伸伸长的的绳子子依依次次连接接，置置于于光光滑滑水水平平面面上上，三三根根绳子子形形成成半半个个正正六六边形形保保持持静静止止。今今有有一一冲冲量量作作用用在在质点点A，并并使使这这个个质质点点速速度度变变为为u，方方向向沿沿绳向外，试求此瞬间质点绳向外，试求此瞬间质点D的速度的速度 uABCD 例4.1 如图所示，四个相等质量的质点由三根不可伸长的绳子ABCDI1I1I2I2I3I3I0uu1u2600600u：A的速度或的速度或B的速度在的速度在B、A连线方向的分量连线方向的分量u1：B或或C的速度在的速度在C、B连线方向的分量连线方向的分量u2：D的速度或的速度或C的速度在的速度在D、C连线方向的分量连线方向的分量ABCDI1I1I2I2I3I3I0uu1u2600600u解：解：B球：球：C球：球：D球：球：联立以上各式，解得：联立以上各式，解得：解：B球：C球：D球：联立以上各式，解得：力学竞赛辅导课件力学竞赛辅导课件解：解：解：根据（根据（1）（5）可得）可得根据（1）（5）可得mmOMmgNmmOMmgN解：解：（1）以上不等式有解：以上不等式有解：解：（1）以上不等式有解：即开始上升时，即开始上升时，即开始上升时，MmvRVMmvRV解：解：解：脱离球面的条件：脱离球面的条件：N0，则，则脱离球面的条件：N0，则MmROMmROMmOOyxyxsR解：解：MmOOyxyxsR解：五.角动量定理 角动量守恒定律 1 1力矩力矩 dOMFPr1力矩 dOMFPr质点对参考点质点对参考点O的角动量定义为：的角动量定义为：2 2质点的角动量质点的角动量mdOLvr质点对参考点O的角动量定义为：2质点的角动量mdOLvr3 3质点的角动量定理和角动量守恒定律质点的角动量定理和角动量守恒定律质点的角动量守恒质点的角动量守恒 角动量守恒，动量未必守恒角动量守恒，动量未必守恒 3质点的角动量定理和角动量守恒定律质点的角动量守恒 角4 4质点系的角动量定理和角动量守恒定律质点系的角动量定理和角动量守恒定律质点系的角动量守恒质点系的角动量守恒 内力不改变系统的总角动量内力不改变系统的总角动量4质点系的角动量定理和角动量守恒定律质点系的角动量守恒FmRFmR解：解：FmR解：FmR力学竞赛辅导课件例例5.2 如如图图所所示示，质质量量为为 m的的小小球球 B放放在在光光滑滑的的水水平平槽槽内内，现现以以一一长长为为 l的的细细绳绳连连接接另另一一质质量量为为m的的小小球球A，开开始始时时细细绳绳处处于于松松弛弛状状态态,A与与B相相距距为为l/2。球球A以以初初速速度度v0在在光光滑滑的的水水平平地地面面上上向向右右运运动动。当当A运运动动到到图图示示某某一一位位置置时时细细绳绳被被拉拉紧紧，试试求求B球球开开始始运运动动时速度时速度vB的大小。的大小。l/2lBAA300vAyvAxvBvA例5.2 如图所示，质量为 m的小球 B放在光滑的水平槽内，解：解：解：力学竞赛辅导课件m2mlAOlBBA12机械能守恒机械能守恒:角动量定理：角动量定理：（1）解：解：m2mlAOlBBA12机械能守恒:角动量定理：（1）对小球对小球1：同理对小球同理对小球2：.lOl22mgf11N1f2N2mg对小球1：同理对小球2：.lOl22mg .lOl22mgf11N1f2N2mg .lOl22mgf11N1f2N2mg 初速度的方向与水平线的夹角：初速度的方向与水平线的夹角：得任意得任意 t 时刻球时刻球2的位置坐标：的位置坐标：初速度的方向与水平线的夹角：球球2脱离细杆时，脱离细杆时，球2脱离细杆时，力学竞赛辅导课件解：解：（1）螺旋环的角动量：螺旋环的角动量：角动量守恒：角动量守恒：解：（1）螺旋环的角动量：角动量守恒：（2）根据角动量守恒和机械能守恒定律根据角动量守恒和机械能守恒定律解得：解得：（2）根据角动量守恒和机械能守恒定律解得：另解：另解：（1）另解：（2）（2）六.