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第十二章第十二章 全等三角形全等三角形 三角形全等的判定三角形全等的判定（2）边角边边角边 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为为“边边边边边边”或或“SSS”）。）。ABCDEF在在ABC和和 DEF中中 ABC DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD用符号语言表达为：用符号语言表达为：三角形全等判定方法三角形全等判定方法1知识回顾知识回顾:除了除了SSS外外,还有其他情况吗？继续探索三角形全还有其他情况吗？继续探索三角形全等的条件等的条件.(2)三条边三条边(1)三个角三个角(3)两边一角两边一角(4)两角一边两角一边 当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况情况:SSS不能不能!?继续探讨三角形全等的条件：继续探讨三角形全等的条件：两边一角两边一角思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？与这一个角的位置上有几种可能性呢？ABCABC图一图一图二图二在图一中，在图一中，A A是是ABAB和和ACAC的的夹角，夹角，符合图一的条件，符合图一的条件，它可称为它可称为“两边夹角两边夹角”。符合图二的条件，符合图二的条件，通常通常说成说成“两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角”已知已知ABCABC，画一个，画一个ABCABC使使A B=AB,A C=A A B=AB,A C=A C,C,A=A=AA。思考：思考：A B C 与与 ABC 全等吗？如何验正？全等吗？如何验正？画法画法:1.画画 DA E=A；2.在射线在射线A D上截取上截取A B=AB,在射线在射线A E上截上截取取A C=AC;3.连接连接B C.ACBAEDCB思考：思考：这两个三角形全等是满足哪三个条件？这两个三角形全等是满足哪三个条件？探索边角边探索边角边结论结论:两边及夹角对应相等的两个三角形全等两边及夹角对应相等的两个三角形全等 三角形全等判定方法三角形全等判定方法2用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：在在ABC与与DEF中中ABCDEF（SAS）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。等。(可以简写成可以简写成“边角边边角边”或或“SASSAS”)FEDCBAAC=DF C=FBC=EF练习：1.1.在下列推理中填写需要在下列推理中填写需要补充的条件，使充的条件，使结论成立成立在在AOBAOB和和DOCDOC中中 A0=DOA0=DO（已知）已知）=（对顶角相等角相等）BO=COBO=CO（已知）已知）AOBDOC(AOBDOC().).ABODCAOBAOBDOCDOCSAS （已知）（已知）A=AA=A（公共角）公共角）=ADCBE AECADB().2.2.在在AECAEC和和ADBADB中中ABACADAESAS注意：注意：SAS中的角必须是两边的夹角，中的角必须是两边的夹角，“A”必须在中间。必须在中间。A4545 探索边边角探索边边角BBC1010cmcm 8 8cmcm 8 8cmcm 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗?已知：已知：AC=10cm,BC=8cm,AC=10cm,BC=8cm,A=45.ABCABC的形状与大小是唯的形状与大小是唯一确定的吗一确定的吗?1010cmcm ABC4545 8 8cmcm 探索边边角探索边边角BA8 8cmcm 4545 1010cmcm CSSASSA不存在不存在显然：显然：ABCABC与与ABCABC不全等不全等知识梳理知识梳理:ABDABCSSASSA不能判不能判不能判不能判定全等定全等定全等定全等两边及一角对应相等的两边及一角对应相等的两个三角形全等吗？两个三角形全等吗？两边及夹角对应相等的两个三两边及夹角对应相等的两个三角形全等（角形全等（SAS)SAS)；两边及其中一边的的对角对两边及其中一边的的对角对应相等的两个三角形不一定全应相等的两个三角形不一定全等等 现在你知道哪些三角形全现在你知道哪些三角形全等的判定方法？等的判定方法？SSS,SAS已知：已知：AB=CB，ABD=CBD ABD 和和 CBD 全等吗？全等吗？例例1 1分析分析:ABD CBDABD CBD边边:角角:边边:AB=CB(已知已知)ABD=CBD(已知已知)ABCD(SAS)现在例现在例1的已知条件不改变的已知条件不改变,而问题而问题改变成改变成:问问AD=CD吗？吗？BD=BD(公共边公共边)BD平分平分ADC吗？吗？ABCD练习练习3：已知已知:AD=CD，BD 平分平分 ADC。求证：求证：A=C 要要证明两个三角形中的明两个三角形中的边或角相等，可以先或角相等，可以先证明两明两个三角形全等。个三角形全等。问问题题:如如图图有有一一池池塘塘。要要测测池池塘塘两两端端A、B的的距距离离，可可无无法法直直接接达达到到，因因此此这这两两点点的的距距离离无无法法直直接接量量出出。你能想出办法来吗？你能想出办法来吗？