建筑力学--梁的应力课件

Chapter.Stress Analysis of Beam Architetural Mechanics 截面的几何性质截面的几何性质 平面平面弯曲时梁横截面上的正应力弯曲时梁横截面上的正应力 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 梁的正应力和切应力强度条件梁的正应力和切应力强度条件 梁的合理截面梁的合理截面 9 梁的应力梁的应力面积矩与形心位置面积矩与形心位置惯性矩、惯性积、极惯性矩惯性矩、惯性积、极惯性矩平行移轴定理平行移轴定理 9-1 9-1 截面的几何性质截面的几何性质 9-1-1 面积矩与形心位置面积矩与形心位置一、面积（对轴）矩：一、面积（对轴）矩：(与力矩类似)是面积与它到轴的距离之积。dAxyyx二、形心：二、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。)dAxyyx等厚均质质心：等于形心坐标例例1 试确定下图的形心。解：组合图形，用正负面积法解之。1.用正面积法求解，图形分割及坐标如图(a)801201010 xyC2图(a)C1C1(0,0)C2(-35,60)2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)图(b)C1（0,0）C2（5,5）C2负面积C1xy9-1-2 惯性矩、惯性积、极惯性矩惯性矩、惯性积、极惯性矩一、惯性矩：一、惯性矩：(与转动惯量类似）与转动惯量类似）是面积与它到轴的距离的平方之积。dAxyyxr二、极惯性矩：二、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。dAxyyxr三、惯性积：三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。如果如果 x 或或 y 是对称轴，则是对称轴，则Ixy=09-1-3 平行移轴定理平行移轴定理一、平行移轴定理一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似）以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图dAxyyxrabCxCyC注意注意:C点必须为形心点必须为形心例例2 求图示圆对其切线AB的惯性矩。解：求解此题有两种方法：一是按定义直接积分；二是用平行移轴定理等知识求。B 建立形心坐标如图,求图形对形心轴的惯性矩。AdxyO圆 飞云江桥位于浙江省瑞安县、跨飞云江。是中国最大跨度的预应力混凝土简飞云江桥位于浙江省瑞安县、跨飞云江。是中国最大跨度的预应力混凝土简支梁桥。桥全长，分跨为支梁桥。桥全长，分跨为(），），最最大跨度大跨度，梁高，高跨比；混凝土标号；，梁高，高跨比；混凝土标号；桥面宽。桥面宽。92 梁横截面上的弯曲正应力梁横截面上的弯曲正应力弯矩图弯矩图弯矩图弯矩图-习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标明正负号。习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标明正负号。习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标明正负号。习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标明正负号。轴力和剪力图轴力和剪力图轴力和剪力图轴力和剪力图-可绘在杆件的任一侧，但需标明正负号。可绘在杆件的任一侧，但需标明正负号。可绘在杆件的任一侧，但需标明正负号。可绘在杆件的任一侧，但需标明正负号。（轴力轴力轴力轴力以受拉为正，反之为负；以受拉为正，反之为负；以受拉为正，反之为负；以受拉为正，反之为负；剪力剪力剪力剪力以绕隔离体顺时针为正，反之为负）以绕隔离体顺时针为正，反之为负）以绕隔离体顺时针为正，反之为负）以绕隔离体顺时针为正，反之为负）FNBAFQBA梁的弯曲内力梁的弯曲内力MBA引言引言1、弯曲构件横截面上的（内力）应力、弯曲构件横截面上的（内力）应力内力剪力Q 切应力t t弯矩M 正应力s s平面弯曲时横截面 纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)平面弯曲时横截面 剪切弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)2、研究方法、研究方法纵向对称面纵向对称面P1P2例如：某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。PPaaABQMxx纯弯曲纯弯曲(Pure Bending):平面平面弯曲时梁横截面上的正应力弯曲时梁横截面上的正应力1.梁的纯弯曲实验 横向线(a b、c d）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。（一）变形几何规律：（一）变形几何规律：一、一、纯弯曲时梁横截面纯弯曲时梁横截面上的正应力上的正应力中性层中性层纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴bdacabcdMM横截面上只有正应力。平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。（可由对称性及无限分割法证明）3.推 论2.两个概念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。A1B1O1O4.几何方程：abcdABdq qr rxy)OO1)（二）物理关系：（二）物理关系：假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应 力状态。s sxs sx（三）静力学关系：（三）静力学关系：（对称面）（对称面）(3)EIz 杆的抗弯刚度。杆的抗弯刚度。（四）最大正应力：（四）最大正应力：(5)DdDd=abBhH例例1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）11截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半径。q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120180zy解：画M图求截面弯矩30q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120zy求应力18030求曲率半径q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120180309-3 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力一、一、矩形截面矩形截面梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力1、两点假设：切应力与剪力平行；矩中性轴等距离处，切应力 相等。2、研究方法：分离体平衡。