数学史概论-课件

数学史概论第二讲：第二讲：古希腊数学古希腊数学 数学史概论数学史概论古希腊的变迁古希腊的变迁公元前6前4世纪末公元前11世纪前9世纪：希腊各部落进入爱琴地区公元前9前6世纪：希腊各城邦先后形成亚历山大后期：公元前30公元640年西罗马帝国：公元395476年东罗马帝国：公元3951453年（610年改称拜占廷帝国）公元前11世纪前6世纪亚历山大前期：公元前4世纪末前30年(希腊化时期)罗马帝国：公元前27公元395年希腊时期亚历山大时期波希战争（前499前449）伯罗奔尼撒战争（前431前404）马其顿帝国：前6世纪前323年（前337年希腊各城邦承认马其顿的霸主地位，前334前323亚历山大东征）前48前30年凯撒、屋大维侵占埃及公元640年阿拉伯人焚毁亚历山大城藏书公元330年君士坦丁大帝迁都拜占廷数学史概论（一）论证数学的发端（一）论证数学的发端n（1）泰勒斯（约）泰勒斯（约625-547B.C.）证明四条定理；证明四条定理；泰勒斯定理泰勒斯定理:半圆上的圆周角是直角；半圆上的圆周角是直角；预报日蚀预报日蚀(585B.C.)；测量金字塔的高等。测量金字塔的高等。希腊数学一般指从公元前希腊数学一般指从公元前600600年至公元年至公元600600年间，活动于希腊半岛、爱琴海区域、年间，活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非洲北部的数学家们创造的数学。亚以及非洲北部的数学家们创造的数学。数学史概论泰泰勒勒斯斯 他是一位圣他是一位圣贤，又是一位天贤，又是一位天文学家，在日月文学家，在日月星辰的王国里，星辰的王国里，他顶天立地、万他顶天立地、万古流芳。古流芳。数学史概论n（2）毕达哥拉斯（约）毕达哥拉斯（约580-500B.C.）萨摩斯岛萨摩斯岛克洛托内克洛托内毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理(勾股定理勾股定理);正多面体正多面体;黄金分割黄金分割;“万物皆数万物皆数”；不可公度量。；不可公度量。a b b aPlutarch(约约46-120)的面积证明法的面积证明法b a b ab c ca a c a毕达哥拉斯定理：毕达哥拉斯定理：数学史概论毕毕达达哥哥拉拉斯斯，约约前前580前前500数学史概论正多面体作图正多面体作图五种正多面体：正四面体、正六面体、正八面体、正十五种正多面体：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。五种正多面体的作图都与毕达哥二面体和正二十面体。五种正多面体的作图都与毕达哥拉斯学派有关，前三种归功于毕氏学派，后两种为毕氏拉斯学派有关，前三种归功于毕氏学派，后两种为毕氏学派晚期学生所作。学派晚期学生所作。正十二面体由正五边形围成。正五边形的作图与著名的正十二面体由正五边形围成。正五边形的作图与著名的“黄金分割黄金分割”问题有关。问题有关。黄金分割黄金分割数学史概论毕达哥拉斯学派的形数毕达哥拉斯学派的形数 “万物皆数万物皆数”仅指整数，对数进行分类，分数被看成两个整数之比。仅指整数，对数进行分类，分数被看成两个整数之比。定义了完全数（即因数之和等于该数，如定义了完全数（即因数之和等于该数，如6,28等）、过剩等）、过剩数（即因数之和大于该数）、不足数（即因数之和小于该数（即因数之和大于该数）、不足数（即因数之和小于该数）亲和数（即数）亲和数（即a是是 b的因数之和，的因数之和，b也是也是a的因数之和，的因数之和，最小的一对亲和数为最小的一对亲和数为220和和284）等）等数学史概论三角形数三角形数：N=1+2+3+n=n(n+1)/2;正方形数正方形数：N=1+3+5+7+.+(2n-1);五边形数五边形数：N=1+4+7+.+(3n-2)=n(3n-1)/2;六边形数六边形数：N=1+5+9+.+(4n-3)=2n2-n.这是一些等差数列。可以推广到三维空间去构造多面体数。这是一些等差数列。可以推广到三维空间去构造多面体数。