ABCED 在平地上取一个可直接到达在平地上取一个可直接到达A和和B的点的点C，连结连结AC并延长至并延长至D使使CD=CA连接连接BC并延长至并延长至E使使CE=CB连接连接ED，那么量出那么量出ED的长，就是的长，就是A、B的的距离距离.为什么？为什么？1 2 两直线平行，两直线平行，内错角相等内错角相等 F FA AB BD DC CE E例例2 2：点：点E E、F F在在ACAC上，上，AD/BCAD/BC，AD=CBAD=CB，AE=CFAE=CF 求证求证（1 1）AFDCEBAFDCEB 分析分析：证三角形全等的三个条件证三角形全等的三个条件A=CA=C 边边 角角 边边 AD/BCAD/BCAD=CBAD=CBAE=CFAE=CFAF=CEAF=CE？（已知）（已知）证明：证明：AD/BC A=C又又AE=CF在在AFD和和CEB中，中，AD=CBA=CAF=CE AFDCEBAFDCEB（SASSAS）AE+EF=CF+EF即即 AF=CE 摆齐根据摆齐根据写出结论写出结论指范围指范围准备条准备条件件(已知）已知）(已证）已证）(已证）已证）F FA AB BD DC CE E（两直（两直线平行，内平行，内错角相等）角相等）ABCDO补充充题：例例1 如图如图AC与与BD相交于点相交于点O，已知已知OA=OC，OB=OD，说明说明AOBCOD的理由。的理由。例例2 如图，如图，AC=BD，CAB=DBA，你能判断你能判断BC=AD吗吗？说明理由。？说明理由。ABCD归纳：归纳：判定两条线段相等或二个角相等可以通判定两条线段相等或二个角相等可以通过从它们所在的两个三角形全等而得到过从它们所在的两个三角形全等而得到。课堂小结课堂小结:2.求证两个三角形中的边或角相等时，求证两个三角形中的边或角相等时，一般要先证明这两个三角形一般要先证明这两个三角形全等全等。1.三角形全等的判定三角形全等的判定2：2.两边和它们的两边和它们的夹角夹角对应相等的两个对应相等的两个三角形全等。三角形全等。(边角边或边角边或SAS)证明三角形全等的过程证明三角形全等的过程1 1、准备条件、准备条件2 2、指明范围、指明范围3 3、摆齐根据、摆齐根据4 4、写出结论、写出结论 谢谢 三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为（可以简写为“边边边边边边”或或“SSS”）.ABCDEF在在ABC和和 DEF中中 ABC DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD用符号语言表达为：用符号语言表达为：三角形全等判定方法三角形全等判定方法1 除了除了SSS外外,还有其他情况吗？还有其他情况吗？继续探索三角形全等的条件继续探索三角形全等的条件.(2)(2)三条三条边(1)(1)三个角三个角(3)(3)两两边一角一角(4)(4)两角一两角一边 当两个三角形满足六个条件中的三当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况个时，有四种情况:SSSSSS不能不能!?探讨三角形全等的条件：探讨三角形全等的条件：两边一角两边一角思考：已知一个三角形的两边和一角，那么这思考：已知一个三角形的两边和一角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？ABC在图中，在图中，A是是AB和和AC的的夹角，夹角，符合图中的条件，符合图中的条件，称为称为“两边及其夹角两边及其夹角”探讨三角形全等的条件：探讨三角形全等的条件：两边一角两边一角思考：已知一个三角形的两边和一角，那么这思考：已知一个三角形的两边和一角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？ABC图二图二在图中在图中,B是边是边AC的的对角对角,C是边是边AB的的对角对角符合图中的条件，常说成符合图中的条件，常说成“两边和其中两边和其中 一边的对角一边的对角”两边及其夹角两边及其夹角 先任意画出一个先任意画出一个ABC,再画再画一个一个ABC,使使AB=AB,AC=AC,A=A,把画好的把画好的 ABC,放到放到ABC上上,它它们能全等能全等吗?结论:两边及夹角对应相等的两个三角形全等思考：思考：ABC与与 ABC 全等吗？全等吗？画法画法:1.画画 DAE=A；2.在射在射线AD上截取上截取AB=AB,在射在射线 AE上截取上截取AC=AC;3.连接接BC.ACBAECD 这两个三角形全等是满足哪三个条件？这两个三角形全等是满足哪三个条件？B 三角形全等判定方法三角形全等判定方法2用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：在在ABC与与ABC中中ABCABC（SAS）两边两边和它们的和它们的夹角夹角对应相等对应相等的两个三角的两个三角形全等。形全等。(可以简写成可以简写成“边角边边角边”或或“SASSAS”)CBACBAAC=ACC=CBC=BC1010cmcm ABC4545 8 8cmcm 探索边边角探索边边角BA8 8cmcm 4545 1010cmcm CSSA不存在不存在显然：显然：ABCABC与与ABCABC不全等不全等ABDABCSSASSA不能不能不能不能判定全等判定全等判定全等判定全等两边及一角对应相等的两个三角形全等吗两边及一角对应相等的两个三角形全等吗？两边及夹角对应相等的两个三两边及夹角对应相等的两个三角形全等（角形全等（SAS)；两边及其中一边的的对角对应相两边及其中一边的的对角对应相等的两个三角形不一定全等等的两个三角形不一定全等 现在你知道哪些三角形全等的现在你知道哪些三角形全等的判定方法？