数学分析课件之十七章多元函数微分学

第十七章 多元函数微分学1可微性可微性2复合函数微分法复合函数微分法3方向导数与梯度方向导数与梯度4泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题第十七章多元函数微分学1可微性2复合函数微分法11可微性可微性一、全微分的定义二、偏导数的定义及其计算法三、可微的条件四四可微性的几何意义与应用可微性的几何意义与应用1可微性一、全微分的定义二、偏导数的定义及其计算法三、可2一、全微分的定义由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得一、全微分的定义由一元函数微分学中增量与微分的关系得3全增量的概念全增量的概念全增量的概念4全微分的定义全微分的定义全微分的定义5事实上事实上事实上6二、偏导数的定义及其计算法函数对函数对 x 的偏增量的偏增量二、偏导数的定义及其计算法函数对x的偏增量7数学分析课件之十七章多元函数微分学8数学分析课件之十七章多元函数微分学9偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数10由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的微分法问题。微分法问题。只要把只要把 x 之外的其他自变量暂时看成之外的其他自变量暂时看成常量，对常量，对 x 求导数即可。求导数即可。只要把只要把 y 之外的其他自变量暂时看成之外的其他自变量暂时看成常量，对常量，对 y 求导数即可。求导数即可。其它情况类似。其它情况类似。由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的只要把x之11解解把把 y 看成常量看成常量 把把 x 看成常量看成常量 解解把把 y 看成常量看成常量 把把 x 看成常量看成常量 解把y看成常量把x看成常量解把y看成常量把12证证原结论成立原结论成立证原结论成立13解解解14不存在不存在不存在15证证证16有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；有关偏导数的几点说明：、求分界点、不连续点处的偏导数要17解解解18于是，于是，考虑点考虑点(0,0)对对 x 的偏导数，的偏导数，于是，考虑点(0,0)对x的偏导数，19于是，于是，考虑点考虑点(0,0)对对 x 的偏导数，的偏导数，于是，考虑点(0,0)对x的偏导数，20解解y、z 看成常量看成常量 x、y 看成常量看成常量 解y、z看成常量x、y看成常量21、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在连续。连续。连续。连续。、偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续.偏导数存在224 4、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义如图如图4、偏导数的几何意义如图23几何意义几何意义:几何意义:24三、可微的条件三、可微的条件25证证总成立总成立,同理可得同理可得证总成立,同理可得26一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在例如，例如，微分存在微分存在全微分存在全微分存在一元函数在某点的导数存在多元函数的各偏导数存在例如，？微分存27则则说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微 分存在。分存在。则说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微28证证证29（依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）30同理同理同理31数学分析课件之十七章多元函数微分学32数学分析课件之十七章多元函数微分学33全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的之和这件事称为二元函数的微分符合微分符合叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理全微分的定义可推广到三元及三元以上函数通常我们把二元函数的全34解解(2,1)处的全微处的全微分分它们均连续。因此，函数可微分。它们均连续。因此，函数可微分。解(2,1)处的全微分它们均连续。因此，函数可微分。35解解解36解解所求全微分所求全微分解所求全微分37证证 （1）令令证（1）令38数学分析课件之十七章多元函数微分学39数学分析课件之十七章多元函数微分学40数学分析课件之十七章多元函数微分学41多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微分函数可微分函数连续函数连续 偏导数连续偏导数连续偏导数存在偏导数存在多元函数连续、可导、可微的关系函数可微分函数连续偏导数连续42四四可微性的几何意义与应用可微性的几何意义与应用切平面的定义一元函数可微性，在几何上反映为曲线存在不平性于Y轴的切线，二元函数可微性的几何意义则反映的是曲面与其切平面的类似关系.四可微性的几何意义与应用切平面的定义一元函数可43定义（切平面）设P是曲面S上一点，H为通过 P 的一个平面，曲面S上的动点Q到P和到平面H的距离分别为d和h，当Q在S上以任何方式趋于P时，恒有，则称平面 H 为曲面S在点P处的切平面，P为切点.定义（切平面）设P是曲面S上一点，H为通过P的一个平面441 设曲面方程为曲线在M处的切向量在曲面上任取一条通过点M的曲线曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线1设曲面方程为曲线在M处的切向量在曲面上任取一条通过点M45令令则则切平面方程为令则切平面方程为46法线方程为法线方程为曲面在曲面在M处的法向量即处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.