“形数形数”体现了体现了数与形结合数与形结合的思想。的思想。数形结合数形结合的另一个典型例子的另一个典型例子:(m2-1)/2,m,(m2+1)/2(m为奇整数为奇整数)给出的毕达哥拉斯三元数组，它们分别表示一个直角三角形给出的毕达哥拉斯三元数组，它们分别表示一个直角三角形的两条直角边和斜边，与勾股定理密切相关。这一公式未能的两条直角边和斜边，与勾股定理密切相关。这一公式未能给出全部毕达哥拉斯数组。给出全部毕达哥拉斯数组。数学史概论不可公度量不可公度量(无理数的发现无理数的发现)第一次数学危机第一次数学危机第一次数学危机第一次数学危机 任何量都可以表示成两任何量都可以表示成两个整数之比。在几何上就是：个整数之比。在几何上就是：对于任何两条给定的线段，对于任何两条给定的线段，总能找到第三条线段，以它总能找到第三条线段，以它为单位能将给定的线段划分为单位能将给定的线段划分为整数段。希腊人称这两条为整数段。希腊人称这两条线段为线段为“可公度量可公度量”，意即，意即为有公共的度量单位。为有公共的度量单位。是一个不可公度的数是一个不可公度的数希帕苏斯希帕苏斯Hippasus(公元前公元前470年左右）年左右）数学史概论11abc勾股定理导致了无理量的发现勾股定理导致了无理量的发现.假设直角三角形是等腰的假设直角三角形是等腰的,直直角边是角边是1，那么弦是，那么弦是，它不可能用任何的，它不可能用任何的“数数”(有理数有理数)表示出来，即直角边与弦是不可通约的表示出来，即直角边与弦是不可通约的数学史概论无理数的发现无理数的发现x、y均为偶数均为偶数x、y互素互素数学史概论（3 3）雅典时期）雅典时期 伊利亚学派伊利亚学派 代表人物：芝诺；代表人物：芝诺；主要贡献：芝诺悖论主要贡献：芝诺悖论 巧辩学派巧辩学派 代表人物：希比阿斯代表人物：希比阿斯(Hippias,c.BC.460)、安提丰安提丰(Antiphon,c.BC.480-BC.411),布里松布里松主要贡献：三大几何作图问题主要贡献：三大几何作图问题 柏拉图学派柏拉图学派(雅典学院雅典学院)代表人物：柏拉图代表人物：柏拉图(Plato,BC.427-BC.347)、梅内赫莫斯梅内赫莫斯(Menaechmus)、蒂诺斯特拉图斯蒂诺斯特拉图斯(Dinostratus)、欧多克斯欧多克斯(Eudoxus,c.BC.408-BC.347)主要贡献：倡导逻辑演绎结构主要贡献：倡导逻辑演绎结构 亚里斯多德学派亚里斯多德学派(吕园学派吕园学派)代表人物：亚里士多德代表人物：亚里士多德(Aritotle,BC.383-BC.322)欧多谟斯欧多谟斯主要贡献：倡导逻辑演绎结构。主要贡献：倡导逻辑演绎结构。数学史概论数学的理论化倾向数学的理论化倾向1 1、三大几何作图问题：、三大几何作图问题：化圆为方化圆为方:即作一个与给定的圆面积相等的正方形即作一个与给定的圆面积相等的正方形安纳萨哥拉斯安纳萨哥拉斯(约约BC.500-BC.428)希波克拉底：解决了化月牙形为方希波克拉底：解决了化月牙形为方 安提芬：安提芬：首先提出用圆内接正多边形逼近圆面积的方法来化圆为首先提出用圆内接正多边形逼近圆面积的方法来化圆为方。他从圆内接正方形开始，将边数逐次加倍，并一直进方。他从圆内接正方形开始，将边数逐次加倍，并一直进行下去，则随着圆面积的逐渐行下去，则随着圆面积的逐渐“穷竭穷竭”，将得到一个边长，将得到一个边长极其微小的内接正多边形。极其微小的内接正多边形。18821882林德曼林德曼的超越性。的超越性。化圆为方、倍立方、三等分任意角化圆为方、倍立方、三等分任意角。问题的难处，是作。问题的难处，是作图只许用直尺图只许用直尺(没有刻度的尺没有刻度的尺)和圆规。和圆规。数学史概论倍立方倍立方:即求一个立方体即求一个立方体,使其体积等于已知立方体的两倍使其体积等于已知立方体的两倍 希波克拉底希波克拉底:对问题的简化是问题的关键进展对问题的简化是问题的关键进展.