判定方法？SSS,SASSSA 不成立不成立 如如图图，有有一一池池塘塘，要要测测池池塘塘两两端端A、B的的距距离离，可可在在平平地地上上取取一一个个可可直直接接到到达达A和和B的的点点C，连连结结AC并并延延长长至至D使使CD=CA，连连结结BC并并延延长长至至E使使CE=CB，连连结结ED，那那么么量量出出DE的长，就是的长，就是A、B的距离，为什么？的距离，为什么？B BA AD DE EC C证明：在证明：在证明：在证明：在ABCABC和和和和DECDEC中，中，中，中，AC=DCAC=DC(已知已知已知已知)ACB=ACB=DCEDCE(对顶角相等对顶角相等对顶角相等对顶角相等)BC=ECBC=EC(已知已知已知已知)ABCABCDECDEC（SASSAS）AB=DEAB=DE(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)分析：分析：已知两边已知两边(相等）相等）找第三找第三边（SSS）找找夹角角 （SAS）如图，已知如图，已知AC、BD互相互相平分交于点平分交于点O，求证：求证：AOBCOD证明：证明：AC、BD互相平分互相平分 _=_，_=_ 在在_和和_中中 _=_ _=_ _=_ _ _()CDBOAABC DE 如图如图AB=AD，AC=AE，BAD=CAE，求证：求证：BC=DE证明：证明：BAD=CAE _+_=_+_ _=_ 在在_和和_中中 _=_ _=_ _=_ _ _()_=_如如图：如果：如果AB=AC,BAD=CAD求求证：ABDACDABCD1 1、今天我们学习哪种方法判定两三角形全等？、今天我们学习哪种方法判定两三角形全等？边角角边（SASSAS）2 2、通过这节课，判定三角形全等的条件有哪些、通过这节课，判定三角形全等的条件有哪些？SSSSSS、SASSAS、注意哦！注意哦！“边边角”不能判定两个三角形全等反思反思 小小结1.学习了三角形全等的又一个判定公理学习了三角形全等的又一个判定公理:边角边公理，到目前为止，我们已经学边角边公理，到目前为止，我们已经学习了三种判定三角形全等的方法（一个习了三种判定三角形全等的方法（一个定义，两个公理）定义，两个公理）.2.证明两个三角形全等时若缺条件：证明两个三角形全等时若缺条件：找图形的隐含条件；找图形的隐含条件；根据其它已知条件推出所缺条件根据其它已知条件推出所缺条件.3.添加适当的辅助线将四边形问题转化添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题为三角形问题.反思反思 小小结DABC如如图,AB=CB,ABD=CBD,ABD和和CBD全等全等吗？如图，点如图，点E，F在在BC上，上，BE=CF，AB=DC，B=C求证：求证：A=DECDBFA证明：证明：BE=CF BE+_=CF+_ _=_ 在在_和和_中中 _=_ _=_ _=_ _ _()_=_如如图，AC=BD，CAB=DBA，你能判断你能判断BC=AD吗？说明理由。明理由。ABCD证明证明:在在ABC与与BAD中中 AC=BD CAB=DBA AB=BAABCBAD（SAS）(已知已知)(已知已知)(公共边公共边)BC=AD(全等三角形的对应边相等）全等三角形的对应边相等）如如图ADBC,AE=CF,AD=BC,E、F都在直都在直线AC上，上，试说明明DEBFFCBEDA 已知已知:如如图,AB=CB,ABD=CBD,问AD=CD,BD 平分平分ADC 吗？DABCABCD已知已知:AD=CD，BD平分平分ADC，问A=C吗？如如图EAAD于于A，FD AD于于D，且且AE=DF，AB=DC.求求证：CE=BF.已知：如已知：如图OP平分平分MON，OM=ON，MD=ND.求求证：OMP ONP；PMD PND；PMD=PND.已知：如已知：如图，ACBD，C为垂足，垂足，AC=DC，CB=CE.求求证：DF AB.ABEFCD如如图,AB=AC,AE=AD,1=2,求求证:BD=CE.ABCED12DACBE点点C是是线段段AB的中点，的中点，CE=CD,ACD=BCE,求求证：AE=BD如如图，ABAC，ADAE，AB=AC，AD=AE.求求证：DACEABEADCB如如图等等边AEB与等与等边BCD在在线段段AC的同的同侧。求求证：ABDEBCABCEDCDEBA如如图,ABC与与DCE都是等都是等边三角三角形，点形，点D在在BC上，上，AD与与BE相等相等吗？试说明理由。明理由。EDCBA如如图,ABC与与DCE都是等都是等边三角形，三角形，点点D在在ABC内，内，AD与与BE相等相等吗？试说明理由。明理由。EDCBA如如图,ABC与与DCE都是等都是等边三角三角形，点形，点D.E在在ABC外，外，AD与与BE相相等等吗？试说明理由。明理由。已知如已知如图ABD与与ACE均均为等等边三角形，求三角形，求证：DC=BE B AC DEp经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量pStudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe写在最后谢谢大家荣幸这一路，与你同行ItS An Honor To Walk With You All The Way演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
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