法线方程为曲面在M处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲472 空间曲面方程形为空间曲面方程形为曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为令令2空间曲面方程形为曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的48数学分析课件之十七章多元函数微分学49切平面上点的竖坐标的增量因为曲面在M处的切平面方程为切平面上点的竖坐标的增量因为曲面在M处的切平面方程为50其中其中51解切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为解切平面方程为法线方程为52解解 令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程解令切平面方程法线方程53解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,切平面方程为切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得解设为曲面上的切点,54因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，所求切点为所求切点为满足方程满足方程切平面方程切平面方程因为是曲面上的切点，所55全微分在近似计算中的应用也可写成也可写成全微分在近似计算中的应用也可写成56解解由公式得由公式得解由公式得57解解设黄铜的比重为设黄铜的比重为圆柱体的体积为圆柱体的体积为解设黄铜的比重为圆柱体的体积为58数学分析课件之十七章多元函数微分学59五、小结、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的求法；、多元函数全微分的求法；、多元函数连续、偏导数存在、可微分的关系、多元函数连续、偏导数存在、可微分的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）（偏增量比的极限）（偏增量比的极限）、偏导数的定义；、偏导数的定义；、偏导数的定义，偏导数的几何意义；、偏导数的定义，偏导数的几何意义；五、小结、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的求法；60思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例如例如,思考题思考题解答不能.例如,612复合函数微分法复合函数微分法一、链式法则一、链式法则二、复合函数的全微分二、复合函数的全微分2复合函数微分法一、链式法则二、复合函数的全微分62证证一、链式法则证一、链式法则63数学分析课件之十七章多元函数微分学64证略证略。复合函数的求导法则复合函数的求导法则1、z uvx 型型证略。复合函数的求导法则1、zux型65上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为全导数全导数.上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如以上公式中的导66定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：函数的情况：2、z uvxy型型定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元2、zux型67链式法则如图示链式法则如图示链式法则如图示68数学分析课件之十七章多元函数微分学69特殊地特殊地即即令令其中其中区别类似区别类似特殊地即令其中区别类似70解解z uvtt 型型解zut型71解解z uvxy型型解zux型72解解解73解解令令则则z uxy型型解令则zux型74解解令令记记w uvxyz型型二阶偏二阶偏导连续导连续解令记wux型二阶偏75因此，因此，于是，于是，因此，于是，76二、复合函数的全微分二、复合函数的全微分（1）如果）如果 u，v 是自变量，结论显然。是自变量，结论显然。（2）如果）如果 u，v 是中间变量，是中间变量，有全微分：有全微分：事实上，事实上，二、复合函数的全微分（1）如果u，v是自变量，结论显然。77全微分形式不变形的全微分形式不变形的实质实质：无论无论 z 是自变量是自变量 u，v 的函数或中间变量的函数或中间变量 u，v 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.全微分形式不变形的实质：78解解解79解解d()d()解d()801 1、链式法则（分二种情况）、链式法则（分二种情况）2 2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）（理解其实质）三、小结三、小结1、链式法则（分二种情况）2、全微分形式不变性（特别要注意课813方向导数与梯度方向导数与梯度一一、问题的提出、问题的提出二、方向导数的定义二、方向导数的定义三、三、梯度梯度3方向导数与梯度一、问题的提出二、方向导数的定义三、82例子：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的答案：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行一一 问题的提出问题的提出例子：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,830 xy方向导数图示 讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题0 xy方向导数图示讨论函数84ABCABC85中xOyz.P0Pl沿方向的方向导数.