指出倍立方问题可以化为求一线段与它的二倍长线段之间指出倍立方问题可以化为求一线段与它的二倍长线段之间的双重比例中项问题的双重比例中项问题,即：即：梅内赫莫斯梅内赫莫斯:圆锥曲线的发现圆锥曲线的发现(约约360360B.C.)B.C.)；双重比例中项关系等价于方程：双重比例中项关系等价于方程：数学史概论三等分角三等分角:即分任意角为三等分即分任意角为三等分西比阿斯西比阿斯：发明：发明“割圆曲线割圆曲线”.如果这种曲线能够作出，那么它不但能够三等分角，而如果这种曲线能够作出，那么它不但能够三等分角，而且可以任意等分角，并且也可以用来化圆为方。且可以任意等分角，并且也可以用来化圆为方。1837年法国数学家旺泽尔年法国数学家旺泽尔(P.L.Wantzel)在代数方程论基础在代数方程论基础上证明了上证明了倍立方和三等分角倍立方和三等分角不可能用尺规作图不可能用尺规作图。数学史概论2 2、无限性概念的早期探索、无限性概念的早期探索芝诺芝诺（约公元前（约公元前490前前430）悖论悖论：（1）两分法两分法（2）阿基里斯）阿基里斯（3）飞箭不动）飞箭不动（4）运动场问题）运动场问题芝诺芝诺Zeno数学史概论 飞箭静止说，每一瞬间箭总飞箭静止说，每一瞬间箭总在一个确定的位置上，因此它是在一个确定的位置上，因此它是不动的。不动的。芝诺悖论芝诺悖论芝诺悖论芝诺悖论:飞矢不动飞矢不动飞矢不动飞矢不动时刻t数学史概论运动场问题，芝诺论证了时间和它的一半相等。运动场问题，芝诺论证了时间和它的一半相等。注：注：前两个悖论针对于事物无限可分的观点，而后两个则矛前两个悖论针对于事物无限可分的观点，而后两个则矛头直指不可分无限小量的思想。头直指不可分无限小量的思想。数学史概论德莫克里特德莫克里特(Democritus，约公元前，约公元前460357)：原子论学派的创始人数学家、哲学家。关于物理、气原子论学派的创始人数学家、哲学家。关于物理、气象、动物和控学的著作丰富，流传下来的很少他到过东方象、动物和控学的著作丰富，流传下来的很少他到过东方旅行，在埃及住过旅行，在埃及住过认为万物的始源只有两个：原子与虚空认为万物的始源只有两个：原子与虚空“原子原子”(atom,拉丁文是不可分割的思拉丁文是不可分割的思)是不可分的物质粒子，永远处是不可分的物质粒子，永远处于运动状态之中于运动状态之中在数学方面，德设克利特应用了原子的观点他认为线段、在数学方面，德设克利特应用了原子的观点他认为线段、面积和立体，是由有限个不可再分的原子构成的计算体积面积和立体，是由有限个不可再分的原子构成的计算体积就等于将这些原子集合起来就等于将这些原子集合起来数学史概论3、逻辑演绎推理的倡导、逻辑演绎推理的倡导 柏拉图学院柏拉图学院:“不懂几何者莫入不懂几何者莫入”分析法和归谬法分析法和归谬法 亚里斯多德学派亚里斯多德学派 三段论推理三段论推理 反证法反证法:矛盾律矛盾律,排中律排中律 数学史概论拉斐尔拉斐尔圣齐奥圣齐奥 (1483-1520)(1483-1520)所绘油画所绘油画雅典学派雅典学派数学史概论Aristotle亚里士多德，古希腊著名哲学家、亚里士多德，古希腊著名哲学家、自然科学家，西方文艺理论的真正自然科学家，西方文艺理论的真正奠基者。公元前奠基者。公元前384年生于爱琴海年生于爱琴海北岸的哈尔基迪凯半岛上的达吉罗北岸的哈尔基迪凯半岛上的达吉罗斯，其父是马其顿国王阿明塔斯二斯，其父是马其顿国王阿明塔斯二世的御医。母亲法伊斯提来自优卑世的御医。母亲法伊斯提来自优卑亚岛的哈尔基斯。亚里亚岛的哈尔基斯。亚里士士多德早年多德早年丧父，由监护人丧父，由监护人“抚养抚养”。17岁赴岁赴雅典就读于柏拉图的雅典就读于柏拉图的“学园学园”，受，受教教20年。为学员中出类拔萃者。年。为学员中出类拔萃者。柏拉图去世后，亚里柏拉图去世后，亚里士士多德曾受多德曾受马其顿王之聘，教育太子亚历山大。马其顿王之聘，教育太子亚历山大。回雅典后，亚里回雅典后，亚里士士多德在吕刻翁自多德在吕刻翁自立学园，专心教育和著述，经常在立学园，专心教育和著述，经常在走廊边走边讲授，后世称他的弟子走廊边走边讲授，后世称他的弟子为为“逍遥学派逍遥学派”。恩格斯称他是古。