在梁上取微段如图b；在微段上取一块如图c，平衡dxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dxs sxyzs s1 1t t1 1t tb图图a图图b图图cdxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dxs sxyzs s1 1t t1 1t tb图图a图图b图图c由切应力互等由切应力互等(First moment of area)Qt t方向：与横截面上剪力方向相同；t t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。最大切应力为平均切应力的1.5倍。二、其它截面梁二、其它截面梁横截面上的剪应力横截面上的剪应力1、研究方法与矩形截面同;切应力的计算公式亦为：其中Q为截面剪力；Sz 为y点以下的面积对中性轴之静矩 (First moment of area)；2、几种常见截面的最大弯曲剪应力 Iz为整个截面对z轴之惯性矩(moment of inertia of an area)；b 为y点处截面宽度。工字钢截面：工字钢截面：;maxA Qt tf结论：结论：翼缘部分max腹板上的max，只计算腹板上的max。铅垂剪应力主要腹板承受（9597%），且max min 故工字钢最大剪应力Af 腹板的面积。;maxA Qt tf 圆截面：薄壁圆环：槽钢：exyzPQeQeh 9-4 梁的强度条件梁的强度条件 梁的合理截面梁的合理截面1 1、危险面与危险点分析：、危险面与危险点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。Qt ts ss ss sMt t一、梁的正应力和切应力强度条件一、梁的正应力和切应力强度条件2 2、正应力和切应力强度条件：、正应力和切应力强度条件：带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大切应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交处。（以后讲）3 3、强度条件应用：、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：依此强度准则可进行三种强度计算：s sMQt tt ts s4 4、需要校核剪应力的几种特殊情况：、需要校核剪应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力。梁的跨度较短，M 较小，而Q较大时，要校核切应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力。、校核强度：校核强度：设计截面尺寸：设计载荷：解：画内力图求危面内力例例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7MPa，=0.9 M Pa，试求最大正应力和最大切应力之比,并校核梁的强度。q=3.6kN/mxM+ABL=3mQ+x求最大应力并校核强度应力之比q=3.6kN/mxM+Q+xy1y2GA1A2A3A4解：画弯矩图并求危面内力例例3 T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的L=30MPa，y=60 MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm，y2=88mm，Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？4画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM校核强度T字头在上面合理。y1y2GA1A2A3A4x2.5kNm-4kNmMy1y2GA3A4二、梁的合理截面二、梁的合理截面（一）矩形木梁的合理高宽比（一）矩形木梁的合理高宽比R北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比(h/b =)1.5英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 为bh强度：正应力：剪应力：1 1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面其它材料与其它截面形状梁的合理截面zDzaazD0.8Da12a1z工字形截面与框形截面类似。0.8a2a21.6a22a2z 对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：2 2、根据材料特性选择截面形状、根据材料特性选择截面形状s sGz（二）采用变截面梁（二）采用变截面梁 ，如下图：，如下图：最好是等强度梁，即若为等强度矩形截面，则高为同时Px 例：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的例：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力许用应力=160MPa，校核该梁的强度。，校核该梁的强度。CL8TU10解：由弯矩图可见解：由弯矩图可见该梁满足强度条件，安全该梁满足强度条件，安全 例：图示三种截面梁，材质、截面内例：图示三种截面梁，材质、截面内max、max全相同，求三梁的重量比。并指出哪种截面全相同，求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。最经济。CL8TU11解：由题意可知解：由题意可知即即 例：图示铸铁梁，许用拉应力例：图示铸铁梁，许用拉应力t=30MPa，许用压应力许用压应力c=60MPa,z=7.6310-6m4，试校，试校核此梁的强度。核此梁的强度。CL8TU12C截面截面：B截面截面：例：简支梁例：简支梁AB，在截面下边缘贴一应变，在截面下边缘贴一应变片，测得其应变片，测得其应变=610-4，材料的弹性模量，材料的弹性模量 E=200GPa，求载荷，求载荷P的大小。的大小。CL8TU13解：解：C点的应力点的应力C截面的弯矩截面的弯矩由由得得 例：简支梁受均布荷载，在其截面的下例：简支梁受均布荷载，在其截面的下边缘贴一应变片，已知材料的边缘贴一应变片，已知材料的E=200GPa，试，试问该应变片所测得的应变值应为多大？问该应变片所测得的应变值应为多大？CL8TU14解：解：C截面下边缘截面下边缘的应力的应力C截面的弯矩截面的弯矩应变值应变值 例：图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为例：图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为 10 mm，E=10GPa，求载荷，求载荷P的大小。的大小。CL8TU1557写在最后写在最后成功的基础在于好的学习习惯成功的基础在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habits谢谢大家荣幸这一路，与你同行ItS An Honor To Walk With You All The Way讲师：XXXXXX XX年XX月XX日