对坐标的曲线积分课件

第11.2节一、第一型（对坐标的）曲线积分的一、第一型（对坐标的）曲线积分的概念与性质概念与性质二、第一型（对坐标的）曲线积分的二、第一型（对坐标的）曲线积分的计算法计算法 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系 第二型（对坐标的）曲线积分 第十一章 第11.2节一、第一型（对坐标的）曲线积分的概念与性质二、第1一、一、第二型（对坐标的）曲线积分的概念与性质第二型（对坐标的）曲线积分的概念与性质1.引例引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.一、第二型（对坐标的）曲线积分的概念与性质1.引例:变21)“大化小大化小”.2)“常代变常代变”把L分成 n 个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F 沿则用有向线段 上任取一点在1)“大化小”.2)“常代变”把L分成 n 个小弧段,有33)“近似和近似和”4)“取极限取极限”(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)3)“近似和”4)“取极限”(其中 为 n 个小弧段的42.定义定义.设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二型曲线积分第二型曲线积分.其中,L 称为积分弧段积分弧段 或 积分曲线积分曲线.称为被积函数被积函数,在L 上定义了一个向量函数极限记作2.定义.设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向5若 为空间曲线弧,记称为对 x 的曲线积分;称为对 y 的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,若 为空间曲线弧,记称为对 x 的曲线积分;称为对 y63.性质性质(1)若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧(2)用L 表示 L 的反向弧,则则 定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向!3.性质(1)若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧(2)7二、第二型（对坐标的）曲线积分的计算法二、第二型（对坐标的）曲线积分的计算法定理定理:在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分连续,证明证明:下面先证存在,且有二、第二型（对坐标的）曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧 L8对应参数设分点根据定义由于对应参数因为L 为光滑弧,同理可证对应参数设分点根据定义由于对应参数因为L 为光滑弧,同理可9特别是,如果 L 的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有特别是,如果 L 的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有10例例1.计算其中L 为沿抛物线解法解法1 取 x 为参数,则解法解法2 取 y 为参数,则从点的一段.例1.计算其中L 为沿抛物线解法1 取 x 为参数,则11例例2.计算其中 L 为(1)半径为 a 圆心在原点的 上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).解解:(1)取L的参数方程为(2)取 L 的方程为则则例2.计算其中 L 为(1)半径为 a 圆心在原点的 12例例3.计算其中L为(1)抛物线 (2)抛物线 (3)有向折线 解解:(1)原式(2)原式(3)原式例3.计算其中L为(1)抛物线 (2)抛物线 (313例例4.设在力场作用下,质点由沿移动到解解:(1)(2)的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中为例4.设在力场作用下,质点由沿移动到解:(1)(2)14例例5.求其中从 z 轴正向看为顺时针方向.解解:取 的参数方程例5.求其中从 z 轴正向看为顺时针方向.解:取 的15三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的16类似地,在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是令记 A 在 t 上的投影为类似地,在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是令记 A 在17二者夹角为 例例6.设曲线段 L 的长度为s,证明续,证证:设说明说明:上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连 二者夹角为 例6.设曲线段 L 的长度为s,证明续,证18例例7.将积分化为对弧长的积分,解：解：其中L 沿上半圆周例7.将积分化为对弧长的积分,解：其中L 沿上半圆周191.定义2.性质(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧(2)L 表示 L 的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结1.定义2.性质(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧(203.计算 对有向光滑弧 对有向光滑弧3.计算 对有向光滑弧 对有向光滑弧214.两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧:4.两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧:22