恩格斯称他是古代代“最博学的人最博学的人”。数学史概论数学史概论数学史概论数学史概论（二）亚历山大时期（二）亚历山大时期n（1）欧几里得）欧几里得(约约300B.C.前后前后)n（2）阿基米德）阿基米德(287-212B.C.)n（3）阿波罗尼奥斯）阿波罗尼奥斯(约约262-190B.C.)数学史概论 欧几里得的欧几里得的几何原本几何原本是一部划时代的著作。其伟是一部划时代的著作。其伟大的历史意义在于它是用公理法建立起演绎体系的最早典大的历史意义在于它是用公理法建立起演绎体系的最早典范。过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片断的，可范。过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片断的，可以比作砖瓦木石；只有借助于逻辑方法，把这些知识组织以比作砖瓦木石；只有借助于逻辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，整理在起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，整理在一个严密的系统之中，才能建成宏伟的大厦。一个严密的系统之中，才能建成宏伟的大厦。几何原本几何原本体现了这种精神，它对整个数学的发展产生深远的影响。体现了这种精神，它对整个数学的发展产生深远的影响。阿基米德是物理学家兼数学家，他善于将抽象的理论阿基米德是物理学家兼数学家，他善于将抽象的理论和工程技术的具体应用结合起来，又在实践中洞察事物的和工程技术的具体应用结合起来，又在实践中洞察事物的本质，通过严格的论证，使经验事实上升为理论。他根据本质，通过严格的论证，使经验事实上升为理论。他根据力学原理去探求解决面积和体积问题，已经包含积分学的力学原理去探求解决面积和体积问题，已经包含积分学的初步思想。初步思想。阿波罗尼奥斯的主要贡献是对圆锥曲线的深入研究。阿波罗尼奥斯的主要贡献是对圆锥曲线的深入研究。数学史概论欧欧几几里里得得 ，约约公公元元前前300300数学史概论数学史概论欧几里得欧几里得 n历史上历史上第一个公理体系第一个公理体系13卷卷119条定义条定义5条公理条公理,5条公设条公设465条定理条定理几何学无王者之道几何学无王者之道现存著作：现存著作：原本原本、数据数据、论剖分论剖分、现象现象、光学光学和和镜面反射镜面反射等。等。失传著作：失传著作：圆锥曲线圆锥曲线、衍论衍论、曲面轨迹曲面轨迹、辩伪术辩伪术等。等。“原本原本”的希腊文原意是指的希腊文原意是指一个学科中最重要的定理一个学科中最重要的定理数学史概论公设公设：1.从任意一点到任意一点可作一直线；从任意一点到任意一点可作一直线；2.线段可任意延长；线段可任意延长；3.以任意中心和直径可以作圆；以任意中心和直径可以作圆；4.凡直角都彼此相等；凡直角都彼此相等；5.若一条直线与两直线相交，所构成的同旁内角和小若一条直线与两直线相交，所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。于两直角的一侧相交。公理公理：1.等于同量的量彼此相等；等于同量的量彼此相等；2.等量加等量，和相等；等量加等量，和相等；3.等量减等量，差相等；等量减等量，差相等；4.彼此重合的图形是全等的；彼此重合的图形是全等的；5.整体大于部分。整体大于部分。数学史概论 卷卷I,II,III,IV及及VI:平面几何基本内容平面几何基本内容卷卷V:比例论比例论无理量引起的麻烦之回避无理量引起的麻烦之回避卷卷VII,VIII,IX:数论数论卷卷X:不可公度量分类不可公度量分类卷卷XI,XII,XIII:立体几何立体几何穷竭法穷竭法(卷卷XII)数学史概论比例的定义：比例的定义：设设A,B,C,D是任意四个量是任意四个量,其中其中A和和B同类同类(即均为线段、角或面积等即均为线段、角或面积等),C和和D同类同类.