万有引力与天体运动1.1.开普勒三定律开普勒三定律第一定律：第一定律：行星围绕太阳运动的轨道为椭圆，太行星围绕太阳运动的轨道为椭圆，太阳在椭圆轨道的一个焦点上。阳在椭圆轨道的一个焦点上。第二定律：第二定律：行星与太阳的连线在相等的时间内扫行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积：过相等的面积：第三定律：第三定律：各行星绕太阳运动的周期平方与轨道各行星绕太阳运动的周期平方与轨道半长轴立方之比值相等：半长轴立方之比值相等：1.开普勒三定律第一定律：行星围绕太阳运动的轨道为椭圆，太阳2.2.万有引力与引力势能万有引力与引力势能2.1 2.1 万有引力万有引力2.2 2.2 引力势能引力势能2.万有引力与引力势能2.1 万有引力2.2 引力势能解解：rSr解：rSr例例6.2 地地球球和和太太阳阳的的质质量量分分别别为为m和和M，地地球球绕绕太太阳阳作作椭椭圆圆运运动动，轨轨道道的的半半长长轴轴为为a，半半短短轴轴为为b，如如图图所所示示。试试求求地地球球在在椭椭圆圆顶顶点点A、B、C三三点点的的运运动动速度大小及轨迹在速度大小及轨迹在A、B、C 三点的曲率半径。三点的曲率半径。MmACObaB例6.2 地球和太阳的质量分别为m和M，地球绕太阳作椭圆解：解：A、B两点：两点：MmvAAvCCObacaBvB解：A、B两点：MmvAAvCCObacaBvBA、C两点：两点：MmvAAvCCObacaBvBA、C两点：MmvAAvCCObacaBvB例例6.3 质质量量为为M的的宇宇航航站站和和对对接接上上的的质质量量为为m的的飞飞船船沿沿圆圆形形轨轨道道绕绕地地球球运运动动着着，其其轨轨道道半半径径是是地地球球半半径径的的n倍倍（n1.25）。某某一一瞬瞬时时，飞飞船船从从宇宇航航站站沿沿原原运运动动方方向向射射出出后后沿沿椭椭圆圆轨轨道道运运动动，其其最最远远点点到到地地心心的的距距离离为为8nR，求求质质量量m/M为为何何值值时时，飞船绕地球运行一周后正好与宇航站相遇？飞船绕地球运行一周后正好与宇航站相遇？mMM+mM0例6.3 质量为M的宇航站和对接上的质量为m的飞船沿圆形轨解：解：M+m：m：M+mM0unRmv1nR8nR解：M+m：m：M+mM0unRmv1nR8nR设设M的最近点到地心的距离为的最近点到地心的距离为x，则，则M：MM0v2nRx设M的最近点到地心的距离为x，则M：MM0v2nRxmMM0nRx8nRmMM0nRx8nR力学竞赛辅导课件MCmRr（1）解：解：MCmRr（1）解：设地球绕太阳作圆周运动，则设地球绕太阳作圆周运动，则（2）若）若MMS，则，则设地球绕太阳作圆周运动，则（2）若MMS，则七.简谐振动1 1简谐振动的基本概念简谐振动的基本概念1 1.1.1 简谐振动简谐振动的定义的定义物物体体在在运运动动过过程程中中所所受受的的合合力力与与离离开开平平衡衡位位置置的的位位移成正比而方向相反，即移成正比而方向相反，即则物体所作的运动为简谐振动。