中xOyz.P0Pl沿方向的方向导数.86二、方向导数的定义二、方向导数的定义 设函数在内有定义。若点 沿射线 l 趋于时,极限存在，则称该极限值为函数在点处沿 l 方向的方向导数。记为二、方向导数的定义设函数在内有定义。若点沿射线l趋于87或或88 利用直线方程可将方向导数的定义表示为:射线 l 的方程为则故利用直线方程可将方向导数的定义表示为:射线l的方程为则89比较方向导数与偏导数的概念比较方向导数与偏导数的概念在方向导数中，分母；在偏导数中，分母、可正、可负。即使 l 的方向与 x 轴,y 轴的正方向一致时，方向导数与偏导数的概念也是不同的。方向导数与偏导数是两个不同的概念 想一想，为什么？想一想，为什么？比较方向导数与偏导数的概念在方向导数中，分母；在偏导数中，分90 怎么计算方向导数？怎么计算方向导数？怎么计算方向导数？91看看三维空间的情形看看三维空间的情形92定理定理(方向导数导计算公式)若函数在点处可微，则函数在点处沿任一方向的方向导数存在，且其中,各导数均为在点处的值.定理(方向导数导计算公式)若函数在点处可微，则函数在点处沿任93运用向量的数量积，可将方向导数计算公式表示为：其中，称为梯度运用向量的数量积，可将方向导数计算公式表示为：其中，称为梯度94在中在中可统一表示为在中在中可统一表示为95设,求函数在点沿方向的方向导数。解例例设,求函数在点沿方向的方向导数。解例96由点到坐标原点的距离定义的函数在坐标原点处的两个偏导数均不存在，但它在该点沿任何方向的方向导数均存在，且方向导数值都等于1：想一想，该例给你什么启示想一想，该例给你什么启示函数可微是方向导数存在的充分条件，而不是必要条件。方向导数存在时，偏导数不一定存在。例例由点到坐标原点的距离定义的函数在坐标原点处的两个偏导数均不存97一个问题：一个问题：在给定点沿什么方向增加得最快？该问题仅在不同时为零才有意义。可微函数三、三、梯度梯度一个问题：在给定点沿什么方向增加得最快？该问题仅在不同时为零98由前面的推导，有现在正式给出现在正式给出的定义grad u由此可得出什么结论？由此可得出什么结论？方向导数等于梯度在此方向上的投影由前面的推导，有现在正式给出的定义gradu由此可得出什么99定义定义设则称向量为函数在点处的梯度，记为或定义设则称向量为函数在点处的梯度，记为或100 梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就是函数在该点的方向导数的最大值。以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中。梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就是函数在该点的方向导数的最大值。以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中。梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就是101在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图等高线等高线梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量在几何上表示一个曲面曲面被平面102类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值最大值.梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与梯度的概念可以推103数学分析课件之十七章多元函数微分学104设求并求在点处方向导数的最大(小)值。解从而例例1设求并求在点处方向导数的最大(小)值。解从而例1105解解由梯度计算公式得由梯度计算公式得故故解由梯度计算公式得故1061 1、方向导数的概念、方向导数的概念2 2、梯度的概念、梯度的概念3 3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）三、小结1、方向导数的概念2、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系（注1074泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题一、高阶偏导数一、高阶偏导数二、中值定理和泰勒公式二、中值定理和泰勒公式4泰勒公式与极值问题一、高阶偏导数二、中值定理和泰勒公式108纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数偏导数.一、高阶偏导数纯偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.109解解解110原函数图形原函数图形偏导函数图形偏导函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏二阶混合偏导函数图形导函数图形观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：函数图象间的关系：原函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏导函数图形观察上111解解解112问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？相等？问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？113解解解114二二中值定理和泰勒公式中值定理和泰勒公式.