如果对于任何两个正整数如果对于任何两个正整数m 和和n,关系关系m A n B是否成立是否成立,相应地取决于关系相应地取决于关系m C n D是否成立是否成立,则称则称A与与B 之比等于之比等于C与与D 之比之比,即四量即四量A,B,C,D成比例成比例.数学史概论比例论举例比例论举例 定理定理:如果两个三如果两个三角形的高相等角形的高相等,则它则它们的面积之比等于两们的面积之比等于两底长之比底长之比数学史概论比例定义：比例定义：A，B；C，D对任何正整数对任何正整数m和和n，关系关系m A n Bm C n DBmC=m(BC)，ABmC=m(ABC)；DEn=n(DE)，ADEn=n(ADE)。由已证明的结果由已证明的结果,可知可知 ABmCAEnDBmCEnD也就是说也就是说 m(ABC)n(AED)m(BC)n(ED)据比例定义，有据比例定义，有ABC:ADEBC:DE数学史概论 穷竭法举例穷竭法举例卷卷XII命题命题2:圆与圆之比等于其直径平方之比圆与圆之比等于其直径平方之比(A)圆的面积可以用内接正多边形面积圆的面积可以用内接正多边形面积“穷竭穷竭”(正正8边形面积边形面积正正4边形面积边形面积)1/2(圆面积圆面积正正4边形面积边形面积)(B)反证法反证法矛盾矛盾矛盾矛盾必有必有 数学史概论勾股定理的证明数学史概论n1482 第一个拉丁文印刷本(威尼斯)n1607 中译本(徐光启,利玛窦)n缺陷缺陷:(1)某些定义借助于直观或含混不清；某些定义借助于直观或含混不清；(2)公理系统不完备公理系统不完备.数学史概论阿阿基基米米德德，公公元元前前287287前前212212数学史概论数学史概论（1）阿基米德的著作阿基米德的著作抛物线求积法抛物线求积法：研究了曲线图形求积的问题，并用穷竭研究了曲线图形求积的问题，并用穷竭法建立了这样的结论：法建立了这样的结论：“任何由直线和直角圆锥体的截面所任何由直线和直角圆锥体的截面所包围的弓形（即抛物线），其面积都是其同底同高的三角形包围的弓形（即抛物线），其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四。面积的三分之四。”他还用力学权重方法再次验证这个结论，他还用力学权重方法再次验证这个结论，使数学与力学成功地结合起来。使数学与力学成功地结合起来。球与圆柱球与圆柱：熟练地运用穷竭法证明了球的表面积等于球大熟练地运用穷竭法证明了球的表面积等于球大圆面积的四倍；球的体积是一个圆锥体积的四倍，这个圆锥的圆面积的四倍；球的体积是一个圆锥体积的四倍，这个圆锥的底等于球的大圆，高等于球的半径。阿基米德还指出，如果等底等于球的大圆，高等于球的半径。阿基米德还指出，如果等边圆柱中有一个内切球，则圆柱的全面积和它的体积，分别为边圆柱中有一个内切球，则圆柱的全面积和它的体积，分别为球表面积和体积的球表面积和体积的。在这部著作中，他还提出了著名的。在这部著作中，他还提出了著名的“阿基米德公理阿基米德公理”。圆的度量圆的度量:利用圆的外切与内接利用圆的外切与内接96边形，求得圆周率边形，求得圆周率为：为：，这是数学史上最早的、明确指出误差限度的，这是数学史上最早的、明确指出误差限度的值。他还证明了圆面积等于以圆周长为底、半径为高的正三值。他还证明了圆面积等于以圆周长为底、半径为高的正三角形的面积；使用的是穷举法。角形的面积；使用的是穷举法。数学史概论浮体浮体：是流体静力学的第一部专著，阿基米德把数学推是流体静力学的第一部专著，阿基米德把数学推理成功地运用于分析浮体的平衡上，并用数学公式表示浮体理成功地运用于分析浮体的平衡上，并用数学公式表示浮体平衡的规律。平衡的规律。论锥型体与球型体论锥型体与球型体：讲的是确定由抛物线和双曲线其轴讲的是确定由抛物线和双曲线其轴旋转而成的锥型体体积，以及椭圆绕其长轴和短轴旋转而成旋转而成的锥型体体积，以及椭圆绕其长轴和短轴旋转而成的球型体的体积。的球型体的体积。平面的平衡平面的平衡：是关于力学的最早的科学论著，讲的是确是关于力学的最早的科学论著，讲的是确定平面图形和立体图形的重心问题。定平面图形和立体图形的重心问题。