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一、弧微分一、弧微分规定：规定：单调增函数单调增函数二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。)弧段弯曲程度弧段弯曲程度越大转角越大越大转角越大转角相同弧段越转角相同弧段越短弯曲程度越大短弯曲程度越大1.曲率的定义曲率的定义)yxo（定义定义曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率2.曲率的计算公式曲率的计算公式注意注意:(1)直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且且半径越小曲率越大半径越小曲率越大.例例1 1解解显然显然,点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例2 2B证证如图如图（在缓冲段上在缓冲段上,实际要求实际要求BB三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径定义定义1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数曲率互为倒数.注意注意:2.曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处曲线在该点处的曲率越小的曲率越小(曲线越平坦曲线越平坦);曲率半径越小曲率半径越小,曲率曲率越大越大(曲线越弯曲曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似称为曲线在该点附近的二次近似).例例3 3解解如图如图,受力分析受力分析视飞行员在点视飞行员在点o作匀速圆周运动作匀速圆周运动,O点处抛物线轨道的曲率半径点处抛物线轨道的曲率半径得曲率为得曲率为曲率半径为曲率半径为即即:飞行员对座椅的压力为飞行员对座椅的压力为641.5千克千克.四、小结运用微分学的理论运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性研究曲线和曲面的性质的数学分支质的数学分支微分几何学微分几何学.基本概念基本概念:弧微分弧微分,曲率曲率,曲率圆曲率圆.曲线弯曲程度的描述曲线弯曲程度的描述曲率曲率;曲线弧的近似代替曲率圆曲线弧的近似代替曲率圆(弧弧).思考题思考题 椭圆椭圆 上哪上哪些点处曲率最大？些点处曲率最大？思考题解答思考题解答要使要使 最大，最大，必有必有 最小，最小，此时此时 最大，最大，练练 习习 题题练习题答案练习题答案例例1证证证证一一.极限求法小结极限求法小结;a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.f.分子分母有理化后求极限分子分母有理化后求极限g.利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限;h.利用洛必达法则求极限利用洛必达法则求极限;i.利用麦克老林公式求极限利用麦克老林公式求极限;j.利用等价无穷小求极限利用等价无穷小求极限;二、初等函数的求导问题二、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu=可导，则可导，则（1）vuvu =)(,（2）uccu=)(（3）vuvuuv+=)(,（4）)0()(2 -=vvvuvuvu.(是常数是常数)三、微分的公式三、微分的公式求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式2.函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则 四、四、常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式 课本课本131页页五、五、高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则:莱布尼兹公式莱布尼兹公式常用高阶导数公式常用高阶导数公式六、曲率的计算公式六、曲率的计算公式思考题思考题求极限求极限
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