二中值定理和泰勒公式115Taylor公式公式Taylor公式116二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义二、多元函数的极值和最值1、二元函数极值的定义117例例1 1例例例例(3)(2)(1)例1例例(3)(2)(1)1182 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件证证2、多元函数取得极值的条件证119数学分析课件之十七章多元函数微分学120仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的均称为函数的驻点驻点.驻点驻点偏导数存在的极值点偏导数存在的极值点问题问题：如何判定一个驻点是否为极值点？：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：注意：仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，驻点偏导数存在的121数学分析课件之十七章多元函数微分学122数学分析课件之十七章多元函数微分学123例例3 求函数求函数的极值。的极值。解解求解方程组：求解方程组：得驻点得驻点因此，驻点因此，驻点例3求函数的极值。解求解方程组：得驻点因此，驻点124因此，驻点因此，驻点因此，驻点因此，驻点因此，驻点因此，驻点125与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，偏导数不存在的点也可能是极值点。偏导数不存在的点也可能是极值点。例如，显然函数例如，显然函数不存在。不存在。与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，偏导数不存在的点也126求最值的一般求最值的一般方法方法：将函数在将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中的边界上的最大值和最小值相互比较，其中 最大者即为最大值，最小者即为最小值最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值来求函数的最大值和最小值.3 3、多元函数的最值、多元函数的最值求最值的一般方法：与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值3127解解令令解令128无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件并无其他条件.无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，129实例实例：小王有：小王有 200 元钱，他决定用来购买两种急元钱，他决定用来购买两种急 需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购 买买 x 张磁盘，张磁盘，y 盒录音磁带达到最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为效果函数为 U(x,y)=lnx+lny 设每张磁设每张磁 盘盘 8 元，每盒磁带元，每盒磁带 10 元，问他如何分配这元，问他如何分配这 200 元以达到最佳效果元以达到最佳效果问题的问题的实质实质：求：求 在条件在条件 下的极值点下的极值点2 条件极值拉格朗日乘数法条件极值拉格朗日乘数法实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急问题的实质：130条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值条件极值：对自变量有附加条件的极值131求解方程组求解方程组解出解出 x,y,z,t 即得即得可能极值点的坐标可能极值点的坐标.求解方程组解出x,y,z,t即得132解解则则例例5 求表面积为求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积而体积为最大的长方体的体积.设长方体的长、宽、高为设长方体的长、宽、高为 x,y，z.体积为体积为 V.则问题就是条件则问题就是条件求函数求函数的最大值的最大值.令令下，下，解则例5求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积.133则则令令即即由由(2),(1)及及(3),(2)得得则令即由(2),(1)及(3),(2)得134由由(2),(1)及及(3),(2)得得于是，于是，代入条件，得代入条件，得解得解得这是唯一可能的极值点。这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，因为由问题本身可知，所以，所以，最大值就在此点处取得。最大值就在此点处取得。故，最大值故，最大值最大值一定存在，最大值一定存在，由(2),(1)及(3),(2)得于是，代入条件，得135解解则则由由(1)，(2)得得由由(1)，(3)得得解则由(1)，(2)得由(1)，(3)得136将将(5)，(6)代入代入(4)：于是，得于是，得这是唯一可能的极值点。这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，最大值一定存在，因为由问题本身可知，最大值一定存在，所以，所以，最大值就在这个可能的极值点处取得。最大值就在这个可能的极值点处取得。故，最大值故，最大值将(5)，(6)代入(4)：于是，得这是唯一可能的极137解解则解则138数学分析课件之十七章多元函数微分学139解解140数学分析课件之十七章多元函数微分学141数学分析课件之十七章多元函数微分学142可得即可得即143多元函数的极值拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值小结小结高阶偏导数高阶偏导数纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）中值定理和泰勒公式中值定理和泰勒公式多元函数的极值拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）144