论螺线论螺线：是阿基米德对数学的出色贡献。他明确了螺线是阿基米德对数学的出色贡献。他明确了螺线的定义，以及对螺线的面积的计算方法。在同一著作中，阿的定义，以及对螺线的面积的计算方法。在同一著作中，阿基米德还导出几何级数和算术级数求和的几何方法。基米德还导出几何级数和算术级数求和的几何方法。砂粒计算砂粒计算：是专讲计算方法和计算理论的一本著作。阿是专讲计算方法和计算理论的一本著作。阿基米德要计算充满宇宙大球体内的砂粒数量，他运用了很奇基米德要计算充满宇宙大球体内的砂粒数量，他运用了很奇特的想象，建立了新的量级计数法，确定了新单位，提出了特的想象，建立了新的量级计数法，确定了新单位，提出了表示任何大数量的模式，这与对数运算是密切相关的。表示任何大数量的模式，这与对数运算是密切相关的。数学史概论平衡法求球的体积平衡法求球的体积球：球：圆柱：圆柱：2R(球体积圆锥体积球体积圆锥体积)4R圆柱体积圆柱体积圆锥：圆锥：2R(球体积球体积球体积球体积(设球片半径设球片半径r，则有则有)数学史概论平衡法求抛物线弓形的面积平衡法求抛物线弓形的面积GTHFKAODCMENPWB数学史概论阿波罗尼奥斯（约公元前阿波罗尼奥斯（约公元前262262前前190190）数学史概论数学史概论圆锥概念圆锥概念:从与圆不在同一平面上的一点作与圆相交从与圆不在同一平面上的一点作与圆相交的直线，如果该点固定，把所作直线沿圆周旋的直线，如果该点固定，把所作直线沿圆周旋转，转，那么生成的曲面是一圆锥面，固定，那么生成的曲面是一圆锥面，固定点是顶点，顶点到圆心的直线是轴，圆称作圆点是顶点，顶点到圆心的直线是轴，圆称作圆锥的底。锥的底。数学史概论圆锥曲线圆锥曲线ABC数学史概论（三）亚历山大后期（三）亚历山大后期n(1)几何几何:海伦海伦量度量度n(2)三角学三角学:托勒玫托勒玫大成大成n(3)算术与代数算术与代数:丢番图丢番图算术算术n(4)帕普斯帕普斯数学汇编数学汇编:希腊数学的安魂曲希腊数学的安魂曲n希帕蒂娅之死希帕蒂娅之死(417A.D.):希腊数学的终结希腊数学的终结亚历山大图书馆被焚亚历山大图书馆被焚47B.C.凯撒凯撒;392A.D.基督教徒基督教徒;640A.D.回教徒回教徒数学史概论Ptolemy(85AD-165)数学史概论托勒密定理托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线长的乘积等于两对对边圆内接四边形中，两条对角线长的乘积等于两对对边长乘积之和。长乘积之和。托勒密托勒密:三角学三角学正弦函数正弦函数的定义：的定义：弦表弦表(相当于正弦三角函数表相当于正弦三角函数表):给出了给出了(1/2)0到到1800每隔每隔(1/2)0的圆心角所对的弦的长度，相当于给出了从的圆心角所对的弦的长度，相当于给出了从00到到900每隔每隔(1/4)0的角的正弦。的角的正弦。数学史概论大成大成中的球面三角关系中的球面三角关系ADCBo数学史概论丢番图丢番图算术算术数学史概论最有名问题最有名问题:将一个已知的平方数分为两个平方数。将一个已知的平方数分为两个平方数。现代符号表述现代符号表述:已知平方数已知平方数z2,求数求数x和和y,使使x2+y2=z2.丢番图以丢番图以z2=16来说明其解法来说明其解法:设第一个平方数为设第一个平方数为x2,则另一则另一个平方数为个平方数为16-x2,从而要求做到的是从而要求做到的是16-x2是一个平方数是一个平方数y2.令令y=m x-4,m为某一整数为某一整数,4为为16的根的根,令令m=2,于是有于是有4x2-16x+16=16-x2.从而从而x=16/5,另一个为另一个为y=12/5.算术算术:问题集问题集,共共1313卷卷,目前发现目前发现1010卷卷,含含290290个问题个问题.主要贡献主要贡献：(a).(a).不定方程求解不定方程求解;(b).(b).创用了一套缩写符号创用了一套缩写符号.缺点：缺点：方法不具有一般性方法不具有一般性.数学史概论希希帕帕蒂蒂娅娅，约约公公元元前前370415数学史概论