则物体所作的运动为简谐振动。1简谐振动的基本概念1.1 简谐振动的定义物体在运动过程中1 1.2.2 简谐振动简谐振动的运动方程的运动方程运动方程：运动方程：速度方程：速度方程：加速度方程：加速度方程：其中：其中：1.2 简谐振动的运动方程运动方程：速度方程：加速度方程：其1.3 1.3 简谐振动的特征量简谐振动的特征量周期和频率：周期和频率：位相与初相：位相与初相：t 时刻的位相时刻的位相:t+初相初相:振幅：振幅：A 位相是描述物体振动状态的物理量位相是描述物体振动状态的物理量1.3 简谐振动的特征量周期和频率：位相与初相：t 时刻的*周期和频率：由振动系统的固有性质决定：周期和频率：由振动系统的固有性质决定：*振幅和初相：由初始条件决定：振幅和初相：由初始条件决定：周期和频率：由振动系统的固有性质决定：振幅和初相：由M0M tPx O Axy振幅：振幅：旋转矢量的模旋转矢量的模A圆频率：圆频率：旋转矢量的角速度旋转矢量的角速度位相：位相：旋转矢量与旋转矢量与Ox轴的夹角轴的夹角t+1.4 1.4 简谐振动的旋转矢量表示简谐振动的旋转矢量表示 M0M tPx O Axy振幅：旋转矢量的模A1.42 2简谐振动的判别简谐振动的判别2.1 2.1 简谐振动的判据简谐振动的判据2.2 2.2 两种常见的简谐振动两种常见的简谐振动 1 1）弹簧振子：）弹簧振子：2 2）单摆：）单摆：2简谐振动的判别2.1 简谐振动的判据2.2 两种常见的简3.3.简谐振动的能量简谐振动的能量 谐振子的动能和势能都随时间而变化，振动过程谐振子的动能和势能都随时间而变化，振动过程中两者相互转换，但系统的总能保持不变。谐振中两者相互转换，但系统的总能保持不变。谐振子系统是一个封闭保守系统。子系统是一个封闭保守系统。3.简谐振动的能量 谐振子的动能和势能都随时间而变化，振动过 O x t O t O x t O t 4.1 4.1 同频率同方向的简谐振动的合成同频率同方向的简谐振动的合成 4 4简谐振动的合成简谐振动的合成2）合振动的振幅）合振动的振幅1）两个同频率同方向的简谐振动的合振动为与分振）两个同频率同方向的简谐振动的合振动为与分振动同频率的简谐振动。动同频率的简谐振动。4.1 同频率同方向的简谐振动的合成 4简谐振动的合成2）力学竞赛辅导课件解：解：（1）（2）解：（1）（2）力学竞赛辅导课件解：解：平衡位置：平衡位置：离开平衡位置离开平衡位置x：因此木板的因此木板的质心作心作简谐转动。解：平衡位置：离开平衡位置x：因此木板的质心作简谐转动。力学竞赛辅导课件m2m1Fm2m1Fm2m1AFxOx0Axmm2m1AFxOx0AxmABkOxlABkOxl解：解：两球相对于质心的位移：两球相对于质心的位移：解：两球相对于质心的位移：力学竞赛辅导课件在坐在坐标系系Ox中，任意中，任意t时刻刻质心的位置坐心的位置坐标：由此可得在坐由此可得在坐标系系Ox中，任意中，任意t时刻刻A、B球的位置坐球的位置坐标：在坐标系Ox中，任意t时刻质心的位置坐标：由此可得在坐标系O力学竞赛辅导课件l0 x0O-xExmg2TNa1ma1213mgmgmgTTNa1a1解：解：第一阶段：自烧断轻线至砝码第一阶段：自烧断轻线至砝码1脱离弹簧。脱离弹簧。l0 x0O-xExmg2TNa1ma1213mgmgmgT